A．4B．4或6C．3D．3或7
【答案】D
【解析】由雙曲線定義知：，而，又且，
∴3或7，故答案為：D.
2．（2022郫都期中）雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 ， ，雙曲線上一點(diǎn) 到 的距離為11，則點(diǎn) 到 的距離為（ ）
A．1B．21C．1或21D．2或21
【答案】B
【解析】不妨設(shè) ， 分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，
當(dāng)P在雙曲線的左支時(shí)，由雙曲線的定義可知， ，又 =11，所以 ，當(dāng)P在雙曲線的右支時(shí)，由雙曲線的定義可知， ，又 =11，所以 ，又 ，所以右支上不存在滿足條件的點(diǎn)P.故答案為：B.
3．（2021懷仁期中）已知 ， 是雙曲線 的左右焦點(diǎn)，過(guò) 的直線 與曲線 的右支交于 兩點(diǎn)，則 的周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由雙曲線 可知：
的周長(zhǎng)為 .
當(dāng) 軸時(shí)， 的周長(zhǎng)最小值為
故答案為：C
4．（2022奉賢期中）已知 是雙曲線 右支上的一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為 . 設(shè) 分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若 ，則 .
【答案】5
【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為3x-y=0 ，即y=3x=，所以，解得a=1，
根據(jù)雙曲線定義P是雙曲線 右支上的一點(diǎn)， 滿足|PF1|-|PF2|=2a= 2，
所以|PF1|=|PF2|+2=5.故答案為：5
5．（2022·開(kāi)封模擬）若雙曲線的焦距為，則實(shí)數(shù) ．
【答案】4或
【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，可得解得；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，可得解得．
所以或．故答案為：4或
6．（2022·岳普湖模擬）已知雙曲線，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上且在第一象限，圓M是△F1PF2的內(nèi)切圓.則M的橫坐標(biāo)為 ，若F1到圓M上點(diǎn)的最大距離為，則△F1PF2的面積為 .
【答案】1；
【解析】雙曲線的方程為，則.
設(shè)圓 分別與 相切于 ，
根據(jù)雙曲線的定義可知 ，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知 ①，
而 ②. 由①②得： ，所以 ，
所以直線 的方程為 ，即 的橫坐標(biāo)為 .
設(shè) 的坐標(biāo)為 ，則 到圓M上點(diǎn)的最大距離為 ，
即 ，解得 .
設(shè)直線 的方程為 ，即 .
到直線 的距離為 ，解得 .
所以線 的方程為 .
由 且 在第一象限，解得 .
所以 ， .
所以△F1PF2的面積為 .
故答案為：1；
7．（2021溫州期中）已知雙曲線x2-y2 =1，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若P F1⊥PF2，則∣P F1∣+∣P F2∣的值為 .
【答案】
【解析】∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∵雙曲線方程為x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P為雙曲線x2﹣y2=1上一點(diǎn)，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值為
故答案為
題組二 雙曲線的離心率及漸近線
1．（2021高三上·南開(kāi)期末）已知雙曲線，過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接、，如下圖所示：
由題意可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，也為的中點(diǎn)，且，
則四邊形為矩形，故，由已知可知，
由直角三角形的性質(zhì)可得，故為等邊三角形，故，
所以，，
由雙曲線的定義可得，所以，.
故答案為：A.
2．（2022湖南月考）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，且，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】∵，O為的中點(diǎn)，∴△為直角三角形，
設(shè)，
則，則，
∴，∴e＝.
故答案為：B.
3．（2021·全國(guó)甲卷）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cs60° 解得所以故答案為：A
4．（2022·靖遠(yuǎn)模擬）若雙曲線的兩條漸近線與直線y＝2圍成了一個(gè)等邊三角形，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】由題意得：漸近線方程的斜率為， 又漸近線方程為，所以，
所以C的離心率為故答案為：D
5．（2022·新鄉(xiāng)三模）已知雙曲線的頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為實(shí)軸長(zhǎng)的，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】因?yàn)殡p曲線C的頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為，
所以，所以，所以，雙曲線C的離心率.
故答案為：B
6．（2022·湘贛皖模擬）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上一點(diǎn)P到x軸的距離為c，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作軸于M，依題意，
則 ，則為等腰直角三角形，令 ，則 ，由雙曲線定義知 ．而，在中 ，
解得：，雙曲線離心率，則．故答案為：C．
7．（2022·濟(jì)南二模）已知 ， 分別為雙曲線 的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若 ， ，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】不妨假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線右支上，則 ，
由于 ， ，故 ，
故 ，
而 ，
故 ，
故答案為：
8．（2022·汝州模擬）已知雙曲線 的兩條漸近線所夾銳角為 ，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】由于 ，雙曲線的漸近線方程為 ， ，
所以雙曲線的漸近線與 軸夾角小于 ，由 ，得 ，
則雙曲線的離心率 ．
故答案為：
題組三 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．（2022·安徽模擬）與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】橢圓 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，
由雙曲線的定義可得 ，
， ， ，因此，雙曲線的方程為 。
故答案為：C.
2．（2022合肥期末）已知點(diǎn)分別是等軸雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，的面積為8，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，是的中點(diǎn)，所以，
，則，，解得，
所以雙曲線方程為．故答案為：D．
3．（2022資陽(yáng)期末）已知雙曲線過(guò)三點(diǎn)，，中的兩點(diǎn)，則的方程為 .
【答案】
【解析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，
點(diǎn)，在雙曲線圖像上，將其代入雙曲線方程，所以解得
所以雙曲線C：，故答案為：.
4．（2022徐匯期末）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其漸近線方程為，則該雙曲線的方程為 ．
【答案】
【解析】考慮到雙曲線的實(shí)軸可能在x軸，也可能在y軸，分別設(shè)雙曲線方程如下：
實(shí)軸在x軸時(shí)，設(shè)雙曲線方程為： ，則有 …①
其漸近線方程為 ，即 …②
聯(lián)立①②，解得 ，雙曲線方程為 ；
實(shí)軸在y軸時(shí)，設(shè)雙曲線方程為 ，則有…③
其漸近線方程為 ，即 …④
聯(lián)立③④，無(wú)解；
故答案為： .
5．（2022河南月考）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為 ．
【答案】
【解析】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，
∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即。
答案：。
6．（2022·湖北模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為 .
【答案】
【解析】因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，所以，所以，
由雙曲線的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，則，，得，所以曲線的方程為，故答案為：
7．（2022·遼寧模擬）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】【解答】因?yàn)闈u近線方程為，所以，一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，所以， 故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：
8．（2022·寧德模擬）若過(guò)點(diǎn)的雙曲線的漸近線為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
【答案】
【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線為， 故設(shè)其方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，，即所求方程為.故答案為：
9．（2022·廣州模擬）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的雙曲線方程 ．
①中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上；②一條漸近線方程為﹔③焦距大于10
【答案】（答案不唯一，寫(xiě)出一個(gè)即可）
【解析】由①中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上知，可設(shè)雙曲線方程為：
由②一條漸近線方程為知，，即
由③知，，即，
則可取（此處也可取大于的其他數(shù)）
又，，
則同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的一個(gè)雙曲線方程為：
故答案為：（答案不唯一， 寫(xiě)出一個(gè)即可）.
題組四 直線與雙曲線的位置關(guān)系
1．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知直線l的方程為，雙曲線C的方程為.若直線l與雙曲線C的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】聯(lián)立整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，
所以，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：D.
2．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）直線與雙曲線上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】2
【解析】由，可得，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以直線與雙曲線上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．
故答案為：2
3．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】，
【解析】由，消得
即，解得或
代入直線得或，所以直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
故答案為：，
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)____.
【答案】
【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，
因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)且與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，
故需滿足，
故答案為：
5．（2022·全國(guó)· 專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)____.
【答案】1
【解析】聯(lián)立方程可得，消可得，即，故，
故方程組有且只有一組解，故雙曲線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).故答案為：1
6．（2022·四川·仁壽一中 ）若直線與雙曲線始終只有一個(gè)公共點(diǎn)，則取值范圍是_____________.
【答案】
【解析】由，消可得，當(dāng)或，解得或，故答案為：
7．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則k的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】聯(lián)立消去y：，，
得到，又直線不與漸近線平行，
所以.
故答案為：.
題組五 弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦
1．（2022·四川·射洪中學(xué) ）直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)锳B的中點(diǎn)，則有，
又點(diǎn)A，B在雙曲線上，則，即，
則l的斜率，此時(shí)，直線l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以l的斜率為2.故選：C
2．（2022·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線：被斜率為的直線截得的弦的中點(diǎn)為則雙曲線的離心率為 ______.
【答案】
【解析】設(shè)，則，
將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得：；
將上述兩式相減可得：
即，也即
所以，即
故答案為：
3．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，
所以．
故答案為：
4．（2021·云南）已知雙曲線3x2﹣y2＝3，過(guò)P（2，1）點(diǎn)作一直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若P為AB的中點(diǎn)．
(1)求直線AB的方程；
(2)求弦AB的長(zhǎng)．
【答案】(1)6x﹣y﹣11＝0
(2)
【解析】(1)設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，1），則3x12﹣y12＝3，3x22﹣y22＝3，
兩式相減得6（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，從而直線的斜率為6，
故所求直線方程為6x﹣y﹣11＝0；
(2)6x﹣y﹣11＝0與雙曲線3x2﹣y2＝3聯(lián)立，消去y，可得33x2﹣132x+124＝0，
∴x1+x2＝4，x1x2，
所以== ．
5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)?分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且也為拋物線的的焦點(diǎn)，若點(diǎn)，，是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).
(1)雙曲線C的方程；
(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點(diǎn)，求.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：拋物線的焦點(diǎn)為，所以，即，，又點(diǎn)，，是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以，即，又，所以，所以雙曲線方程為.
（2）解：依題意設(shè)，，由消去整理得，由，所以，，所以.
6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線.
(1)求證：與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
(2)求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)，
【解析】(1)
由雙曲線方程知：，則，
由得：，則，
與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
(2)
設(shè)，，
由（1）得：，，；
；
.

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