TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc189331116"
\l "_Tc189331117" ?題型01 利用弧長(zhǎng)公式求弧長(zhǎng)
\l "_Tc189331118" ?題型02 由弧長(zhǎng)公式或扇形面積公式求圓心角、半徑
\l "_Tc189331119" ?題型03 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度
\l "_Tc189331120" ?題型04 利用扇形面積公式計(jì)算扇形面積
\l "_Tc189331121" ?題型05 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積
\l "_Tc189331122" ?題型06 求弓形面積
\l "_Tc189331123" ?題型07 求其它不規(guī)則圖形面積
\l "_Tc189331124" ?題型08 求圓錐的側(cè)面積，底面半徑，高，母線
\l "_Tc189331125" ?題型09 求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角
\l "_Tc189331126" ?題型10 圓錐的實(shí)際問題
\l "_Tc189331127" ?題型11 圓錐側(cè)面上最短路徑問題
\l "_Tc189331128"
\l "_Tc189331129"
?題型01 利用弧長(zhǎng)公式求弧長(zhǎng)
1．（2023·山東東營(yíng)·二模）如圖，用一個(gè)半徑為12cm的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了150°，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與輪滑之間沒有滑動(dòng)，則重物上升的高度為 cm．（結(jié)果保留π）
2．（2023·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊AB=2，將正方形ABCD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形AB'C'D'（旋轉(zhuǎn)角小于90°），B'C'與CD相交于點(diǎn)E．若點(diǎn)B'恰好落在邊AB的垂直平分線上，則圖中CC'的長(zhǎng)度為 ．
3．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）以AB為直徑的⊙O上三點(diǎn)A、B、C，作∠BAC的平分線AD交⊙O于D點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，若AB=4

（1）若∠ADE=3∠F，則CD的弧長(zhǎng)為 ．
（2）若DF=23，則tan∠ADE= ．
?題型02 由弧長(zhǎng)公式或扇形面積公式求圓心角、半徑
4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·二模）扇形的弧長(zhǎng)為6π，半徑是12，該扇形的圓心角為 度．
5．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）一個(gè)扇形的面積為10π，弧長(zhǎng)為10π3，則該扇形的圓心角的度數(shù)為 ．
6．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知扇形的面積是43π，圓心角120°，則這個(gè)扇形的半徑是 ．
?題型03 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度
7．（2023·遼寧大連·一模）如圖，將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A'OB'，AA'與OB'交于點(diǎn)C，若∠AOB=15°，OA=3，則AC的長(zhǎng)為 ．
8．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形的高是3厘米，正方形的邊長(zhǎng)是正三角形的2倍，木塊從圖①的位置開始，沿著木樁的邊緣滾動(dòng)，滾動(dòng)過程如圖②，圖③所示，木塊滾動(dòng)一周后回到原位置，那么正三角形正中心的點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長(zhǎng)度為 π=3．
9．（2023·北京東城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0,A5,0，B4,?3．
(1)作出△OAB關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形△OA1B1（點(diǎn)A與點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)），并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
(2)將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA2B2，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B2，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA2B2，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)B經(jīng)過的路徑BB2的長(zhǎng)．
?題型04 利用扇形面積公式計(jì)算扇形面積
10．（2023·浙江溫州·一模）若扇形的圓心角為150°，半徑為4，則該扇形的面積為 ．
11．（2023·吉林白城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，連接BE，則扇形BAE的面積為 ．

12．（2023·浙江麗水·模擬預(yù)測(cè)）小明用長(zhǎng)為4m鐵絲均分后圍成如圖所示的模型，該模型由四個(gè)形狀、大小完全一樣的扇環(huán)組成，O為圓心．
（1）若∠O=60°，A為OB的中點(diǎn)，則AB長(zhǎng)為 m；
（2）若使得模型的面積最大，則AB的值為 m.
?題型05 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積
13．（2023·山東聊城·二模）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C，已知AC=10,BC=6，則線段AB掃過的圖形面積為（ ）
A．10πB．163πC．313πD．323π
14．（2023·吉林白城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的刻度分別為3，5，7，將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到CA'，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，線段CA掃過的圖形的面積為 （結(jié)果保留π）．
15．（2023·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．
(1)以點(diǎn)C為位似中心，作出△ABC的位似圖形△A1B1C，使△A1B1C與△ABC的位似比為2:1且位于點(diǎn)C兩側(cè)，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；
(2)作出△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C；
(3)在（2）的條件下，求出線段CB所掃過的面積．
?題型06 求弓形面積
16．（2023·河南周口·二模）如圖，已知每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，其中點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，則ABC和弦AC構(gòu)成的弓形的面積為 ．
17．（2023·河南周口·三模）如圖，在△ABC中，BC=BA=4，∠C=30°，以AB中點(diǎn)D為圓心、AD長(zhǎng)為半徑作半圓交線段AC于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為 ．

18．（2023·江西新余·一模）如圖，有一個(gè)半徑為6cm的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為 cm2(結(jié)果保留π)．

19．（2023·廣東佛山·一模）如圖，在ΔABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，連接AD．
(1)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧AD的中點(diǎn)E．（不寫作法，保留作圖痕跡），連接BE交AD于F點(diǎn)，并證明：AF×DF=BF×EF；
(2)若⊙O的半徑等于4，且⊙O與AC相切于A點(diǎn)，求劣弧AD的長(zhǎng)度和陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
?題型07 求其它不規(guī)則圖形面積
20．（2024·浙江寧波·二模）如圖，在矩形ABCD中，AD=3，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，AF=1，以點(diǎn)A為圓心AD為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，以F為圓心，DF為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)M，AB于點(diǎn)N，則陰影部分的面積為（ ）
A．332+π12B．332?π12C．32+7π12D．3?π12
21．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑畫弧，分別與AB、CB交于點(diǎn)D、E，則圖中陰影部分的面積為 ．
22．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，半圓的直徑AB=8，O為圓心，點(diǎn)P是半圓上的一點(diǎn)，將AP沿直線AP折疊后的弧經(jīng)過圓心O，則圖中陰影部分的面積是 ．

?題型08 求圓錐的側(cè)面積，底面半徑，高，母線
23．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）用圓心角為90°，半徑為6的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則這個(gè)圓錐的底面半徑為（ ）
A．12B．34C．32D．3
24．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）圓錐的母線長(zhǎng)為2 cm．底面圓的半徑長(zhǎng)為1 cm，則該圓錐的側(cè)面積為 ．
25．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）若圓錐的母線長(zhǎng)為4，底面圓的半徑長(zhǎng)為3，那么該圓錐的高是 ．
26．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）圓錐的側(cè)面展開圖的面積為200πcm2，圓錐母線與底面圓的半徑之比為2:1，則母線長(zhǎng)為 ．
?題型09 求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角
27．（2024·云南紅河·模擬預(yù)測(cè)）為了拉動(dòng)鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)振興，某村設(shè)立了一個(gè)草帽手工作坊，讓留守的老人也能賺錢，其制作工藝中用固定規(guī)格的扇形草氈圍成一個(gè)底面周長(zhǎng)為10π，側(cè)面積為75π的圓錐形草帽，則制作工藝中所使用扇形草氈的圓心角為（ ）
A．150°B．120°C．180°D．100°
28．（2024·湖南常德·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2cm，母線長(zhǎng)是6cm，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是（ ）
A．40°B．80°C．120°D．150°
29．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)圓錐的高與母線之比為4:5，則其側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為 ．
?題型10 圓錐的實(shí)際問題
30．（2020·四川眉山·二模）如圖，小非同學(xué)要用紙板制作一個(gè)高為3cm，底面周長(zhǎng)為8πcm的圓錐形漏斗模型，若不計(jì)接縫和損耗，則她所需紙板的面積是 ．
31．（2022·廣西崇左·一模）如圖，把矩形紙片ABCD分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓．若它們恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則ADAB= ．
?題型11 圓錐側(cè)面上最短路徑問題
32．（2024·寧夏銀川·二模）如圖，已知點(diǎn)C為圓錐母線SB的中點(diǎn)，AB為底面圓的直徑，SB=6，AB=4，一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為 ．

33．（23-24九年級(jí)上·山東泰安·期中）如圖，有一個(gè)圓錐形糧堆，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6m，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一只老鼠正在吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面P處捉老鼠，小貓所經(jīng)過的最短路程是 m．
34．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)圓錐形沙堆，底面周長(zhǎng)是18.84米，高2.5米，用這堆沙在5米寬的路上鋪3厘米厚的路面，能鋪多長(zhǎng)？
35．（2024·廣東陽(yáng)江·一模）綜合與實(shí)踐
主題：制作圓錐形生日帽．
素材：一張圓形紙板、裝飾彩帶．
步驟1：如圖1，將一個(gè)底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開，可得到一個(gè)半徑為l、圓心角為n°的扇形．制作圓錐形生日帽時(shí)，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．
步驟2：如圖2，把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽．
在制作好的生日帽中，AB=6cm，l=6cm，C是PB的中點(diǎn)，現(xiàn)要從點(diǎn)A到點(diǎn)C再到點(diǎn)A之間拉一條裝飾彩帶，求彩帶長(zhǎng)度的最小值．
1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，圓⊙O1與⊙O2都經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O2在⊙O1上，點(diǎn)C是AO2B上的一點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)交⊙O2于點(diǎn)P，連接AB，BC，BP．
(1)求證：∠ACB=2∠P
(2)若∠P=30°，AB=23．
①求⊙O1的半徑；
②求圖中陰影部分的面積．
1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點(diǎn)，半徑OA=3，AB=CD，∠DBC=25°，連接AD，則扇形AOB的面積為（ ）
A．54πB．58πC．52πD．512π
2．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的根和魂．東營(yíng)市某學(xué)校組織開展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化成果展示活動(dòng)，小慧同學(xué)制作了一把扇形紙扇．如圖，OA=20cm，OB=5cm，紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計(jì)）的夾角∠AOC=120°．現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為（ ）cm2．

A．253πB．75πC．125πD．150π
3．（2024·江蘇無錫·中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長(zhǎng)為4，則圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．6πB．12πC．15πD．24π
4．（2024·山東泰安·中考真題）兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓O'的一個(gè)直徑端點(diǎn)與半圓O的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（ ）
A．43π?3B．43πC．23π?3D．43π?34
5．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑l是5，則該圓錐的體積是（ ）
A．3118πB．118πC．26πD．263π
6．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半徑OA=3，C是AB上一點(diǎn)，連接OC，D是OC上一點(diǎn)，且OD=DC，連接BD．若BD⊥OC，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．π6B．π3C．π2D．π
7．（2024·河南·中考真題）如圖，⊙O是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接BD，CD．以點(diǎn)D為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑在⊙O內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（ ）
A．8π3B．4πC．16π3D．16π
8．（2024·河北·中考真題）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國(guó)有著深厚的底蘊(yùn)．如圖，某折扇張開的角度為120°時(shí)，扇面面積為S、該折扇張開的角度為n°時(shí)，扇面面積為Sn，若m=SnS，則m與n關(guān)系的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)．過點(diǎn)C作CE⊥AO交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作ED⊥OB，垂足為點(diǎn)D．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在陰影部分的概率是（ ）
A．14B．13C．12D．23
10．（2024·云南·中考真題）某校九年級(jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品．若這種圓錐的母線長(zhǎng)為40厘米，底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．700π平方厘米B．900π平方厘米
C．1200π平方厘米D．1600π平方厘米
11．（2024·山西·中考真題）如圖1是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖2是其幾何示意圖（陰影部分為花窗）．通過測(cè)量得到扇形AOB的圓心角為90°，OA=1m，點(diǎn)C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，則花窗的面積為 m2．
12．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC邊于點(diǎn)E，連接AE，AB=1，∠D=60°，則BE的長(zhǎng)l= （結(jié)果保留π）．
13.（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)E為圓心，EF長(zhǎng)為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的DF的長(zhǎng)為 ．
14．（2024·甘肅蘭州·中考真題）“輪動(dòng)發(fā)石車”是我國(guó)古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅(qū)動(dòng)部分的示意圖，其中⊙M，⊙N的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)⊙M順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí)，⊙N上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)n°，則n= ．
15．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，為便于研究圓錐與扇形的關(guān)系，小方同學(xué)利用扇形紙片恰好圍成一個(gè)底面半徑為5cm，母線長(zhǎng)為12cm的圓雉的側(cè)面，那么這個(gè)扇形紙片的面積是 cm2（結(jié)果用含π的式子表示）．
16．（2024·遼寧·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在BC上，AC=BD，E在BA的延長(zhǎng)線上，∠CEA=∠CAD．
(1)如圖1，求證：CE是⊙O的切線；
(2)如圖2，若∠CEA=2∠DAB，OA=8，求BD的長(zhǎng)．
17．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A與BC相切于點(diǎn)D．

(1)求圖中陰影部分的面積；
(2)設(shè)⊙A上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接CP，BP．當(dāng)CP的長(zhǎng)最大時(shí)，求BP的長(zhǎng)．
18．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1,3),B(3,4),C(1,4)．
(1)將△ABC向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得△A1B1C1，畫出平移后的圖形，并直接寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
(2)將△A1B1C1繞點(diǎn)B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A2B1C2．畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求點(diǎn)C1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C2所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．
19．（2024·青海·中考真題）如圖，直線AB經(jīng)過點(diǎn)C，且OA=OB，CA=CB．
(1)求證：直線AB是⊙O的切線；
(2)若圓的半徑為4，∠B=30°，求陰影部分的面積．
20．（2024·廣東·中考真題）綜合與實(shí)踐
【主題】濾紙與漏斗
【素材】如圖1所示：
①一張直徑為10cm的圓形濾紙；
②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗．
【實(shí)踐操作】
步驟1：取一張濾紙；
步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；
步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；
步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．
【實(shí)踐探索】
(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明．
(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留π）
第六章 圓
第29講 與圓有關(guān)的計(jì)算
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\l "_Tc189331105" ?題型01 利用弧長(zhǎng)公式求弧長(zhǎng)
\l "_Tc189331106" ?題型02 由弧長(zhǎng)公式或扇形面積公式求圓心角、半徑
\l "_Tc189331107" ?題型03 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度
\l "_Tc189331108" ?題型04 利用扇形面積公式計(jì)算扇形面積
\l "_Tc189331109" ?題型05 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積
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\l "_Tc189331114" ?題型10 圓錐的實(shí)際問題
\l "_Tc189331115" ?題型11 圓錐側(cè)面上最短路徑問題
?題型01 利用弧長(zhǎng)公式求弧長(zhǎng)
1．（2023·山東東營(yíng)·二模）如圖，用一個(gè)半徑為12cm的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了150°，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與輪滑之間沒有滑動(dòng)，則重物上升的高度為 cm．（結(jié)果保留π）
【答案】10π
【分析】本題考查求弧長(zhǎng)，根據(jù)題意，得到重物上升的高度為半徑為12cm，圓心角為150°的弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意：重物上升的高度為半徑為12cm，圓心角為150°的弧長(zhǎng)，
150π180×12=10π（cm）；
故答案為：10π．
2．（2023·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊AB=2，將正方形ABCD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形AB'C'D'（旋轉(zhuǎn)角小于90°），B'C'與CD相交于點(diǎn)E．若點(diǎn)B'恰好落在邊AB的垂直平分線上，則圖中CC'的長(zhǎng)度為 ．
【答案】223π
【分析】連接BB'，AC'，AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC=AC'，AB=AB'，∠BAB'=∠CAC'，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得AB'=BB'，從而可得△ABB'是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAB'=60°，從而可得∠BAB'=∠CAC'=60°，最后根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=2，∠ABC=90°，從而可得AC的長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：如圖，連接BB'，AC'，AC，
由旋轉(zhuǎn)得：AC=AC'，AB=AB'，∠BAB'=∠CAC'，
∵點(diǎn)B'恰好落在邊AB的垂直平分線上，
∴AB'=BB'，
∴AB=AB'=BB'，
∴△ABB'是等邊三角形，
∴∠BAB'=60°，
∴∠BAB'=∠CAC'=60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=2AB=22，
∴CC'?的長(zhǎng)度是nπR180=60×22π180=223π，
故答案為：223π．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）以AB為直徑的⊙O上三點(diǎn)A、B、C，作∠BAC的平分線AD交⊙O于D點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，若AB=4

（1）若∠ADE=3∠F，則CD的弧長(zhǎng)為 ．
（2）若DF=23，則tan∠ADE= ．
【答案】 4π5 3
【分析】（1）連接OC，OD，設(shè)∠F=x，則∠ADE=3x，根據(jù)垂直定義可得∠E=90°，從而可得∠EAF=90°?x，然后利用角平分線的定義可得∠DAE=12∠EAF=45°?12x，從而可得∠ADE=45°+12x，最后列出關(guān)于x的方程進(jìn)行計(jì)算，可求出∠DAE=36°，從而利用圓周角定理可得∠COD=72°，再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義可得AE∥OD，從而可得∠ODF=∠E=90°，然后在Rt△ODF中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得tanF=33，從而可得∠F=30°，進(jìn)而可得∠EAF=60°，再利用角平分線的定義可得∠EAD=30°，從而可得∠ADE=60°，即可解答．
【詳解】解：（1）連接OC，OD，

設(shè)∠F=x，
∵∠ADE=3∠F，
∴∠ADE=3x，
∴DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠EAF=90°?∠F=90°?x，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=12∠EAF=12(90°?x)=45°?12x，
∴∠ADE=90°?∠DAE=45°+12x，
∴45+12x=3x，
解得：x=18°，
∴∠DAE=45°?12x=36°，
∴∠COD=2∠DAE=72°，
∵AB=4，
∴OD=12AB=2，
∴CD的弧長(zhǎng)=72°×π×2180°=4π5，
故答案為：4π5；
（2）∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴AE∥OD，
∴∠ODF=∠E=90°，
在Rt△ODF中，OD=2，DF=23，
∴tanF=ODDF=223=33，
∴∠F=30°，
∴∠EAF=90°?∠F=60°，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=12∠EAF=30°，
∴∠ADE=90°?∠EAD=60°，
∴tan∠ADE=3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
?題型02 由弧長(zhǎng)公式或扇形面積公式求圓心角、半徑
4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·二模）扇形的弧長(zhǎng)為6π，半徑是12，該扇形的圓心角為 度．
【答案】90
【分析】設(shè)此扇形的圓心角為x°，代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：設(shè)此扇形的圓心角為x°，
由題意得，12πx180=6π，
解得，x=90，
故答案為：90．
【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)的公式l=nπr180是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）一個(gè)扇形的面積為10π，弧長(zhǎng)為10π3，則該扇形的圓心角的度數(shù)為 ．
【答案】100°/100度
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)和扇形面積關(guān)系可得S=12lR，求出R，再根據(jù)扇形面積公式求解.
【詳解】∵一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是10π3，面積是10π，
∴S=12lR，即10π=12×10π3R，解得：R=6，
∴S=10π=nπ×62360，解得：n=100°，
故答案為：100°．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算；弧長(zhǎng)的計(jì)算．熟記公式，理解公式間的關(guān)系是關(guān)鍵.
6．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知扇形的面積是43π，圓心角120°，則這個(gè)扇形的半徑是 ．
【答案】2
【分析】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，設(shè)該扇形的半徑是r，再根據(jù)扇形的面積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)該扇形的半徑是r，則
43π=120?π?r2360，
解得r=2．
故答案為：2．
?題型03 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度
7．（2023·遼寧大連·一模）如圖，將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A'OB'，AA'與OB'交于點(diǎn)C，若∠AOB=15°，OA=3，則AC的長(zhǎng)為 ．
【答案】π2/12π
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A'OB'=∠AOB=15°，∠AOA'=45°，∠AOC=∠AOA'?∠B'OA'=30°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．
【詳解】解：∵將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A'OB'，∠AOB=15°，
∴ ∠A'OB'=∠AOB=15°，∠AOA'=45°，
∴ ∠AOC=∠AOA'?∠B'OA'=30°，
∴ AC的長(zhǎng)為30π×3180=π2．
故答案為：π2．
8．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形的高是3厘米，正方形的邊長(zhǎng)是正三角形的2倍，木塊從圖①的位置開始，沿著木樁的邊緣滾動(dòng)，滾動(dòng)過程如圖②，圖③所示，木塊滾動(dòng)一周后回到原位置，那么正三角形正中心的點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長(zhǎng)度為 π=3．
【答案】44
【分析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．找出點(diǎn)A軌跡是解題的關(guān)鍵．利用弧長(zhǎng)公式，可以解決問題．
【詳解】解：如圖，
∵A1和A2都是正三角形的中心，
∴∠A1OC=∠A2OD=12×60°=30°，
∴∠A1OA2=120°，四個(gè)角上的弧所對(duì)圓心角為∠A3OA2=210°，OA1=OA2=23×3=2，
第1次滾動(dòng)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)軌跡是以圓心O、圓心角150°，AO為半徑的弧A1A2，
第2次滾動(dòng)，是以圓心O'、圓心角為210°，O'A2半徑的弧A2A3接下來運(yùn)動(dòng)類似，
如圖中虛線，
∴A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度=4120π×2180+210π?2180=443π≈44．
故答案為：44．
9．（2023·北京東城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0,A5,0，B4,?3．
(1)作出△OAB關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形△OA1B1（點(diǎn)A與點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)），并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
(2)將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA2B2，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B2，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA2B2，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)B經(jīng)過的路徑BB2的長(zhǎng)．
【答案】(1)圖見解析；點(diǎn)B1的坐標(biāo)為4,3；
(2)圖見解析；點(diǎn)B2的坐標(biāo)為?3,?4；
(3)點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng)BB2為52π
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，解決本題的關(guān)鍵是找到旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，理解旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧形．
（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)找到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1，連接O、A1、B1即可，觀察圖象直接得到B1的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2，連接O、A2、B2即可，觀察圖象直接得到B2的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BB2，求得弧BB2的半徑計(jì)算弧長(zhǎng)即可．
【詳解】（1）解：△OAB關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形△OA1B1如圖所示；
點(diǎn)B1的坐標(biāo)為4,3；
（2）解：旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA2B2如圖所示；
點(diǎn)B2的坐標(biāo)為?3,?4；
（3）解：由題可得OB=32+42=5，
∴ lBB2=90π×5180=52π，
∴點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng)BB2為52π．
?題型04 利用扇形面積公式計(jì)算扇形面積
10．（2023·浙江溫州·一模）若扇形的圓心角為150°，半徑為4，則該扇形的面積為 ．
【答案】203π
【分析】此題考查了扇形的面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，難度一般．
直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】由題意得，n=150°,r=4，
故可得扇形的面積S=nπr2360°=150°×π×42360°=203π．
故答案為：203π．
11．（2023·吉林白城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，連接BE，則扇形BAE的面積為 ．

【答案】23π
【分析】本題考查扇形的面積，解直角三角形，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解直角三角形求出∠CBE=30°，推出∠ABE=60°，再利用扇形的面積公式求解．解題的關(guān)鍵是求出∠CBE的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，
∵BA=BE=2，BC=3，
∴CE=BE2?BC2=1，則sin∠CBE=ECBE=12，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=90°?30°=60°，
∴S扇形BAE=60?π?22360=23π，
故答案為：23π．
12．（2023·浙江麗水·模擬預(yù)測(cè)）小明用長(zhǎng)為4m鐵絲均分后圍成如圖所示的模型，該模型由四個(gè)形狀、大小完全一樣的扇環(huán)組成，O為圓心．
（1）若∠O=60°，A為OB的中點(diǎn)，則AB長(zhǎng)為 m；
（2）若使得模型的面積最大，則AB的值為 m.
【答案】 1π+2 14/0.25
【分析】本題為二次函數(shù)應(yīng)用題，主要考查扇形的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算，正確記憶公式是解題關(guān)鍵．
（1）由1=2r+60×πr180+60×π×2r180，即可求解；
（2）每個(gè)扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，由S=π360?θ?R2?r2，即可求解．
【詳解】解：（1）設(shè)每個(gè)扇環(huán)的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L=1，設(shè)OA=AB=rm，
則1=2r+60×πr180+60×π×2r180，
解得：r=1π+2，
故答案為：1π+2；
（2）每個(gè)扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，設(shè)每個(gè)扇環(huán)的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L=1，設(shè)OB=CO=R，OD=r，
根據(jù)題意得：L=θπR180+θπr180+2R?r，
則θ=180L?2R?rπR+r，
∴S=π360?θ?R2?r2
=π360?180L?2R?rπ（R?r）?R2?r2
=12L?2R?r×R?r
=?[R?r?L4]2+L216
?1

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