九年級數(shù)學試題
（全卷滿分120分考試時間120分鐘）
注意事項：
1．答題前，考生務必將班級，姓名，準考證號填寫在試卷和答題卡上．
2．考生作答時，請在答題卡上作答（答題注意事項見答題卡），在本試卷，草稿紙上作答無效．
3．不能使用計算器．
4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑）
1．下列幾種著名的數(shù)學曲線中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：A.該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
B.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C.該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：A．
2．下列方程屬于一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的概念，根據(jù)一元二次方程的定義逐項判斷即可，解題的關鍵是熟記一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為的整式方程，叫做一元二次方程，熟記一般形式為：．
【詳解】、中，最高次數(shù)為，此選項不符合題意；
、是二元一次方程，此選項不符合題意；
、不是整式方程，此選項不符合題意；
、是一元二次方程，此選項符合題意；
故選：．
3．成語是中國語言文化的縮影，有著深厚豐富的文化底蘊，學習成語，運用成語，了解成語當中所包含的語言文化現(xiàn)象，是我們學習語言、學習中國傳統(tǒng)文化必不可少的一個環(huán)節(jié)和目的·下列成語所描述的事件中，屬于必然事件的是（ ）
A．守株待兔B．緣木求魚C．水漲船高D．拔苗助長
【答案】C
【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【詳解】解：A、守株待兔，是隨機事件，不符合題意；
B、緣木求魚，是不可能事件，不符合題意；
C、水漲船高，是必然事件，符合題意；
D、拔苗助長，是不可能事件，不符合題意；
故選：C．
4．下列各點在函數(shù)的圖像上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握函數(shù)圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式是解題的關鍵．
把所給點的坐標代入函數(shù)解析式判斷即可．
【詳解】解：∵
∴當時，，所以點不在函數(shù)圖象上，故A選項不符合題意；
當時，，所以點、都不在函數(shù)圖象上，故B、C選項不符合題意；
當時，，所以點在函數(shù)圖象上，故D選項符合題意；
故選：D．
5．《低空經(jīng)濟產(chǎn)業(yè)發(fā)展白皮書》指出，我國低空經(jīng)濟產(chǎn)業(yè)具有巨大的發(fā)展?jié)摿?，未來將對國民?jīng)濟作出重要貢獻．2023年我國低空經(jīng)濟規(guī)模為萬億元，預計2025年我國低空經(jīng)濟規(guī)模將達到萬億元．如果設這兩年低空經(jīng)濟規(guī)模年平均增長率為，那么根據(jù)題意可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程與增長率問題，解題的關鍵是讀懂題意，找出等量關系，列出方程．根據(jù)基數(shù)為a，末數(shù)為b，增長率（或下降率為x），時間間隔為n，則有，即可得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，這兩年低空經(jīng)濟規(guī)模年平均增長率為
2023年低空經(jīng)濟規(guī)模為萬億元，預計2025年低空經(jīng)濟規(guī)模將達到萬億元
可列方程為．
故選：D．
6．如圖，是的直徑，弦，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此題考查了平行線的性質以及圓周角定理．由是的直徑，弦，若，根據(jù)平行線的性質，可求得的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得答案．
【詳解】解：弦，，
，
．
故選：．
7．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根
C．有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．
根據(jù)，判斷作答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：B．
8．如圖，把繞點順時針旋轉，得到，交于點，若，則的度數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查旋轉的性質、直角三角形兩銳角互余等知識．根據(jù)旋轉的性質可得，，結合，可求得，即可獲得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，把繞點順時針旋轉，得到，
由旋轉的性質，可得，，
，
，
．
故選：D．
9．化學實驗中常使用一種球形蒸餾瓶，它的底部可以看成是一個球體，這個球體最大縱截面如圖所示，其半徑為，瓶內(nèi)液體最大深度為，則液面寬的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，掌握求解的方法是解題的關鍵．
過點向下作于點，交于點，連接，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)計算，利用勾股定理計算，最后根據(jù)得出答案即可．
【詳解】解：如圖，過點向下作于點，交于點，連接，
∴，，
∵半徑為，瓶內(nèi)液體最大深度為，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
10．函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)一次函數(shù)的圖象確定出a的符號，進而判斷二次函數(shù)的圖象開口方向，再結合兩個圖象的交點即可判斷求解，掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：A、由于一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，故此選項不符合題意；
B、由一次函數(shù)圖象可得，則二次函數(shù)的圖象開口向上，故此選項不符合題意；
C、由一次函數(shù)圖象可得，則二次函數(shù)的圖象開口向上，且圖象都經(jīng)過點，故此選項符合題意；
D、由一次函數(shù)圖象可得，則二次函數(shù)的圖象開口向下，故此選項不符合題意；
故選：C．
11．在數(shù)學跨學科主題活動課上，芳芳用半徑，圓心角的扇形紙板，做了一個圓錐形的生日帽，如圖所示．在不考慮接縫的情況下，這個圓錐形生日帽的底面圓半徑是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用扇形的弧長等于圓錐的底圓周長求解即可．
【詳解】解：由題意可知：
扇形的弧長
設底面圓半徑為r,
∵扇形的弧長等于圓錐的底圓周長
∴，解得：，
故選：C．
【點睛】本題考查弧長公式，解題的關鍵是理解扇形的弧長等于圓錐的底圓周長．
12．如圖拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，且過點（3，0），下列結論：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b＞0；④b2﹣4ac＞0；正確的有（ ）個．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由圖像可知a＞0，對稱軸x=-=1，即2a+b =0，c＜0，根據(jù)拋物線的對稱性得x=-1時y=0，拋物線與x軸有2個交點，故△＝b2﹣4ac＞0，由此即可判斷.
【詳解】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正確；
∵拋物線與x軸的一個交點為（3，0），而拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣1，0），
∵x＝﹣1時，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，所以②錯誤；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以③錯誤；
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④正確．
故選B．
【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖像，解題的關鍵是熟知各系數(shù)所代表的含義.
二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）
13．拋物線y＝（x+1）2+3的頂點坐標是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式，易得二次函數(shù)圖象的頂點坐標．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的圖象為拋物線，若頂點坐標為，則其解析式為．
14．已知正六邊形的半徑是3，則這個正六邊形的邊長是 ．
【答案】3
【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正六邊形的性質求出∠BOC的度數(shù)，判斷出△BOC為等邊三角形即可求出答案．
【詳解】解：如圖所示，連接OB、OC，
∵此六邊形是正六邊形，
∴∠BOC==60°，
∵OB=OC=3，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OB=OC=BC=3，
故答案為：3．
【點睛】此題主要考查了正多邊形和圓的有關計算，等邊三角形的判定和性質，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，由正六邊形的性質判斷出△BOC的形狀是解答此題的關鍵．
15．已知關于的一元二次方程的一個根為3，則方程的另一個根是 ．
【答案】
【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解決問題的關鍵．
【詳解】解：關于的一元二次方程的一個根為3，設另一個根為a，
，
解得，
故答案為：．
16．如圖，在中，，且．設直線截此三角形所得陰影部分的面積為，則與之間的函數(shù)關系式為 ．

【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質、二次函數(shù)的應用，根據(jù)、軸，可知，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可以求出，從而可得： ．
【詳解】解：如下圖所示，
，且，
，
又軸，
，
，
，
．

故答案為： ．
17．在一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的n個小球，其中有5個黑球，從袋中隨機摸出一球，記下其顏色，這稱為一次摸球試驗，之后把它放回袋中，攪勻后，再繼續(xù)摸出一球，以下是利用計算機模擬的摸球試驗次數(shù)與摸出黑球次數(shù)的列表：
根據(jù)列表，可以估計出n的值是 ．
【答案】10
【詳解】∵通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定于0.5，
∴=0.5，
解得：n=10．
故答案為：10
考點：模擬實驗．
18．如圖，正方形的邊長為2，點是以為直徑的半圓上一點，則的最小值為 ．
【答案】##
【分析】本題考查正方形的性質，勾股定理，解答本題的關鍵是熟練運用勾股定理解決問題．
連接，，交半圓于點，利用勾股定理求解，再進一步可得答案．
【詳解】解：如圖，連接，，交半圓于點，
∵正方形的邊長為2，
∴，
∴，
在中，，，
，
當點與點重合時，取得最小值．
故答案為：．
三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
19．計算：
【答案】
【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，化簡二次根式，先化簡二次根式，再計算零指數(shù)冪和絕對值，接著計算乘法，最后計算加減法即可得到答案．
【詳解】解：
．
20．一個滑雪者從山坡滑下，為了得出滑行距離（單位：m）與滑行時間（單位：）之間的關系式，測得一組數(shù)據(jù)（如下表）．
(1)為觀察與之間的關系，小明建立如圖平面直角坐標系，以為橫坐標，為縱坐標，描出表中數(shù)據(jù)對應的個點，并用平滑的曲線連接它們．結合學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象，我們可以用 （填“一次函數(shù)”或“二次函數(shù)”）近似地表示與之間的函數(shù)關系；

(2)求與之間的函數(shù)關系式．
【答案】(1)二次函數(shù)；
(2)．
【分析】本題考查了二次函數(shù)和一元二次方程的應用，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關系式是解題的關鍵．
（1）描點，連線，畫出函數(shù)圖象；
（2）由圖象可得出與的關系可近似看成二次函數(shù)，再根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關系式即可．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)，描點如圖所示，

（2）解：設關于的函數(shù)關系式為，
將代入，
得：，
解得：，
近似表示關于的函數(shù)關系式為．
21．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點（即三角形的頂點都在格點上）．
(1)在圖中作出關于直線對稱的；（要求A與，B與，C與相對應）
(2)作出繞點C順時針方向旋轉后得到的；
(3)在（2）的條件下直接寫出點B旋轉到所經(jīng)過的路徑的長．（結果保留π）
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)
【分析】本題主要考查網(wǎng)格作圖（旋轉和軸對稱變換），勾股定理和弧長的計算，
（1）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B、C關于直線l的對稱點、、的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B繞點C順時針旋轉后的、的位置，然后順次連接即可；
（3）利用勾股定理列式求出的長，再根據(jù)弧長公式列式計算即可得解．
【詳解】（1）解：如下圖所示；
（2）如圖所示，
（3）根據(jù)勾股定理，，
∴點B旋轉到所經(jīng)過的路徑的長．
22．為推廣傳統(tǒng)文化，某學校布置了年味十足的寒假作業(yè)，比如包粽子、寫春聯(lián)、逛廟會等等，并要求學生拍照．現(xiàn)將八（5）班的學生作品進行展示，分為A，B，C，D四個等級，并將結果繪制成以下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖：
請根據(jù)圖中的信息解答下列問題：
(1)補全兩個統(tǒng)計圖；
(2)請求出C等級所在扇形圓心角的度數(shù)；
(3)現(xiàn)準備從A等級的4人中隨機抽取兩人去參加比賽，小明和小麗都被抽到的概率是多少？
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用、求概率，讀懂統(tǒng)計圖，準確獲取有用信息是解答的關鍵．
（1）首先用A等級的學生人數(shù)除以A等級的人數(shù)所占的百分比，求出總人數(shù)；然后用總人數(shù)減去A、B、D三個等級的人數(shù)，求出C等級的人數(shù)，補全條形圖；用C等級的人數(shù)除以總人數(shù)，得出C等級的人數(shù)所占的百分比，補全扇形圖；
（2）用乘C等級的人數(shù)所占的百分比，即可求解；
（3）先列表展示所有12種等可能的結果數(shù)，再找找出小明和小麗都被抽到的結果數(shù)，然后根據(jù)概率的定義計算即可．
【詳解】（1）解：被調查的總人數(shù)為，
C等級對應的百分比為，
C等級的人數(shù)為（人）．
C等級對應的百分比為，
補全圖形如下：
；
（2）解：C等級所在扇形圓心角的度數(shù)為；
（3）解：記這4個人分別為甲，乙，丙，丁，其中小明和小麗分別為甲，乙，
畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，小明和小麗兩名選手恰好被抽到的有2種情況，
小明和小麗都被抽到的概率是．
23．如圖，已知是的直徑，是上異于的點，是的中點，連接，過點作交的延長線于點，交的延長線于點的平分線交于點，交于點．
(1)求證：是的切線；
(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接．根據(jù)等邊對等角和圓周角定理得到，則，根據(jù)平行線的性質得到，然后根據(jù)切線的判定可得結論；
（2）先根據(jù)圓周角定理得到．再根據(jù)同角的余角相等和等量代換得到，由角平分線定義得到，然后根據(jù)三角形的外角性質和內(nèi)角和定理求得即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接．
，
．
是的中點，
，
，
，
，
，
．
是的半徑，
是的切線；
（2）解：是直徑，
．
，
．
又，
．
平分，
．
又，，
．
【點睛】本題考查切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質、角平分線的定義等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．
24．綜合與實踐
【主題】三角點陣前行的點數(shù)計算．
【素材】如圖所示是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點第行有個點，，如果要用試驗的方法，由上而下地逐行相加其點數(shù)，容易發(fā)現(xiàn)，前行的點數(shù)和是．這就是說，三角點陣中前行的點數(shù)和是．
【實踐探索】請你根據(jù)上述材料回答下列問題：
（1）若三角點陣中前行的點數(shù)和是55，求出的值．
【拓展探索】
（2）如果把圖中的三角點陣中各行的點數(shù)依次換成，請?zhí)骄砍銮靶械狞c數(shù)和滿足的規(guī)律．
（3）在（2）的條件下，這個三角點陣中前行的點數(shù)和能是120嗎？如果能，求出的值；如果不能，請說明道理．
【答案】（1）10；（2）；（3）不能，理由見解析
【分析】本題考查解一元二次方程，理解題意是解答的關鍵．
（1）根據(jù)題意，解方程即可，注意n為正整數(shù)；
（2）根據(jù)題意得到，再代入求解即可；
（3）解方程，根據(jù)n為正整數(shù)進行判斷即可．
【詳解】解：（1）由題意，得，即，
，
解得（舍去），，
的值為10．
（2）前行所有點數(shù)的和為
．
（3）不能，理由如下：
假設能為120，則，即，
解得．
為正整數(shù)，
前行的點數(shù)和不能為120．
25．如圖①，有一移動灌溉裝置噴出水柱的路徑可近似地看作一條拋物線，該灌溉裝置的噴水頭到水平地面的距離為1米，噴出的拋物線形水柱對稱軸為直線．用該灌溉裝管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度(單位：米)與水柱落地處距離噴水頭的距離(單位：米)之間的函數(shù)關系式為，其圖像如圖②所示．已知坡地所在直線經(jīng)過點．
(1)的值為__________；
(2)若，求水柱與坡面之間的最大鉛直高度；
(3)若時，到噴水頭水平距離為16米的處有一棵新種的銀杏樹需要被灌溉，園藝工人將灌溉裝置水平向后移動4米，試判斷灌溉裝置能否灌溉到這棵樹，并說明理由．
【答案】(1)1
(2)米
(3)不能
【分析】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用
（1）把點代入即可；
（2）先求出拋物線與直線的解析式，再設拋物線上一點，過點作軸交于點，則，求出的長度，再用函數(shù)的性質求最值即可；
（3）根據(jù)平移的性質先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可．
【詳解】（1）解：把點代入得，，
故答案為：1；
（2）解：設拋物線的解析式為，
將點代入，得，
拋物線的解析式為，
即，
坡地經(jīng)過點，
的解析式為，
如解圖，
設拋物線上一點，過點作軸交于點，
則，的長為，
，
函數(shù)圖象開口向下，有最大值，最大值為，
水柱與坡面之間的最大鉛直高度為米；
（3）解：不能；
理由：當灌溉裝置水平向后移動4米時，平移后的拋物線解析式為．
將代入拋物線解析式，得，
將代入直線解析式，得，
，
水平向后移動4米，不能灌溉到這棵樹．
26．如圖，在正方形中，對角線、相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接、．

(1)求證：；
(2)將線段繞點P逆時針旋轉，使點D落在的延長線上的點Q處．當點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化?請說明理由；
(3)探究與的數(shù)量關系，并直接寫出結果．
【答案】(1)見解析
(2)的大小不發(fā)生變化，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質證明，即可得到結論；
（2）作，垂足分別為點M、N，如圖，可得，證明四邊形是矩形，推出，再證明， 得出，進而求出可得結論；
（3）作交于點E，作于點F，如圖，證明，，根據(jù)即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）的大小不發(fā)生變化，
理由：作，垂足分別為點M、N，如圖，

∵四邊形是正方形，
∴，，
∴四邊形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴的大小不發(fā)生變化；
（3）；
證明：作交于點E，作于點F，如圖，

∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
作于點M，則，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，矩形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質以及等腰直角三角形的性質等知識，熟練掌握相關圖形的判定和性質、正確添加輔助線是解題的關鍵．
摸球試驗次數(shù)
100
1000
5000
10000
50000
100000
摸出黑球次數(shù)
46
487
2506
5008
24996
50007
滑行時間
0
1
2
3
4
滑行距離
0
5
14
27
44

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