（2種命題預(yù)測+17種題型匯總+專題訓(xùn)練）
【題型匯總】
類型一 數(shù)與式、圖形的規(guī)律問題
【命題預(yù)測】數(shù)與式、圖形的規(guī)律問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，需要學(xué)生學(xué)會分析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律一一重點分析“怎樣變”，應(yīng)結(jié)合各式或圖形的序號進(jìn)行前后對比分析。主要考査學(xué)生閱讀理解、觀察圖形的變化規(guī)律的能力，要求學(xué)生通過觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.
題型01 個位數(shù)規(guī)律
1．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示，即 21=2,22=4,23=8,24=16,23=32,? 請你推算23024的個位數(shù)字是 ．
【答案】6
【分析】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，由題意得2n個位數(shù)字每四個數(shù)按2，4，8，6循環(huán)出現(xiàn)，結(jié)合3024÷4=756，即可得出答案．
【詳解】解：由題意得，2n個位數(shù)字每四個數(shù)按2，4，8，6循環(huán)出現(xiàn)，
∵3024÷4=756，
∴23024的個位數(shù)字與24相同，是6，
故答案為：6．
2．（2024·山東臨沂·二模）觀察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…根據(jù)其中的規(guī)律可得70+71+72+?+72024的結(jié)果的個位數(shù)字是 ．
【答案】1
【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的規(guī)律型問題，根據(jù)已知等式正確發(fā)現(xiàn)個位數(shù)字的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
先根據(jù)已知等式發(fā)現(xiàn)個位數(shù)字是以1,7,9,3為一循環(huán)，再根據(jù)2024+1=4×506+1即可得．
【詳解】因為70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，
所以個位數(shù)字是以1,7,9,3為一循環(huán)，且1+7+9+3=20，
又因為2024+1=4×506+1，506×20+1=10121，
所以70+71+72+?+72024的結(jié)果的個位數(shù)字是1，
故答案為：1．
3．（2021·湖北武漢·一模）觀察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，…，31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,33=6561，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，221+311的末位數(shù)字是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】D
【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的數(shù)的尾數(shù)，找到21，22，23?2n這一列數(shù)的其結(jié)果的末位數(shù)字每4次運(yùn)算尾數(shù)2、4、8、6循環(huán)出現(xiàn)，31，32，33?3n這一列數(shù)的其結(jié)果的末位數(shù)字每4次運(yùn)算尾數(shù)3、9、7、1循環(huán)出現(xiàn)，據(jù)此規(guī)律求解即可．
【詳解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，
，
以此類推，21，22，23?2n這一列數(shù)的其結(jié)果的末位數(shù)字每4次運(yùn)算尾數(shù)2、4、8、6循環(huán)出現(xiàn)，
∵21÷4=5…1，
∴221的末尾數(shù)字與21=2的尾數(shù)相同為2，
∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，
，
以此類推，31，32，33?3n這一列數(shù)的其結(jié)果的末位數(shù)字每4次運(yùn)算尾數(shù)3、9、7、1循環(huán)出現(xiàn)，
∵11÷4=2…3
∴311的末尾數(shù)字與33=27的尾數(shù)相同為7，
∴221+311的末位數(shù)字是：2+7=9．
故選：D．
題型02 單/多項式類規(guī)律
4．（2022·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：12，?35，12，?717，926，?1137，…．則按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是（ ）
A．?19101B．21101C．?1982D．2182
【答案】A
【分析】把第3個數(shù)轉(zhuǎn)化為：510，不難看出分子是從1開始的奇數(shù)，分母是n2+1，且奇數(shù)項是正，偶數(shù)項是負(fù)，據(jù)此即可求解．
【詳解】原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：12,?35,510,?717,926,?1137,???，
∴12=?11+1×2×1?112+1，
?35=?12+1×2×2?122+1，
510=?13+1×2×3?132+1，
..．
∴第n個數(shù)為：?1n+1×2n?1n2+1，
∴第10個數(shù)為：?110+1×2×10?1102+1=?19101．
故選：A．
【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)總結(jié)出存在的規(guī)律．
5．（2023·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的單項式：5a，8a2，11a3，14a4，…．則按此規(guī)律排列的第n個單項式為 ．（用含有n的代數(shù)式表示）
【答案】3n+2an
【分析】根據(jù)系數(shù)和字母的次數(shù)與單項式的序號關(guān)系寫出即可．
【詳解】解：5a系數(shù)為3×1+2=5，次數(shù)為1；
8a2系數(shù)為3×2+2=8，次數(shù)為2；
11a3系數(shù)為3×3+2=11，次數(shù)為3；
14a4系數(shù)為3×4+2=14，次數(shù)為4；
∴第n個單項式的系數(shù)可表示為：3n+2，字母a的次數(shù)可表示為：n，
∴第n個單項式為：3n+2an．
【點睛】本題考查數(shù)字變化類規(guī)律探究，掌握單項式的系數(shù)和次數(shù)并發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·甘肅武威·中考真題）一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+2b,a2?2b3,a3+2b5,a4?2b7，…，則第n個式子是 ．
【答案】an+?1n+1?2b2n?1
【分析】根據(jù)已知的式子可以看出：每個式子的第一項中a的次數(shù)是式子的序號；第二項中b的次數(shù)是序號的2倍減1，而第二項的符號是第奇數(shù)項時是正號，第偶數(shù)項時是負(fù)號．
【詳解】解：∵當(dāng)n為奇數(shù)時，?1n+1=1；
當(dāng)n為偶數(shù)時，?1n+1=?1，
∴第n個式子是：an+?1n+1·2b2n?1．
故答案為：an+?1n+1·2b2n?1
【點睛】本題考查了多項式的知識點，認(rèn)真觀察式子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
題型03 單/多項式類規(guī)律
7．（2024·四川德陽·中考真題）將一組數(shù)2,2,6,22,10,23,?,2n,?，按以下方式進(jìn)行排列：
則第八行左起第1個數(shù)是（ ）
A．72B．82C．58D．47
【答案】C
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．求出第七行共有28個數(shù)，從而可得第八行左起第1個數(shù)是第29個數(shù)，據(jù)此求解即可得．
【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個數(shù)，第二行共有2個數(shù)，第三行共有3個數(shù)，
歸納類推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28個數(shù)，
則第八行左起第1個數(shù)是2×29=58，
故選：C．
8．（2022·湖南懷化·中考真題）正偶數(shù)2，4，6，8，10，…，按如下規(guī)律排列，
則第27行的第21個數(shù)是 ．
【答案】744
【分析】由題意知，第n行有n個數(shù)，第n行的最后一個偶數(shù)為n（n+1），計算出第27行最后一個偶數(shù)，再減去與第21位之差即可得到答案．
【詳解】由題意知，第n行有n個數(shù)，第n行的最后一個偶數(shù)為n（n+1），
∴第27行的最后一個數(shù)，即第27個數(shù)為27×28=756，
∴第27行的第21個數(shù)與第27個數(shù)差6位數(shù)，即756?2×6=744，
故答案為：744．
【點睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律的探究，根據(jù)已知條件的數(shù)字排列找到規(guī)律，用含n的代數(shù)式表示出來由此解決問題是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·山東泰安·中考真題）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：
若有序數(shù)對n,m表示第n行，從左到右第m個數(shù)，如3,2表示6，則表示99的有序數(shù)對是 ．
【答案】10,18
【分析】分析每一行的第一個數(shù)字的規(guī)律，得出第n行的第一個數(shù)字為1+（n?1）2，從而求得最終的答案．
【詳解】第1行的第一個數(shù)字：1=1+1?12
第2行的第一個數(shù)字：2=1+2?12
第3行的第一個數(shù)字：5=1+3?12
第4行的第一個數(shù)字：10=1+4?12
第5行的第一個數(shù)字：17=1+5?12
…..，
設(shè)第n行的第一個數(shù)字為x，得x=1+n?12
設(shè)第n+1行的第一個數(shù)字為z，得z=1+n2
設(shè)第n行，從左到右第m個數(shù)為y
當(dāng)y=99時
1+(n?1)2≤991)個圖案中有2+2n個白色圓片．
故答案為：2+2n．
【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．解題關(guān)鍵是總結(jié)歸納出圖形的變化規(guī)律．
33．（2023·湖北十堰·中考真題）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，……，若按此規(guī)律拼下去，則第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為 （用含n的式子表示）．

【答案】6n+6/6+6n
【分析】當(dāng)n=1時，有21+1=4個三角形；當(dāng)n=2時，有22+1=6個三角形；當(dāng)n=3時，有23+1=8個三角形；第n個圖案有2n+1=2n+2個三角形，每個三角形用三根計算即可．
【詳解】解：當(dāng)n=1時，有21+1=4個三角形；
當(dāng)n=2時，有22+1=6個三角形；
當(dāng)n=3時，有23+1=8個三角形；
第n個圖案有2n+1=2n+2個三角形，
每個三角形用三根，
故第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為6n+6．
故答案為：6n+6．
【點睛】本題考查了整式的加減的數(shù)字規(guī)律問題，熟練掌握規(guī)律的探索方法是解題的關(guān)鍵．
題型10 圖形遞變累加型
34．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為（ ）
A．90B．91C．92D．93
【答案】B
【分析】本題主要考查了規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到有關(guān)圖形個數(shù)的規(guī)律．仔細(xì)觀察圖形知道第1個圖形有1個正方形，第2個有5=12+22個，第3個圖形有14=12+22+32個，…由此得到規(guī)律求得第6個圖形中正方形的個數(shù)即可．
【詳解】第1個圖形有1個正方形，
第2個圖形有5=12+22個正方形，
第3個圖形有14=12+22+32個正方形，
……
第6個圖形有12+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91（個）正方形，
故選：B.
35．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數(shù)是（ ）
A．297B．301C．303D．400
【答案】B
【分析】首先根據(jù)前幾個圖形圓點的個數(shù)規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得到第100個圖擺放圓點的個數(shù)．
【詳解】解：觀察圖形可知：第1幅圖案需要4個圓點，即4＋3×0，
第2幅圖7個圓點，即4+3=4+3×1；
第3幅圖10個圓點，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅圖13個圓點，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅圖中，圓點的個數(shù)為：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅圖，圓中點的個數(shù)為：3×100+1=301．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．
36．（2024·西藏·中考真題）如圖是由若干個大小相同的“”組成的一組有規(guī)律的圖案，其中第1個圖案用了2個“”，第2個圖案用了6個“”，第3個圖案用了12個“”，第4個圖案用了20個“”，……，依照此規(guī)律，第n個圖案中“”的個數(shù)為 （用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】n2+n
【分析】
本題考查了圖形類規(guī)律，根據(jù)圖形規(guī)律求得第n個圖案中“”的個數(shù)為n2+n，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中個數(shù)的變化規(guī)律．
【詳解】
解：∵第1個圖案用了12+1=2個“”，
第2個圖案用了22+2=6個“”，
第3個圖案用了32+3=12個“”，
第4個圖案用了42+4=20個“”，
……，
∴第n個圖案中“”的個數(shù)為n2+n，
故答案為：n2+n．
37．（2024·安徽合肥·二模）若干個“△”和“★”按照一定規(guī)律排列成下列圖形．
(1)按照上圖所示規(guī)律，圖4中有______個“△”，圖5中有______個“★”；
(2)設(shè)圖n中有x個“△”，y個“★”，試求y與x之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)10，27
(2)y=2x+1
【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找到圖形的變化規(guī)律．
（1）仔細(xì)觀察圖形，找到圖形的變化規(guī)律，利用規(guī)律寫出答案即可；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律利用x和y表示出n，對應(yīng)相等即可得出答案．
【詳解】（1）解：由圖可得：
圖1中“△”的個數(shù)為1=3×1?2，“★”的個數(shù)為3=6×1?3，
圖2中“△”的個數(shù)為4=3×2?2，“★”的個數(shù)為9=6×2?3，
圖3中“△”的個數(shù)為7=3×3?2，“★”的個數(shù)為15=6×3?3，
…，
∴圖n中“△”的個數(shù)為3n?2，“★”的個數(shù)為6n?3，
∴圖4中有3×4?2=10個“△”，圖5中有6×5?3=27個“★”；
（2）解：由（1）得：圖n中“△”的個數(shù)為3n?2，“★”的個數(shù)為6n?3，
∵設(shè)圖n中有x個“△”，y個“★”，
∴x=3n?2，y=6n?3，
∴n=x+23，n=y+36，
∴y+36=x+23，
∴y=2x+1．
38．（2023·安徽·中考真題）【觀察思考】
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
請用含n的式子填空：
(1)第n個圖案中“”的個數(shù)為 ；
(2)第1個圖案中“★”的個數(shù)可表示為1×22，第2個圖案中“★”的個數(shù)可表示為2×32，第3個圖案中“★”的個數(shù)可表示為3×42，第4個圖案中“★”的個數(shù)可表示為4×52，……，第n個圖案中“★”的個數(shù)可表示為______________．
【規(guī)律應(yīng)用】
(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+?+n等于第n個圖案中“”的個數(shù)的2倍．
【答案】(1)3n
(2)n×n+12
(3)n=11
【分析】（1）根據(jù)前幾個圖案的規(guī)律，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形規(guī)律，即可求解．
（3）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）
解：第1個圖案中有3個，
第2個圖案中有3+3=6個，
第3個圖案中有3+2×3=9個，
第4個圖案中有3+3×3=12個，
……
∴第n個圖案中有3n個，
故答案為：3n．
（2）第1個圖案中“★”的個數(shù)可表示為1×22，
第2個圖案中“★”的個數(shù)可表示為2×32，
第3個圖案中“★”的個數(shù)可表示為3×42，
第4個圖案中“★”的個數(shù)可表示為4×52，……，
第n個圖案中“★”的個數(shù)可表示為n×n+12，
（3）解：依題意，1+2+3+……+n=n×n+12，
第n個圖案中有3n個，
∴nn+12=3n×2，
解得：n=0（舍去）或n=11．
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
題型11 分區(qū)域累加型
39．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）嘉嘉利用便利貼拼成一個寶塔形圖案，寶塔形圖案共有10層，每一層由三列的便利貼拼成，前3層如圖所示．若同一層中每一列皆比前一列多2張，且每一層第一列皆比前一層第一列多2張，則此寶塔形圖案是由（ ）張便利貼拼成的．
A．354B．360C．384D．390
【答案】B
【分析】此題考查了圖形的規(guī)律，根據(jù)各層的的便利貼的數(shù)量變化，找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計算即可.
【詳解】解：根據(jù)題意可得，第一層有便利貼：1+3+5=9（張），
第二層有便利貼：3+5+7=15（張），
第三層有便利貼：5+7+9=21（張），
……
第n（n為正整數(shù)）層有便利貼：2n?1+2n+1+2n+3=6n+3（張），
∵9+15+21+…+6n+3=n9+6n+32=3n2+6n
∴當(dāng)n=10時，3n2+6n=3×102+6×10=360（張），
∴此寶塔形圖案是由360張便利貼拼成的．
故選：B
40．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第 個“小屋子”中圖形“○”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．
【答案】12
【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“〇”和“●”的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)所給圖形，依次求出“〇”和“●”的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可．
【詳解】解：由所給圖形可知，
第1個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：1=1，“●”的個數(shù)為：4=1×2+2；
第2個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：3=1+2，“●”的個數(shù)為：6=2×2+2；
第3個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：6=1+2+3，“●”的個數(shù)為：8=3×2+2；
第4個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：10=1+2+3+4，“●”的個數(shù)為：10=4×2+2；
…，
所以第n個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：1+2+3+?+n=n(n+1)2，“●”的個數(shù)為：2n+2；
由題知nn+12=32n+2，解得n1=?1，n2=12，
又n為正整數(shù)，則n=12，即第12個“小屋子”中圖形“〇”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．
故答案為：12．
41．（2024·安徽·模擬預(yù)測）下列圖形都是有同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，其中第①個圖形中一共有4個小圓圈，第②個圖形中一共有10個小圓圈，第③個圖形中一共有19個小圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個圖形中小圓圈的個數(shù)為 ．
【答案】85
【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，觀察圖形可得前三個圖形的小圓圈的變化規(guī)律，進(jìn)而可得第⑦個圖形中小圓圈的個數(shù)．
【詳解】解：觀察圖形可知：
第①個圖形中一共有4個小圓圈，即1+2+12；
第②個圖形中一共有10個小圓圈，即1+2+3+22；
第③個圖形中一共有19個小圓圈，即1+2+3+4+32；
按此規(guī)律排列下去，
第n個圖形中小圓圈的個數(shù)為：
1+2+3+4+?+n+1+n2=12n+1n+2+n2，
所以第⑦個圖形中小圓圈的個數(shù)為：
127+17+2+72=85，
故答案為：85
42．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，圖案1中“☆”的個數(shù)為1×2，“★”的個數(shù)為2×32，圖案2中“☆”的個數(shù)為2×3，“★”的個數(shù)為3×42，圖案3中“☆”的個數(shù)為3×4，“★”的個數(shù)為4×52；…．
(1)圖案5中“☆”的個數(shù)為 ；
(2)圖案n中，“★”的個數(shù)為 ；（用含n的式子表示）
(3)根據(jù)圖案中“☆”和“★”的排列方式及規(guī)律，若圖案n中“★”的個數(shù)是“☆”的個數(shù)的23，求n的值．
【答案】(1)30
(2)n+1n+22
(3)n的值為6
【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“☆”和“★”個數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)所給圖形，發(fā)現(xiàn)“☆”個數(shù)變化的規(guī)律即可解決問題；
（2）根據(jù)所給圖形，發(fā)現(xiàn)“★”個數(shù)變化的規(guī)律即可解決問題；
（3根據(jù)（1）（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律列方程，解方程即可解決問題．
【詳解】（1）第1個圖案中“☆”的個數(shù)為1×2；
第2個圖案中“☆”的個數(shù)為2×3；
第3個圖案中“☆”的個數(shù)為3×4；
……
第n個圖案中“☆”的個數(shù)為nn+1；
即圖案5中“☆”的個數(shù)為5×6=30
故答案為：30
（2）由題知，
第1個圖案中“★”的個數(shù)為2×32；
第2個圖案中“★”的個數(shù)為3×42；
第3個圖案中“★”的個數(shù)為4×52；
……
第n個圖案中“★”的個數(shù)為(n+1)(n+2)2；
故答案為：(n+1)(n+2)2．
（3）由題知，
(n+1)(n+2)2=23n(n+1)，
解得n=?1或6，
因為n為正整數(shù)，
所以n=6．
故正整數(shù)n的值為6．
題型12 圖形循環(huán)規(guī)律
43．（2021百色市模擬）正方形紙板ABCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A,D對應(yīng)的數(shù)分別為1和0，若正方形紙板ABCD繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，則在數(shù)軸上與2020對應(yīng)的點是（ ）
A．AB．BC．CD．D
【答案】D
【分析】先翻轉(zhuǎn)一次和兩次確認(rèn)點B、C對應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)歸納類推出每個頂點對應(yīng)的數(shù)的規(guī)律，從而即可得出答案．
【詳解】翻轉(zhuǎn)一次可得：點B對應(yīng)的數(shù)為2；再翻轉(zhuǎn)一次可得：點C對應(yīng)的數(shù)為3
在正方形紙板連續(xù)翻轉(zhuǎn)的過程中，各頂點對應(yīng)的數(shù)的規(guī)律歸納類推如下：
點A對應(yīng)的數(shù)分別為1,5,9,?,1+4n，n為非負(fù)整數(shù)
點B對應(yīng)的數(shù)分別為2,6,10,?,2+4n，n為非負(fù)整數(shù)
點C對應(yīng)的數(shù)分別為3,7,11,?,3+4n，n為非負(fù)整數(shù)
點D對應(yīng)的數(shù)分別為0,4,8,?,4n，n為非負(fù)整數(shù)
由此可知，只有點D對應(yīng)的數(shù)可以為2020，此時n=505為非負(fù)整數(shù)，符合要求
故選：D．
【點睛】本題考查了數(shù)軸的定義的實際應(yīng)用，讀懂題意，歸納類推出規(guī)律是解題關(guān)鍵．
44．（2023·浙江衢州·模擬預(yù)測）根據(jù)圖中箭頭的指向規(guī)律，從2022到2023再到2024，箭頭的方向是以下圖示中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此題考查了圖形類規(guī)律探究，關(guān)鍵是能根據(jù)圖示進(jìn)行準(zhǔn)確地歸納、應(yīng)用．根據(jù)圖示歸納出箭頭的方向規(guī)律，再運(yùn)用規(guī)律求解．
【詳解】解：由題意得，圖示中箭頭方向按“上”、“右”、“下”、“右”4次一循環(huán)的規(guī)律出現(xiàn)，
∵2022÷4=505……2，
∴從2022到2023再到2024，箭頭的方向是：“下”、“右”，
故選：B．
45．（2024貴州市模擬）如圖，物體從A點出發(fā)，按照A→B（第一步）→C（第二步）→D→A→E→F→G→A→B……的順序循環(huán)運(yùn)動，則第2023步到達(dá)（ ）
A．A點B．C點C．G點D．F點
【答案】C
【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)物體的運(yùn)動規(guī)律找出每8步一個循環(huán)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)物體的運(yùn)動規(guī)律可知：每8步一個循環(huán)，結(jié)合2023÷8=252?7可知第2023步和第7步到達(dá)同一點，進(jìn)而即可得出結(jié)論．
【詳解】根據(jù)物體的運(yùn)動規(guī)律可知，每8步一個循環(huán)，
又2023÷8=252?7，
∴第2023步到達(dá)G點．
故選：C．
46．（2022·海南省直轄縣級單位·二模）如圖，正方形ABCD邊長為1，動點P從A開始沿正方形的邊按A→B→C→D→A逆時針方向循環(huán)運(yùn)動，當(dāng)它的運(yùn)動路程為2022時，點P所在位置為點 ．
【答案】C
【分析】先分析得出一周的路程為4，然后運(yùn)用整式的除法得出所走的圈數(shù)，從而得出點P的位置；
【詳解】由分析可知：動點P從A開始沿正方形的邊按A→B→C→D→A逆時針方向運(yùn)動一周路程為4，
∴當(dāng)它的運(yùn)動路程為2022時，2022÷4=505?2，
∴點P應(yīng)該從點A運(yùn)動到點C；
故點P所在的位置是C；
故答案是C．
【點睛】本題主要考查了圖形的變化類問題，結(jié)合實際考查了整式的除法問題，關(guān)鍵是找到點P運(yùn)動的規(guī)律．
47．（2022·山東聊城·中考真題）如圖，線段AB=2，以AB為直徑畫半圓，圓心為A1，以AA1為直徑畫半圓①；取A1B的中點A2，以A1A2為直徑畫半圓②；取A2B的中點A3，以A2A3為直徑畫半圓③…按照這樣的規(guī)律畫下去，大半圓內(nèi)部依次畫出的8個小半圓的弧長之和為 ．
【答案】255256π/255π256
【分析】由AB＝2，可得半圓①弧長為12π，半圓②弧長為（12）2π，半圓③弧長為（12）3π，半圓⑧弧長為（12）8π，即可得8個小半圓的弧長之和為12π+（12）2π+（12）3π+...+（12）8π＝255256π．
【詳解】解：∵AB=2，
∴AA2=1，半圓①弧長為π×12=12π，
同理A1A2=12，半圓②弧長為π×122=122π，
A2A3=14，半圓③弧長為π×142=123π，
……
半圓⑧弧長為π×1272=128π，
∴8個小半圓的弧長之和為12π+122π+123π+???+128π=255256π．
故答案為：255256π．
【點睛】此題考查圖形的變化類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握圓的周長公式和找到弧長的變化規(guī)律．
48．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，∠AOB=60°，點P1在射線OA上，且OP1=1，過點P1作P1K1⊥OA交射線OB于K1，在射線OA上截取P1P2，使P1P2=P1K1；過點P2作P2K2⊥OA交射線OB于K2，在射線OA上截取P2P3，使P2P3=P2K2.按照此規(guī)律，線段P2023K2023的長為 ．
【答案】31+32022
【分析】解直角三角形分別求得P1K1，P2K2，P3K3，……，探究出規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：∵P1K1⊥OA，
∴△OP1K1是直角三角形，
在Rt△OP1K1中，∠AOB=60°，OP1=1，
∴P1P2=P1K1=OP1?tan60°=3，
∵P1K1⊥OA，P2K2⊥OA，
∴P1K1∥P2K2，
∴△OP2K2∽△OP1K1，
∴P2K2P1K1=OP2OP1，
∴P2K23=1+31，
∴P2K2=31+3，
同理可得：P3K3=31+32，P4K4=31+33，……，
∴PnKn=31+3n?1，
∴P2023K2023=31+32022，
故答案為：31+32022．
【點睛】本題考查了圖形的規(guī)律，解直角三角形，平行線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法．
49．（2021·貴州黔西·中考真題）如圖，在RtΔOAB中，∠AOB=90°，OA=OB，AB=1，作正方形A1B1C1D1，使頂點A1，B1分別在OA，OB上，邊C1D1在AB上；類似地，在Rt△OA1B1中，作正方形A2B2C2D2；在Rt△OA2B2中，作正方形A3B3C3D3；…；依次作下去，則第n個正方形AnBnCnDn的邊長是 ．
【答案】13n
【分析】法一：過O作OM⊥AB，通過做輔助線并結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)找到第二個正方形邊長與第一個正方形邊長的比值為13，依次類推可得第n個正方形的邊長．
法二：直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)，找到第二個正方形邊長與第一個正方形邊長的比值為13，依次類推可得第n個正方形的邊長．
【詳解】解：法1：過O作OM⊥AB，交AB于點M，交A1B1于點N，如圖所示：
∵A1B1//AB，
∴ON⊥A1B1，
∵ΔOAB為斜邊為1的等腰直角三角形，
∴OM=12AB=12，
又∵△OA1B1為等腰直角三角形，
∴ON=12A1B1=12MN，
∴ON:OM=1:3，
∴第1個正方形的邊長A1C1=MN=23OM=23×12=13，
同理第2個正方形的邊長A2C2=23ON=23×16=132，
則第n個正方形AnBnDnCn的邊長13n；
法2：由題意得：∠A=∠B=45°，
∴AC1=A1C1=C1D1=B1D1=BD1，AB=1，
∴C1D1=13AB=13，
同理可得：C2D2=13A1B1=132AB=132，
依此類推CnDn=13n．
故答案為：13n．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形與正方形的性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確利用相關(guān)性質(zhì)找到正方形邊長的比值規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．
50．（2020·遼寧·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點E，使AE=DA，連接EB，點F1是CD的中點，連接EF1，BF1，得到ΔEF1B；點F2是CF1的中點，連接EF2，BF2，得到ΔEF2B；點F3是CF2的中點，連接EF3，BF3，得到ΔEF3B；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形ABCD的面積等于2，則ΔEFnB的面積為 ．（用含正整數(shù)n的式子表示）

【答案】2n+12n
【分析】先計算出ΔEF1B、ΔEF2B、ΔEF3B的面積，然后再根據(jù)其面積的表達(dá)式找出其一般規(guī)律進(jìn)而求解．
【詳解】解：∵AE=DA，
∴ΔABE面積是矩形ABCD面積的一半，∴梯形BCDE的面積為2+1=3，
∵點F1是CD的中點，∴DF1=CF1
∴SΔBF1C=12BC?CF1=12BC?12CD=14S矩形ABCD=12，
SΔDF1E=12DE?DF1=12×2AD?12DC=12S矩形ABCD=1，
∴SΔEF1B=S梯形ABCD?SΔDF1E?SΔBF1C=3?1?12=32，
∵點F2是CF1的中點，由中線平分所在三角形的面積可知，
∴SΔBF2C=12SΔBF1C=14，
且DF2=32DF1，
∴SΔDF2E=32SΔDF1E=32
∴SΔEF2B=S梯形ABCD?SΔDF2E?SΔBF2C=3?32?14=54，
同理可以計算出：
SΔBF3C=12SΔBF2C=18，
且DF3=74DF1，
∴SΔDF3E=74SΔDF1E=74，
∴SΔEF3B=S梯形ABCD?SΔDF3E?SΔBF3C=3?74?18=98，
故ΔEF1B、ΔEF2B、ΔEF3B的面積分別為：32,54,98，
觀察規(guī)律，其分母分別為2,4,8，符合2n，分子規(guī)律為2n+1，
∴ΔEFnB的面積為2n+12n．
故答案為：2n+12n．
【點睛】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，三角形面積公式，矩形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是能求出前面三個三角形的面積表達(dá)式，進(jìn)而找出規(guī)律求解．
題型13 圖形類規(guī)律
47．（2022·山東聊城·中考真題）如圖，線段AB=2，以AB為直徑畫半圓，圓心為A1，以AA1為直徑畫半圓①；取A1B的中點A2，以A1A2為直徑畫半圓②；取A2B的中點A3，以A2A3為直徑畫半圓③…按照這樣的規(guī)律畫下去，大半圓內(nèi)部依次畫出的8個小半圓的弧長之和為 ．
【答案】255256π/255π256
【分析】由AB＝2，可得半圓①弧長為12π，半圓②弧長為（12）2π，半圓③弧長為（12）3π，半圓⑧弧長為（12）8π，即可得8個小半圓的弧長之和為12π+（12）2π+（12）3π+...+（12）8π＝255256π．
【詳解】解：∵AB=2，
∴AA2=1，半圓①弧長為π×12=12π，
同理A1A2=12，半圓②弧長為π×122=122π，
A2A3=14，半圓③弧長為π×142=123π，
……
半圓⑧弧長為π×1272=128π，
∴8個小半圓的弧長之和為12π+122π+123π+???+128π=255256π．
故答案為：255256π．
【點睛】此題考查圖形的變化類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握圓的周長公式和找到弧長的變化規(guī)律．
48．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，∠AOB=60°，點P1在射線OA上，且OP1=1，過點P1作P1K1⊥OA交射線OB于K1，在射線OA上截取P1P2，使P1P2=P1K1；過點P2作P2K2⊥OA交射線OB于K2，在射線OA上截取P2P3，使P2P3=P2K2.按照此規(guī)律，線段P2023K2023的長為 ．
【答案】31+32022
【分析】解直角三角形分別求得P1K1，P2K2，P3K3，……，探究出規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：∵P1K1⊥OA，
∴△OP1K1是直角三角形，
在Rt△OP1K1中，∠AOB=60°，OP1=1，
∴P1P2=P1K1=OP1?tan60°=3，
∵P1K1⊥OA，P2K2⊥OA，
∴P1K1∥P2K2，
∴△OP2K2∽△OP1K1，
∴P2K2P1K1=OP2OP1，
∴P2K23=1+31，
∴P2K2=31+3，
同理可得：P3K3=31+32，P4K4=31+33，……，
∴PnKn=31+3n?1，
∴P2023K2023=31+32022，
故答案為：31+32022．
【點睛】本題考查了圖形的規(guī)律，解直角三角形，平行線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法．
49．（2021·貴州黔西·中考真題）如圖，在RtΔOAB中，∠AOB=90°，OA=OB，AB=1，作正方形A1B1C1D1，使頂點A1，B1分別在OA，OB上，邊C1D1在AB上；類似地，在Rt△OA1B1中，作正方形A2B2C2D2；在Rt△OA2B2中，作正方形A3B3C3D3；…；依次作下去，則第n個正方形AnBnCnDn的邊長是 ．
【答案】13n
【分析】法一：過O作OM⊥AB，通過做輔助線并結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)找到第二個正方形邊長與第一個正方形邊長的比值為13，依次類推可得第n個正方形的邊長．
法二：直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)，找到第二個正方形邊長與第一個正方形邊長的比值為13，依次類推可得第n個正方形的邊長．
【詳解】解：法1：過O作OM⊥AB，交AB于點M，交A1B1于點N，如圖所示：
∵A1B1//AB，
∴ON⊥A1B1，
∵ΔOAB為斜邊為1的等腰直角三角形，
∴OM=12AB=12，
又∵△OA1B1為等腰直角三角形，
∴ON=12A1B1=12MN，
∴ON:OM=1:3，
∴第1個正方形的邊長A1C1=MN=23OM=23×12=13，
同理第2個正方形的邊長A2C2=23ON=23×16=132，
則第n個正方形AnBnDnCn的邊長13n；
法2：由題意得：∠A=∠B=45°，
∴AC1=A1C1=C1D1=B1D1=BD1，AB=1，
∴C1D1=13AB=13，
同理可得：C2D2=13A1B1=132AB=132，
依此類推CnDn=13n．
故答案為：13n．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形與正方形的性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確利用相關(guān)性質(zhì)找到正方形邊長的比值規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．
50．（2020·遼寧·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點E，使AE=DA，連接EB，點F1是CD的中點，連接EF1，BF1，得到ΔEF1B；點F2是CF1的中點，連接EF2，BF2，得到ΔEF2B；點F3是CF2的中點，連接EF3，BF3，得到ΔEF3B；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形ABCD的面積等于2，則ΔEFnB的面積為 ．（用含正整數(shù)n的式子表示）

【答案】2n+12n
【分析】先計算出ΔEF1B、ΔEF2B、ΔEF3B的面積，然后再根據(jù)其面積的表達(dá)式找出其一般規(guī)律進(jìn)而求解．
【詳解】解：∵AE=DA，
∴ΔABE面積是矩形ABCD面積的一半，∴梯形BCDE的面積為2+1=3，
∵點F1是CD的中點，∴DF1=CF1
∴SΔBF1C=12BC?CF1=12BC?12CD=14S矩形ABCD=12，
SΔDF1E=12DE?DF1=12×2AD?12DC=12S矩形ABCD=1，
∴SΔEF1B=S梯形ABCD?SΔDF1E?SΔBF1C=3?1?12=32，
∵點F2是CF1的中點，由中線平分所在三角形的面積可知，
∴SΔBF2C=12SΔBF1C=14，
且DF2=32DF1，
∴SΔDF2E=32SΔDF1E=32
∴SΔEF2B=S梯形ABCD?SΔDF2E?SΔBF2C=3?32?14=54，
同理可以計算出：
SΔBF3C=12SΔBF2C=18，
且DF3=74DF1，
∴SΔDF3E=74SΔDF1E=74，
∴SΔEF3B=S梯形ABCD?SΔDF3E?SΔBF3C=3?74?18=98，
故ΔEF1B、ΔEF2B、ΔEF3B的面積分別為：32,54,98，
觀察規(guī)律，其分母分別為2,4,8，符合2n，分子規(guī)律為2n+1，
∴ΔEFnB的面積為2n+12n．
故答案為：2n+12n．
【點睛】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，三角形面積公式，矩形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是能求出前面三個三角形的面積表達(dá)式，進(jìn)而找出規(guī)律求解．
類型二 平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題 (旋轉(zhuǎn)、平移、翻滾、漸變等)
【命題預(yù)測】該題型主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律(如點變的循環(huán)規(guī)律或點運(yùn)動的循環(huán)規(guī)律，點的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等)。主要考查對點的坐標(biāo)變化規(guī)律，一般我們需要結(jié)合所給圖形，找到點或圖形的變化規(guī)律或者周期性，最后利用正確運(yùn)用數(shù)的運(yùn)算求解。這類問題體現(xiàn)了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，解答時往往體現(xiàn)“探索、歸納、猜想”等思維特點，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求。
題型01 沿坐標(biāo)運(yùn)動的點的規(guī)律
51．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知A11,?3，A23,?3，A34,0，A46,0，A57,3，A69,3，A710,0，A811,?3…，依此規(guī)律，則點A2024的坐標(biāo)為 ．
【答案】2891,?3
【分析】本題考查了點坐標(biāo)的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．根據(jù)題意可知7個點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個循環(huán)，A7n的坐標(biāo)為10n,0，據(jù)此可求得A2024的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵A11,?3，A23,?3，A34,0，A46,0，A57,3，A69,3，A710,0，A811,?3…，，
∴可知7個點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個循環(huán)，A7n的坐標(biāo)為10n,0，A7n+110n+1,?3
∵2024÷7=289???1，
∴A2023的坐標(biāo)為2890,0．
∴A2024的坐標(biāo)為2891,?3
故答案為：2891,?3．
52．（2024·河南南陽·三模）如圖，點A11,1，點A1向上平移1個單位，再向右平移2個單位，得到點A2；點A2向上平移2個單位，再向右平移4個單位，得到點A3；點A3向上平移4個單位，再向右平移8個單位，得到點A4；…按這個規(guī)律平移得到點A100，則點A100的坐標(biāo)為（ ）
A．2100?1,2100B．299,2100
C．2100?1,299D．299+1,2100
【答案】C
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-平移、規(guī)律型問題等知識，先求出點A1，A2，A3，A4的坐標(biāo)，再從特殊到一般探究出規(guī)律，得出An的橫坐標(biāo)為為2n?1，，縱坐標(biāo)為2n?1，然后利用規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：點A1的橫坐標(biāo)為1=21?1，縱坐標(biāo)為1,
點A2的橫坐為標(biāo)3=22?1，，縱坐標(biāo)為2,
點A3的橫坐標(biāo)為7=23?1，，縱坐標(biāo)為4=22,
點A4的橫坐標(biāo)為15=24?1，，縱坐標(biāo)為23,
…
按這個規(guī)律平移得到點An的橫坐標(biāo)為為2n?1，，縱坐標(biāo)為2n?1
∴點A100的橫坐標(biāo)為2100?1，縱坐標(biāo)為299
故選：C．
53．（2024·甘肅酒泉·三模）如圖，動點P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動，第1次從原點運(yùn)動到點?1，1，第2次接著運(yùn)動到點?2，0，第3次接著運(yùn)動到點?3，2，…，按這樣的運(yùn)動規(guī)律，經(jīng)過第2024次運(yùn)動后，動點P的坐標(biāo)是 ．

【答案】?2024，0
【分析】本題考查了點坐標(biāo)的規(guī)律探究．根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
由題意可知，第n次接著運(yùn)動到的點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為?n，每4次運(yùn)動的點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為1個循環(huán)，由2024=4×506，可得動點P的坐標(biāo)是?2024，0．
【詳解】解：由題意知，第1次從原點運(yùn)動到點?1，1，
第2次接著運(yùn)動到點?2，0，
第3次接著運(yùn)動到點?3，2，
第4次接著運(yùn)動到點?4，0，
第5次接著運(yùn)動到點?5，?1，
……
∴第n次接著運(yùn)動到的點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為?n，每4次運(yùn)動的點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為1個循環(huán)，
∵2024=4×506，
∴動點P的坐標(biāo)是?2024，0，
故答案為：?2024，0．
54．（2024·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中“→”方向排列，如0,1，?1,2，0,2，1,2，2,3，1,3，0,3，……，根據(jù)這個規(guī)律探索可得第2024個點的坐標(biāo)是 ．
【答案】(?43,45)
【分析】本題考查了點的坐標(biāo)規(guī)律探索，探索出點的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；按點的縱坐標(biāo)分類：縱坐標(biāo)是1的點有1個，縱坐標(biāo)是2的點有3個，縱坐標(biāo)是3的點有5個，縱坐標(biāo)是4的點有7個，……，一般地，縱坐標(biāo)為n的點有(2n?1)個；考慮點排列方向：縱坐標(biāo)是1、3、5、7，……，點是從右往左的方向，縱坐標(biāo)是2、4、6，……，點是從左往右排列的方向；而452=2025，當(dāng)縱坐標(biāo)是45時，這樣的點共有89個，且點是從右往左方向，則可得第2024個點的坐標(biāo)．
【詳解】解：縱坐標(biāo)是1的點有1個，縱坐標(biāo)是2的點有3個，縱坐標(biāo)是3的點有5個，縱坐標(biāo)是4的點有7個，……，一般地，縱坐標(biāo)為n的點有(2n?1)個，且這n個點的橫坐標(biāo)從左往右依次是?n+1，?n+2，……，?1，0，1，……,n?1；考慮點排列方向：縱坐標(biāo)是1、3、5、7，……，點是從右往左的方向，縱坐標(biāo)是2、4、6，……，點是從左往右排列的方向；
∵452=2025，當(dāng)縱坐標(biāo)是45時，這樣的點共有89個，且點是從右往左方向，
∴最左邊的點坐標(biāo)為(?44,45)，即第2025個點的坐標(biāo)，
∴第2024個點的坐標(biāo)為(?43,45)．
故答案為：(?43,45)．
題型02 繞原點呈“回”字形運(yùn)動的點的規(guī)律
55．（2023·山東日照·中考真題）數(shù)學(xué)家高斯推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計算1+2+3+4+?+100時，用到了一種方法，將首尾兩個數(shù)相加，進(jìn)而得到1+2+3+4+?+100=100×(1+100)2．人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+?+n=n(1+n)2（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點Aixi,yi，其中i=1,2,3,?,n,?，且xi,yi是整數(shù)．記an=xn+yn，如A1(0,0)，即a1=0,A2(1,0)，即a2=1,A3(1,?1)，即a3=0,?，以此類推．則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．a(chǎn)2023=40B．a(chǎn)2024=43C．a(chǎn)(2n?1)2=2n?6D．a(chǎn)(2n?1)2=2n?4
【答案】B
【分析】利用圖形尋找規(guī)律A2n?12(n?1,n?1)，再利用規(guī)律解題即可．
【詳解】解：第1圈有1個點，即A1(0,0)，這時a1=0；
第2圈有8個點，即A2到A9(1,1)；
第3圈有16個點，即A10到A25(2,2)，；
依次類推，第n圈，A2n?12(n?1,n?1)；
由規(guī)律可知：A2023是在第23圈上，且A2025(22,22)，則A2023(20,22)即a2023=20+22=42，故A選項不正確；
A2024是在第23圈上，且A2024(21,22)，即a2024=21+22=43，故B選項正確；
第n圈，A2n?12(n?1,n?1)，所以a2n?12=2n?2，故C、D選項不正確；
故選B．
【點睛】本題考查圖形與規(guī)律，利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
56．（2024·山東聊城·三模）如圖是從原點開始的通道寬度為1的回形圖，OA=1，反比例函數(shù)y=1x與該回形圖的交點依次記為B1、B2、B3、……，則B2024的坐標(biāo)為 ．
【答案】(1507,507)
【分析】本題考查了在反比例函數(shù)圖象上的點坐標(biāo)的特征，找規(guī)律，找出點坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．分別寫出前三個回形的點坐標(biāo)，找出規(guī)律，得到第n個回形4個點的規(guī)律，分別是(n,1n)，(1n,n)，(?n,?1n)，(?1n,?n)，然后找出第2024個點在第幾個回形的第幾個點即可算出答案．
【詳解】由題意可知，反比例函數(shù)圖象上點坐標(biāo)為(x,1x)，觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)：
第1個回形有2個點，B1(1,1)，B2(?1,?1)
第2個回形有4個點，分別是B3(2,12)，B4(12,2)，B5(?2,?12)，B6(?12,?2)
第3個回形有4個點，分別是B7(3,13)，B8(13,3)，B9(?3,?13)，B10(?13,?3)
?
第n(n≥2)個回形有4個點，分別是(n,1n)，(1n,n)，(?n,?1n)，(?1n,?n)
(2024?2)÷4=505??2
505+1+1=507
那么第2024個點在第507個回形的第2個點，那么點坐標(biāo)為(1507,507)
故答案為：(1507,507)
57．（2021·山東濰坊·中考真題）在直角坐標(biāo)系中，點A1從原點出發(fā)，沿如圖所示的方向運(yùn)動，到達(dá)位置的坐標(biāo)依次為：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到達(dá)終點An（506，﹣505），則n的值為 ．
【答案】2022
【分析】終點An506，?505在第四象限，尋找序號與坐標(biāo)之間的關(guān)系可求n的值．
【詳解】解：∵506，?505是第四象限的點，
∴An506，?505落在第四象限．
∴在第四象限的點為A62，?1，A103，?2，A144，?3，…，An506，?505．
∵6=4×?1+2，10=4×?2+2，14=4×?3+2， 18=4×?4+2，…，
∴n=4×?505+2=2022．
故答案為：2022
【點睛】本題考查了點坐標(biāo)的位置及坐標(biāo)變化規(guī)律的知識點，善于觀察并尋找題目中蘊(yùn)含的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
58．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，四邊形OABC1是正方形，曲線C1C2C3C4C5?叫作“正方形的漸開線”，其中C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，…的圓心依次按O，A，B，C1循環(huán)．當(dāng)OA=1時，點C2023的坐標(biāo)是( )

A．(?1，?2022)B．(?2023，1)C．(?1，?2023)D．(2022，0)
【答案】A
【分析】由題得點的位置每4個一循環(huán)，經(jīng)計算得出C2023在第三象限，與C3，C7，C11，…符合同一規(guī)律，探究出C3，C7，C11，...的規(guī)律即可．
【詳解】解：由圖得C1(0，1)，C2(1，0)，C3(?1，?2)，C4(?4，0)，C5(0，5)，C6(5，0)，C7(?1，?6)，…
點C的位置每4個一循環(huán)，
2023=505×4+3，
∴C2023在第三象限，與C3，C7，C11，…
符合規(guī)律(?1，?n+1)，
∴C2023坐標(biāo)為(?1，?2022)．
故選：A．
【點睛】本題考查了點的坐標(biāo)的規(guī)律的探究，理解題意求出坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
題型03 圖形變換的點的規(guī)律
59．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6,…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形PA1A2A3的頂點坐標(biāo)分別為P?3,0,A1?2,1,A2?1,0，A3?2,?1，則頂點A100的坐標(biāo)為（ ）

A．31.34B．31,?34C．32,35D．32,0
【答案】A
【分析】根據(jù)圖象可得移動3次完成一個循環(huán)，從而可得出點坐標(biāo)的規(guī)律A3n?2n?3，n．
【詳解】解：∵A1?2，1，A4?1，2，A70，3，A101，4，?，
∴A3n?2n?3，n，
∵100=3×34?2，則n=34，
∴A10031，34，
故選：A．
【點睛】本題考查了點的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖象，得到點的變化規(guī)律．
60．（2023·湖南懷化·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為1,0．把△AOB按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴(kuò)大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴(kuò)大為△A1OB1，邊長的2倍，得到△A2OB2，…．依次類推，得到△A2033OB2033，則△A2023OB2033的邊長為 ，點A2023的坐標(biāo)為 ．

【答案】 22023 22022,?3×22022
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度為60°，可知每旋轉(zhuǎn)6次后點A又回到x軸的正半軸上，故點A2023在第四象限，且OA2023=22023，即可求解．
【詳解】解：∵△AOB為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為1,0，
∴OA=1，
∵每次旋轉(zhuǎn)角度為60°，
∴6次旋轉(zhuǎn)360°，
第一次旋轉(zhuǎn)后，A1在第四象限，OA1=2，
第二次旋轉(zhuǎn)后，A2在第三象限，OA2=22，
第三次旋轉(zhuǎn)后，A3在x軸負(fù)半軸，OA3=23，
第四次旋轉(zhuǎn)后，A4在第二象限，OA4=24，
第五次旋轉(zhuǎn)后，A5在第一象限，OA5=25，
第六次旋轉(zhuǎn)后，A6在x軸正半軸，OA6=26，
……
如此循環(huán)，每旋轉(zhuǎn)6次，點A的對應(yīng)點又回到x軸正半軸，
∵2023÷6=337?1，
點A2023在第四象限，且OA2023=22023，
如圖，過點A2023作A2023H⊥x軸于H，

在Rt△OHA2023中，∠HOA2023=60°，
∴OH=OA2023?cs∠HOA2023=22023×cs60°=22023×12=22022，
A2023H=OA2023?sin∠HOA2023=22023×32=3×22022，
∴點A2023的坐標(biāo)為22022,?3×22022．
故答案為：22023，22022,?3×22022．
【點睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形的應(yīng)用．熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度找到點的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
61．（2024河口區(qū)模擬）如圖，在單位為1的方格紙上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，?，都是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6，?的等腰直角三角形，若△A1A2A3的頂點坐標(biāo)分別為A12,0，A21,1，A30,0則依圖中所示規(guī)律，A2024的坐標(biāo)為 ．
【答案】2,?1012
【分析】本題主要考查了點的坐標(biāo)規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點的坐標(biāo)的變化尋找規(guī)律．根據(jù)腳碼確定出腳碼為偶數(shù)時的點的坐標(biāo)，得到規(guī)律：當(dāng)腳碼是2，6，10，…時，橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為腳碼的一半，當(dāng)腳碼是4，8，12，…時，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)為腳碼的一半相反數(shù)，然后確定出點A2024的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：觀察點的坐標(biāo)變化發(fā)現(xiàn)，當(dāng)腳碼為偶數(shù)時的點的坐標(biāo)，得到規(guī)律：
當(dāng)腳碼是2，6，10，…時，橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為腳碼的一半，
當(dāng)腳碼是4，8，12，…時，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)為腳碼的一半的相反數(shù)，
因為2024能被4整除，所以橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為?1012．
故答案為：2,?1012．
62．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點O的坐標(biāo)為(0，0)，點B的坐標(biāo)為(1，0)，點C在第一象限，∠OBC=120°．將△OBC沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點O的對應(yīng)點為O'，點C的對應(yīng)點為C'，OC與O'C'的交點為A1，稱點A1為第一個“花朵”的花心，點A2為第二個“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，△OBC滾動2024次后停止?jié)L動，則最后一個“花朵”的花心的坐標(biāo)為 ．
【答案】1349+6743,33
【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點的坐標(biāo)規(guī)律探索．連接A1B，求得A1B=33，OD=32，OC=3，分別得到A11,33，A23+3,33， A35+23,33，?，推導(dǎo)得到An1+n?12+3,33，△OBC滾動一次得到A1，△OBC滾動四次得到A2，△OBC滾動七次得到A3，由此得到△OBC滾動2024次后停止?jié)L動，則n=2024+1÷3=675，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：連接A1B，
由題意得∠BOC=∠BCO=30°，∠BO'C=∠BC'O'=30°，OB=BC=O'B=BC'=1，
∴A1B⊥OC'，
∴A1B=OB?tan30°=33，BD=12OB=12，OD=OB2?BD2=32，
∴OC=C'E=3，
∴A11,33，
A23+3,33，
同理A35+23,33，
?，
An1+n?12+3,33，
△OBC滾動一次得到A1，△OBC滾動四次得到A2，△OBC滾動七次得到A3，
∴△OBC滾動2024次后停止?jié)L動，則n=2024+1÷3=675時，A6751349+6743,33，
故答案為：1349+6743,33．
63．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點M的坐標(biāo)為3,0，△OAB是等邊三角形，點B坐標(biāo)是1,0，△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方向為O→M→N→P→O→M→?）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應(yīng)點記為A1，A1的坐標(biāo)是2,0；第二次滾動后，A1的對應(yīng)點記為A2，A2的坐標(biāo)是2,0；第三次滾動后，A2的對應(yīng)點記為A3，A3的坐標(biāo)是3?32,12；如此下去，……，則A2024的坐標(biāo)是 ．
【答案】1,3
【分析】本題考查了點的坐標(biāo)變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運(yùn)動方式，依次求出點A的對應(yīng)點A1，A2，??，A12的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：∵正方形OMNP頂點M的坐標(biāo)為3,0，
∴OM=MN=NP=OP=3,
∵ △OAB是等邊三角形，點B坐標(biāo)是1,0，
∴等邊三角形高為32，
由題知，
A1的坐標(biāo)是2,0；
A2的坐標(biāo)是2,0；
A3的坐標(biāo)是3?32,12；
繼續(xù)滾動有，A4的坐標(biāo)是3,2；
A5的坐標(biāo)是3,2；
A6的坐標(biāo)是52,3?32；
A7的坐標(biāo)是1,3；
A8的坐標(biāo)是1,3；
A9的坐標(biāo)是32,52；
A10的坐標(biāo)是0,1；
A11的坐標(biāo)是0,1；
A12的坐標(biāo)是12,32；
A13的坐標(biāo)是2,0；??不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以A1，A2，??，A12，12個為一組，
∵ 2024÷12=168??8，
∴ A2024的坐標(biāo)與A8的坐標(biāo)一樣為1,3，
故答案為：1,3．
64．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）如圖，把Rt△OAB置于平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(0,4)，點B的坐標(biāo)為(3,0)，將Rt△OAB沿x軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合．點P是Rt△OAB兩銳角平分線的交點，第一次滾動后得到對應(yīng)點為P1；第二次滾動后得到對應(yīng)點為P2；……按此規(guī)律，則點P2024的坐標(biāo)是 ．
【答案】(8099,1)
【分析】本題考查了點的坐標(biāo)變化規(guī)律，直角三角形內(nèi)切圓，能通過三角形的運(yùn)動方式，依次求出點P的坐標(biāo)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的運(yùn)動方式，依次求出點P的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：過點P作PD⊥OA,PE⊥OB,PF⊥AB，垂足分別為D,E,F，分別過點P1,P2,P3作P1F1⊥x軸，P2D1⊥x軸，P3E1⊥x軸，垂足為F1,D1,E1，以點P為圓心，PD長為半徑作⊙P，
∵點P是Rt△OAB兩銳角平分線的交點，
∴點P為Rt△OAB的內(nèi)心，
又∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PF⊥AB，
∴ PD=PE=PF，AD=AF,OD=OE,BE=BF，
∵A(0,4)，B(3,0)，
∴ AB=5，
∴OD=OE=OA+OB?AB2=1，
∴P1,1，
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，OD=OE，
∴四邊形PDOE為正方形，
∴PD=PE=PF=OD=1，
在Rt△BP1F1中，
P1F1=PF=1,BF1=BF=BE=OB?OE=2，
∴P1橫坐標(biāo)為3+2=5，
∴P15,1，
同理可得，P211,1,P313,1，P417,1,P523,1,P625,1
?
由此可見，每滾動三次一個循環(huán)，且橫坐標(biāo)的增加為三角形的周長12，
∴2024÷3=674?2，
則P2024的橫坐標(biāo)為674×12+2+2+3+3+1=8099，
故點P2024的坐標(biāo)為(8099,1)，
故答案為：(8099,1)．
題型04 坐標(biāo)軸與直線相結(jié)合類規(guī)律
65．（2023·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=3x?3與x軸交于點A1，以O(shè)A1為邊作正方形A1B1C1O點C1在y軸上，延長C1B1交直線l于點A2，以C1A2為邊作正方形A2B2C2C1，點C2在y軸上，以同樣的方式依次作正方形A3B3C3C2，…，正方形A2023B2023C2023C2022，則點B2023的橫坐標(biāo)是 ．

【答案】1+332022
【分析】分別求出點點B1的橫坐標(biāo)是1，點B2的橫坐標(biāo)是1+33，點B3的橫坐標(biāo)是233+43=1+332，找到規(guī)律，得到答案見即可．
【詳解】解：當(dāng)y=0，0=3x?3，解得x=1，
∴點A11,0,
∵A1B1C1O是正方形，
∴OA1=A1B1=OC1=1，
∴點B11,1，
∴點B1的橫坐標(biāo)是1，
當(dāng)y=1時，1=3x?3，解得x=1+33，
∴點A21+33,1，
∵A2B2C2C1是正方形，
∴A2B2=C1C2=A2C1=1+33，
∴點B21+33,2+33，
即點B2的橫坐標(biāo)是1+33，
當(dāng)y=2+33時，2+33=3x?3，解得x=233+2，
∴點A3233+43,2+33，
∵A3B3C3C2是正方形，
∴A3B3=C2C3=A3C2=233+43，
∴點B3的橫坐標(biāo)是233+43=1+332，
……
以此類推，則點B2023的橫坐標(biāo)是1+332022
故答案為：1+332022
【點睛】此題是點的坐標(biāo)規(guī)律題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合是是解題的關(guān)鍵．
66．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA=OB=4，連接AB，過點O作OA1⊥AB于點A1，過點A1作A1B1⊥x軸于點B1；過點B1作B1A2⊥AB于點A2，過點A2作A2B2⊥x軸于點B2；過點B2作B2A3⊥AB于點A3，過點A3作A3B3⊥x軸于點B3；…；按照如此規(guī)律操作下去，則點A2023的坐標(biāo)為 ．

【答案】4?122021,122021
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形依次求出A1,A2,A3的坐標(biāo)，再根據(jù)其規(guī)律寫出A2023的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA=OB=4，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=45°，
∵OA1⊥AB，
∴△OA1B是等腰直角三角形，
同理可得：△OA1B1,△A1B1B均為等腰直角三角形，
∴A1(2,2)，
根據(jù)圖中所有的三角形均為等腰直角三角形，
依次可得：A2(3,1),A3(4?12,12),A4(4?122,122),
由此可推出：點A2023的坐標(biāo)為4?122021,122021．
故答案為：4?122021,122021．
【點睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征，以及點的坐標(biāo)變化規(guī)律問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是依次求出A1,A2,A3的坐標(biāo)，找出其坐標(biāo)的規(guī)律．
67．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線l:y=33x?33與x軸相交于點A1，以O(shè)A1為邊作等邊三角形OA1B1，點B1在第一象限內(nèi)，過點B1作x軸的平行線與直線l交于點A2，與y軸交于點C1，以C1A2為邊作等邊三角形C1A2B2（點B2在點B1的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形C2A3B3，等邊三角形C3A4B4?，則點A2024的橫坐標(biāo)為 ．
【答案】522023
【分析】直線直線l:y=33x?33可知，點A1坐標(biāo)為1,0，可得OA1=1，由于△OA1B1是等邊三角形，可得點B112，32，把y=32代入直線解析式即可求得A2的橫坐標(biāo)，可得A2C1=52，由于△B2A2B1是等邊三角形，可得點A252,32；同理，A3254，734，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得解，準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)與字母的序號之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵直線l：l:y=33x?33與x軸負(fù)半軸交于點A1，
∴點A1坐標(biāo)為1,0，
∴OA1=1，
過B1，B2，作B1M⊥x軸交x軸于點M，B2N⊥x軸交A2B1于點D，交x軸于點N，

∵△A1B1O為等邊三角形，
∴∠OB1M=30°
∴MO=12A1O=12，
∴B1M=B1O2?OM2=12?122=32
∴B112，32，
當(dāng)y=32時，32=33x?33，解得：x=52，
∴A2C1=52，A252,32，
∴C1D=12A2C1=54，
∴B2D==522?342=534，
∴B2N=534+32=734，
∴當(dāng)y=734時，734=33x?33，解得：x=254，
∴A3254，734；
而254=522，
同理可得：A4的橫坐標(biāo)為523=1258，
∴點A2024的橫坐標(biāo)為522023，
故答案為：522023．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，特殊圖形點的坐標(biāo)的規(guī)律，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵.
68．（2023·山東煙臺·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為1,0，點D的坐標(biāo)為0,2，延長CB交x軸于點A1，做第1個正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，做第2個正方形A2B2C2C1…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2023個正方形的面積為（ ）

A．5×324046B．5×942003C．5×322022D．5×944044
【答案】A
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，點的坐標(biāo)規(guī)律．解此題的關(guān)鍵是計算前三個正方形的面積，從中找出規(guī)律Sn=5×322n．根據(jù)相似三角形的判定原理，得出△AA1B∽ △A1A2B1，繼而得知∠BAA1=∠B1A1A2；利用勾股定理計算出正方形的邊長；最后利用正方形的面積公式計算前三個正方形的面積，從中找出規(guī)律．?dāng)?shù)形結(jié)合找出規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)正方形的面積分別為S，S1，S2…，Sn，
根據(jù)題意得AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）．
∵∠ABA1=∠A1B1A2=∠A2B2x=90°，
∴△BAA1∽ △B1A1A2，
在Rt△ADO中，根據(jù)勾股定理得AD=OA2+OD2=5，tan∠ADO=OAOD=12，
∵tan∠BAA1=BA1AB=tan∠ADO，
∴BA1=12AB=52，
∴CA1=5+52=325，
同理，得C1A2=325×1+12，
由正方形的面積公式，得S=52=5，
S1=52×1+122=5×322，
S2=52×1+124=5×324，
S3=52×1+126=5×326，
?
由此可得Sn=52×1+122n=5×322n．
∴第2023個正方形的面積為5×322×2023=5×324046，
故選：A．
【專項訓(xùn)練】
1．（2024·江蘇徐州·中考真題）觀察下列各數(shù)：3、8、18、38、…，按此規(guī)律，第5～7個數(shù)可能為（ ）
A．48、58、68B．58、78、98C．76、156、316D．78、158、318
【答案】D
【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，題目難度不大，通過觀察、分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是解答該題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出已知數(shù)組的規(guī)律得出結(jié)果即可
【詳解】解：∵3×2+2=8，
8×2+2=18，
18×2+2=38，
∴第5個數(shù)為38×2+2=78，
第6個數(shù)為78×2+2=158，
第7個數(shù)為158×2+2=318，
故選：D．
2．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．676B．674C．1348D．1350
【答案】D
【分析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答．
本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類問題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】這一列數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)為一組，每一組前2個數(shù)為奇數(shù)，第3個數(shù)為偶數(shù)．
由于2024÷3=674?2，
即前2024個數(shù)共有674組，且余2個數(shù)，
∴奇數(shù)有674×2+2=1350個．
故選：D
3．（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測）按照如圖所示的方法鋪設(shè)黑、白兩色的小正方形地磚，第1個圖案中有1塊黑色小正方形地磚，第2個圖案中有5塊黑色小正方形地磚，第3個圖案中有13塊黑色小正方形地磚，…，則第7個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是（ ）
A．25塊B．61塊C．85塊D．113塊
【答案】C
【分析】本題考查圖形的變化規(guī)律，得到第n個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)=n×n+n?1×n?1=n2+n?12是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵第1個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)=1×1+0×0=11+02，
第2個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)=2×2+1×1=22+12，
第3個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)=3×3+2×2=32+22，
第4個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)=4×4+3×3=42+32，
…，
第n個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)=n×n+n?1×n?1=n2+n?12，
∴第7個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)=7×7+6×6=72+62=85．
故選：C．
4．如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為a1，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為a2，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為a3，…，以此類推，那么1a1+1a2+1a3+???+1a19的值為（ ）

A．2021B．6184C．589840D．431760
【答案】C
【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：a1=3=1×3，
a2=8=2×4，
a3=15=3×5，
a4=24=4×6，
…，
an=nn+2；
∴1a1+1a2+1a3+???+1a19
=11×3+12×4+13×5+14×6+???+119×21
=121?13+12?14+13?15+14?16+???+119?121
=121+12?120?121
=589840，
故選∶C．
【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
5．（2024·山東威?！ひ荒＃┤鐖D，將一張邊長為1的正方形紙片分割成7部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推，則S陰影=1?12?122?123?124?125?126．借助圖形，則12+122+123+?122023+122024=（ ）
A．1?122023B．1?122024C．1?122025D．2?122024
【答案】B
【分析】本題考查圖形的變化類，根據(jù)題意可發(fā)現(xiàn)各部分面積的變化規(guī)律，再根據(jù)圖形可知陰影部分的面積和部分⑥的面積相等，從而根據(jù)規(guī)律，即可求解．
【詳解】解：依題意，12+122+123+?122023+122024=1?122024
故選：B．
6．（2024·山東濰坊·中考真題）將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表．記ai,j為數(shù)表中第i行第j列位置的數(shù)字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若am,n=2024，則m= ，n= ．
【答案】 45 2
【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律：當(dāng)正整數(shù)為k2時，若k為奇數(shù)，則k2在第k行，第1列，下一個數(shù)再下一行，上一個數(shù)在第2列；若k為偶數(shù)，則k2在第1行，第k列，下一個數(shù)再下一列，上一個數(shù)在第2行．
【詳解】解：由圖中排布可知，當(dāng)正整數(shù)為k2時，
若k為奇數(shù)，則k2在第k行，第1列，下一個數(shù)再下一行，上一個數(shù)在第2列；
若k為偶數(shù)，則k2在第1行，第k列，下一個數(shù)再下一列，上一個數(shù)在第2行；
∵am,n=2024=2025?1=452?1，
而2025=452，在第45行，第1列，
∴2024在第45行，第2列，
∴m=45，n=2，
故答案為：45，2．
7．（2024·山西·模擬預(yù)測）榫卯被稱為“巧奪天工”的中國古典智慧，是中國傳統(tǒng)木藝的靈魂．下圖結(jié)構(gòu)為固定榫槽的連接結(jié)構(gòu)，彼此按照同樣的拼接方式緊密相連，當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)分別有1個和2個時，總長度如圖所示，則當(dāng)有n個連接結(jié)構(gòu)時，總長度為 cm．

【答案】3n+2/2+3n
【分析】本題考查了通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．
當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)為1時，總長度為5cm，當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)為2時，總長度為8cm，則每增加1個連接結(jié)構(gòu)，總長度增加3cm，結(jié)合圖可知，每個連接結(jié)構(gòu)的長度為3+2=5cm，因此得到當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)為n時，總長度為3n+2cm．
【詳解】解：當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)為1時，總長度為5cm，當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)為2時，總長度為8cm，則每增加1個連接結(jié)構(gòu)，總長度增加3cm，結(jié)合圖可知，每個連接結(jié)構(gòu)的長度為3+2=5cm，
∴當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)為1時，總長度為3×1+2=5cm，
當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)為2時，總長度為3×2+2=8cm，
?
當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)為n時，總長度為3n+2cm，
故答案為：3n+2．
8．（2023·黑龍江綏化·中考真題）在求1+2+3+??+100的值時，發(fā)現(xiàn)：1+100=101，2+99=101??，從而得到1+2+3+?+100= 101×50=5050．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作a1=1；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作a2=5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作a3=9；按此方法繼續(xù)下去，則a1+a2+a3+??+an= ．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

【答案】2n2?n/?n+2n2
【分析】根據(jù)題意得出an=1+4n?1=4n?3，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：依題意，a1=1,a2=5,a3=9,???，an=1+4n?1=4n?3，
∴a1+a2+a3+??+an= =1+4n?32n=2n?1n=2n2?n，
故答案為：2n2?n．
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·四川廣安·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標(biāo)為(1,1)，AA1是以點B為圓心，BA為半徑的圓??；A1A2是以點O為圓心，OA1為半徑的圓弧，A2A3是以點C為圓心，CA2為半徑的圓弧，A3A4是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點B，O，C，A為圓心按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5稱為正方形的“漸開線”，則點A2023的坐標(biāo)是 ．

【答案】?2023,1
【分析】將四分之一圓孤對應(yīng)的A點坐標(biāo)看作順時針旋轉(zhuǎn)90°，再根據(jù)A、A1、A2、A3、A4的坐標(biāo)找到規(guī)律即可．
【詳解】解：∵A1,1，且A1為A點繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，
∴A12,0，
又∵A2為A1點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，
∴A20,?2，
又∵A3為A2點繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，
∴A3?3,1，
由此可得出規(guī)律：An為繞B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、?、n，每次增加1，
又∵2023÷4=505??3，
故A2023為以點C為圓心，半徑為2022的 A2022順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，
∴A2023(?2023,1)，
故答案為：?2023,1．
【點睛】本題考查了點坐標(biāo)規(guī)律探索問題，通過點的變化，結(jié)合畫弧的方法以及部分點的坐標(biāo)探索出坐標(biāo)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
10．（2020·安徽·中考真題）觀察以下等式：
第1個等式：13×1+21=2?11
第2個等式：34×1+22=2?12
第3個等式：55×1+23=2?13
第4個等式：76×1+24=2?14
第5個等式：97×1+25=2?15
······
按照以上規(guī)律．解決下列問題：
1寫出第6個等式____________；
2寫出你猜想的第n個等式： (用含n的等式表示)，并證明．
【答案】（1）118×(1+26)=2?16；（2）2n?1n+2×(1+2n)=2?1n，證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)前五個個式子的規(guī)律寫出第六個式子即可；
（2）觀察各個式子之間的規(guī)律，然后作出總結(jié)，再根據(jù)等式兩邊相等作出證明即可．
【詳解】（1）由前五個式子可推出第6個等式為：118×(1+26)=2?16；
（2）2n?1n+2×(1+2n)=2?1n，
證明：∵左邊=2n?1n+2×(1+2n)=2n?1n+2×n+2n=2n?1n=2?1n=右邊，
∴等式成立．
【點睛】本題是規(guī)律探究題，解答過程中，要注意各式中相同位置數(shù)字的變化規(guī)律，并將其用代數(shù)式表示出來．
11．（2023宣城三縣三模）【觀察思考】
如圖，這是由正方形和等邊三角形組成的一系列圖案，其中第1個圖案有4個正方形，第2個圖案有6個正方形，第3個圖案有8個正方形，…
依此規(guī)律，請解答下面的問題．
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
（1）第5個圖案有________個正方形；
（2）第n個圖案有________個正方形（用含n的代數(shù)式表示）；
【規(guī)律應(yīng)用】
（3）結(jié)合圖案中正方形的排列方式，現(xiàn)有4050個正方形，若干個三角形（足夠多）．依此規(guī)律，是否可以組成第n個圖案（正方形一次性用完）？若可以，請求出n的值；若不可以，請說明理由．
【答案】（1）12；（2）2n+2；（3）可以組成第n個圖案，n=2024
【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究，從已有圖形，抽象出相應(yīng)的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．
（1）從已有圖形中，得到第n個圖案有2n+2個正方形，進(jìn)而求出第5個圖案即可；
（2）由（1）即可得出結(jié)果；
（3）令2n+2=4050，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）第1個圖案有：1×2+2=4個正方形；
第2個圖案有：2×2+2=6個正方形；
第3個圖案有：3×2+2=8個正方形；
?，
∴第n個圖案有2n+2個正方形，
∴第5個圖案有2×5+2=12個正方形，
故答案為：12；
（2）由（1）可知：第n個圖案有2n+2個正方形，
故答案為：2n+2；
（3）可以，
當(dāng)2n+2=4050時，n=2024．
12．（2024·河北唐山·二模）如圖是蜂巢的局部圖片(由大小相同的正六邊形組成)，嘉嘉借助這個圖片設(shè)計了一道數(shù)學(xué)題，請解答這道題．
在第1行兩個正六邊形內(nèi)填上數(shù)字3、?5，規(guī)定在圖案中，下面的數(shù)字都等于其上方兩個數(shù)字之和（若數(shù)字上方只有一個數(shù)字，則另一個數(shù)字按0處理）．如第2行第1個：0+3=3；第2行第2個：3+?5=?2．
(1)填空：a= _______，b= _________．
(2)求c+d+e的值．
(3)按照此規(guī)律，請直接用含n的式子表示第n行第2個數(shù)字，并判斷這個數(shù)字能否為19．若能，求出n的值；若不能，請說明理由．
【答案】(1)1；?7
(2)14
(3)3n?8；能；9
【分析】本題考查了圖形規(guī)律，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)下面的數(shù)字都等于其上方兩個數(shù)字之和（若數(shù)字上方只有一個數(shù)字，則另一個數(shù)字按0處理）．進(jìn)行列式計算，即可作答．
（2）同理分別計算出c，d，e，再代入c+d+e，進(jìn)行計算，即可作答．
（3）找出規(guī)律：第n行第2個數(shù)字為3n?8，根據(jù)3n?8=19進(jìn)行計算，即可作答．
【詳解】（1）解：依題意，a=3+?2=1，b=?5+?2=?7；
故答案為：1；?7
（2）解：依題意，c=3+a=3+1=4；
d=a+b=1+?7=?6；
e=b+?5=?7+?5=?12
∴c+d+e=4+?6+?12=?14；
（3）解：第1行第2個數(shù)字為3×1?8=?5
第2行第2個數(shù)字為3×2?8=?2
第3行第2個數(shù)字為3×3?8=1
以此類推
第n行第2個數(shù)字為3n?8
這個數(shù)字能為19
令3n?8=19，解得n=9，
故n 的值為9

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