考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 雙曲線的定義及應(yīng)用
【例1-1】（2022·潮州二模）若點P是雙曲線上一點，，分別為的左、右焦點，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由題意可知，，，，
若，則，或1（舍去），
若，，或13，
故“”是“”的充分不必要條件．故答案為：A．
【例1-2】（2022·成都模擬）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時，面積為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵雙曲線，
∴，又點P在雙曲線C的右支上，，
所以，，即，
又，∴面積為.故答案為：B.
【例1-3】（2022常州期中）已知雙曲線的右焦點為，為雙曲線左支上一點，點，則周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】曲線右焦點為，周長 要使 周長最小，只需 最小，如圖：
當(dāng) 三點共線時取到，故l=2|AF|+2a= 故答案為：B
【例1-4】（2021河北月考）已知方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】因為方程表示雙曲線，
所以當(dāng)，即時，，可得；
當(dāng)，即時，，可得.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或。故答案為：C
【一隅三反】
1．（2022高三上·廣東開學(xué)考）“kBC，
因為以A，B為焦點的雙曲線經(jīng)過點C所以AC-BC=2a，AB=BC=2c，
在三角形ABC中由余弦定理得，即，解得AC2=12c2，所以，所以，所以.
故選：C
【例2-3】（2022·重慶市模擬）已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，點在軸上，為等邊三角形，且線段的中點恰在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，設(shè) ， ，設(shè)線段 的中點為 ，則 在雙曲線C的右支上，
又 為等邊三角形，所以 ，所以 ，所以
連接 ，則在等邊三角形 中 ，且 ，
所以 ，所以 ，即雙曲線 的離心率為 .
故答案為：C.
【一隅三反】
1．（2022·湖南模擬）已知O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，過雙曲線C的右頂點且垂直于x軸的直線與雙曲線C的一條漸近線交于A點，若以F為圓心的圓經(jīng)過點A，O，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知，點的坐標(biāo)為，故，
因為以F為圓心的圓經(jīng)過點A，O，所以，則△為等邊三角形，
所以，則，所以雙曲線C的漸近線方程為.故答案為：A
2．（2022高三上·廣西開學(xué)考）已知 ， 是雙曲線C的兩個焦點，P為雙曲線上的一點，且 ；則C的離心率為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】 。 故答案為：B
3．（202懷仁期末）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使 （為坐標(biāo)原點），且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，所以，
設(shè)，則，
因為，所以可得，
因為，所以，則，
所以，
故答案為：D
4（2022德州月考）已知雙曲線 的左?右焦點分別為 ，曲線 上一點 到 軸的距離為 ，且 ，則雙曲線 的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】作 軸于 ，如圖，依題意 ， ，則 ，
令 ，由 得： ，
由雙曲線定義知 ，而 ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得： ，即 ，又因為離心率 ，于是有 ，
所以雙曲線 的離心率為 。
故答案為：B
5．（2022遼寧期中）（多選）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，是雙曲線上一點，若，則該雙曲線的離心率可以是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A,B
【解析】是雙曲線右支上一點，則有，又，
則有，即，則雙曲線的離心率取值范圍為
AB符合題意；CD不符合題意.故答案為：AB
考點三 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例3-1】（2022·海寧模擬）已知雙曲線C的漸近線方程為，且焦距為10，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】漸近線方程為的雙曲線為，即，故，故， 故答案為：C．
【例3-2】（2022·河西模擬）已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，且雙曲線上的一點到雙曲線的兩個焦點的距離之差的絕對值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為的焦點為，故雙曲線的焦點在軸上， 故設(shè)雙曲線方程為，則；由雙曲線定義知：，解得；故可得；則雙曲線方程為：.
故答案為：C.
【一隅三反】
1．（2022·河南模擬）已知雙曲線的一條漸近線過點，是的左焦點，且，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，點在一條漸近線上，如圖示：
所以，則，且兩條漸近線的傾斜角分別為60°，120°，則 ，
又，（為坐標(biāo)原點），所以為等邊三角形，從而，
由，，解得，，所以雙曲線的方程為，
故答案為：A.
2（2021高三上·寧波期末）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線， 且它們的離心率不相同， 則下列方程中有可能為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】雙曲線中，，則漸近線方程為，離心率為。
對于A，，則離心率，故A錯誤；
對于B，，則漸近線方程為，故B錯誤；
對于C，，則離心率，故C錯誤；
對于D，，則漸近線方程為，離心率，故D正確。
故選：D
3（2022南山期末）已知雙曲線C過點 且漸近線為 ，則雙曲線C的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可設(shè)雙曲線的方程為，即3x2-y2=λ
將點 代入上式，得則雙曲線的方程為3x2-y2=1 故答案為：A
4．（2022商丘）若方程表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方程可化為，它表示雙曲線，則，解得.
故答案為：A．
5．（2021肇東月考）以 ， 為焦點且過點 的雙曲線方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意得，
則， 則 雙曲線方程是 ， 故答案為：A
考點四 直線與雙曲線的位置關(guān)系
【例4-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】D
【解析】當(dāng)斜率不存在時，過的直線與雙曲線沒有公共點；
當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線為，聯(lián)立，得①.
當(dāng)，即時，①式只有一個解；
當(dāng)時，則，解得；
綜上可知過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有4條.
故選：D.
【例4-2】（2022·全國·專題練習(xí)）若過點的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點，則直線斜率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可得直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，
設(shè)交點，聯(lián)立可得，
由題意可得解得：，故選：D．
【一隅三反】
1．（2022·安徽）直線與雙曲線沒有公共點，則斜率k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】聯(lián)立直線和雙曲線：，消去得，
當(dāng)，即時，此時方程為，解得，此時直線與雙曲線有且只有一個交點；
當(dāng)，此時，
解得或，所以時直線與雙曲線無交點；
故選：A
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線的一個頂點為A，過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，則該雙曲線的焦距為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】斜率為，過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，
則該直線與雙曲線的漸近線平行，且過雙曲線右頂點(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距為2c=．故選：D．
考點五 弦長與中點弦
【例5-1】（2021·江西?。┮阎p曲線x2－y2＝a2（a＞0）與直線y＝x交于A、B兩點，且｜AB｜＝2，則a ＝_____
【答案】3
【解析】由題設(shè)，不妨設(shè)，則，且，
所以，可得.
故答案為：3
【例5-2】（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點，為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則與的斜率的乘積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，，
則，兩式作差，并化簡得，
，
所以，
因為為線段的中點，即
所以，
即，由，得.
故選：B.
【一隅三反】
1．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線，過點的直線l與雙曲線C交于M?N兩點，若P為線段MN的中點，則弦長|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：
設(shè)，則，所以，解得，
則，.
弦長|MN|.
故選：D.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點分別為過左焦點作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點，P是AB的中點，O為坐標(biāo)原點，若直線OP的斜率為，則b的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)、，則，，
兩式相減可得，
為線段的中點，，，
，又，，
，即，，
故選：D.
3．（2022·山東煙臺·三模）過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】妨設(shè)過雙曲線的焦點且斜率不為0的直線為，令
由，整理得
則，
則，由，可得
則有，即，則雙曲線的離心率
故選：D
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由F、N兩點的坐標(biāo)得直線l的斜率．
∵雙曲線一個焦點為(-2，0)，∴c=2．
設(shè)雙曲線C的方程為，則．
設(shè)，，則，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴雙曲線C的離心率．
故選：B．
5．（2022·四川?。┮阎行脑谠c的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（，0）．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l：y＝x+2與雙曲線交于A，B兩點，求弦長|AB|．
【答案】(1)y2＝1(2)2
【解析】(1)由已知得a，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以雙曲線C的方程為y2＝1．
(2)由直線與雙曲線聯(lián)立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±,
,∴|AB|2．

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