解三角形在近 10年全國(guó)卷及省市自主命題中共考查188次,在全國(guó)卷中選擇題和填空題共考查 33 次,解答題 25 次。選擇題和填空題中考查利用正、余弦定理求解角或邊長(zhǎng)相關(guān)25 次,面積相關(guān)4次,實(shí)際應(yīng)用4次,其中簡(jiǎn)單題:中檔題:較難題=4:9:20,填空題多以15題位置出現(xiàn)
1．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，則csB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.
【詳解】在中，，，
根據(jù)余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且 ，則等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出，并進(jìn)一步判斷，由正弦定理可得，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；
【詳解】，，
，
，
，，
，
，
故選：A.
3．（2021·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，，則（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).
【詳解】設(shè)，
結(jié)合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故選：D.
【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：
(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；
(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；
(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．
4．（2023·四川成都·成都七中校考二模）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則的值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)正弦定理可得，再結(jié)合同角商數(shù)關(guān)系，平方關(guān)系，最后求得.
【詳解】由得，又，所以，從而，所以.
故選：B
5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
【答案】B
【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．
【詳解】
過作，過作，
故，
由題，易知為等腰直角三角形，所以．
所以．
因?yàn)椋?br>在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長(zhǎng)度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為．
6．（2023·全國(guó)·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，在中，，點(diǎn)D在線段AB上，且滿足，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，結(jié)合角平分線定理、二倍角公式、正弦定理即可求得的值.
【詳解】在中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為，又點(diǎn)D在線段AB上，且滿足，
所以，
又，由角平分線定理可得，所以，則，
又，所以，則，
由正弦定理得.
故選：B.
7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛經(jīng)、僧人遺體等的高聳型點(diǎn)式建筑，稱“佛塔”．如圖，為測(cè)量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．13米B．24米C．39米D．45米
【答案】C
【分析】在Rt△ABC根據(jù)∠ACB的正切得AB與BC的關(guān)系，在△BCD中利用正弦定理列式即可求解．
【詳解】設(shè)，則，
在中，，由正弦定理得，
因?yàn)椋?br>代入數(shù)據(jù)，解得（米），
故選：C．
8．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，，，，則該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將三棱錐放入如圖所示的長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方體的另一棱長(zhǎng)為，由求出，即可求出，再由余弦定理和正弦定理求出的外接圓的半徑為，即可求出該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積
【詳解】因?yàn)槿忮F的外接球的半徑為3，而，
所以為外接球的直徑，如圖，將三棱錐放入如圖所示的長(zhǎng)方體，
則，設(shè)長(zhǎng)方體的另一棱長(zhǎng)為，
所以，解得：，即，
設(shè)外接球的球心為，所以，，
取的外接圓的半徑為，
則，
則，所以，則，
所以該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積：.
故選：D.
9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接AC，BD．利用正弦定理求出，，，再利用托勒密定理求出，即得解.
【詳解】連接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于半徑為的圓，
它的對(duì)角互補(bǔ)，所以，
所以,所以，
所以四邊形ABCD的周長(zhǎng)為．
故選：A．
10．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）矗立在上饒市市民公園的四門通天銅雕有著“四方迎客、通達(dá)天下”的美好寓意，也象征著上饒四省通衢，連南接北，通江達(dá)海，包容八方．某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共線三點(diǎn)，，處測(cè)得銅雕頂端處仰角分別為，，，且，則四門通天的高度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)的投影為，且，利用銳角三角函數(shù)表示出、、，再在和中分別用余弦定理得到方程，解得即可.
【詳解】解：設(shè)的投影為，且，在中，，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
在和中分別用余弦定理得，
解得或（舍去），即四門通天的高度為.
故選：B
11．（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)分別在邊上，且線段平分的面積，則線段的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形面積公式和余弦定理，再結(jié)合基本不等式可求.
【詳解】設(shè).
根據(jù)三角形面積公式可得，，，
又，.
根據(jù)余弦定理可得
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為.
故選：B.
12．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．
【答案】或0
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】∵三點(diǎn)共線，
∴可設(shè)，
∵，
∴，即，
若且，則三點(diǎn)共線，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
設(shè)，，則，.
∴根據(jù)余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的長(zhǎng)度為.
當(dāng)時(shí)， ，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，
當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.
故答案為：0或.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．
13．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cs∠FCB=______________.
【答案】
【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計(jì)算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.
【詳解】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
14．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．
【答案】
【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.
【詳解】由題意，，
所以，
所以，解得（負(fù)值舍去）.
故答案為：.
15．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．
【答案】##
【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設(shè)，
則在中，，
在中，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)取最小值時(shí)，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
[方法四]：判別式法
設(shè)，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時(shí)
所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.

16．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，則角______.
【答案】##
【分析】先將等式去分母，然后利用正弦定理變形整理可得角A.
【詳解】將等式兩邊同時(shí)乘以得
，
由正弦定理得，
又在中，得
，
.
故答案為：.
17．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，則的面積等于______．
【答案】##
【分析】由，，結(jié)合余弦定理得到，再由利用正弦定理得到求解.
【詳解】解：由，①知，，
由余弦定理，得．
又，
所以．
由及正弦定理，得②．
聯(lián)立①②，得，
所以的面積為．
故答案為：．
18．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測(cè)）蘭州黃河樓，位于黃河蘭州段大拐彎處，是一座講述黃河故事的人文地標(biāo)，是傳承和記錄蘭州文化的精神產(chǎn)物，展現(xiàn)了甘肅濃厚的歷史文化底蘊(yùn)及黃河文化的獨(dú)特魅力．某同學(xué)為了估算該樓的高度，采用了如圖所示的方式來進(jìn)行測(cè)量：在地面選取相距90米的C、D兩觀測(cè)點(diǎn)，且C、D與黃河樓底部B在同一水平面上，在C、D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得黃河樓頂部A的仰角分別為，并測(cè)得，則黃河樓的估計(jì)高度為_____________米．
【答案】90
【分析】根據(jù)仰角分別得出,，在中由余弦定理求解即可.
【詳解】在中，，所以，
在，，所以，即，
在中，，，
由余弦定理，，
即，解得或（舍去），
即黃河樓的估計(jì)高度為米.
故答案為：
19．（2023·四川·校聯(lián)考一模）若的面積是外接圓面積的，則______．
【答案】##
【分析】由正弦定理表示外接圓的面積，由的面積是外接圓面積的得出，又，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.
【詳解】由正弦定理得，則，
又的面積是外接圓面積的，
所以，即.
.
故答案為：.
20．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知的三邊長(zhǎng)分別為4、5、7，記的三個(gè)內(nèi)角的正切值所組成的集合為，則集合中的最大元素為______.
【答案】
【分析】設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，根據(jù)余弦定理確定三角形最大角角為鈍角，利用大邊對(duì)大角及正確函數(shù)性質(zhì)，可知三個(gè)內(nèi)角的正切值最大為，再利用余弦定理及同角三角關(guān)系即可求得得值.
【詳解】不妨設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，則由大邊對(duì)大角可得，
所以最大角為，
由余弦定理得：，又，故角為鈍角，
所以，
又函數(shù)在上遞增，此時(shí)，在上遞增，此時(shí)，
所以三個(gè)內(nèi)角的正切值最大為，
由余弦定理得：，則，
所以.
故答案為：.
21．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則___________，___________.
【答案】
【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.
【詳解】由題意作出圖形，如圖，
在中，由余弦定理得，
即，解得（負(fù)值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案為：；.

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