TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc147869200" 題型1等差中項(xiàng) PAGEREF _Tc147869200 \h 1
\l "_Tc147869201" 題型2等比中項(xiàng) PAGEREF _Tc147869201 \h 5
\l "_Tc147869202" 題型3 下角標(biāo)和性質(zhì) PAGEREF _Tc147869202 \h 9
\l "_Tc147869203" 題型4單調(diào)性問題 PAGEREF _Tc147869203 \h 12
\l "_Tc147869204" 題型5最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問題 PAGEREF _Tc147869204 \h 17
\l "_Tc147869205" 題型6等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1 PAGEREF _Tc147869205 \h 22
\l "_Tc147869206" 題型7等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)2 PAGEREF _Tc147869206 \h 27
\l "_Tc147869207" 題型8等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)3 PAGEREF _Tc147869207 \h 30
\l "_Tc147869208" 題型9等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)4 PAGEREF _Tc147869208 \h 32
\l "_Tc147869209" 題型10等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題 PAGEREF _Tc147869209 \h 37
\l "_Tc147869210" 題型11等差數(shù)列Sn>0,Sn0， ，
所以在中最大的是．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查等數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．屬中檔題.
【變式5-1】4.（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則數(shù)列的最小項(xiàng)是（ ）
A．第1011項(xiàng)B．第1012項(xiàng)C．第2022項(xiàng)D．第2023項(xiàng)
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式探討數(shù)列單調(diào)性，確定絕對(duì)值最小的正負(fù)數(shù)項(xiàng)作答.
【詳解】在等差數(shù)列中，，則
，則，
數(shù)列的公差，即數(shù)列是遞減等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，，數(shù)列遞減，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列遞增，
，
所以數(shù)列的最小項(xiàng)是，即第1012項(xiàng).
故選：B
【變式5-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ；數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)是第 項(xiàng)．
【答案】；3
【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式為=，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中數(shù)值最小的項(xiàng)應(yīng)是最靠近對(duì)稱軸的項(xiàng)，即n=3，第3項(xiàng)是數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)．
題型6等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1
【例題6】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（ ）
A．10B．15C．20D．40
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到仍成等差數(shù)列，可設(shè)出，，，，又因?yàn)?，代入?shù)值進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到：仍成等差數(shù)列，
記，設(shè)，
，，
，
，
計(jì)算可得到結(jié)果為：20.
故選：C.
【變式6-1】1. （2020·湖北宜昌·統(tǒng)考二模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì).在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤.問依次每一尺各重多少斤？”假定該金杖被截成長(zhǎng)度相等的若干段時(shí)，其重量從粗到細(xì)構(gòu)成等差數(shù)列.若將該金杖截成長(zhǎng)度相等的20段，則中間兩段的重量和為（ ）
A．斤B．斤C．斤D．斤
【答案】C
【解析】把每段重量依次用（表示，數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求解．
【詳解】把每段重量依次用（表示，數(shù)列是等差數(shù)列，
由題意，兩式相加得，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是從實(shí)際問題抽象出等差數(shù)列，然后應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)解題即可．
【變式6-1】2. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則 .
【答案】200
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列基本量的計(jì)算求出新等差數(shù)列的公差，最后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.
【詳解】依題意，，，，…，依次成等差數(shù)列，
設(shè)該等差數(shù)列的公差為.又，，
因此，解得，
所以.
故答案為：200
【變式6-1】3. （2022·河南洛陽·統(tǒng)考三模）有下列四個(gè)命題：其中真命題的序號(hào)是 .
①等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則；②函數(shù)的最小值4；③函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是；④函數(shù)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間上.
【答案】①③④
【分析】對(duì)每一個(gè)命題逐一分析得解.
【詳解】①設(shè),故該命題正確；
②設(shè)，所以函數(shù)g(t)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為g(1)=5,所以該命題是假命題.
③切線方程為y-0=x-1,所以該命題是真命題；
④，所以函數(shù)在（1,2）上單調(diào)遞增， ，所以函數(shù)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間上.故該命題是真命題.
故答案為①③④
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.
【變式6-1】4. （2023春·湖北·高三湖北省咸寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若直線與圓相切，則（ ）
A．90B．70C．120D．100
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心與半徑，由直線與圓相切可得，即可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)即可求得的值.
【詳解】圓C的圓心為，半徑，由直線與圓相切得：
圓心到直線的距離，整理得，即，
所以為等差數(shù)列．
在等差數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，
所以，則，即．
故選：C.
【變式6-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多塊，問：三層共有多少塊扇面形石板(不含天心石)？
【答案】
【分析】設(shè)第環(huán)石板的塊數(shù)為，可知數(shù)列為等差；根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)可構(gòu)造方程，由此求得；利用等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)第環(huán)石板的塊數(shù)為，第一層共有環(huán)，則是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
；
設(shè)的前項(xiàng)和為，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，，，
下層比中層多塊，，
即，解得：，
，即三層共有扇面形石板塊.
【變式6-1】6.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則下列結(jié)論正確的是( )
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
【答案】ABC
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，設(shè)等比數(shù)列的公比為，求出，利用等差數(shù)列的定義可判斷選項(xiàng)；利用等比數(shù)列定義可判斷C選項(xiàng)．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴．
對(duì)于A選項(xiàng)，，∴為等差數(shù)列，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，令，
∴，
故數(shù)列是等差數(shù)列，B正確；
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
對(duì)于C選項(xiàng)，令，則，故數(shù)列是等比數(shù)列，C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，∵不一定為常數(shù)，故數(shù)列不一定是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC．
題型7等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)2
【例題7】（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）若為等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且為等比數(shù)列，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)分別求得的值，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，即得答案.
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故，
所以，
又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以，
故選：D.
【變式7-1】1. （2022秋·安徽·高三校聯(lián)考期末）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（ ）
A．90B．180C．45D．135
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以.
故選：A.
【變式7-1】2. （2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）公差不為零的等差數(shù)列的前為項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．8B．12C．16D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及基本量計(jì)算可得解.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，
又，
，
，
，
.
故選：C.
【變式7-1】3. （2023秋·重慶璧山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．150B．120C．75D．60
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)橐渤傻炔顢?shù)列，故，同理
因?yàn)?，所以，?br>所以.
故選：D
【變式7-1】4. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（ ）
A．3B．14C．28D．42
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，則可由已知等式求的值，從而利用求和公式和等差數(shù)列性質(zhì)求得值.
【詳解】解：正項(xiàng)等差數(shù)列，則
若，則，解得或（舍）
則.
故選：D.
【變式7-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 .
【答案】
【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差中項(xiàng)可得，再應(yīng)用通項(xiàng)公式求結(jié)果.
【詳解】，則，
其中為公差，則，故.
故答案為：
題型8等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)3
【例題8】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是與，且，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，得到，代入即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得，
又由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，而，
所以.
故答案為：
【變式8-1】1. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，若對(duì)任意的，都有，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】，
由于，
故答案為：
【變式8-1】2. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算作答.
【詳解】等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，
所以.
故答案為：
【變式8-1】3. （2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考階段練習(xí)）等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別是與，且，則 ； .
【答案】 / /
【分析】空1：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，得到，代入即可求解；空2：設(shè)，，，代入即可求出.
【詳解】空1：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，
又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，
因?yàn)?，可?
空2：設(shè)，
所以，
，所以.
故答案為：；.
【變式8-1】4. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，，設(shè)點(diǎn)A是直線BC外一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn)，且 ，則實(shí)數(shù)λ的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由 可知P，B，C三點(diǎn)共線，從而有+λ=1，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可求解.
【詳解】因?yàn)镻，B，C三點(diǎn)共線，所以+λ=1，所以+λ=1，，所以+λ=+λ=1，λ=，
故選:B.
題型9等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)4
【例題9】（2023秋·四川眉山·高三?？奸_學(xué)考試）在等差數(shù)列中， ，其前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．2 023B．-2 023C．-2 024D．2 024
【答案】C
【分析】設(shè)公差為，可得出也為等差數(shù)列，根據(jù)條件得出其公差，從而得出其通項(xiàng)公式，從而得出答案.
【詳解】由是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則
所以，（常數(shù)），則也為等差數(shù)列.
由，則數(shù)列的公差為1.
所以
所以，所以
故選：C
【變式9-1】1. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則取最大值時(shí)，n的值為（ ）
A．8B．8或9C．9D．17
【答案】B
【分析】結(jié)合已知條件求得，由此求得，進(jìn)而求得，由求得正確答案.
【詳解】依題意，
所以
所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
由，
所以取最大值時(shí)，n的值為或.
故選：B
【變式9-1】2. （2020·新疆·統(tǒng)考二模）在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．-4040B．-2020C．2020D．4040
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得為等差數(shù)列，由已知求出其公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式，即可得出結(jié)論.
【詳解】在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，
則是以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè)其公差為，
，
.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前和基本量的運(yùn)算，應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.
【變式9-1】3. （2019·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列{}的公差d≠0，且，，成等比數(shù)列，若＝5，為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n為
A．3B．3或4C．4或5D．5
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組求出首項(xiàng)和公差，由此得到n﹣4，由此能求出數(shù)列{}的前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n．
【詳解】由，，成等比數(shù)列，可得 = ，
即有：
由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，∴＝＝－3＋n－1＝n－4，
易知數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，
由n－4≥0，得n≥4，∴數(shù)列的前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n為3或4.
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)數(shù)n的比值的前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．
【變式9-1】4. （2023·海南·?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和形式滿足，再根據(jù)拼湊對(duì)應(yīng)的形式，進(jìn)而用表達(dá)求解即可.
【詳解】即，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和形式滿足，
故.則，
故.
故選：A
【變式9-1】5.（2022秋·天津靜海·高三靜海一中?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為與，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，由已知設(shè)出，分別求出其通項(xiàng)公式，代入計(jì)算可得答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列，的首項(xiàng)和公差分別為，則，
因?yàn)椋傻炔顢?shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，
故可設(shè)，其中為非零常數(shù)，
由，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)上式仍舊適合，故，
同理可得，當(dāng)時(shí)，，
所以.
故選：A.
【變式9-1】6.（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10．求S110．
【答案】S110＝－110．
【分析】方法一：利用前n項(xiàng)和公式列出方程組求解即可；方法二：利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行解題即可；方法三：利用等差數(shù)列的連續(xù)等片段和仍成等差出列求解即可；方法四：利用{an}等差數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列進(jìn)行解題即可.
【詳解】法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
則，
解得，．
法二：∵S10＝100，S100＝10，
∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，
∴a11＋a100＝－2．
又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
∴S110＝＝－110．
法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差數(shù)列，
∴設(shè)公差為d，數(shù)列前100項(xiàng)和為10×100＋d＝10，解得d＝－22．
∴前110項(xiàng)和S110＝11×100＋d＝11×100＋10××(－22)＝－110．
法四：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由于Sn＝na1＋d，
則＝a1＋(n－1)．
∴數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為．
∴，
且．
代入已知數(shù)值，消去d，
可得S110＝－110．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，有公式法，連續(xù)等片段仍成等差數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列等等，利用這些性質(zhì)對(duì)于解題會(huì)有非常大的幫助.
題型10等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題
【例題10】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）某大樓共有12層，有11人在第1層上了電梯，他們分別要去第2至第12層，每層1人.因特殊原因，電梯只允許停1次，只可使1人如愿到達(dá)，其余10人都要步行到達(dá)所去的樓層.假設(shè)這10位乘客的初始“不滿意度”均為0，乘客每向下步行1層的“不滿意度”增量為1，每向上步行1層的“不滿意度”增量為2，10人的“不滿意度”之和記為S，則S的最小值是（ ）
A．42B．41C．40D．39
【答案】C
【分析】先求得“不滿意度”之和S的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得S的最小值.
【詳解】設(shè)在第n層下，則
又，則時(shí)S取得最小值40.
故選：C
【變式10-1】1. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，已知，，則等差數(shù)列的前項(xiàng)的和中，最小值為（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，確定等差數(shù)列的所有負(fù)數(shù)項(xiàng)即可推理作答.
【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，由，得，則，
由，得，，
等差數(shù)列的公差，即數(shù)列是遞增的，前5項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第6項(xiàng)起均為正數(shù)，
所以等差數(shù)列的前5項(xiàng)的和最小，即最小值為.
故選：A
【變式10-1】2.（多選） （2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足，且，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
C．當(dāng)時(shí)有最大值
D．設(shè)，則當(dāng)或時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)求出為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，得到通項(xiàng)公式；B選項(xiàng)，計(jì)算出，得到，從而得到，得到B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)及二次函數(shù)的最值得到C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，先得到時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，且，得到結(jié)論.
【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
又，解得，
當(dāng)時(shí)，①，
②，①-②得，
，
即，故，
因?yàn)?，所以不能?duì)任意的恒成立，
故，
所以，
故為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，
所以通項(xiàng)公式為，A正確；
B選項(xiàng)，，
故，則當(dāng)時(shí)，，
故為等差數(shù)列，B正確；
C選項(xiàng)，，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，令得，令得，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
又，，
則當(dāng)或時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值，D正確.
故選：ABD
【變式10-1】3. （多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．
C．D．當(dāng)時(shí)，取到最大值
【答案】ACD
【分析】利用條件，得到，從而得出，可判斷出選項(xiàng)A正確；再逐一對(duì)選項(xiàng)BCD分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，得到，所以，故選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B，又，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，取到最大值，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
【變式10-1】4. （2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)首項(xiàng)和變化時(shí)，是一個(gè)定值，則使為定值的的最小值為（ ）
A．15B．17C．19D．21
【答案】B
【分析】為定值，計(jì)算得到答案.
【詳解】，故為定值.
又，所以為定值.
故選：B
題型11等差數(shù)列Sn>0,Sn0)。
等差：觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar.
等比：若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.
1.等差數(shù)列的單調(diào)性
等差數(shù)列{an}的公差為d，則：
= 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴d>0?{an}為遞增數(shù)列；
= 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵d0時(shí)，
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①公比q>1，單調(diào)遞增; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②q=1無單調(diào)性; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③0

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