一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．函數(shù)的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
3．（ ）
A．2B．4C．D．6
4．已知向量，則（ ）
A．2B．1C．0D．
5．雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
6．底面直徑和母線長(zhǎng)均為2的圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，則的面積為（ ）
A．6B．8C．24D．48
8．已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則（ ）
A．
B．
C．以M為圓心且過(guò)F的圓與C的準(zhǔn)線相切
D．當(dāng)時(shí)，的面積為
10．在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個(gè)神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系可以稱為激勵(lì)函數(shù)．雙曲正切函數(shù)是一種激勵(lì)函數(shù)．定義雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)，雙曲正切函數(shù)．則（ ）
A．雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)B．雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)
C．雙曲正切函數(shù)是增函數(shù)D．
11．下面四個(gè)繩結(jié)中，不能無(wú)損傷地變?yōu)閳D中的繩結(jié)的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
12．已知函，若，則 ．
13．有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為 ．
14．已知曲線，兩條直線、均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，和交于M、N兩點(diǎn)，和交于P、Q兩點(diǎn)，若三角形的面積為，則的面積為 ．
四、解答題
15．為考察某種藥物對(duì)預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行了動(dòng)物（單位：只）試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：
(1)求，；
(2)記未服用藥物的動(dòng)物患疾病的概率為，給出的估計(jì)值；
(3)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效?
附：，
16．已知數(shù)列中，
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求的通項(xiàng)公式；
(3)令，證明:．
17．已知函數(shù).
(1)設(shè)，求曲線的斜率為2的切線方程；
(2)若是的極小值點(diǎn)，求b的取值范圍.
18．已知橢圓C的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1?1,0，F(xiàn)21,0
(1)求C的方程；
(2)已知點(diǎn)，證明：線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)設(shè)M是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，證明M的軌跡為圓，并求該圓的方程．
19．在平面四邊形中，，，將沿AC翻折至，其中P為動(dòng)點(diǎn).
(1)設(shè)，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．
（i）證明：平面平面；
（ii）求球O的半徑
(2)求二面角的余弦值的最小值.
藥物
疾病
合計(jì)
未患病
患病
未服用
100
80
服用
150
70
220
合計(jì)
250
400
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
參考答案：
1．C
【分析】由交集的運(yùn)算求解即可；
【詳解】由題意可得.
故選：C.
2．D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)最小正周期的求法求得正確答案.
【詳解】依題意，的最小正周期.
故選：D
3．C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的概念直接求解.
【詳解】由題意：.
故選：C
4．B
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】，，
，
.
故選：B.
5．C
【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合漸近線方程，可得答案.
【詳解】由方程，則，所以漸近線.
故選：C.
6．A
【分析】由勾股定理先求出圓錐的高，進(jìn)而利用圓錐體積公式求解即可.
【詳解】由題可知圓錐的底面半徑，母線長(zhǎng)，高，
∴圓錐的體積為.
故選：A.
7．C
【分析】先根據(jù)余弦定理求出邊的長(zhǎng)度，再利用三角形面積公式求出三角形面積即可.
【詳解】設(shè)，根據(jù)余弦定理，
已知，，，代入可得：
，即，解得，
由于，則為直角三角形，
則.
故選：C.
8．B
【分析】分類討論，去掉絕對(duì)值，結(jié)合一元二次不等式的求解即可得解.
【詳解】當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以，不滿足當(dāng)時(shí)，，故不符合題意；
當(dāng)，時(shí)，，解得，
由于時(shí)，，故，解得；
當(dāng)，時(shí)，恒成立，符合題意；
當(dāng)，時(shí)，，解得，
由于時(shí)，，故，解得.
綜上.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是對(duì)分類討論，結(jié)合因式分解方法有針對(duì)性求解時(shí)的的解集，從而可求解.
9．ABC
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出判斷A，根據(jù)拋物線定義判斷B，C，應(yīng)用已知聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算判斷三角形的面積判斷D.
【詳解】因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，所以，即得，A選項(xiàng)正確；
設(shè)在上，所以，
所以，B選項(xiàng)正確；
因?yàn)橐訫為圓心且過(guò)F的圓半徑為等于M與C的準(zhǔn)線的距離，所以以M為圓心且過(guò)F的圓與C的準(zhǔn)線相切，C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí),
，且，，
所以,或舍
所以的面積為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．ACD
【分析】對(duì)A、B：借助導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)后即可得；對(duì)C：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)將雙曲正切函數(shù)化簡(jiǎn)后，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得；對(duì)D：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，分別將等式左右兩邊化簡(jiǎn)即可得.
【詳解】對(duì)A：令，
則恒成立，故雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故A正確；
對(duì)B：令，
則，由A知，為增函數(shù)，又，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：，
由在上單調(diào)遞增，且，
故是增函數(shù)，故C正確；
對(duì)D：由C知，則，
，
故，故D正確.
故選：ACD.
11．ABD
【分析】對(duì)A，原圖中的圓環(huán)無(wú)法解開(kāi)，對(duì)BC轉(zhuǎn)化為三葉結(jié)問(wèn)題即可；對(duì)D通過(guò)繩數(shù)即可判斷.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：原圖中的圓環(huán)不可解開(kāi)，則無(wú)法無(wú)損變?yōu)橐粋€(gè)圓，無(wú)法得到A選項(xiàng)；
對(duì)于D選項(xiàng)：為三個(gè)圓，不是一根繩，無(wú)法得到D選項(xiàng)；
對(duì)于B,C選項(xiàng)：根據(jù)左手三葉結(jié)和右手三葉結(jié)不能無(wú)損轉(zhuǎn)換，而B(niǎo)C情形為三葉結(jié)變體，則BC至少有一個(gè)無(wú)法無(wú)損傷得到，
兩者為手性，即鏡像（即只能在鏡子中相互重疊），再通過(guò)考場(chǎng)身邊道具（如鞋帶，頭發(fā)）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)可知：可以得到C選項(xiàng)，無(wú)法得到B選項(xiàng).
故選：ABD．
12．
【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求得答案.
【詳解】由，可得，
即，也即，
且，，
兩邊取對(duì)數(shù)得：，解得.
故答案為：.
13．
【分析】先寫(xiě)出基本事件總數(shù)，再求出所有卡片上的數(shù)字之和，得到抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為，列舉出和為的3張卡片即可求解.
【詳解】從8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則樣本空間中總的樣本點(diǎn)數(shù)為，
因?yàn)椋?br>所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，
則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為，
則抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有或或共3種，
所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共3個(gè)，
所以抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.
故答案為：.
14．
【分析】根據(jù)對(duì)稱性，結(jié)合圖象來(lái)求得正確答案.
【詳解】由于和都符合，
所以曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
由此畫(huà)出曲線的大致圖象如下圖所示，
兩條直線、均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以M、N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)位置如圖，
可知，，
所以，所以，
而和等底等高，面積相同，所以，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用曲線對(duì)稱性：充分利用曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，確定點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，這是解決本題的基礎(chǔ).通過(guò)對(duì)稱關(guān)系，能夠推導(dǎo)出相關(guān)線段和三角形之間的等量關(guān)系，為后續(xù)的面積計(jì)算提供依據(jù).
15．(1)，
(2)
(3)能認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求和即可；
（2）用頻率估計(jì)概率，計(jì)算即可；
（3）根據(jù)公式計(jì)算，然后根據(jù)臨界值表分析判斷即可.
【詳解】（1）由列聯(lián)表知，；
（2）由列聯(lián)表知，未服用藥物的動(dòng)物有（只），
未服用藥物且患疾病的動(dòng)物有（只），
所以未服用藥物的動(dòng)物患疾病的頻率為，
所以未服用藥物的動(dòng)物患疾病的概率的估計(jì)值為；
（3）零假設(shè)為：藥物對(duì)預(yù)防疾病無(wú)效，
由列聯(lián)表得到，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
即認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)，
所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效.
16．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件化簡(jiǎn)，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求即得；
（3）將（2）中得到的的通項(xiàng)代入求得，化簡(jiǎn)后利用數(shù)列的單調(diào)性即可得證.
【詳解】（1）由得，
則，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得,
解得：.
（3）
令，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則
所以數(shù)列在上單調(diào)遞減，從而數(shù)列在上單調(diào)遞增，且，
故得.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由切線斜率為2，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得切線過(guò)點(diǎn)，然后可得切線方程；
（2）由是的極小值點(diǎn)，可得，然后據(jù)此討論的單調(diào)性，分析得在時(shí)的極值情況，從而得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其中，
則，令，
化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去），
又此時(shí)，則切線方程過(guò)點(diǎn)，結(jié)合切線方程斜率為2，
則切線方程為，即.
（2）由題可得定義域?yàn)?，?br>因是的極小值點(diǎn)，則，
則，
若，令，令，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得是的極大值點(diǎn)，不滿足題意；
若，令，令，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得是的極大值點(diǎn)，不滿足題意；
若，則，在上單調(diào)遞減，無(wú)極值，不滿足題意；
若，令，令，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得是的極小值點(diǎn)，滿足題意；
綜上，是的極小值點(diǎn)時(shí)，.
18．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)點(diǎn)的軌跡是圓，該圓的方程為
【分析】(1)根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)得，離心率為，得，從而求出，得出橢圓方程；
(2)寫(xiě)出中垂線方程，聯(lián)立橢圓方程，判別式等于零，即可證明恰一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)解法一：利用設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程的方法，根據(jù)判別式等于0，即可求解.
解法二：利用橢圓定義和線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合光學(xué)性質(zhì)，得到 ，從而得到點(diǎn)的軌跡和軌跡方程.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓左、右焦點(diǎn)分別為F1?1,0，F(xiàn)21,0，所以，又因?yàn)闄E圓C的離心率為，
得，所以橢圓方程為.
（2）由，F(xiàn)1?1,0得直線斜率為，中點(diǎn)坐標(biāo)為0,2，
所以線段的垂直平分線方程為，
聯(lián)立垂直平分線方程和橢圓方程
得，x=1，
，所以直線與橢圓相切，
線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）解法一：設(shè)，
當(dāng)時(shí)，的垂直平分線方程為，
此時(shí)或；
當(dāng)時(shí)，的垂直平分線方程為，
聯(lián)立，
得，
即
因?yàn)榫€段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
故，
即，
則，
即，
，
即，
，
而，也滿足該式，
故點(diǎn)的軌跡是圓，該圓的方程為，即.
解法二：設(shè)線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)為P，
則當(dāng)點(diǎn)P不在長(zhǎng)軸時(shí)，線段的垂直平分線即為點(diǎn)P處的切線，
也為的角平分線，

作的角平分線，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)得，
，則，
故，
所以三點(diǎn)共線，所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，
當(dāng)P在橢圓長(zhǎng)軸上時(shí)，M點(diǎn)為或也滿足，
故點(diǎn)的軌跡是圓，該圓的方程為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題的方法是：
(1)首先根據(jù)題意得到直線和橢圓方程；
(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，消元得到一元二次方程；
(3)計(jì)算，根據(jù)，判斷直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
19．(1)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）球O的半徑為；
(2).
【分析】（1）（i）由題設(shè)求證，即可由線面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得證；（ii）建立以A為原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)球心，半徑，由列方程組即可計(jì)算求解.
（2）過(guò)P作于G，在平面中，過(guò)G作，設(shè)，，以G為原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的一個(gè)法向量,即可由向量夾角公式，通過(guò)換元，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.
【詳解】（1）在中，由，得，
所以，且，即，
（i）證明：因?yàn)?，，，平面?br>所以平面，又平面，
所以平面平面；
（ii）以A為原點(diǎn)，分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)球心，半徑，
則，
所以，
解得，所以球O的半徑為；

（2）在平面中，過(guò)P作于G，在平面中，過(guò)G作，
因平面,則平面.
則由（1），
設(shè)，以G為原點(diǎn)，分別為x軸和y軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)在平面內(nèi)，
則，
所以，
設(shè)平面一個(gè)法向量分別為，則，
即，取，則得；
平面的一個(gè)法向量為，則，
即，取，則得，
所以，
令，則由得，則，
于是
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
所以二面角的余弦值的最小值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間二面角常用方法：
（1）定義法：根據(jù)定義作出二面角的平面角；
（2）垂面法：作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個(gè)面的兩條交線所成的角就是二面角所成角的平面角；
（3）向量坐標(biāo)法：作幾何體的空間直角坐標(biāo)系，求出二面角的法向量，直接由公式計(jì)算即可；
（4）射影面積法：求出斜面面積和它在有關(guān)平面的射影的面積，再由射影面積公式計(jì)算求解.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
B
C
A
C
B
ABC
ACD
題號(hào)
11









答案
ABD









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