TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146143120" 題型1正余弦定理的應(yīng)用 PAGEREF _Tc146143120 \h 1
\l "_Tc146143121" 題型2余弦定理求最值與取值范圍 PAGEREF _Tc146143121 \h 2
\l "_Tc146143122" 題型3正弦定理求最值與取值范圍 PAGEREF _Tc146143122 \h 4
\l "_Tc146143123" 題型4不對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的最值取值范圍問(wèn)題 PAGEREF _Tc146143123 \h 5
\l "_Tc146143124" 題型5三角形中線問(wèn)題 PAGEREF _Tc146143124 \h 7
\l "_Tc146143125" 題型6三角形角平分線問(wèn)題 PAGEREF _Tc146143125 \h 8
\l "_Tc146143126" 題型7三角形高線垂線問(wèn)題 PAGEREF _Tc146143126 \h 10
\l "_Tc146143127" 題型8普通多三角形問(wèn)題 PAGEREF _Tc146143127 \h 12
\l "_Tc146143128" 題型9四邊形問(wèn)題 PAGEREF _Tc146143128 \h 13
\l "_Tc146143129" 題型10面積最值取值范圍問(wèn)題 PAGEREF _Tc146143129 \h 15
\l "_Tc146143130" 題型11與三角函數(shù)結(jié)合 PAGEREF _Tc146143130 \h 16
\l "_Tc146143131" 題型12三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題 PAGEREF _Tc146143131 \h 18
\l "_Tc146143132" 題型13證明問(wèn)題 PAGEREF _Tc146143132 \h 19
\l "_Tc146143133" 題型14實(shí)際應(yīng)用題 PAGEREF _Tc146143133 \h 21
題型1正余弦定理的應(yīng)用
【例題1】（2022秋·新疆伊犁·高三?？茧A段練習(xí)）已知、、分別為三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，.
(1)求；
(2)若，的面積為，求、.
【變式1-1】1. （2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知在中，角的對(duì)邊分別為，向量，.
(1)求角C的大小；
(2)若成等差數(shù)列，且，求c.
【變式1-1】2. （2023秋·上海嘉定·高三上海市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，內(nèi)角A，B，C滿足.
(1)求a的值；
(2)求的值.
【變式1-1】3. （2023秋·廣東揭陽(yáng)·高三普寧市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，設(shè)A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求角B；
(2)若，的內(nèi)切圓半徑，求的面積．
【變式1-1】4．（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．
(1)求角；
(2)若，且的內(nèi)切圓半徑，求的面積．
【變式1-1】5.（2021秋·北京·高三景山學(xué)校?？计谥校┰谥校瑑?nèi)角所對(duì)的邊分別為，若且.
(1)求角的大小；
(2)在①成等差數(shù)列，②成等差數(shù)列，③成等差數(shù)列，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求的面積.（如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）
題型2余弦定理求最值與取值范圍
【例題2】（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知a，b，c為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足：
(1)求角；
(2)若的外接圓半徑為 求的周長(zhǎng)的最大值.
【變式2-1】1. （2024·陜西寶雞·?？家荒＃┰谥?，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
(1)求角A；
(2)若的面積為1，求的最小值.
【變式2-1】2. （2023秋·河北·高三校聯(lián)考期末）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，且．
(1)求的值．
(2)若的面積為1，求的周長(zhǎng)的最小值．
【變式2-1】3. （2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，求
(1)求角C；
(2)若，求的面積的最大值．
【變式2-1】4. （2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，.已知.
(1)求角；
(2)若是鈍角三角形，且，求邊的取值范圍.
題型3正弦定理求最值與取值范圍
【例題3】（2023秋·河南洛陽(yáng)·高三洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是且．
(1)求角A；
(2)若，求周長(zhǎng)的范圍．
【變式3-1】1. （2023秋·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答．
在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若，求周長(zhǎng)的范圍．
【變式3-1】2. （2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，，，已知且．
(1)求角A的大??；
(2)若，求的面積；
(3)求的取值范圍．
【變式3-1】3. （2023秋·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.
(1)求角的大小；
(2)若是銳角三角形，且其面積為，求邊的取值范圍.
【變式3-1】4. （2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知
(1)求A；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
【變式3-1】5.（2024秋·山東臨沂·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．
(1)若，求；
(2)求C的最大值．
【變式3-1】6.（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足.
(1)求角；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.
題型4不對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的最值取值范圍問(wèn)題
【例題4】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并作答．
問(wèn)題：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范圍．
【變式4-1】1. （2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，分別是角所對(duì)的邊，已知，且.
(1)若的面積為，求的值；
(2)求的取值范圍.
【變式4-1】2. （2023秋·廣東深圳·高三深圳市建文外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)求的最小值.
【變式4-1】3. （2022秋·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且．
(1)求角B的大?。?br>(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．
【變式4-1】4. （2023秋·河北保定·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若.
(1)求角的大??；
(2)若為上一點(diǎn)，，，求的最小值.
【變式4-1】5.（2023秋·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，已知.
(1)求的值；
(2)若邊上的中線，求周長(zhǎng)的最小值.
【變式4-1】6.（2023秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量 ，，且，.
(1)求的大?。?br>(2)求的最大值．
【變式4-1】7.（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，.
(1)若，求；
(2)求的最大值.
題型5三角形中線問(wèn)題
【例題5】（2023秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，.
(1)求的大??；
(2)若，，為的中點(diǎn)，求.
【變式5-1】1. （2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足.
(1)求B；
(2)若，且的面積為，是的中線，求的長(zhǎng).
【變式5-1】2. （2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
(1)證明：；
(2)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng)．
【變式5-1】3. （2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、．
①；②；③．
在以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，并作答．
(1)求角；
(2)已知的面積為，是邊上的中線，求的最小值．
【變式5-1】4. （2023秋·廣東揭陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）在中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.
(1)求角A；
(2)若，AD為BC邊上的中線，求.
題型6三角形角平分線問(wèn)題
【例題6】（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求角；
(2)若，為邊上一點(diǎn)，為角的平分線，且，求的面積.
【變式6-1】1. （2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）在中，為邊上一點(diǎn)，且平分．
(1)若，求與；
(2)若，設(shè)，求．
【變式6-1】2. （2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D為邊BC上一點(diǎn)，．
(1)若的面積，求a；
(2)若D為的角平分線與邊BC的交點(diǎn)，，求a.
【變式6-1】3. （2023秋·浙江紹興·高三浙江省上虞中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，已知內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，且.
(1)求角；
(2)若，角的平分線，求的面積.
【變式6-1】4. （2023·福建寧德·福建省寧德第一中學(xué)校考一模）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充到下面的橫線上，并給出解答.
問(wèn)題：已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，是邊的中點(diǎn)，，且______.
(1)求的值；
(2)若的平分線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
題型7三角形高線垂線問(wèn)題
【例題7】（2023秋·山東泰安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求的值；
(2)若是上一點(diǎn)，，求的面積.
【變式7-1】1. （2023秋·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，．

(1)求的長(zhǎng)；
(2)設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積；
(3)求的值．
【變式7-1】2. （2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，，滿足.

(1)求；
(2)點(diǎn)D在BC上，，，求AB.
【變式7-1】3. （2023秋·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知H為銳角的垂心，為三角形的三條高線，且滿足.
(1)求的值.
(2)求的取值范圍.
【變式7-1】4.（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）中，角的對(duì)邊分別為，的平分線交邊于，過(guò)作，垂足為點(diǎn).
(1)求角A的大??；
(2)若，求的長(zhǎng).
【變式7-1】5.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）中，角的對(duì)邊分別是，且滿足．
(1)求；
(2)若在上，，且，求的最大值．
題型8普通多三角形問(wèn)題
【例題8】（2023·全國(guó)·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若是上的一點(diǎn)，且，求的最小值．
【變式8-1】1. （2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三條邊分別為a，b，c，且有：．
(1)求角B的大??；
(2)設(shè)，若點(diǎn)M是邊上一點(diǎn)，且，，求的面積．
【變式8-1】2. （2023·河南駐馬店·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)若 D是線段AC上的一點(diǎn)，求BD的最小值．
【變式8-1】3. （2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求；
(2)點(diǎn)D在線段AC上，且，若的面積為，，求BD的長(zhǎng)．
【變式8-1】4. （2024秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，．
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)若，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，，求的面積．
【變式8-1】5.（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，.設(shè)，的面積為，求的取值范圍.
題型9四邊形問(wèn)題
【例題9】（2023秋·海南省直轄縣級(jí)單位·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知平面四邊形存在外接圓（即對(duì)角互補(bǔ)），且，，．
(1)求的面積；
(2)若，求的周長(zhǎng).
【變式9-1】1. （2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形中，，，的平分線交于點(diǎn)，且．

(1)求及；
(2)若，求周長(zhǎng)的最大值．
【變式9-1】2. （2022秋·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求；
(2)若，求．
【變式9-1】3. （2023秋·湖南永州·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，外一點(diǎn)（與在同一平面內(nèi)）滿足，，.

(1)求；
(2)若的面積為2，求線段的長(zhǎng).
【變式9-1】4. （2023秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，為等腰三角形，，點(diǎn)A，E在△BCD外，且，．

(1)求BE的長(zhǎng)度；
(2)求的最大值．
題型10面積最值取值范圍問(wèn)題
【例題10】（2023秋·湖南益陽(yáng)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，且.
(1)求；
(2)求面積的最大值.
【變式10-1】1. （2023秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【變式10-1】2. （2023秋·河南焦作·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.

(1)求；
(2)若，求BC.
【變式10-1】3.（2023·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)?？级＃┰阡J角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b．c．已知．
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值．
【變式10-1】4. （2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.
(1)求；
(2)若，求面積的最大值.
題型11與三角函數(shù)結(jié)合
【例題11】（2023春·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，且的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.
(1)求的解析式；
(2)在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，且的面積為，求的周長(zhǎng).
【變式11-1】1. （2023秋·四川眉山·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知向量，，，設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)設(shè)，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，的面積為，求的值．
【變式11-1】2. （2023秋·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，的最大值為.
(1)求角；
(2)若點(diǎn)在上，滿足，且，，求角C.
【變式11-1】3. （2024秋·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的周期為，且圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，，，求的值．
【變式11-1】4. （2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，角所對(duì)的邊為．若，求的取值范圍．
【變式11-1】5．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．

(1)求的解析式；
(2)在中，若，，，求．
題型12三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題
【例題12】（2022秋·山東·高三利津縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關(guān)系式：且______在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在前面橫線中，求滿足條件的個(gè)數(shù).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答得分.
【變式12-1】1. （2022·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知中，，，.
(1)求AC；
(2)若D為BC邊上一點(diǎn)，給出三種數(shù)值方案：①；②；③.判斷上述三種方案所對(duì)應(yīng)的的個(gè)數(shù)（不需說(shuō)明理由），并求三種方案中，當(dāng)唯一時(shí)BD的長(zhǎng).
【變式12-1】2. （2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，記的面積為S.
(1)求a；
(2)請(qǐng)從下面的三個(gè)條件中任選一個(gè)，探究滿足條件的的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.
條件：①，②，③.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【變式12-1】3. （2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.
(1)在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）
(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.
題型13證明問(wèn)題
【例題13】（2024秋·福建漳州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若D為邊BC上一點(diǎn)，且，，證明：為直角三角形.
【變式13-1】1. （2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
(1)證明：；
(2)若，，求的面積.
【變式13-1】2. （2023秋·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，的面積為，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)于點(diǎn).

(1)求的面積；
(2)若，求的值.
【變式13-1】3. （2023秋·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．
(1)證明：；
(2)若，求．
【變式13-1】4. （2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，．
(1)證明：；
(2)若，求的面積．
【變式13-1】5.（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求證：，，是等差數(shù)列；
(2)求的最大值．
【變式13-1】6.（2023秋·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點(diǎn)D、E、F．

(1)試證明：
(2)若P為重心，，求的面積．
題型14實(shí)際應(yīng)用題
【例題14】（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）天門(mén)山，古稱(chēng)嵩梁山，位于湖南省張家界市永定區(qū)大庸中路11號(hào)，屬武陵山脈向東進(jìn)入洞庭湖平原的余脈.為了測(cè)量天門(mén)山的海拔，某人站在海拔600米的點(diǎn)A處，他讓無(wú)人機(jī)從點(diǎn)A起飛，垂直向上飛行400米到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得天門(mén)山的最高點(diǎn)C處的仰角為45°，他遙控?zé)o人機(jī)從點(diǎn)B處移動(dòng)到點(diǎn)D處（平行于地平面），已知B與D之間的距離為518米，從點(diǎn)D處測(cè)得天門(mén)山的最高點(diǎn)C處的仰角為（）.

(1)設(shè)平面過(guò)且平行于地平面，點(diǎn)C到平面的距離為h米，求與的長(zhǎng)（用h表示）；
(2)已知，求天門(mén)山的海拔.
【變式14-1】1. （2023秋·山東日照·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）為美化校園，某學(xué)校將一個(gè)半圓形的空地改造為花園.如圖所示，為圓心，半徑為米，點(diǎn)，，都在半圓弧上，設(shè)，，且.

(1)若在花園內(nèi)鋪設(shè)一條參觀線路，由線段，，三部分組成，則當(dāng)取何值時(shí)，參觀線路最長(zhǎng)？
(2)若在花園內(nèi)的扇形和四邊形內(nèi)種滿杜鵑花，則當(dāng)取何值時(shí)，杜鵑花的種植總面積最大？
【變式14-1】2. （2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某城市有一條公路從正西方通過(guò)市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的，位于該市的某大學(xué)與市中心的距離km，且. 現(xiàn)要修筑一條鐵路，在上設(shè)一站，在上設(shè)一站，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過(guò)大學(xué)，其中，，km.

(1)求大學(xué)與站的距離；
(2)求鐵路段的長(zhǎng).
【變式14-1】3. （2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）十字測(cè)天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晩期的航海領(lǐng)域，主要用于測(cè)量太陽(yáng)等星體的方位，便于船員確定位置．如圖1所示，十字測(cè)天儀由桿和橫檔構(gòu)成，并且是的中點(diǎn)，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動(dòng)．十字測(cè)天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測(cè)天儀，使得眼睛可以從點(diǎn)觀察．滑動(dòng)橫檔使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽(yáng)，此時(shí)視線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的影子恰好是．然后，通過(guò)測(cè)量的長(zhǎng)度，可計(jì)算出視線和水平面的夾角（稱(chēng)為太陽(yáng)高度角），最后通過(guò)查閱地圖來(lái)確定船員所在的位置．

(1)在某次測(cè)量中，，橫檔的長(zhǎng)度為20，求太陽(yáng)高度角的正弦值．
(2)在桿上有兩點(diǎn)，滿足．當(dāng)橫檔的中點(diǎn)位于時(shí)，記太陽(yáng)高度角為，其中，都是銳角．證明：．
【變式14-1】4. （2023·廣東汕頭·金山中學(xué)校考三模）為測(cè)量地形不規(guī)則的一個(gè)區(qū)域的徑長(zhǎng)，采用間接測(cè)量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得到，為鈍角，，，．

(1)求的值；
(2)若測(cè)得，求待測(cè)徑長(zhǎng)．
1. （2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知中內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若邊上一點(diǎn)，滿足且，求的面積最大值．
2. （2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若．
(1)求的值;
(2)若且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍，當(dāng)周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求的面積．
3. （2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）從條件①；②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答．
在中：內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，__________．
(1)求角的大?。?br>(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，求的最大值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
4. （2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且.
(1)求；
(2)把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.
5. （2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．
(1)求角A的大??；
(2)設(shè)是邊上的高，且，，求的值．
6. （2023·江西九江·統(tǒng)考一模）中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知，．
(1)求角的值；
(2)求邊上高的最大值．
7．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
8．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
9．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
10．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
11．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
12．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
13．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
14．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
15．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
1.若式子含有a，b，c的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，"角化邊"
2.面積和a，b，c2次齊次式，可構(gòu)造余弦定理
”齊次對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)”余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

1.可以利用向量法
2.倍長(zhǎng)中線：中線可延長(zhǎng)，補(bǔ)成對(duì)稱(chēng)圖形
3.中線可借助補(bǔ)角.
角平分線
如圖，在△ABC中，AD平分BAC，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c
技巧1：內(nèi)角平分線定理：
技巧2：等面積法
，
技巧3：邊與面積的比值：
技巧4:角互補(bǔ)：
+,
在△,
在△,
高的處理方法：
1.等面積法：兩種求面積公式
如
2.三角函數(shù)法：
四邊形，一般適當(dāng)?shù)倪B接對(duì)角線，分解為有公共邊倆三角形.如果是有外接圓，則要充分運(yùn)用對(duì)角互補(bǔ)這個(gè)隱形條件

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