TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc160706650" 類型一 數(shù)式規(guī)律
\l "_Tc160706651" 題型01 記數(shù)類規(guī)律
\l "_Tc160706652" 題型02 系數(shù)規(guī)律
\l "_Tc160706653" 題型03 等式類規(guī)律
\l "_Tc160706654" 題型04 數(shù)陣類規(guī)律
\l "_Tc160706655" 題型05 末尾數(shù)字規(guī)律
\l "_Tc160706656" 題型06 楊輝三角
\l "_Tc160706657" 題型07 與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題
\l "_Tc160706658" 類型二 圖形規(guī)律
\l "_Tc160706659" 題型01 圖形固定累加型
\l "_Tc160706660" 題型02 圖形漸變累加型
\l "_Tc160706661" 題型03 圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加型
\l "_Tc160706662" 題型04 圖形循環(huán)規(guī)律
\l "_Tc160706663" 題型05 與幾何圖形有關(guān)的規(guī)律探索
\l "_Tc160706664" 類型三 函數(shù)規(guī)律
\l "_Tc160706665" 題型01 函數(shù)圖象規(guī)律
\l "_Tc160706666" 題型02 函數(shù)上點(diǎn)的規(guī)律
\l "_Tc160706667" 題型03 函數(shù)圖象與幾何圖形的規(guī)律
\l "_Tc160706668" 類型四 新定義類規(guī)律
類型一 數(shù)式規(guī)律
關(guān)于數(shù)式規(guī)律性問題的一般解題思路：
(1)先對給出的特殊數(shù)式進(jìn)行觀察、比較;
(2)根據(jù)觀察猜想、歸納出一般規(guī)律;
(3)用得到的規(guī)律去解決其他問題
1.數(shù)字猜想型:數(shù)字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問題。
2.數(shù)式規(guī)律型:數(shù)式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論,以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.
題型01 記數(shù)類規(guī)律
1．（2023·浙江衢州·?？家荒＃┯^察下列數(shù)據(jù)：0，3，8，15，24，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第201個(gè)數(shù)據(jù)是（ ）
A．40400B．40040C．4040D．404
2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為12，45，710，1017……按此規(guī)律排列，則第30個(gè)數(shù)是 ．
3．（2020·西藏·統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數(shù)：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1，第2個(gè)相同的數(shù)是7，…，若第n個(gè)相同的數(shù)是103，則n等于（ ）
A．18B．19C．20D．21
4．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正偶數(shù)2，4，6，8，10，……，按如下規(guī)律排列，
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
則第27行的第21個(gè)數(shù)是 ．
題型02 系數(shù)規(guī)律
5．（2023·四川成都·?？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：x、?2x2、4x3、?8x4、16x5、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．?256x9B．256x9C．?512x9D．512x9
6．（2020·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a，?2a，4a，?8a，16a，?32a，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．?2n?1aB．?2naC．2n?1aD．2na
7．（2023·云南昆明·昆明八中?？既＃┌匆欢ㄒ?guī)律排列的單項(xiàng)式：?x，3x2，?5x3，7x4，?9x5，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．2n?1(?x)nB．2n+1(?x)nC．2n+1xnD．2n?1xn
題型03 等式類規(guī)律
8．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）觀察下面的等式：32?12=8×1,52?32=8×2,72?52=8×3,92?72=8×4,?
(1)寫出192?172的結(jié)果．
(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）
(3)請運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．
9．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：2×1+12=2×2+12?2×22，
第2個(gè)等式：2×2+12=3×4+12?3×42，
第3個(gè)等式：2×3+12=4×6+12?4×62，
第4個(gè)等式：2×4+12=5×8+12?5×82，
……
按照以上規(guī)律．解決下列問題：
(1)寫出第5個(gè)等式：________；
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
10．（2022·安徽淮南·統(tǒng)考二模）（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計(jì)算結(jié)果：
①13=1；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…
（2）深入探究，觀察下列等式：
①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…
根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容：
1+2+3+?+n+(n+1)=__________．
（3）拓展應(yīng)用，通過以上初步感知與深入探究，計(jì)算：
①13+23+33+…+993+1003；
②113+123+133+…+193+203．
題型04 數(shù)陣類規(guī)律
11．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)202023若排在第a行b列，則a?b的值為( )
11
12 21
13 22 31
14 23 32 41
……
A．2003B．2004C．2022D．2023
12．（2018·湖北十堰·中考真題）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是（ ）
123256722310???
A．210B．41C．52D．51
13．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：
請根據(jù)上述規(guī)律解答下面的問題：
(1)第6行有______個(gè)數(shù)；第n行有______個(gè)數(shù)（用含n的式子表示）；
(2)若有序數(shù)對n，m表示第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)，如3，2表示6．
①求11，20表示的數(shù)；②求表示2023的有序數(shù)對．
題型05 末尾數(shù)字規(guī)律
14．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個(gè)位數(shù)字是（ ）
A．8B．6C．4D．2
15．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得70+71+72+?+72023的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
16．（2022·湖南湘西·校考模擬預(yù)測）觀察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，???，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，則21+22+23+24+???+22022的末尾數(shù)字是（ ）
A．0B．2C．4D．6
題型06 楊輝三角
17．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出如圖，此表揭示了a+bn（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，例如：
a+b1=a+b，展開式有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1；
a+b2=a2+2ab+b2，展開式有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1；
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，展開式有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1；
…
根據(jù)以上規(guī)律，（a＋b）4展開式共有五項(xiàng)，系數(shù)分別為 ．
18．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）1261年，我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，(a+b)7展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 ．
19．（2022下·重慶·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位于世界前列，其中楊輝三角（如圖）就是一例．這個(gè)三角形給出了a+bn（n=1,2,3,4,5,6…）的展開式（按a的次數(shù)由大到小順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)a+b2=a2+2ab+b2展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的五個(gè)數(shù)1，4，6，4，1，恰好對應(yīng)著a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展開式中各項(xiàng)的系數(shù)等等．有如下結(jié)論：①“楊輝三角”中第9行所有數(shù)之和1024；②“楊輝三角” 中第20行第3個(gè)數(shù)為190；③a+b3=a3?3a2b?3ab2+b3；④993+3×992+3×99+1的結(jié)果是106；⑤當(dāng)代數(shù)式a4+8a3+24a2+32a+16的值是1時(shí)，a的值是?1或?3．上述結(jié)論中，正確的有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
20．（2022·重慶巴南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“楊輝三角”給出了(a+b)n展開式的系數(shù)規(guī)律（其中n為正整數(shù)，展開式的項(xiàng)按a的次數(shù)降幕排列），它的構(gòu)造規(guī)則是：兩腰上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和．例如：(a+b)2=a2+2ab+b2展開式的項(xiàng)的系數(shù)1，2，1與“楊輝三角”第三排對應(yīng)：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式的項(xiàng)的系數(shù)1，3，3，1．與“楊輝三角”第四排對應(yīng)；依此類推……判斷下列說法正確的是（ ）
①“楊輝三角”第六排數(shù)字依次是：1，5，10，10，5，1；
②當(dāng)a=2,b=?1時(shí)，代數(shù)式a3+3a2b+3ab2+b3的值為?1；
③(a+b)2022展開式中所有系數(shù)之和為22022；
④當(dāng)代數(shù)式a4?8a3+24a2?32a+16的值為1時(shí)，a=1或3．
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
題型07 與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題
21．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）觀察下列一組數(shù)：2，12，27，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個(gè)數(shù)記為an，且滿足1an+1an+2=2an+1．則a4= ，a2022= ．
22．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）已知a1為實(shí)數(shù)﹐規(guī)定運(yùn)算：a2=1?1a1，a3=1?1a2，a4=1?1a3，a5=1?1a4，……，an=1?1an?1．按上述方法計(jì)算：當(dāng)a1=3時(shí)，a2021的值等于（ ）
A．?23B．13C．?12D．23
23．（2020·浙江金華·統(tǒng)考一模）求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，則2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，計(jì)算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值為（ ）
A．20202020?12020B．20202021?12020C．20202021?12019D．20202020?12019
24．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）有一列數(shù)，記為a1，a2，…，an，記其前n項(xiàng)和為Sn=a1+a2+???+an，定義Tn=S1+S2+???+Snn為這列數(shù)的“亞運(yùn)和”，現(xiàn)有99個(gè)數(shù)a1，a2，…，a99，其“亞運(yùn)和”為1000，則1，a1，a2，…，a99這100個(gè)數(shù)的“亞運(yùn)和”為（ ）
A．791B．891C．991D．1001
25．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）人們把5?12≈0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)a=5?12，b=5+12，記S1=11+a+11+b，S2=21+a2+21+b2，…，S100=1001+a100+1001+b100，則S1+S2+?+S100= ．
26．（2021·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）觀察等式：2+22=23?2，2+22+23=24?2，2+22+23+24=25?2，……，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，……，2199，若2100=m，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是 ．
27．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）觀察下列等式：x1=1+112+122=32=1+11×2；
x2=1+122+132=76=1+12×3；
x3=1+132+142=1312=1+13×4；
……
根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算x1+x2+x3+?+x2020?2021= ．
28．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）觀察下列各式：
S1=1+112+122=1+11×2，S2=1+122+132=1+12×3，S3=1+132+142=1+13×4，…
請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：S1+S2+?+S50= ．
類型二 圖形規(guī)律
方法總結(jié)：解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時(shí)，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．
題型01 圖形固定累加型
解題技巧：對于圖形固定累加首先要確定基礎(chǔ)圖形中含所求圖形的個(gè)數(shù)a,在確定出后一個(gè)圖形在前一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上累加的所求圖形的個(gè)數(shù)b(即固定累加圖形個(gè)數(shù))，再根據(jù)固定累加的圖形規(guī)律推導(dǎo)出與序數(shù)n有關(guān)的關(guān)系式為a+b(n-1).
29．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（ ）

A．14B．20C．23D．26
30．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成．第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有 個(gè)白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）

31．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．297B．301C．303D．400
32．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過10個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為CH4，乙烷的化學(xué)式為C2H6，丙烷的化學(xué)式為C3H8……，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為 ．

題型02 圖形漸變累加型
解題技巧：對于個(gè)數(shù)不固定,
1）首先觀察圖形，直接可以從圖形或者補(bǔ)全圖形后就能找出規(guī)律，根據(jù)圖形擺放形狀的規(guī)律總結(jié)推導(dǎo)出關(guān)系式即可.
2）如果圖形也看不出規(guī)律的應(yīng)該先數(shù)出所求圖形的個(gè)數(shù),在比較后一個(gè)圖形和前一個(gè)圖形通過作差(商)來觀察圖形個(gè)數(shù)或?qū)D形個(gè)數(shù)與n進(jìn)行對比，尋找是否與n有關(guān)的平方、平方加1、平方減1等關(guān)系,從而總結(jié)規(guī)律推導(dǎo)出關(guān)系式.
33．（2021·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，每一幅圖中均含有若干個(gè)正方形，第1幅圖中有1個(gè)正方形；第2幅圖中有5個(gè)正方形……按這樣的規(guī)律下去，第9幅圖中正方形正的個(gè)數(shù)為（ ）
A．180B．204C．285D．385
34．（2023·重慶江北·?？家荒＃┫铝袌D形都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成的，照此規(guī)律排列下去，第1個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是3個(gè)，第2個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是8個(gè)，第3個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是15個(gè)，第9個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是（ ）
A．100B．99C．98D．80
35．（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個(gè)三角形，圖②中有5個(gè)三角形，圖③中有11個(gè)三角形，圖④中有19個(gè)三角形…，依此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中三角形個(gè)數(shù)是 ．
36．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有22個(gè)圓．……按此規(guī)律排列下去，現(xiàn)已知第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是134個(gè)，則n= ．
題型03 圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加型
解題技巧：首先應(yīng)觀察圖形區(qū)分圖形累加的各部分,分別求出各部分累加規(guī)律,再將各部分關(guān)系式相加,得到第n項(xiàng)（某項(xiàng))圖形的數(shù)量與序數(shù)關(guān)系式.
37．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）將一些相同的“〇”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”的“〇”的個(gè)數(shù)，則第30個(gè)“龜圖”中有 個(gè)“〇”．
38．（2021下·重慶巴南·九年級校考期中）下列圖形都是由同樣大小的圓按一定的規(guī)律組成，其中，第①個(gè)圖形中一共有2個(gè)圓；第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)圓；第③個(gè)圖形中一共有16個(gè)圓；第④個(gè)圖形中一共有29個(gè)圓，…，則第⑦個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)為（ ）
A．67B．92C．113D．121
39．（2020·海南·統(tǒng)考中考真題）海南黎錦有著悠久的歷史，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．圖是黎錦上的圖案，每個(gè)圖案都是由相同菱形構(gòu)成的，若按照第1個(gè)圖至第4個(gè)圖中的規(guī)律編織圖案，則第5個(gè)圖中有 個(gè)菱形， 第n個(gè)圖中有 個(gè)菱形(用含n的代數(shù)式表示)．

40．（2020·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為 ．
題型04 圖形循環(huán)規(guī)律
解題技巧： ①先找出一個(gè)周期的圖形個(gè)數(shù)n:
②N(第N個(gè))÷n=b……m(0≤m1，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，16=52?32，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用m2?n2=(m+n)(m?n)進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 ；第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 ．
68．（2020·四川成都·統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算x★y＝xyx+y，則共2020★2020★2020★…2020★2020★共100個(gè)★ 100個(gè)★的計(jì)算結(jié)果是 ．
重難點(diǎn)突破01 數(shù)式、圖形與函數(shù)的規(guī)律探索問題
目 錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc160706650" 類型一 數(shù)式規(guī)律
\l "_Tc160706651" 題型01 記數(shù)類規(guī)律
\l "_Tc160706652" 題型02 系數(shù)規(guī)律
\l "_Tc160706653" 題型03 等式類規(guī)律
\l "_Tc160706654" 題型04 數(shù)陣類規(guī)律
\l "_Tc160706655" 題型05 末尾數(shù)字規(guī)律
\l "_Tc160706656" 題型06 楊輝三角
\l "_Tc160706657" 題型07 與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題
\l "_Tc160706658" 類型二 圖形規(guī)律
\l "_Tc160706659" 題型01 圖形固定累加型
\l "_Tc160706660" 題型02 圖形漸變累加型
\l "_Tc160706661" 題型03 圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加型
\l "_Tc160706662" 題型04 圖形循環(huán)規(guī)律
\l "_Tc160706663" 題型05 與幾何圖形有關(guān)的規(guī)律探索
\l "_Tc160706664" 類型三 函數(shù)規(guī)律
\l "_Tc160706665" 題型01 函數(shù)圖象規(guī)律
\l "_Tc160706666" 題型02 函數(shù)上點(diǎn)的規(guī)律
\l "_Tc160706667" 題型03 函數(shù)圖象與幾何圖形的規(guī)律
\l "_Tc160706668" 類型四 新定義類規(guī)律
類型一 數(shù)式規(guī)律
關(guān)于數(shù)式規(guī)律性問題的一般解題思路：
(1)先對給出的特殊數(shù)式進(jìn)行觀察、比較;
(2)根據(jù)觀察猜想、歸納出一般規(guī)律;
(3)用得到的規(guī)律去解決其他問題
1.數(shù)字猜想型:數(shù)字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問題。
2.數(shù)式規(guī)律型:數(shù)式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論,以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.
題型01 記數(shù)類規(guī)律
1．（2023·浙江衢州·?？家荒＃┯^察下列數(shù)據(jù)：0，3，8，15，24，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第201個(gè)數(shù)據(jù)是（ ）
A．40400B．40040C．4040D．404
【答案】A
【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減1，然后列式計(jì)算即可得解．
【詳解】∵0=12?1，
3=22?1，
8=32?1，
15=42?1，
24=52?1，
…，
∴第201個(gè)數(shù)據(jù)是：2012?1=40400，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察出各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減1是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為12，45，710，1017……按此規(guī)律排列，則第30個(gè)數(shù)是 ．
【答案】88901
【分析】由所給的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為第n個(gè)數(shù)是3n?2n2+1，當(dāng)n＝30時(shí)即可求解．
【詳解】解：∵12，45，710，1017…，
∴第n個(gè)數(shù)是3n?2n2+1，
當(dāng)n＝30時(shí)，3n?2n2+1=3×30?2302+1=88901，
故答案為：88901．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數(shù)，探索出數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
3．（2020·西藏·統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數(shù)：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1，第2個(gè)相同的數(shù)是7，…，若第n個(gè)相同的數(shù)是103，則n等于（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】A
【分析】根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1，第2個(gè)相同的數(shù)是7，…，第n個(gè)相同的數(shù)是6(n?1)+1=6n?5，進(jìn)而可得n的值．
【詳解】解：第1個(gè)相同的數(shù)是1=0×6+1，
第2個(gè)相同的數(shù)是7=1×6+1，
第3個(gè)相同的數(shù)是13=2×6+1，
第4個(gè)相同的數(shù)是19=3×6+1，
…，
第n個(gè)相同的數(shù)是6(n?1)+1=6n?5，
所以6n?5=103，
解得n=18．
答：第n個(gè)相同的數(shù)是103，則n等于18．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，確定出相同數(shù)的差值，從而得出相同數(shù)的通式是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正偶數(shù)2，4，6，8，10，……，按如下規(guī)律排列，
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
則第27行的第21個(gè)數(shù)是 ．
【答案】744
【分析】由圖可以看出，每行數(shù)字的個(gè)數(shù)與行數(shù)是一致的，即第一行有1個(gè)數(shù)，第二行有2個(gè)數(shù)，第三行有3個(gè)數(shù)????????第n行有n個(gè)數(shù)，則前n行共有n(n+1)2個(gè)數(shù)，再根據(jù)偶數(shù)的特征確定第幾行第幾個(gè)數(shù)是幾．
【詳解】解：由圖可知，
第一行有1個(gè)數(shù)，
第二行有2個(gè)數(shù)，
第三行有3個(gè)數(shù)，
???????
第n行有n個(gè)數(shù)．
∴前n行共有1+2+3+?+n=n(n+1)2個(gè)數(shù)．
∴前26行共有351個(gè)數(shù)，
∴第27行第21個(gè)數(shù)是所有數(shù)中的第372個(gè)數(shù)．
∵這些數(shù)都是正偶數(shù)，
∴第372個(gè)數(shù)為372×2=744．
故答案為：744．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先根據(jù)題目的已知條件找出其中的規(guī)律，再結(jié)合其他已知條件求解．
題型02 系數(shù)規(guī)律
5．（2023·四川成都·?？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：x、?2x2、4x3、?8x4、16x5、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．?256x9B．256x9C．?512x9D．512x9
【答案】B
【分析】根據(jù)已知的式子可以得到系數(shù)是以?2為底的冪，指數(shù)是式子的序號減1，x的指數(shù)是式子的序號．
【詳解】解：第9個(gè)單項(xiàng)式是?29?1x9=256x9．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，正確理解式子的符號、次數(shù)與式子的序號之間的關(guān)系是關(guān)鍵．
6．（2020·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a，?2a，4a，?8a，16a，?32a，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．?2n?1aB．?2naC．2n?1aD．2na
【答案】A
【分析】先分析前面所給出的單項(xiàng)式，從三方面（符號、系數(shù)的絕對值、指數(shù)）總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)行概括即可得到答案．
【詳解】解：∵ a，?2a，4a，?8a，16a，?32a，…，
可記為：?20a,?21a,?22a,?23a,?24a,?25a,???,
∴ 第n項(xiàng)為：?2n?1a.
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的知識，分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵．
7．（2023·云南昆明·昆明八中?？既＃┌匆欢ㄒ?guī)律排列的單項(xiàng)式：?x，3x2，?5x3，7x4，?9x5，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．2n?1(?x)nB．2n+1(?x)nC．2n+1xnD．2n?1xn
【答案】A
【分析】根據(jù)題目中的單項(xiàng)式，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)的絕對值是一些連續(xù)的奇數(shù)且第奇數(shù)個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為負(fù)數(shù)，x的指數(shù)是一些連續(xù)的正整數(shù)，從而可以寫出第n個(gè)單項(xiàng)式．
【詳解】解：A、當(dāng)n=1時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：?x符合題意；
B、當(dāng)n=1時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：?3x，不符合題意，排除；
C、當(dāng)n=1時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：3x，不符合題意，排除；
D、當(dāng)n=1時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：x，不符合題意，排除；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，單項(xiàng)式的系數(shù)和指數(shù)，解此題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式系數(shù)和字母指數(shù)的變化特點(diǎn)及規(guī)律．
題型03 等式類規(guī)律
8．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）觀察下面的等式：32?12=8×1,52?32=8×2,72?52=8×3,92?72=8×4,?
(1)寫出192?172的結(jié)果．
(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）
(3)請運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．
【答案】(1)8×9
(2)(2n+1)2?(2n?1)2=8n
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；
（2）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；
（3）將(2n+1)2?(2n?1)2因式分解，展開化簡求解即可．
【詳解】（1）192?172=8×9；
（2）(2n+1)2?(2n?1)2=8n；
（3）(2n+1)2?(2n?1)2
=(2n+1+2n?1)(2n+1?2n+1)
=4n×2
=8n．
【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律．
9．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：2×1+12=2×2+12?2×22，
第2個(gè)等式：2×2+12=3×4+12?3×42，
第3個(gè)等式：2×3+12=4×6+12?4×62，
第4個(gè)等式：2×4+12=5×8+12?5×82，
……
按照以上規(guī)律．解決下列問題：
(1)寫出第5個(gè)等式：________；
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
【答案】(1)2×5+12=6×10+12?6×102
(2)2n+12=(n+1)?2n+12?(n+1)?2n2，證明見解析
【分析】（1）觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；
（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個(gè)等式為2n+12=(n+1)?2n+12?(n+1)?2n2，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．
【詳解】（1）解：觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個(gè)等式為：2×5+12=6×10+12?6×102，
故答案為：2×5+12=6×10+12?6×102；
（2）解：第n個(gè)等式為2n+12=(n+1)?2n+12?(n+1)?2n2，
證明如下：
等式左邊：2n+12=4n2+4n+1，
等式右邊：(n+1)?2n+12?(n+1)?2n2
=(n+1)?2n+1+(n+1)?2n?(n+1)?2n+1?(n+1)?2n
=(n+1)?4n+1×1
=4n2+4n+1，
故等式2n+12=(n+1)?2n+12?(n+1)?2n2成立．
【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·安徽淮南·統(tǒng)考二模）（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計(jì)算結(jié)果：
①13=1；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…
（2）深入探究，觀察下列等式：
①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…
根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容：
1+2+3+?+n+(n+1)=__________．
（3）拓展應(yīng)用，通過以上初步感知與深入探究，計(jì)算：
①13+23+33+…+993+1003；
②113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）10；（2）(n+2)(n+1)2；（3）①5050；②41075
【分析】(1)觀察可得，每個(gè)式子的結(jié)果都等于被開放數(shù)中所有加數(shù)的底數(shù)之和；
(2)所有自然數(shù)相加的和等于首項(xiàng)＋尾項(xiàng)的和再乘以自然數(shù)的個(gè)數(shù)，最后除以2即可；
(3)利用（1）（2）中的規(guī)律綜合運(yùn)用即可求解．
【詳解】解：（1）10；
（2）(n+2)(n+1)2；
（3）①原式=1+2+3+4+5+?+99+100
=(1+100)×1002 =5050；
②原式=13+23+33+?+183+193+203?13+23+33+?+103
=202×2124?102×1124 =400×4414?100×1214 =44100?3025 =41075．
【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的基本性質(zhì)與化簡、探尋數(shù)列規(guī)律、整式的加減，掌握這三個(gè)知識點(diǎn)的應(yīng)用，其中探求規(guī)律是解題關(guān)鍵
題型04 數(shù)陣類規(guī)律
11．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)202023若排在第a行b列，則a?b的值為( )
11
12 21
13 22 31
14 23 32 41
……
A．2003B．2004C．2022D．2023
【答案】C
【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)一致．
【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)一致，故202023在第20列，即b=20；向前遞推到第1列時(shí)，分?jǐn)?shù)為20?192023+19=12042，故分?jǐn)?shù)202023與分?jǐn)?shù)12042在同一行．即在第2042行，則a=2042．
∴a?b=2042?20=2022.
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵善于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨向性．
12．（2018·湖北十堰·中考真題）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是（ ）
123256722310???
A．210B．41C．52D．51
【答案】B
【分析】由圖形可知，第n行最后一個(gè)數(shù)為1+2+3+?n=nn+12，據(jù)此可得答案．
【詳解】由圖形可知，第n行最后一個(gè)數(shù)為1+2+3+?n=nn+12，
∴第8行最后一個(gè)數(shù)為8×92=36=6，
∴第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是36+5=41，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出第n行最后一個(gè)數(shù)為nn+12．
13．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：
請根據(jù)上述規(guī)律解答下面的問題：
(1)第6行有______個(gè)數(shù)；第n行有______個(gè)數(shù)（用含n的式子表示）；
(2)若有序數(shù)對n，m表示第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)，如3，2表示6．
①求11，20表示的數(shù)；②求表示2023的有序數(shù)對．
【答案】(1)11；2n?1；
(2)①120；②(45,87)
【分析】（1）觀察前5行發(fā)現(xiàn)：后一行數(shù)字的個(gè)數(shù)比前一行多2個(gè)，以此規(guī)律解答即可；
（2）①先求第11行最后一個(gè)數(shù)，然后判斷11，20為第11行倒數(shù)第二個(gè)數(shù)即可解答；
②先根據(jù)442

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