（考試時間：120分鐘滿分：150分）
注意事項：
1.考生將自己的姓名、準考證號及所有的答案均填寫在答題卡上.
2.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求.請把答案填涂在答題卡上.
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的面積是（ ）
A.B.C.D.
3.已知a，b，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若且，則B.若，則
C.若，則D.若，則
4.若冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域是（ ）
A.B.C.D.
5.美國生物學家和人口統(tǒng)計學家雷蒙德?皮爾提出一種能較好地描述生物生長規(guī)律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡化為的形式.已知描述的是一種植物的高度隨著時間（單位：年）變化的規(guī)律.若剛栽種時該植物的高為1米，經(jīng)過一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過2.8米，至少需要（ ）年.
A.3B.4C.5D.6
6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于直線對稱，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.B.是奇函數(shù)
C.在上單調(diào)遞增D.
7.已知，，且，則的最小值是（ ）
A.B.4C.D.5
8.已知函數(shù)若的值域為，則實數(shù)c的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.請把答案填涂在答題卡上.
9.已知函數(shù)的圖像由如圖所示的兩段線段組成，則（ ）
（第9題圖）
A.
B.不等式的解集為
C.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2
D.的解析式可表示為：
10.下列命題正確的是（ ）
A.命題“，使得”的否定是“，都有”
B.若，則
C.在中，“”是“”的充要條件
D.若，則
11.已知，，則（ ）
A.B.
C.D.
12.已知在上是單調(diào)函數(shù)，對任意滿足，且.設(shè)函數(shù)，，則（ ）
A.函數(shù)是偶函數(shù)
B.若函數(shù)在上存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍為
C.函數(shù)的最大值為1
D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知函數(shù)且，寫出滿足條件的的一個值______.
14.已知，則______.
15.已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，其中，若，則______.
16.已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對于任意實數(shù)a，b滿足，若，則______.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本題滿分10分）
在①角的終邊與單位圓的交點為；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答問題.
已知，且，______.
（1）求的值；
（2）求的值.
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
18.（本題滿分12分）
已知二次函數(shù)，對任意都有，且.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若對于，不等式恒成立，求x的取值范圍.
19.（本題滿分12分）
某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，k是正的常數(shù).如果在前5h消除了10%的污染物，那么
（1）10h后還剩百分之幾的污染物；
（2）污染物減少50%需要花多少時間（精確到1h）.
參考數(shù)據(jù)：，.
20.（本題滿分12分）
已知函數(shù)是偶函數(shù).
（1）求實數(shù)的值；
（2）設(shè)函數(shù)，，若對任意，總存在使得，求實數(shù)b的取值范圍.
21.（本題滿分12分）
已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其最小正周期與函數(shù)相同.
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)，，證明：有且只有一個零點，且.
22.（本題滿分12分）
已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)在為增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）當時，，，函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)a的取值范圍.
龍巖市2023～2024學年第一學期期末高一教學質(zhì)量檢查
數(shù)學參考答案
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
8．解：函數(shù)，當時，，當時，，
而，即有，依題意 ，又，則有，
當時，函數(shù)在上的取值集合為，不符合題意，
于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，有，因此，
所以實數(shù)的取值范圍是.
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
12．解：因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，
又對任意，都有，所以當時，取得最大值.
因為在是單調(diào)函數(shù)，所以得，
所以，又因為函數(shù)在時取得最大值，
所以．
因為，所以，則.
因為函數(shù)，所以，
A．為奇函數(shù)，故A錯誤.
B. 函數(shù)在時取得最大值，又因為，周期，
所以時，函數(shù)在取得最大值，
則實數(shù)的取值范圍為，故B正確．
C．，且，故C正確.
D．若的圖象關(guān)于直線對稱，
只要證對定義域內(nèi)的都成立，取，，
但 所以，矛盾，
所以的圖象不關(guān)于直線對稱. 故D錯誤．
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（寫出或的其中一個值即可）
14．5
15． 或
16．
解：當時，，
當時，，可得，則；
當時，，則.
函數(shù)的定義域為，令時，，
得，所以函數(shù)是奇函數(shù).
令得，，
又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以.
四、解答題（本大題共6小題，共70分）
17．（本題滿分10分）
解：選條件①：因為的終邊與單位圓的交點為，
可得為銳角，所以，1分
所以由三角函數(shù)的定義可得. 2分
選條件②：
因為為銳角，所以；1分
又因為，得.2分
選條件③：因為，，
所以得
又因為銳角，所以，1分
2分
（1）4分
. 5分
（2），
.7分
，. 10分
18．（本題滿分12分）
解：（1）在中，，所以. 2分
又因為，所以函數(shù)的對稱軸，
解得：，4分
所以. 6分
（2）由（1）得，
若對于，不等式恒成立，
即對恒成立.
又因為，
令，
則在單調(diào)遞增，8分
只需，
所以，10分
所以的取值范圍是. 12分
19．（本題滿分12分）
解：（1）∵，依題意得：當時，；當時，，
∴，2分
即，所以， 4分
那么10小時后的污染物含量為，
故10小時后還剩81％的污染物. 6分
（2）令，得. ①8分
又，得. ②10分
由①②得.
故污染物減少50%需要花33小時. 12分
20．（本題滿分12分）
解：（1）因為是偶函數(shù)，所以對于任意的實數(shù)，有，
所以對任意的實數(shù)恒成立，2分
即恒成立，5分
所以，即. 6分
（2）因為在上單調(diào)遞增，
所以時，，7分
時，. 8分
又因為對任意，總存在使得，
所以的值域是值域的子集，
即，9分
解得：，11分
所以實數(shù)的取值范圍為. 12分
21.（本題滿分12分）
解:（1）…1分
3分
因為函數(shù)最小正周期與函數(shù)相同,且函數(shù)的周期為,所以.又因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以,
因為,所以,
所以.4分
由,
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是6分
（2）證明:①當時，函數(shù)
在(0,2]上單調(diào)遞增，因為7分
所以根據(jù)零點存在定理，使得
故在上有且只有一個零點. 8分
②當時,因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
9分
③當時, 因為單調(diào)遞增，
所以，
綜上：有且只有一個零點，且. 10分
因為，
所以，
在上單調(diào)遞減， 11分
，. 12分
22. （本題滿分12分）
解：（1）任取，則，1分
，3分
因為函數(shù)在上為增函數(shù)，且時，，
所以由可得,即，4分
，，則，，
因此，實數(shù)的取值范圍是. 5分
（2）當時，.
令，
因為在上單調(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，6分
因為在區(qū)間上的值域為
，
所以
即. 8分
令（因為，所以），
易知，關(guān)于的方程在上有兩個不等實數(shù)根，
等價于關(guān)于的方程在有兩個不等實數(shù)根，
（時，，）10分
令，
則，解得，
所以的取值范圍是. 12分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
B
C
C
D
A
題號
9
10
11
12
答案
BD
ABD
ACD
BC

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