一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為集合，，所以．
故選：C.
2. 函數(shù)的定義域為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意知解得且，
所以函數(shù)的定義域為．
故選：D
3. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】若，，滿足，但不成立；
若，則，則成立，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
4. 已知某扇形的周長是24，面積為36，則該扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)扇形的半徑為r，所對弧長為l，則有解得
故．
故選：A.
5. 設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依題意，，則，解得，即函數(shù)的定義域為，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
故選：D.
6. 若函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意知，解得，所以，
令，，解得，，
當(dāng)時，可得在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
即m的取值范圍是．
故選：B.
7. 已知函數(shù)則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】當(dāng)時，，
則時無解；
當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，則的解集為；
當(dāng)時，，
則在時恒成立，
綜上，不等式的解集為．
故選：B.
8. 已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，則糖水變得更甜（即糖水中含糖濃度更大），對應(yīng)的不等式為，若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意知，
又．
綜上，．
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 若角的終邊上有一點，則的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】若的終邊上有一點，
當(dāng)時，，，
此時；
當(dāng)時，，，
此時．
故選：BD.
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)（且）的圖象恒過定點
B. 函數(shù)與表示同一個函數(shù)
C. 函數(shù)的最小值為3
D. 若關(guān)于x不等式的解集為或，則
【答案】AB
【解析】對于A，因（且）恒過定點，故函數(shù)的圖象恒過定點，故A正確；
對于B，函數(shù)與的定義域為，
且，，故它們?yōu)橥粋€函數(shù)，故B正確；
對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，但方程無解，等號不成立，故C錯誤；
對于D，依題意關(guān)于x的方程有兩根為和2，故必有
解得所以，故D錯誤．
故選：AB.
11. 已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對于任意的，都有，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 是偶函數(shù)
C. 若，則
D. 若當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增
【答案】ACD
【解析】因為，所以令，得，故A正確；
令，得，所以，
令，得，所以，
令，得，又，所以，
又因為定義域為R，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故B錯誤；
令，得，
令，，得，
所以，故C正確；
當(dāng)時，由，可得，
又，所以，
任取，
所以，
又，所以，，故，
所以在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：ACD.
12. 已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，請寫出一個滿足條件的的值為______．
【答案】（答案不唯一．滿足即可）
【解析】當(dāng)時,冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，滿足題意.
故答案：（答案不唯一．滿足即可）
13. 若命題“，使得”是假命題，則m的取值范圍是___.
【答案】
【解析】由題意知，原命題的否定“，”是真命題，
令，
所以，
解得，即m的取值范圍是.
故答案為：.
14. 設(shè)，，且，則的最大值為____.
【答案】
【解析】因為，所以，
所以．
當(dāng)，時，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立；
當(dāng)，時，此時．不成立；
當(dāng)時，，此時；
當(dāng)，時，，，不成立；
當(dāng)，時，，，不成立；
綜上，的最大值為，
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，．
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求a的取值范圍．
解：（1）由題意知，
，
當(dāng)時，，所以，
所以．
（2），，
若，顯然，
則或，
解得或，
即a的取值范圍是.
16. （1）已知，求的值；
（2）若，且，求的值．
解：（1）由題意知
．
（2）因為，，
解得，或，，
又，所以，，所以.
17. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求m的取值范圍．
解：（1）函數(shù)的最小正周期；
令，，解得，．
即的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）當(dāng)時，，
令，即，
畫出上的圖象如圖，
因為在的值域為，
所以，
解得，即m的取值范圍為．
18. 已知函數(shù)（且）在上的最大值和最小值之和為20，函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求a和b的值；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
（3）若函數(shù)恰有兩個不同的零點，求m的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上的最大值與最小值之和為，解得．
所以，的定義域為R，又函數(shù)是奇函數(shù)，
所以，解得，
當(dāng)時，，
所以，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，滿足題意．
（2）證明：任取，且，
所以
，
又，所以，，，所以，
即，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增．
（3）因為，
所以有兩個不同的實數(shù)解，
即有兩個不同的實數(shù)解，
令，則在上有兩個不同的實數(shù)解，
令，又，所以--m-32>0,Δ=-m-32-8>0,
解得，即m的取值范圍是．
19. 對于函數(shù)，若存在實數(shù)k，使得等式對定義域中每一個實數(shù)x都成立，則稱函數(shù)為型函數(shù)．
（1）若函數(shù)（且）是型函數(shù)，求a的值；
（2）已知函數(shù)的定義域為，恒大于0，且是型函數(shù)，當(dāng)時，．
①若，求的解析式；
②若對任意的恒成立，求m的取值范圍．
解：（1）因為函數(shù)（且）是型函數(shù)，
所以對定義域中每一個實數(shù)x都成立，即，
又且，所以．
（2）①因為是型函數(shù)，所以，
當(dāng)時，，又，所以；
令，得，
所以，
又當(dāng)時，，
所以，
解得，
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以．
綜上，
②因為是型函數(shù)，所以，
當(dāng)時，，又，所以，滿足；
當(dāng)時，恒成立，
令，則當(dāng)時，恒成立，所以恒成立，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以；
當(dāng)時，，
則，
由，得，
令，則當(dāng)時，，
又，則只需時，恒成立，即恒成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，
綜上，m取值范圍是．

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