（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知全集，集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
2．復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A． B． C． D．
3．已知為等比數(shù)列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為3，則等于（ ）
A． B． C． D．
4．己知正三棱臺的上，下底面的邊長分別為6和12，且棱臺的側(cè)面與底面所成的二面角為，則此三棱臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．設(shè)直線與圓交于A，B兩點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．脫胎漆器、油紙傘、角梳并稱為“福州三寶”，名揚海內(nèi)外，福州油紙傘的制作工藝非常巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動如圖2，傘完全收攏時，傘圈D已滑到的位置，且三點共線，，B為的中點，當(dāng)傘從完全張開到完全收找，傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為，則當(dāng)傘完全張開時，的余弦值是（ ）
圖1 圖2
A． B． C． D．
7．已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線l與E的右支交于點P，Q設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別是M，N，直線OM，ON的斜率分別是，則，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
8．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的不等式有且只有三個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。
9．下列說法正確的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為
B，“”是“直線與直線平行”的充要條件
C．若正數(shù)a，b滿足，且，則
D．已知為兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，若，則
10．已知為數(shù)列的前n項和，，若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則（ ）
A．常數(shù)數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．為遞減數(shù)列 D．是等差數(shù)列
11．在三棱錐中，已知，棱AC，BC，AD的中點分別是E，F(xiàn)，G，，則（ ）
A．過點E，F(xiàn)，G的平面截三棱錐所得截面是菱形
B．平面平面BCD
C．異面直線AC，BD互相垂直
D．三棱錐外接球的表面積為
12．已知拋物線的焦點為F，拋物線上的點到點F的距離為4，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓交y軸于M，N兩點，設(shè)線段AB的中點為P，則（ ）
A． B．的取值范圍為
C．若，則直線l的斜率為 D．有最大值
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知，則__________．
14．寫出一個同時滿足下列性質(zhì)①②③的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________．
①中心在原點，焦點在y軸上；②離心率為；③焦距大于8．
15．已知的半徑是1，點P滿足，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，設(shè)，則當(dāng)___________時取得最大值．
16．已知正四面體ABCD的棱長為2，P為AC的中點，E為AB中點，M是棱DP上的動點，N是平面ECD內(nèi)的動點，則當(dāng)取得最小值時，線段DN的長度等于___________．
四、解答題：本題共6小題，共70分，17題10分，其他小題各12分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求的大??；
（2）若，直線PQ分別交AB，BC于P，Q兩點，且PQ把的面積分成相等的兩部分，求的最小值．
18．己知數(shù)列的前n項積為，且．
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）從中最次取出第1項，第2項，第4項……第項，按原來順序組成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．
19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點．
（1）求證：；
（2）試求BF的長，使平面AEF與平面PCD夾角的余弦值為．
20某公司食堂每天中午給員工準(zhǔn)備套餐，套餐只有A、B、C三種，公司規(guī)定：每位員工第一天在3個套餐中任意選一種，從第二天起，每天都是從前一天沒有吃過的2種套餐中任意選一種．
（1）若員工甲連續(xù)吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A”的概率；
（2）設(shè)員工甲連續(xù)吃了5天的套餐，其中選擇“套餐B”的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
21．己知橢圓的上、下頂點分別是A，B，點E（異于A，B兩點）在橢圓C上，直線EA與EB的斜率之積為，橢圓C的短軸長為2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點Q是橢圓C長軸上的不同于左右頂點的任意一點，過點Q作斜率不為0的直線l，l與橢圓的兩個交點分別為P，N，若為定值，則稱點Q為“穩(wěn)定點”，問：是否存在這樣的穩(wěn)定點？若有，求出所有的“穩(wěn)定點”；若沒有，請說明理由．
22．已知函數(shù)有兩個不同的零點，分別記為m，n，且．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式恒成立（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求正數(shù)k的取值范圍．

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