中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題15解直角三角形中的母抱子模型(原卷版+解析)

這是一份中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題15解直角三角形中的母抱子模型(原卷版+解析)，共35頁。
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，胡同左右兩側(cè)是豎直的墻，一架米長的梯子BC斜靠在右側(cè)墻壁上，測得梯子與地面的夾角為45°，此時(shí)梯子頂端B恰巧與墻壁頂端重合．因梯子阻礙交通，故將梯子底端向右移動(dòng)一段距離到達(dá)D處，此時(shí)測得梯子AD與地面的夾角為60°，則胡同左側(cè)的通道拓寬了（ ）
A．米B．3米C．米D．米
2．如圖，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達(dá)點(diǎn)E即米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則的長用三角函數(shù)表示為（ ）
A．B．C．D．
3．一天，小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場測量學(xué)校旗桿高度，他們首先在斜坡底部C地測得旗桿頂部A的仰角為45°，然后上到斜坡頂部D點(diǎn)處再測得旗桿頂部A點(diǎn)仰角為37°（身高忽略不計(jì)）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡長為2.6米，旗桿AB所在旗臺(tái)高度EF為1.4米，旗臺(tái)底部、臺(tái)階底部、操場在同一水平面上．則請(qǐng)問旗桿自身高度AB為（ ）米．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．10.2B．9.8C．11.2D．10.8
4．如圖，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，若米，則點(diǎn)到直線距離為（ ）．
A．米B．米C．米D．米
二、填空題
5．如圖所示，為了測量出某學(xué)校教學(xué)大樓的高度，數(shù)學(xué)課外小組同學(xué)在處，測得教學(xué)大樓頂端處的仰角為45°；隨后沿直線向前走了15米后到達(dá)處，在處測得處的仰角為30°，已知測量器高1米，則建筑物的高度約為______米．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）
6．永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌．如圖，在A處測得∠CAD＝30°，在B處測得∠CBD＝45°，并測得AB＝52米，那么永定塔的高CD約是_____米．（≈1.4，≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）
7．如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個(gè)觀測站，站在站的正東方向上，從站測得船在北偏東的方向上，從站測得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是________．
8．如圖，為了測量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩個(gè)點(diǎn)B、C，測得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的長為200米，則河的寬度為_________．（結(jié)果保留根號(hào)）
9．如圖，校園內(nèi)有一棵與地面垂直的樹，數(shù)學(xué)興趣小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地面成60°角時(shí)，第二次是陽光與地面成30角時(shí)，已知兩次測量的影長相差8米，則樹高AB為多少？___．（結(jié)果保留根號(hào)）
三、解答題
10．某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，計(jì)劃測量中原福塔的總高度．如圖所示，在B處測得福塔主體建筑頂點(diǎn)A的仰角為45°，福塔頂部桅桿天線AD高120m，再沿CB方向前進(jìn)20m到達(dá)E處，測得桅桿天線頂部D的仰角為53.4°．求中原福塔CD的總度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin53.4°≈0.803，cs53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）
11．如圖，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組想要測量某條河的寬度，小組成員在專業(yè)人員的協(xié)助下利用無人機(jī)進(jìn)行測量，在處測得，兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°（即，）．若無人機(jī)離地面的高度為120米，且點(diǎn)，，在同一水平直線上，求這條河的寬度．（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，）
12．如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，
13．如圖，山頂上有一個(gè)信號(hào)塔AC，已知信號(hào)塔高AC＝16米，在山腳下點(diǎn)B處測得塔底C的仰角是30°，塔頂A的仰角是45°，求山高CD（點(diǎn)A，C，D在同一條豎直線上）．（結(jié)果保留根號(hào)）
14．二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場，是獨(dú)特的仿古，它是為紀(jì)念京漢鐵路工人大罷工而修建的紀(jì)念性建筑物．學(xué)完三角函數(shù)知識(shí)后，某校”數(shù)學(xué)社團(tuán)”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識(shí)測量二七紀(jì)念塔的高度．如圖，CD是高為1米的測角儀，在D處測得塔頂端A的仰角為，向塔方向前進(jìn)38米在E處測得塔頂端A的仰角為，求二七紀(jì)念塔AB的高度（精確到1米，參考數(shù)據(jù)）．
15．如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點(diǎn)處測得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達(dá)處，這時(shí)小島在船的北偏東方向海里處．
（1）求輪船從處到處的航速．
（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過多少時(shí)間輪船才恰好位于小島的東南方向？
16．如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲——10飛機(jī)在點(diǎn)發(fā)現(xiàn)航展觀禮臺(tái)在俯角為21°方向上.飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)點(diǎn).此時(shí)測得點(diǎn)在點(diǎn)俯角為45°的方向上.請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛到點(diǎn)的正上方點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)、、在同一直線上），豎直高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：，，）
17．科技改變生活，時(shí)代將對(duì)我們的生活產(chǎn)生意想不到的改變．某數(shù)學(xué)興趣小組要測量信號(hào)塔的高度，如圖，在起點(diǎn)處用高米(米)的測量儀測得信號(hào)塔的頂端的仰角為，在同一剖面沿水平地面向前走米到達(dá)處，測得頂端的仰角為，求信號(hào)塔的高度約為多少米?(精確到米．參考數(shù)據(jù)：)
18．小明和小華進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，想利用所學(xué)的知識(shí)測量某旗桿AB的高度．小明站在點(diǎn)D處利用測傾器測得旗杄頂端A的仰角為45°，小華在BD之間放置一個(gè)鏡子，并調(diào)整鏡子的位置，當(dāng)鏡子恰好放在點(diǎn)E處時(shí)，位于點(diǎn)D處的小明正好在鏡子中看到旗桿頂端A，此時(shí)DE的距離為1.4米，已知測傾器的高為1.75米．請(qǐng)你根據(jù)以上信息，計(jì)算旗桿AB的高度．
19．周日，媽媽帶小嵐到商場的攀巖墻處玩耍如圖，是一攀巖墻，小嵐從攀巖墻底部處向上攀爬，媽媽站在距離攀巖墻的處，當(dāng)他到達(dá)處時(shí)，媽媽看向他的仰角為，當(dāng)他到達(dá)墻頂處時(shí)，媽媽看向他的仰角為(小嵐媽媽的身高均忽略不計(jì)) ，此時(shí)攀巖教練開始釋放手中的繩子，使小嵐以的速度下落到處，再減速下落到地面，則他從處下落到處需要多長時(shí)間? (結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：
)
20．炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風(fēng)景名勝區(qū)向陽山（始祖山）上，炎黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)為測量像體的整體高度，在地面上選取兩點(diǎn)和，且點(diǎn)，及其中像體在同一平面內(nèi)，像體底部與點(diǎn)，在同一條直線上，同學(xué)們利用高1m的測傾儀在處測得像頂?shù)难鼋菫?，在處測得像頂?shù)难鼋菫椋遥鶕?jù)測量小組提供的數(shù)據(jù)，求該塑像的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，．）
21．如圖，某樓房頂部有一根天線，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)，，，在點(diǎn)處測得天線頂端的仰角為，從點(diǎn)走到點(diǎn)，測得米，從點(diǎn)測得天線底端的仰角為，已知，，在同一條垂直于地面的直線上，米．
（1）求與之間的距離；
（2）求天線的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）
22．為了維護(hù)我國海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)60海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)測得燈塔P在北偏東方向上．
（1）求B處到燈塔P的距離；
（2）已知燈塔P的周圍50海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？
23．如圖，在港口A處的正東方向有兩個(gè)相距的觀測點(diǎn)B、C，一艘輪船從A處出發(fā)， 北偏東方向航行至D處， 在B、C處分別測得，求輪船航行的距離AD (參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
24．位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一．
某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺(tái)的高度．如圖所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水 平步道上架設(shè)測角儀，先在點(diǎn)處測得觀星臺(tái)最高點(diǎn)的仰角為，然后沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，測得點(diǎn)的仰角為．測角儀的高度為，
求觀星臺(tái)最高點(diǎn)距離地面的高度(結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)： )；
“景點(diǎn)簡介”顯示，觀星臺(tái)的高度為，請(qǐng)計(jì)算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．
25．學(xué)完三角函數(shù)知識(shí)后，某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”的小明和小華決定用自己學(xué)到的知識(shí)測量紀(jì)念塔的高度．如圖，是高為的測角儀，在處測得塔頂端的仰角為40°，向塔方向前進(jìn)在處測得塔頂端的仰角為63.4°，求紀(jì)念塔的高度(結(jié)果取整數(shù))．
參考數(shù)據(jù)：．
26．如圖，是一座人行天橋示意圖，天橋離地面的高BC是10m，坡面AC的傾斜角∠CAB＝45°，在距離A點(diǎn)12m處有一建筑物HQ．為方便行人過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面CD的傾斜角∠CDB＝37°，若新坡面下D處需留至少4m人行道，則該建筑物HQ是否需要拆除？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
27．某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組欲利用所學(xué)知識(shí)測量白塔的高度，測量過程如下：如圖，先在點(diǎn)處用測角儀測得塔頂仰角為，然后沿方向前行12米到達(dá)點(diǎn)處，在點(diǎn)處用測角儀測得塔頂仰角為，已知測角儀高為1米，、、三點(diǎn)在一條直線上，求塔的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）
特點(diǎn)
通過在三角形外作高AC，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊AC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC為公共邊，DC+BD=BC.
結(jié)論
“母包子”型的關(guān)鍵是找到兩個(gè)直角三角形外的公共高
專題15 解直角三角形中的母抱子模型
【模型展示】
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，胡同左右兩側(cè)是豎直的墻，一架米長的梯子BC斜靠在右側(cè)墻壁上，測得梯子與地面的夾角為45°，此時(shí)梯子頂端B恰巧與墻壁頂端重合．因梯子阻礙交通，故將梯子底端向右移動(dòng)一段距離到達(dá)D處，此時(shí)測得梯子AD與地面的夾角為60°，則胡同左側(cè)的通道拓寬了（ ）
A．米B．3米C．米D．米
【答案】D
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出EC、EB，根據(jù)正切的定義求出DE，結(jié)合圖形計(jì)算得到答案．
【詳解】解：在中，，
（米，
在中，，
（米，
米，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達(dá)點(diǎn)E即米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則的長用三角函數(shù)表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)題目條件，利用外角的性質(zhì)，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的長度．
【詳解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠DEF=,
∴,
由題可知，△DCE為直角三角形，
在Rt△DEC中，
即： ,
∴,
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是利用三角形的外角得出等腰三角形．
3．一天，小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場測量學(xué)校旗桿高度，他們首先在斜坡底部C地測得旗桿頂部A的仰角為45°，然后上到斜坡頂部D點(diǎn)處再測得旗桿頂部A點(diǎn)仰角為37°（身高忽略不計(jì)）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡長為2.6米，旗桿AB所在旗臺(tái)高度EF為1.4米，旗臺(tái)底部、臺(tái)階底部、操場在同一水平面上．則請(qǐng)問旗桿自身高度AB為（ ）米．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．10.2B．9.8C．11.2D．10.8
【答案】B
【分析】如圖，作交的延長線于，延長交的延長線于，作于．設(shè)，在中，根據(jù)，構(gòu)造方程解決問題即可．
【詳解】解：如圖，作DH⊥FC交FC的延長線于H，延長AB交CF的延長線于T，作DJ⊥AT于J．
由題意四邊形EFTB、四邊形DHTJ是矩形，
∴BT=EF=1.4米，JT=DH，
在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，
∴DH=1（米），CH=2.4（米），
∵∠ACT=45°，∠T=90°，
∴AT=TC，
設(shè)AT=TC=x．則DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，
在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，
∴=0.75，
解得x=2，
∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用測量高度問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，要熟練掌握仰角，坡度等概念，為中考常見題型．
4．如圖，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，若米，則點(diǎn)到直線距離為（ ）．
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【分析】設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，根據(jù)正切的定義用表示出、，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，
在中，，
在中，，
由題意得，，
解得，（米，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
5．如圖所示，為了測量出某學(xué)校教學(xué)大樓的高度，數(shù)學(xué)課外小組同學(xué)在處，測得教學(xué)大樓頂端處的仰角為45°；隨后沿直線向前走了15米后到達(dá)處，在處測得處的仰角為30°，已知測量器高1米，則建筑物的高度約為______米．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）
【答案】21
【分析】設(shè)AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，F(xiàn)G=EG+EF=x+15，根據(jù)利用特殊角三角函數(shù)值可得關(guān)于x的方程，解之可得答案．
【詳解】解：由題意可得四邊形FDCE，四邊形ECBG，四邊形FDBG均為矩形
設(shè)AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，F(xiàn)G=EG+EF=x+15，
在Rt△AFG中，
解得：
∴
故答案為：21
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想找出各邊之間的關(guān)系，然后找出所求問題需要的條件．
6．永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌．如圖，在A處測得∠CAD＝30°，在B處測得∠CBD＝45°，并測得AB＝52米，那么永定塔的高CD約是_____米．（≈1.4，≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】74
【分析】首先證明BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此構(gòu)建方程即可解決問題．
【詳解】如圖，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，
∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，
∴BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，
∴AD＝CD，
∴52+x＝x，
∴x＝≈74（m），
故答案為74，
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
7．如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個(gè)觀測站，站在站的正東方向上，從站測得船在北偏東的方向上，從站測得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是________．
【答案】
【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，然后根據(jù)等腰三角形和判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用即可求出答案．
【詳解】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
根據(jù)題意得：∠CAD=90°-60°=30°，
∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=4km，
在Rt△CBD中，
∴CD=BC?sin60°()
∴船C到海岸線的距離是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用－方向角問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義．
8．如圖，為了測量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩個(gè)點(diǎn)B、C，測得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的長為200米，則河的寬度為_________．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】（+1）m
【分析】直接過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用tan30°==，進(jìn)而得出答案．
【詳解】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∵∠β=45°，∠ADC=90°，
∴AD=DC，
設(shè)AD=DC=xm，
則tan30°=，
解得：x=100（+1），
答：河的寬度為100（+1）m．
故答案是：100（+1）m．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、特殊角的的三角函數(shù)值，正確得出AD=CD是解題關(guān)鍵．
9．如圖，校園內(nèi)有一棵與地面垂直的樹，數(shù)學(xué)興趣小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地面成60°角時(shí)，第二次是陽光與地面成30角時(shí)，已知兩次測量的影長相差8米，則樹高AB為多少？___．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】米
【分析】設(shè)，利用正切的定義以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可．
【詳解】解：設(shè)米
在中，，則
在中，，則
，即，解得
即米
故答案為米
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及正切的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正切三角函數(shù)的定義以及特殊角的正切值．
三、解答題
10．某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，計(jì)劃測量中原福塔的總高度．如圖所示，在B處測得福塔主體建筑頂點(diǎn)A的仰角為45°，福塔頂部桅桿天線AD高120m，再沿CB方向前進(jìn)20m到達(dá)E處，測得桅桿天線頂部D的仰角為53.4°．求中原福塔CD的總度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin53.4°≈0.803，cs53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）
【答案】中原福塔CD的總高度約為389m．
【分析】設(shè)AC為xm，則CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，從而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用銳角三角函數(shù)，可得到tan∠DEC=，即可求解．
【詳解】解：如圖，設(shè)AC為xm，則CD=（x+120）m，
在Rt△ACB中，∠ABC=45°，
∴BC=AC=x，
∴CE=x+20，
在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°，
即≈1.346，
解得：x≈269.0，
∴CD=x+120=389.0≈389米，
答：中原福塔CD的總高度約為389m．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形及其應(yīng)用，明確題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組想要測量某條河的寬度，小組成員在專業(yè)人員的協(xié)助下利用無人機(jī)進(jìn)行測量，在處測得，兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°（即，）．若無人機(jī)離地面的高度為120米，且點(diǎn)，，在同一水平直線上，求這條河的寬度．（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】88米
【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用銳角三角函數(shù)，用PQ表示出AQ、BQ的長，然后計(jì)算出AB的長．
【詳解】解：，
，，
在Rt△APQ中，，
，
（米），
在Rt△BPQ，，
（米），
（米），
答：這條河的寬度約為88米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問題．解決本題的關(guān)鍵是用含PQ的式子表示出AQ和BQ．
12．如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，
【答案】宣傳牌的高度為2米．
【分析】過E分別作CD、AC的垂線，設(shè)垂足為F、C，則CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可．
【詳解】解：過分別作、的垂線，設(shè)垂足為、，
則，，
在中，
斜坡的坡度，米，
設(shè)米，米，
，
，
米，米，
在中，，
米，
（米），
在中，（米），
（米）．
答：宣傳牌的高度為2米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問題，正確作出輔助線、構(gòu)建直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．
13．如圖，山頂上有一個(gè)信號(hào)塔AC，已知信號(hào)塔高AC＝16米，在山腳下點(diǎn)B處測得塔底C的仰角是30°，塔頂A的仰角是45°，求山高CD（點(diǎn)A，C，D在同一條豎直線上）．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】
【分析】分別解和，得到、，根據(jù)即可求解．
【詳解】解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．
14．二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場，是獨(dú)特的仿古，它是為紀(jì)念京漢鐵路工人大罷工而修建的紀(jì)念性建筑物．學(xué)完三角函數(shù)知識(shí)后，某?！睌?shù)學(xué)社團(tuán)”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識(shí)測量二七紀(jì)念塔的高度．如圖，CD是高為1米的測角儀，在D處測得塔頂端A的仰角為，向塔方向前進(jìn)38米在E處測得塔頂端A的仰角為，求二七紀(jì)念塔AB的高度（精確到1米，參考數(shù)據(jù)）．
【答案】二七紀(jì)念塔AB的高度約為62米
【分析】由題意根據(jù)正切的定義分別用AG表示出，進(jìn)而根據(jù)列出算式求出AG的長，計(jì)算即可．
【詳解】解：在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
．
答：二七紀(jì)念塔AB的高度約為62米．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的概念以及熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點(diǎn)處測得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達(dá)處，這時(shí)小島在船的北偏東方向海里處．
（1）求輪船從處到處的航速．
（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過多少時(shí)間輪船才恰好位于小島的東南方向？
【答案】（1）海里/小時(shí)．（2）小時(shí)．
【分析】（1）過作，利用特殊三角函數(shù)解直角三角形，分別求得OC、BC、AC的長，進(jìn)而可求得AB的長，再根據(jù)速度=路程÷時(shí)間解答即可；
（2）如圖，根據(jù)題意可判斷△OCD為等腰直角三角形，則CD=OC，進(jìn)而可得BD的長，再由時(shí)間=路程除速度求解即可．
【詳解】（1）過作，
由題意得海里，，，
（海里），
（海里），
（海里），
（海里），
速度：（海里/小時(shí)）．
（2）如圖，
由題意，，點(diǎn)在的東南方向，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∴（海里），
（海里），
（小時(shí)），
經(jīng)過小時(shí)后到達(dá)．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，理解方位角的概念，熟練運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形是解答的關(guān)鍵．
16．如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲——10飛機(jī)在點(diǎn)發(fā)現(xiàn)航展觀禮臺(tái)在俯角為21°方向上.飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)點(diǎn).此時(shí)測得點(diǎn)在點(diǎn)俯角為45°的方向上.請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛到點(diǎn)的正上方點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)、、在同一直線上），豎直高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：，，）
【答案】豎直高度約為490米．
【分析】根據(jù)題意直接利用解直角三角形的方法進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：如圖：∴
∵∴
∵∴
∴．
答：豎直高度約為490米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意利用三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．
17．科技改變生活，時(shí)代將對(duì)我們的生活產(chǎn)生意想不到的改變．某數(shù)學(xué)興趣小組要測量信號(hào)塔的高度，如圖，在起點(diǎn)處用高米(米)的測量儀測得信號(hào)塔的頂端的仰角為，在同一剖面沿水平地面向前走米到達(dá)處，測得頂端的仰角為，求信號(hào)塔的高度約為多少米?(精確到米．參考數(shù)據(jù)：)
【答案】該信號(hào)塔的高度約為米
【分析】本題首先假設(shè)AB的長度為x，繼而表示BE的長度，利用正切三角函數(shù)表示DE，進(jìn)一步表示CE，最后再次利用正切三角函數(shù)列式求解．
【詳解】由已知得：，，
設(shè)為米，則米，
在中，，
，
，
在中，．
，
求解得：（米）．
故該信號(hào)塔的高度約為米．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于對(duì)各種三角函數(shù)概念的理解，并結(jié)合具體圖形情況，適時(shí)選取合適的三角函數(shù)以提升解題效率．
18．小明和小華進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，想利用所學(xué)的知識(shí)測量某旗桿AB的高度．小明站在點(diǎn)D處利用測傾器測得旗杄頂端A的仰角為45°，小華在BD之間放置一個(gè)鏡子，并調(diào)整鏡子的位置，當(dāng)鏡子恰好放在點(diǎn)E處時(shí)，位于點(diǎn)D處的小明正好在鏡子中看到旗桿頂端A，此時(shí)DE的距離為1.4米，已知測傾器的高為1.75米．請(qǐng)你根據(jù)以上信息，計(jì)算旗桿AB的高度．
【答案】旗桿AB的高度為15.75米
【分析】過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，可得四邊形FBDC是矩形，根據(jù)入射角等于反射角可得，∠CED＝∠AEB，所以tan∠CED＝tan∠AEB，進(jìn)而可求AF的長，最后求出AB的長．
【詳解】解：如圖，
過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，
可得四邊形FBDC是矩形，
∴FB＝CD＝1.75，
FC＝BD＝BE+1.4，
根據(jù)題意，得
∠ACF＝45°，
∴AF＝CF，
根據(jù)入射角等于反射角可知：
∠CED＝∠AEB，
∴tan∠CED＝tan∠AEB，
∴，
∴，
∵AF＝FC，
∴解得AF＝14，
∴AB＝AF+FB＝14+1.75＝15.75（米）．
答：旗桿AB的高度為15.75米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到入射角和反射角的問題，能夠正確理解正切的含義是解題的關(guān)鍵．
19．周日，媽媽帶小嵐到商場的攀巖墻處玩耍如圖，是一攀巖墻，小嵐從攀巖墻底部處向上攀爬，媽媽站在距離攀巖墻的處，當(dāng)他到達(dá)處時(shí)，媽媽看向他的仰角為，當(dāng)他到達(dá)墻頂處時(shí)，媽媽看向他的仰角為(小嵐媽媽的身高均忽略不計(jì)) ，此時(shí)攀巖教練開始釋放手中的繩子，使小嵐以的速度下落到處，再減速下落到地面，則他從處下落到處需要多長時(shí)間? (結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：
)
【答案】小嵐從處下落到處需要
【分析】在中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得CD；在中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得AD，進(jìn)而得到AC的長度，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，
在中，
即
∴（m）
在中，
即
答：小嵐從處下落到處需要．
【點(diǎn)睛】此題主要考查利用三角形函數(shù)解直角三角形，熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題關(guān)鍵．
20．炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風(fēng)景名勝區(qū)向陽山（始祖山）上，炎黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)為測量像體的整體高度，在地面上選取兩點(diǎn)和，且點(diǎn)，及其中像體在同一平面內(nèi)，像體底部與點(diǎn)，在同一條直線上，同學(xué)們利用高1m的測傾儀在處測得像頂?shù)难鼋菫?，在處測得像頂?shù)难鼋菫?，且．根?jù)測量小組提供的數(shù)據(jù)，求該塑像的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，．）
【答案】該塑像的高度約為．
【分析】延長CD交MN于E，則CE⊥MN，NE=BD=AC=1m，∠MDE=45°，∠MCE=35°，CD=AB=45m，在Rt△DEM中，求出ME=DE，在Rt△CEM中，利用勾股定理求出ME的長，即可得出答案．
【詳解】延長交于，如圖所示：
由題意得：，，
，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
答：該塑像的高度約為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角問題；通過作輔助線得出直角三角形，正確求解是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，某樓房頂部有一根天線，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)，，，在點(diǎn)處測得天線頂端的仰角為，從點(diǎn)走到點(diǎn)，測得米，從點(diǎn)測得天線底端的仰角為，已知，，在同一條垂直于地面的直線上，米．
（1）求與之間的距離；
（2）求天線的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】（1）之間的距離為30米；（2）天線的高度約為27米．
【分析】（1）根據(jù)題意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不難算出A與C之間的距離．
（2）根據(jù)題意，在中，，利用三角函數(shù)可算出AE的長，又已知AB，故EB即可求解．
【詳解】（1）依題意可得，在中， ，
米，
米，米.
即之間的距離為30米．
（2）在中，，米，
（米），
米，米．
由．并精確到整數(shù)可得米．
即天線的高度約為27米．
【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（2）本題主要考查三角函數(shù)的靈活運(yùn)用，正確運(yùn)用三角函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．
22．為了維護(hù)我國海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)60海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)測得燈塔P在北偏東方向上．
（1）求B處到燈塔P的距離；
（2）已知燈塔P的周圍50海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？
【答案】（1）B處到燈塔P的距離為60海里；（2）海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的
【分析】（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度數(shù)，證得△ABP為等腰三角形，即可解決問題；
（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．
【詳解】（1）過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，
由題意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，
∴PB=AB=60（海里），
答：B處到燈塔P的距離為60海里；
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=60（海里）
在Rt△PBD中，
PD=BPsin60°60（海里），
∵，
∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確根據(jù)題意畫出圖形、準(zhǔn)確標(biāo)注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，在港口A處的正東方向有兩個(gè)相距的觀測點(diǎn)B、C，一艘輪船從A處出發(fā)， 北偏東方向航行至D處， 在B、C處分別測得，求輪船航行的距離AD (參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】20km
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，通過解和得和，根據(jù)求得DH，再解求得AD即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為
在中，
在中，
在中，
（km）
因此，輪船航行的距離約為
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理．作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
24．位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一．
某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺(tái)的高度．如圖所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水 平步道上架設(shè)測角儀，先在點(diǎn)處測得觀星臺(tái)最高點(diǎn)的仰角為，然后沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，測得點(diǎn)的仰角為．測角儀的高度為，
求觀星臺(tái)最高點(diǎn)距離地面的高度(結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)： )；
“景點(diǎn)簡介”顯示，觀星臺(tái)的高度為，請(qǐng)計(jì)算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．
【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次測量，求平均值
【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥MN交MN的延長線于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)條件證出四邊形BMNC為矩形、四邊形CNED為矩形、三角形ACD與三角形ABD均為直角三角形，設(shè)AD的長為xm，則CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的長度，再加上DE的長度即可；
（2）根據(jù)（1）中算的數(shù)據(jù)和實(shí)際高度計(jì)算誤差，建議是多次測量求平均值．
【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥MN交MN的延長線于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)D，
設(shè)AD的長為xm，
∵AE⊥ME，BC∥MN，
∴AD⊥BD，∠ADC=90°，
∵∠ACD=45°，
∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，
由題易得，四邊形BMNC為矩形，
∵AE⊥ME，
∴四邊形CNED為矩形，
∴DE=CN=BM=，
在Rt△ABD中，，
解得：，
即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，
答：觀星臺(tái)最高點(diǎn)距離地面的高度為12.3m．
（2）本次測量結(jié)果的誤差為：12.6-12.3=0.3m，
減小誤差的合理化建議：多次測量，求平均值．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
25．學(xué)完三角函數(shù)知識(shí)后，某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”的小明和小華決定用自己學(xué)到的知識(shí)測量紀(jì)念塔的高度．如圖，是高為的測角儀，在處測得塔頂端的仰角為40°，向塔方向前進(jìn)在處測得塔頂端的仰角為63.4°，求紀(jì)念塔的高度(結(jié)果取整數(shù))．
參考數(shù)據(jù)：．
【答案】紀(jì)念塔的高度約為．
【分析】根據(jù)正切的定義分別用AG表示出EG、DG，再在在中列出算式求出AG的長，計(jì)算即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，．
在中，，
．
．
在中，，
．
．
答：紀(jì)念塔的高度約為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，是一座人行天橋示意圖，天橋離地面的高BC是10m，坡面AC的傾斜角∠CAB＝45°，在距離A點(diǎn)12m處有一建筑物HQ．為方便行人過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面CD的傾斜角∠CDB＝37°，若新坡面下D處需留至少4m人行道，則該建筑物HQ是否需要拆除？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
【答案】不需要拆除，理由見解析.
【分析】在Rt△ABC、Rt△DBC中，利用銳角三角函數(shù)分別計(jì)算DB、AB，然后計(jì)算DH的長，根據(jù)DH與4的關(guān)系，得出結(jié)論．
【詳解】解：結(jié)論：該建筑物HQ不需要拆除
由題意知，AH＝12m，BC＝10m，
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，
∴AB＝BC＝10m，
在Rt△DBC中，∵∠CDB＝37°，
，
∵DH＝AH﹣DA
＝AH﹣（DB﹣AB）
＝12﹣（﹣10）
＝
≈8.6（m），
∵8.6＞4，
∴該建筑物HQ不需要拆除．
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，難度不大．利用線段的和差關(guān)系和銳角三角函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵．
27．某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組欲利用所學(xué)知識(shí)測量白塔的高度，測量過程如下：如圖，先在點(diǎn)處用測角儀測得塔頂仰角為，然后沿方向前行12米到達(dá)點(diǎn)處，在點(diǎn)處用測角儀測得塔頂仰角為，已知測角儀高為1米，、、三點(diǎn)在一條直線上，求塔的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】塔的高度為米.
【分析】記EF的延長線交CD于G，首先證明FG＝DG，在Rt△DEG中，求出x即可解決問題．
【詳解】解：如解圖，延長交于點(diǎn)，則.
根據(jù)題意得：米，米，
設(shè)米，
∵在中，，
∴米，
在中，，
∵，
∴，解得，
∴米，
答：塔的高度為米.
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
特點(diǎn)
通過在三角形外作高AC，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊AC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC為公共邊，DC+BD=BC.
結(jié)論
“母包子”型的關(guān)鍵是找到兩個(gè)直角三角形外的公共高