中考數學難點突破與經典模型精講練(全國通用)專題27四邊形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)-試卷下載-教習網

一、單選題
1．如圖，點為矩形的對稱中心，動點從點出發(fā)沿向點移動，移動到點停止，延長交于點，則四邊形形狀的變化依次為（）
A．平行四邊形一矩形一平行四邊形一矩形B．平行四邊形一矩形一菱形一矩形
C．平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形D．平行四邊形一菱形一平行四邊形
2．矩形的邊上有一動點，連接、，以、為邊作平行四邊形．在點從點移動到點的過程中，平行四邊形的面積（）
A．先變大后變小B．先變小后變大C．一直變大D．保持不變
3．如圖，在四邊形ABCD中，，點P是四邊形ABCD邊上的一個動點．若點P到AC的距離為，則點P的位置有（）
A．1處B．2處C．3處D．4處
4．如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD相交于點0，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F．交AD、BC于M、N．點從從下列結論：①PM＋PN＝AC；②；③點O在M、N兩點的連線上；④OP平分∠MPN；⑤四邊形PEOF不可能為菱形．其中正確的個數有（）
A．2B．3C．4D．5
5．如圖，在平行四邊形中，，AB=4 ，AD=8 ，點、分別是邊CD、上的動點．連接、，點為的中點，點為的中點，連接．則的最大值與最小值的差為（）
A．2B．C．D．
6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當四邊形APQC的面積為12時，則點P運動的時間是（）
A．2sB．3sC．4sD．6s
7．如圖，在中，，，是邊上的中點，點、分別是、邊上的動點，且.則下列結論：（1）；（2）的長度不變；（3）的度數不變；（4）四邊形的面積為；其中正確的結論有（）個.
A．2B．3C．4D．5
8．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結論中正確的是（）
①△CMP~△BPA；②四邊形AMCB的面積最大值為10；③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；④線段 AM的最小值為2；⑤當△ABP≌△ADN時，BP=．
A．①③④B．①②⑤C．①②③D．②④⑤
9．如圖，在矩形中，，，點E為中點，P、Q為邊上兩個動點，且，當四邊形周長最小時，的長為（）
A．3.5B．4C．4.5D．5
10．如圖，在中，于點，是上的動點，且，下列結論：①；②為等腰直角三角形；③四邊形的面積為定值；④；⑤平分．其中正確說法的是（）

A．①②B．①②③C．①②③④D．②③④
二、填空題
11．如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AB=6cm，AD=12cm，BC=15cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點B運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，從運動開始，當運動時間t=__________ s時，PQCD，且PQ=CD．
12．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，設運動的時間為t秒，四邊形APQC的面積為S mm2，請寫出S與t的函數關系式，并標注t的取值范圍___________________；
13．如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，點P為線段AC上的一個動點．過點P分別作PM⊥AD于點M，作PN⊥DC于點N．連接PB，在點P運動過程中，PM+PN+PB的最小值等于_____．
14．如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動點，當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，AE＝__________．
三、解答題
15．如圖，在中，點是邊上的一個動點（點不與、兩點重合），過點作直線，直線與的平分線相交于點，與（的外角）的平分線相交于點．
(1)與相等嗎？為什么？
(2)探究：當點運動到何處時，四邊形是矩形？并證明你的結論．
(3)在（2）中當等于多少時，四邊形為正方形（不要求說理由）
16．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖①，，則四邊形為“等鄰角四邊形”．
(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是___________．
①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．
(2)深入探究：
①已知四邊形為“等鄰角四邊形”，且，則________．
②如圖②，在五邊形中，，對角線平分，求證：四邊形為等鄰角四邊形．
(3)拓展應用：如圖③，在等鄰角四邊形中，，點P為邊BC上的一動點，過點P作，垂足分別為M，N．在點P的運動過程中，的值是否會發(fā)生變化？請說明理由．
17．如圖，點E是矩形的邊的中點，點G是邊上一動點，連接，若點H為的中點，連接，連接并延長交邊于點F，過點A作，垂足為點M，交于點P．
(1)求證：；
(2)連接，若，請判斷四邊形是什么特殊四邊形，并證明．
18．如圖，在四邊形中，，，，．點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線方向運動，點從點出發(fā)，以每秒的速度沿線段方向向點運動．已知動點，同時發(fā)，當點運動到點時，，運動停止，設運動時間為．
(1)直接寫出的長（cm）；
(2)當四邊形為平行四邊形時，直接寫出四邊形的周長（cm）；
(3)在點、點的運動過程中，是否存在某一時刻，使得的面積為？若存在，請求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．
19．問題情境：四邊形中，點O是對角線的中點，點E是直線上的一個動點（點E與點C、O、A都不重合）過點，分別作直線的垂線，垂足分別為，，連接
(1)初步探究：已知四邊形是正方形，且點E在線段上，求證；
(2)在（1）的條件下，探究圖中與的數量關系，并說明理由．
20．如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設運動時間為．
(1)用含x的式子表示（請寫化簡之后的結果）；
____________， ____________， ___________，=____________
(2)四邊形的面積能否等于172？若能，求出運動的時間; 若不能，說明理由．
21．（1）如圖1，在四邊形中，，點E是邊上一點，，，連接、．判斷的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點，點C是x軸上的動點，線段繞著點C按順時針方向旋轉90°至線段，連接、，
①求B點的運動軌跡解析式
②的最小值是．
22．如圖，在四邊形中，，，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度運動，動點從點開始沿邊向點以的速度運動，動點，分別從點，同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為秒.
(1)當為何值時，四邊形為矩形？
(2)當為何值時，四邊形為平行四邊形？
23．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上，，，兩動點P、Q分別從O、B兩點同時出發(fā)，點P以每秒個單位長度的速度沿線段OC向點C運動，點Q以每秒2個單位長度的速度沿著線段BO向點O運動，當點P運動到點C時，P、Q同時停止，設這兩個點運動時間為t （s），
(1)直接寫出點A、B的坐標；
(2)當的面積為時，求t的值；
(3)在運動過程中，是否存在P、Q兩點，使得沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
24．從多邊形的一個頂點引出兩條射線形成一個角，這個角的兩邊與多邊形的兩邊相交，該多邊形在這個角的內部的部分與角的兩邊圍成的圖形稱為該角對這個圖形的“投射圖形”
【特例感知】
（1）如圖，與正方形的邊、分別交于點E、點F，此時對正方形的“投射圖形”就是四邊形；若此時是一個定值，則四邊形的面積____（填“會”或“不會”）發(fā)生變化．
【遷移嘗試】
（2）如圖，菱形中，，，E、F分別是邊、上的動點，若對菱形的“投射圖形”四邊形的面積為，求的值．
【深入感悟】
（3）如圖，矩形中，，，的兩邊分別與、交于點E、點F，若，，求對矩形的“投射圖形”四邊形的面積．
【綜合運用】
（4）如圖，某建筑工地有一塊由圍擋封閉起來的四邊形空地，其中，，，m，m，現打算在空地上建一塊四邊形堆場用于堆放建筑垃圾，需要拆除圍擋和，若m，求這個四邊形堆場面積的最大值．
25．如圖，四邊形是菱形，對角線和相交于點O、點E是的中點，過點C作的垂線，與的延長線交于點F，連接.
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若四邊形的周長為，的周長為，求四邊形的面積；
(3)在（2）問的條件下，上有一動點Q，上有一動點P，求的最小值.
26．如圖1，已知在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，連結，，，點D是的中點．
(1)___________；點D的坐標為___________；
(2)若點E在線段上，直線DE把矩形面積分成為2：1兩部分，求點E坐標；
(3)如圖2．點P為線段上一動點（含線段端點），連接；以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當動點P從點B運動到點A時，點Q也隨之運動，當成為以為底的等腰三角形時，直接寫出Q點的橫坐標．
專題27 四邊形中由動點引起的分類討論問題
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，點為矩形的對稱中心，動點從點出發(fā)沿向點移動，移動到點停止，延長交于點，則四邊形形狀的變化依次為（）
A．平行四邊形一矩形一平行四邊形一矩形B．平行四邊形一矩形一菱形一矩形
C．平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形D．平行四邊形一菱形一平行四邊形
【答案】C
【分析】根據對稱中心的定義，根據矩形的性質，可得四邊形形狀的變化情況：這個四邊形先是平行四邊形，當對角線互相垂直時是菱形，然后又是平行四邊形，最后點A與點重合時是矩形．
【詳解】解：觀察圖形可知，四邊形形狀的變化依次為平行四邊形菱形平行四邊形矩形．
故選C．
【點睛】本題考查了中心對稱，矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，菱形的判定，根據與的位置關系即可求解．
2．矩形的邊上有一動點，連接、，以、為邊作平行四邊形．在點從點移動到點的過程中，平行四邊形的面積（）
A．先變大后變小B．先變小后變大C．一直變大D．保持不變
【答案】D
【分析】過點E作EG⊥AD于G，證四邊形ABEG是矩形，得出EG＝AB，，即可得出結論．
【詳解】解：過點E作EG⊥AD于G，如圖所示：
則∠AGE＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四邊形ABEG是矩形，
∴EG＝AB，
∵四邊形AEDF是平行四邊形，
∴，
即的面積保持不變，故D正確．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質與判定、平行四邊形的性質以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的性質，證出的面積＝矩形ABCD的面積，是解題的關鍵．
3．如圖，在四邊形ABCD中，，點P是四邊形ABCD邊上的一個動點．若點P到AC的距離為，則點P的位置有（）
A．1處B．2處C．3處D．4處
【答案】C
【分析】根據勾股定理和含30度角的直角三角形的性質，可以求得AC、AD、BC和AB的長，然后即可得到點D到AC的距離和點B到AC的距離，從而可以得到滿足條件的點P有幾處，本題得以解決．
【詳解】
解：過點B作于點F，過點D作于點E，
∵∠CAD=30°，CD=2，∠D=90°，
∴AC=4，，
∴在Rt△ADC中，斜邊AC上的高，
∵AC=4，∠B=90°，∠BAC=45°，
∴，，
∴AB=BC=，
∴在Rt△ABC中，斜邊AC上的高，
∵，點P是四邊形ABCD邊上的一個動點，點P到AC的距離為，
∴點P的位置在點D處，或者邊BC上或者邊AB上，
即滿足條件的點P有3處．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性質等知識，解答本題的關鍵是求出滿足條件的點P所在的位置．
4．如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD相交于點0，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F．交AD、BC于M、N．點從從下列結論：①PM＋PN＝AC；②；③點O在M、N兩點的連線上；④OP平分∠MPN；⑤四邊形PEOF不可能為菱形．其中正確的個數有（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】依據正方形的性質以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵在△APE和△AME中，，
∴△APE≌△AME（ASA），
∴PE=EM=PM，
同理，FP=FN=NP．
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE，
∴四邊形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，
∴PM+PN=AC，故①正確；
∵四邊形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，，
∴，故②正確．
∵四邊形PEOF是矩形，
∴OP不一定平分∠MPN，故④錯誤；
連接OM，ON，
∵OA垂直平分線段PM．OB垂直平分線段PN，
∴OM=OP，ON=OP，
∴∠OMP=∠OPM，∠ONP=∠OPN，
∵四邊形PEOF是矩形，
∴∠MPN=90°，即∠OPM+∠OPN=90°，
∴∠OMP+∠ONP=90°，即∠OMP+∠ONP+∠MPN=180°，
∴M，O，N共線，故③正確．
當點P是AB的中點時，
則PE=OE=OA，FP=OF=OB，OA=OB，
∴PE=OE=FP=OF，
∴四邊形PEOF為菱形．故⑤錯誤．
綜上，①②③正確，共3個．
故選：B．
【點睛】本題考查正方形的性質、矩形的判定、勾股定理等知識，證明四邊形PEOF是矩形是關鍵．
5．如圖，在平行四邊形中，，AB=4 ，AD=8 ，點、分別是邊CD、上的動點．連接、，點為的中點，點為的中點，連接．則的最大值與最小值的差為（）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先證明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解決問題．
【詳解】解：如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°?∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等邊三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝
在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
∵點G在BC上，∴AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長，
∴AG的最大值為，最小值為，
∴EF的最大值為，最小值為，
∴EF的最大值與最小值的差為：
故選C．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質、直角三角形30度角性質、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，本題的突破點是證明∠ACD＝90°，屬于中考選擇題中的壓軸題．
6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當四邊形APQC的面積為12時，則點P運動的時間是（）
A．2sB．3sC．4sD．6s
【答案】A
【分析】設出動點，運動秒，能使的面積為12，用分別表示出和的長，利用三角形的面積計算公式即可解答．
【詳解】解：設動點，運動秒后，能使的面積為15，
則為cm，為cm，由三角形的面積計算公式列方程得：，
解得，（當時，，不合題意，舍去），
動點，運動3秒時，能使的面積為，
故選：A．
【點睛】本題考查一元二次方程的應用，能借助三角形的面積計算公式來研究圖形中的動點問題是解題的關鍵．
7．如圖，在中，，，是邊上的中點，點、分別是、邊上的動點，且.則下列結論：（1）；（2）的長度不變；（3）的度數不變；（4）四邊形的面積為；其中正確的結論有（）個.
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】由題意易得，，，然后可得，則有，，進而問題可求解．
【詳解】解：∵，，是邊上的中點，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴（ASA），
∴，，故（1）正確；
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵DM是在變化的，
∴DE的長度也在變化；故（2）錯誤；
∵，
∴，
由是在變化，所以可知也在變化，故（3）錯誤；
∵，，
∴，
∴，
∴；故（4）正確；
故選A．
【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質與判定、全等三角形的性質與判定及等積法，熟練掌握等腰直角三角形的性質與判定、全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
8．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結論中正確的是（）
①△CMP~△BPA；②四邊形AMCB的面積最大值為10；③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；④線段 AM的最小值為2；⑤當△ABP≌△ADN時，BP=．
A．①③④B．①②⑤C．①②③D．②④⑤
【答案】B
【分析】根據相似三角形的判定和性質逐個分析即可. 根據正方形的性質以及翻折證明角度相等，根據AA可證△CMP∽△BPA，故①正確；當x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確；NE≠EP，故③錯誤；AM的最小值==5，故④錯誤；PB=故⑤正確．
【詳解】∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正確；
設PB=x，則CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，
∴，
∴CM=x（4﹣x），
∴S四邊形AMCB=[4+x（4﹣x）]×4==，
∴x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確；
當PB=PC=PE=2時，設ND=NE=y，在Rt△PCN中，
解得，
∴NE≠EP，故③錯誤；
作MG⊥AB于G，∵AM==，
∴AG最小時AM最小，
∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=，
∴x=1時，AG最小值=3，
∴AM的最小值==5，故④錯誤；
∵△ABP≌△ADN，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°．
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=z，
∴z+z=4，
∴z=，即PB=故⑤正確．
故選B．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質．利用正方形的性質以及翻折進行角度的轉化，從而證明三角形相似是解題的關鍵．
9．如圖，在矩形中，，，點E為中點，P、Q為邊上兩個動點，且，當四邊形周長最小時，的長為（）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】B
【分析】四邊形周長等于，其中為定值，即求最小值，，作F關于BC的對稱點，當共線時最小，此時的P位置即為所求．
【詳解】解：如圖：四邊形周長等于，
作，使，
即四邊形PQEF是平行四邊形，則，
作F關于BC的對稱點，連接，交于點，即有，
∵四邊形是矩形，，，E為DC中點，
∴，，∠D=90°，
∴，
即在Rt△ADE中，，即AE為定值，
即四邊形周長=，其中為定值，
∵，
∴當共線時最小，即四邊形周長最小，
∵，，
∴結合四邊形是矩形，易證明四邊形是矩形，
則，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查了矩形的性質，將軍飲馬，線段和最小值問題，相似三角形的性質與判定，正確的作出輔助線，轉化未知線段為已知線段的長是解題的關鍵．
10．如圖，在中，于點，是上的動點，且，下列結論：①；②為等腰直角三角形；③四邊形的面積為定值；④；⑤平分．其中正確說法的是（）

A．①②B．①②③C．①②③④D．②③④
【答案】C
【分析】根據等腰直角三角形的性質可得AD=CD，∠A=∠ACD=∠DCB=45°，再根據可得∠MDN=90°，即∠ADM=∠CDN；再證可得DM=DN、CM=BN，推出CM=BN，可知△MDN是等腰直角三角形，；根據CM=BN，CM=BN，易得，顯然CM、CN不一定相等，所以∠CNM不一定等于45°，所以MN平分∠CND不一定成立．
【詳解】解：∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵CD⊥AB，
∴AD=DB=CD，∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，∠ADC=∠BDC=∠MDN=90°=∠ADM+∠CDM=∠BDN+∠CDN=∠CDM+∠CDN，
∴∠ADM=∠CDN，
∵∠ADM=∠CDN，AD=CD，∠A=∠BCD=45°，
∴，
∴DM=DN，AM=CN，即①正確；
∴△MDN是等腰直角三角形，即②正確；
四邊形MDNC的面積為，
∵，
∴，
∴，
即，則可知該四邊形面積為定值，即③正確；
∵AC=BC，AM=CN，
∴CM=AC-AM=BC-AM=BC-AN=BN；
∴在Rt△CMN中，有，
即有，即④正確；
∵△MDN是等腰直角三角形，
∴∠AND=45°為定值，
又∵在M、N運動時，在Rt△CMN中，CM、CN不一定相等，
∴∠CNM不一定等于45°，
∴MN平分∠CND不一定成立，即⑤錯誤．
故選C．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理等知識點，掌握等腰直角三角形的性質是解答本題的關鍵．
二、填空題
11．如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AB=6cm，AD=12cm，BC=15cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點B運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，從運動開始，當運動時間t=__________ s時，PQCD，且PQ=CD．
【答案】4
【分析】根據，時，四邊形為平行四邊形，得出PQ=CD，PD=CQ，用t表示出PD、CQ即可列出關于t的方程，解方程即可．
【詳解】解：根據題意可知，AP=t，則，，
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴，
解得：，
即t=4s時，，且PQ=CD．
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，解一元一次方程，根據題意列出關于t的方程，是解題的關鍵．
12．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，設運動的時間為t秒，四邊形APQC的面積為S mm2，請寫出S與t的函數關系式，并標注t的取值范圍___________________；
【答案】
【分析】先表示PA，BQ的長，進而得到BP的長度，利用來求出四邊形APQC的面積和范圍．
【詳解】解：由題意得：，，
∴，
∴，
∴.
其中：，
∴．
【點睛】本題考查求二次函數的應用，理解題意，正確表示出BP，BQ是求解本題的關鍵．
13．如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，點P為線段AC上的一個動點．過點P分別作PM⊥AD于點M，作PN⊥DC于點N．連接PB，在點P運動過程中，PM+PN+PB的最小值等于_____．
【答案】7.8
【分析】證四邊形ABCD是菱形，得CD=AD=5，連接PD，由三角形面積關系求出PM+PN=4.8，得當PB最短時，PM+PN+PB有最小值，則當BP⊥AC時，PB最短，即可得出答案．
【詳解】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，
∴AC＝8，四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD于點O，
∴平行四邊形ABCD是菱形，AD＝＝＝5，
∴CD＝AD＝5，
連接PD，如圖所示：
∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，
∴AD?PM+DC?PN＝AC?OD，
即×5×PM+×5×PN＝×8×3，
∴5×（PM+PN）＝8×3，
∴PM+PN＝4.8，
∴當PB最短時，PM+PN+PB有最小值，
由垂線段最短可知：當BP⊥AC時，PB最短，
∴當點P與點O重合時，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，
故答案為：7.8．
【點睛】本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理、最小值問題以及三角形面積等知識；熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．
14．如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動點，當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，AE＝__________．
【答案】或1
【分析】分情況討論：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用相似三角形的性質，角平分線的性質和直角三角形30度角的性質分別可得AE的長．
【詳解】解：分兩種情況：
①當∠CED=90°時，如圖1，
過E作EF⊥CD于F，
∵，AD＜BC，
∴AB與CD不平行，
∴，
∴當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，
∴∠BEC=∠CDE=∠ADE，
∵∠A=∠B=∠CED=90°，
∴∠BCE=∠DCE，
∴AE=EF，EF=BE，
∴AE=BE=AB=，
②當∠CDE=90°時，如圖2，
當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，
∵，CE和BC相交，
∴AD與CE不平行，
∴，
∴∠CEB=∠CED=∠AED=60°，
∴∠BCE=∠DCE=∠ADE =30°，
∵∠A=∠B=90°，
∴BE=ED=2AE，
∵AB=3，
∴AE=1，
綜上，AE的值為或1．
故答案為：或1．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質，角平分線的性質和直角三角形30度角的性質，當兩個直角三角形相似時，要分情況進行討論；正確畫圖是關鍵，注意不要丟解．
三、解答題
15．如圖，在中，點是邊上的一個動點（點不與、兩點重合），過點作直線，直線與的平分線相交于點，與（的外角）的平分線相交于點．
(1)與相等嗎？為什么？
(2)探究：當點運動到何處時，四邊形是矩形？并證明你的結論．
(3)在（2）中當等于多少時，四邊形為正方形（不要求說理由）
【答案】(1)相等，理由見詳解
(2)是中點時，四邊形是矩形，理由見詳解
(3)時，四邊形為正方形，理由見詳解
【分析】（1）由平分，平分，可得，，再根據，可得，，即有，，則有，，問題得解；
（2）證明，且、互相平分，即可判斷四邊形是矩形，據此作答即可；
（3）根據對角線相互垂直的矩形是正方形作答即可．
（1）
，理由如下：
∵根據題意，有平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）
是中點時，四邊形是矩形，理由如下：
在（1）已證明，
∵是中點，
∴，
∴，
∴，且、互相平分，
∴四邊形是矩形；
（3）
當時，四邊形為正方形，理由如下：
在（2）中已證明四邊形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，矩形的判定，正方形的判定等知識，掌握平行線的性質是解答本題的關鍵．
16．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖①，，則四邊形為“等鄰角四邊形”．
(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是___________．
①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．
(2)深入探究：
①已知四邊形為“等鄰角四邊形”，且，則________．
②如圖②，在五邊形中，，對角線平分，求證：四邊形為等鄰角四邊形．
(3)拓展應用：如圖③，在等鄰角四邊形中，，點P為邊BC上的一動點，過點P作，垂足分別為M，N．在點P的運動過程中，的值是否會發(fā)生變化？請說明理由．
【答案】(1)②④
(2)①或或；②見解析
(3)不會發(fā)生變化，理由見解析
【分析】（1）根據平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的性質即可解答；
（2）①分當和、時三種情況求解；
②由得，根據對角線平分，得，故，即證得四邊形為等鄰角四邊形；
（3）過C作于H，過P作于G，由，，得四邊形是矩形，得，可證明，得，即有，從而說明在點P的運動過程中，的值總等于C到的距離，不會變化．
（1）
解：①平行四邊形的鄰角互補，不是等鄰角四邊形；
②矩形四個角都是直角，則鄰角相等，是等鄰角四邊形；
③菱形的鄰角互補，不是等鄰角四邊形；
④等腰梯形的兩個底角相等，是等鄰角四邊形．
綜上，②④是等鄰角四邊形．
故答案為：②④；
（2）
解：①當時，四邊形為“等鄰角四邊形”，
∵，
∴；
當時，四邊形為“等鄰角四邊形”，
當時，四邊形為“等鄰角四邊形”，
；
故答案為：或或；
②∵，
∴，
∵對角線平分，
∴，
∴，
∴四邊形為等鄰角四邊形；
（3）
解：在點P的運動過程中，的值不會發(fā)生變化，理由如下：
過C作于H，過P作于G，如圖：
∵，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
即在點P的運動過程中，的值總等于C到AB的距離，是定值．
【點睛】本題考查多邊形綜合應用，涉及新定義、多邊形內角和、三角形全等的判定及性質等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形解決問題．
17．如圖，點E是矩形的邊的中點，點G是邊上一動點，連接，若點H為的中點，連接，連接并延長交邊于點F，過點A作，垂足為點M，交于點P．
(1)求證：；
(2)連接，若，請判斷四邊形是什么特殊四邊形，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形是菱形，證明見解析
【分析】（1）由四邊形是矩形，得，又是矩形對邊的中點，即得四邊形是矩形，，可得；
（2）設交于M，由，得，結合，即得，所以，可證，得，，故四邊形為菱形．
（1）
∵四邊形是矩形，
∴，
∵是矩形對邊的中點，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
又E是中點，
∴H是的中點，
∵，
∴；
（2）
四邊形是菱形，
證明：由（1）知為中點，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴四邊形為菱形．
【點睛】本題考查矩形性質、菱形的判定，全等三角形性質及判定等知識，解題的關鍵是掌握矩形、菱形的性質及判定定理，熟練應用三角形全等的判定定理．
18．如圖，在四邊形中，，，，．點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線方向運動，點從點出發(fā)，以每秒的速度沿線段方向向點運動．已知動點，同時發(fā)，當點運動到點時，，運動停止，設運動時間為．
(1)直接寫出的長（cm）；
(2)當四邊形為平行四邊形時，直接寫出四邊形的周長（cm）；
(3)在點、點的運動過程中，是否存在某一時刻，使得的面積為？若存在，請求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)16
(2)
(3)存在，滿足條件的的值為秒或秒
【分析】（1）過點作于，根據題意證明四邊形是平行四邊形，然后根據平行四邊形的性質以及勾股定理可得結果；
（2）當四邊形是平行四邊形，則點在上，點在上，則，，根據平行四邊形的性質可得，求解得出平行四邊形的各邊長，求其周長即可；
（3）分兩種情況進行討論：①當點在線段上時；②當點在線段上時；根據三角形面積列方程計算即可．
（1）
解：如圖，過點作于，
，，
∴，
∵，
四邊形是平行四邊形，
，
在中，，，
根據勾股定理得，，
；
（2）
當四邊形是平行四邊形，
則點在上，點在上，
如圖，
由運動知，，，
，
，
此時，，，根據勾股定理得，；
四邊形的周長為；
（3）
①當點在線段上時，即：時，
如圖，
，
；
②當點在線段上時，即：時，
如圖，
，，
，
或（舍），
即：滿足條件的的值為秒或秒．
【點睛】本題考查了四邊形的動點問題，平行四邊形的判定與性質，勾股定理，讀懂題意，根據相應圖形的性質列出方程是解本題的關鍵．
19．問題情境：四邊形中，點O是對角線的中點，點E是直線上的一個動點（點E與點C、O、A都不重合）過點，分別作直線的垂線，垂足分別為，，連接
(1)初步探究：已知四邊形是正方形，且點E在線段上，求證；
(2)在（1）的條件下，探究圖中與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
【分析】（1）根據題意，，，，則，利用證明，即可得到答案；
（2）由（1）知，，然后得到，由，得到，即可得證．
（1）
證明：∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
；
理由如下：如圖1，連接OB，
由（1）知，，，
∵點是的中點，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質等腰直角三角形，，解題的關鍵是正確作出輔助線，構造全等三角形解決問題．
20．如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設運動時間為．
(1)用含x的式子表示（請寫化簡之后的結果）；
____________， ____________， ___________，=____________
(2)四邊形的面積能否等于172？若能，求出運動的時間; 若不能，說明理由．
【答案】(1)、，，
(2)當，四邊形的面積等于172．
【分析】（1）根據題意用x表示出、、、即可；
（2）由=172可得關于t的一元二次方程，然后解一元二次方程即可求得運動時間t．
（1）
解：根據題意得：cm，cm，所以cm，
∵ ，
∵
∴．
故答案為：、，，．
（2）
解：∵四邊形的面積能等于172
∴，即，解得或（舍去）
∴當，四邊形的面積等于172．
【點睛】本題主要考查了函數的動點問題、四邊形的面積，二次函數的與一元二方程的關系等知識點，出與t的函數關系式是解本題的關鍵．
21．（1）如圖1，在四邊形中，，點E是邊上一點，，，連接、．判斷的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點，點C是x軸上的動點，線段繞著點C按順時針方向旋轉90°至線段，連接、，
①求B點的運動軌跡解析式
②的最小值是．
【答案】（1）見詳解
（2）①；②
【分析】（1）根據已知條件證得，即可證得為等腰直角三角形；
（2）①根據（1）可知，設B點坐標為，C點坐標為，可得，，即點B的運動軌跡解析式為：；
②作點O關于直線的對稱點，連接，交直線與點，此時A、、三點共線時，值最小，求得坐標為，根據勾股定理即可求得最小值．
【詳解】（1）為等腰直角三角形，理由如下，
在與中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形；
（2）①作軸于點D，如圖所示，
由（1）得，，
∴，，
設B點坐標為，C點坐標為，
∴，，
∴，
∴點B的運動軌跡解析式為：；
②如圖所示，作點O關于直線y=x-1的對稱點，連接，交直線與點，
此時，,
即A、、三點共線時，值最小，
∵直線垂直平分，
∴，
∴坐標為，
∴，
即：的最小值為．
【點睛】本題主要考查的是一次函數與全等三角形的綜合，主要是數量掌握“一線三垂直”模型以及“將軍飲馬”模型．
22．如圖，在四邊形中，，，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度運動，動點從點開始沿邊向點以的速度運動，動點，分別從點，同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為秒.
(1)當為何值時，四邊形為矩形？
(2)當為何值時，四邊形為平行四邊形？
【答案】(1)當時，四邊形是矩形
(2)當時，四邊形是平行四邊形
【分析】（1）四邊形為矩形，即，列出等式，求解即可；
（2）四邊形為平行四邊形，即，列出等式求解；
（1）
解：設運動時間為秒，
，，，，
如圖1，
，
當時，四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
即，
解得：，
時，四邊形是矩形；
（2）
解：如圖2，
，
當時，四邊形是平行四邊形．
此時有，
解得．
當時，四邊形是平行四邊形．
【點睛】此題主要考查了矩形、平行四邊形的判定與性質應用，要求學生掌握對各種圖形的認識，同時學會數形結合的數學解題思想．
23．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上，，，兩動點P、Q分別從O、B兩點同時出發(fā)，點P以每秒個單位長度的速度沿線段OC向點C運動，點Q以每秒2個單位長度的速度沿著線段BO向點O運動，當點P運動到點C時，P、Q同時停止，設這兩個點運動時間為t （s），
(1)直接寫出點A、B的坐標；
(2)當的面積為時，求t的值；
(3)在運動過程中，是否存在P、Q兩點，使得沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，
(2)，或，
(3)或或
【分析】（1）由矩形的性質和已知條件求出、即可得出、的坐標；
（2）作于，則，證出，得出對應邊成比例，得出，由的面積，求出的值，再求出，即可得出的坐標；
（3）分三種情況：①當時；②當時；③時；分別得出的方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：四邊形是矩形，
，，，
，，
，
，
，，；
（2）作于，如圖1所示：
則，
，
，即，
，
的面積，
解得：或，
當時，，；
當時，，；
點的坐標為，，或，；
（3）存在；分三種情況：如圖2所示：
①當時，
，
，
由（2）得：，
，
，
，
解得：，或；
②當時，，
，
解得：（負值舍去），
；
③時，，
，
解得：．
綜上所述：的值為或或．
【點睛】本題是一次函數綜合題目，考查了矩形的性質、相似三角形的判定與性質、三角形面積的計算、三角函數以及坐標與圖形特征；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要通過分類討論列出方程，解方程才能得出結果．
24．從多邊形的一個頂點引出兩條射線形成一個角，這個角的兩邊與多邊形的兩邊相交，該多邊形在這個角的內部的部分與角的兩邊圍成的圖形稱為該角對這個圖形的“投射圖形”
【特例感知】
（1）如圖，與正方形的邊、分別交于點E、點F，此時對正方形的“投射圖形”就是四邊形；若此時是一個定值，則四邊形的面積____（填“會”或“不會”）發(fā)生變化．
【遷移嘗試】
（2）如圖，菱形中，，，E、F分別是邊、上的動點，若對菱形的“投射圖形”四邊形的面積為，求的值．
【深入感悟】
（3）如圖，矩形中，，，的兩邊分別與、交于點E、點F，若，，求對矩形的“投射圖形”四邊形的面積．
【綜合運用】
（4）如圖，某建筑工地有一塊由圍擋封閉起來的四邊形空地，其中，，，m，m，現打算在空地上建一塊四邊形堆場用于堆放建筑垃圾，需要拆除圍擋和，若m，求這個四邊形堆場面積的最大值．
【答案】（1）不會（2）（3）（4）
【分析】（1）連接得到四邊形面積，通過即可得到答案；
（2）過A點作，分別交、延長線于點、，連接；根據菱形和含角直角三角形的性質計算，即可得到答案；
（3）在上取點滿足，連接，過點作交延長線于點；根據矩形和勾股定理的性質計算得；再根據相似三角形的性質，通過證明，推導得，；再結合勾股定理性質計算即可完成求解；
（4）延長、交于點，含角直角三角形的性質推導得，設，結合一次函數的性質分析，即可得到答案.
【詳解】（1）如下圖所示，連接，
四邊形面積，
∵，
∴四邊形面積，
∴當是一個定值，則四邊形的面積不會發(fā)生變化
故答案為：不會；
（2）如圖，過A點作，分別交、延長線于點、，連接
∵四邊形為菱形
∴，
∵菱形ABCD面積，
∴，
∴四邊形面積，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴
∴
（3）如圖，在上取點滿足，連接，過點作交延長線于點
∵，，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形面積．
（4）延長、交于點，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴
設，則
∴四邊形面積
，
，
，
，
∵，
∴四邊形面積隨增大而增大，
∵，
∴當時，四邊形堆場面積的最大值．
【點睛】本題考查了矩形、菱形、直角三角形、相似三角形、一次函數的知識；解題的關鍵是熟練掌握矩形、直角三角形、相似三角形和一次函數的性質，從而完成求解.
25．如圖，四邊形是菱形，對角線和相交于點O、點E是的中點，過點C作的垂線，與的延長線交于點F，連接.
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若四邊形的周長為，的周長為，求四邊形的面積；
(3)在（2）問的條件下，上有一動點Q，上有一動點P，求的最小值.
【答案】(1)見解析
(2)2
(3)
【分析】（1）先根據菱形的性質和已知條件可得，再根據平行線的性質可得，然后利用“角邊角”證明，可得，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊可得四邊形ODFC是平行四邊形，最后根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明結論；
（2）根據菱形的周長和的周長求得，，再根據勾股定理和完全平方公式可得CO?DO即可解答；
（3）作點E關于DO對稱點，過點作，交于點Q，此時最小；連接、；然后再說明是的中點求得；再利用菱形的性質求得菱的面積，最后運用面積公式求得即可．
（1）
證明：∵四邊形是菱形，
∴，
∴ ，
∵，
∴
∴
∴
∴
∵E是中點，
∴，
在和中，
∴（）；
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是矩形．
（2）
解：∵菱形的周長為，
∴，，
∵的周長為，
∴=
∴，
∴，
在中，，
∴，解得：，
∴四邊形的面積2．
（3）
解：如圖：作點E關于DO對稱點，過點作，交于點Q，連接、
∴
∴
∴最小值為
∵
∴
∵
∴菱形的面積為4，的面積為1
∵
∴，解得：．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定、平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．
26．如圖1，已知在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，連結，，，點D是的中點．
(1)___________；點D的坐標為___________；
(2)若點E在線段上，直線DE把矩形面積分成為2：1兩部分，求點E坐標；
(3)如圖2．點P為線段上一動點（含線段端點），連接；以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當動點P從點B運動到點A時，點Q也隨之運動，當成為以為底的等腰三角形時，直接寫出Q點的橫坐標．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
【分析】（1）在中，解直角三角形求出即可求出點C坐標，再根據中點定義求出點D坐標；
（2）分兩種情況討論：①當梯形的面積與梯形的面積之比是時，②當梯形的面積與梯形的面積之比是時；分別求解即可；
（3）當點P在線段上運動時，點Q在線段上運動，根據等邊三角形性質求出點M、N坐標，從而可求得直線的解析式為，取中點E，過點E作垂線，交x軸于F，求得直線解析式為，然后聯立兩解析式，求得兩直線交點橫坐標即可．
（1）
解：如圖1中，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∵點D是的中點，
∴，
∴，
故答案為：；．
（2）
解：如圖1中，設．
分兩種情況討論：①當梯形的面積與梯形的面積之比是時，
由題意，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②當梯形的面積與梯形的面積之比是時，，
∴，
，
解得：；
∴；
綜上，點E坐標或；
（3）
解：如圖，當點P與點B重合時，點Q在點M處，當點P與點A重合時，點Q在點N處，當點P在線段上運動時，點Q在線段．運動，如圖，
∵等邊，，
∴，
同理，
∴直線的解析式為：，
取中點E，過點E作垂線，交x軸于F，
則，，
∴直線解析式為：，
∵是以為底的等腰三角形，
∴點Q是直線與直線的交點，
聯立直線與直線的解析式，得
，
解得：，
∴點Q的橫坐標為．
【點睛】本題考查矩形的性質，解直角三角形，待定系數法求一欠函數解析式，兩直線交點問題，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，本題綜合性較強，屬中考壓軸題目．

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多