新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)+提升訓(xùn)練專題3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【528】．（2015·福建·高考真題·★★★）
若定義在上的函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
試題分析：令，則，因此，所以選C.
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式
【方法點(diǎn)睛】
利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造. 構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等
【529】．（2015·全國·高考真題·★★★）
設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【詳解】
構(gòu)造新函數(shù),，當(dāng)時(shí).
所以在上單減，又，即.
所以可得,此時(shí)，
又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.
故選A.
點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時(shí)聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).
【530】．（2011·遼寧·高考真題·★★★）
函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)任意，，則的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】
依題意可設(shè)，所以.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?
所以要使，即，只需要，故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
【531】．（2022·北京·高考真題·★★★★）
已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對(duì)任意的，有．
【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞增.
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；
（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；
（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.
(1)
解：因?yàn)?，所以?br>即切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
(2)
解：因?yàn)椋?
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增.
(3)
解：原不等式等價(jià)于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴
∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br>∴，所以命題得證.
【532】．（2021·浙江·高考真題·★★★★★）
設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.
(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
(2)；
(3)證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
(2)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.
【詳解】
(1)，
①若，則，所以在上單調(diào)遞增；
②若，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
(2)有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，
令，則，
記，
記，
又，所以時(shí)，時(shí)，，
則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，
.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)[方法一]【最優(yōu)解】：
有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).
由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，
，
注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，又由知，
，
要證，只需，
且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以只需證，
只需證，
只需證，
，只需證在時(shí)為正，
由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，
又，故在時(shí)為正，
從而題中的不等式得證.
[方法二]：分析+放縮法
有2個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，由得（其中）．
且．
要證，只需證，即證，只需證．
又，所以，即．
所以只需證．而，所以，
又，所以只需證．
所以，原命題得證．
[方法三]：
若且，則滿足且，由（Ⅱ）知有兩個(gè)零點(diǎn)且．
又，故進(jìn)一步有．
由可得且，從而．．
因?yàn)椋?br>所以，
故只需證．
又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故只需證，即，注意時(shí)有，故不等式成立．
【整體點(diǎn)評(píng)】
本題第二、三問均涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，其中第三問難度更大，涉及到三種不同的處理方法，
方法一：直接分析零點(diǎn)，將要證明的不等式消元，代換為關(guān)于的函數(shù)，再利用零點(diǎn)反代法，換為關(guān)于的不等式，移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析范圍.
方法二：通過分析放縮，找到使得結(jié)論成立的充分條件，方法比較冒險(xiǎn)！
方法三：利用兩次零點(diǎn)反代法，將不等式化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為與0比較大小，代入函數(shù)放縮得到結(jié)論.
【533】．（2021·全國·高考真題·★★★★）
設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
【答案】（1）；（2）證明見詳解
【解析】
【分析】
（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解
【詳解】
（1）由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋?br>要證，即證，即證．
（?。┊?dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（?。áⅲ┯校?br>[方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當(dāng) 時(shí)，要證，，，即證，化簡得；
同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單減，故；
當(dāng)時(shí)，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明
令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．
綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當(dāng)且時(shí)，，即．
【整體點(diǎn)評(píng)】
（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時(shí)，成立和當(dāng)時(shí)，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.
【534】．（2022·貴州·貴陽一中模擬預(yù)測·★★★）
已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且在上恒有成立，則下列不等式成立的（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，由得，即，即可得到單調(diào)性，再結(jié)合的奇偶性，即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，由在上恒有成立，即在上為增函數(shù)，又由為偶函數(shù)，，故A錯(cuò)誤.
偶函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
，故B正確；
，，故C錯(cuò)誤；
，，故D錯(cuò)誤.
故選：B
【535】．（2022·浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
若定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題設(shè)，由已知得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等式可得選項(xiàng).
【詳解】
由題可設(shè)，因?yàn)椋?br>則，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
又，不等式可轉(zhuǎn)化為，
∴，
所以，解得，
所以不等式的解集為．
故選：A.
【536】．（2022·江蘇鹽城·三模·★★★）
已知為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對(duì)任意的總有，則不等式的解集為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
構(gòu)造新函數(shù)，利用已知條件，可以判斷單調(diào)遞增，利用的單調(diào)性即可求出不等式的解集
【詳解】
設(shè)函數(shù)，則
又
所以在上單調(diào)遞增，又
故不等式可化為
由的單調(diào)性可得該不等式的解集為．
故答案為：
【537】．（2022·河南·三?！ぁ铩铩铮?br>已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性情況，且時(shí)，，時(shí)，，同時(shí)注意，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可．
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，所以時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，
同時(shí)注意到，
所以若存在，，使得成立，
則且，
所以，所以，
所以構(gòu)造函數(shù)，而，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用同構(gòu)的方式將聯(lián)系起來，這樣就構(gòu)造了新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值.
【538】．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測·★★★★）
已知偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意，都有恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，結(jié)合條件可判斷出在上單調(diào)遞增，且函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而可得.
【詳解】
令，則，則A錯(cuò)誤；
令，則，
當(dāng)時(shí)，由，
，則在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
∴為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
，，故B錯(cuò)誤；
，，故C正確；
由題意，不妨假設(shè)(c為常數(shù))符合題意，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【539】．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測·★★★）
定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意恒成立.若，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題目中的條件變形為，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系處理單調(diào)性即可求解.
【詳解】
由，即，
即，即對(duì)恒成立，
令，則在上單調(diào)遞增，
∵，∴，
由即，即，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，∴
故選：B.
【540】．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測·★★★★）
下列大小比較中，錯(cuò)誤的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
對(duì)于選項(xiàng)D,構(gòu)造函數(shù)，得到.令，得到，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)A，在中，令，得到 .所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B,在中，令，則，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C, 所以，所以選項(xiàng)C正確.
【詳解】
解：對(duì)于選項(xiàng)D,構(gòu)造函數(shù)，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
所以.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）
則令，則，化簡得，故，
故，故，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)A，，
在中，令，則，化簡得，故，
所以. 所以，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B,在中，令，則，所以，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C, 所以，所以選項(xiàng)C正確.
故選：D
【541】．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測·★★★）
設(shè)，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)，由導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，可知函數(shù)在單調(diào)遞減；又，，，根據(jù)單調(diào)性即可得到結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，則，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
又，，，
又，
所以.
故選：A.
【542】．（2022·四川雅安·三?！ぁ铩铩铮?br>定義在R上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，．則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可比較.
【詳解】
令，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
則，即，則，故A錯(cuò)誤；
，即，故B錯(cuò)誤；
，即，故C錯(cuò)誤；
，即，則，故D正確.
故選：D.
【543】．（2022·山西·模擬預(yù)測·★★★★）
設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于，都有及成立，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，由得為奇函數(shù)，由得是增函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】
令，定義域?yàn)椋?br>，∴函數(shù)為奇函數(shù)，
，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，
又，
，即，即，
解得：.
故選：A.
【544】．（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測·★★★）
已知定義在上的函數(shù)滿足，則下列大小關(guān)系正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，
所以，，即，因此，.
故選：A.
【545】．（2022·河南·模擬預(yù)測·★★★）
已知是定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，求導(dǎo)得，由題意可得在R上單調(diào)遞增.再逐一判斷即可.
【詳解】
設(shè)，則.
因?yàn)?，所以，則在R上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以，即?br>所以，則A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，的大小不能確定，所以，的大小不能確定，則B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，則，所以，則C正確；
因?yàn)椋拇笮〔荒艽_定，所以，不能確定，則D錯(cuò)誤.
故選:C
【546】．（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★★）
已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，并依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去求解不等式的解集.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，則
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)
則是上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，
由，可得，則，
則時(shí)，不等式
可化為
又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，
則有，解之得
故選：D
【547】．（2022·河南平頂山·模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則（）
A．8B．1C．－8D．－27
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得：有三解，令，由的圖像可得故最多只有兩個(gè)解，所以有兩解，，有一解為，有兩解為，代入即可得解.
【詳解】
由，
即有三解，
令，設(shè)，
，
當(dāng)，為增函數(shù)，
當(dāng)，為減函數(shù)，
圖像如圖所示：
故最多只有兩個(gè)解，
若要有三解，
則有兩解，
，，
故有一解為，
有兩解為，
，
故選：D
【548】．（2022·陜西榆林·三?！ぁ铩铩铮?br>已知是定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，，則下列結(jié)論一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可得，進(jìn)而可得答案.
【詳解】
令，則，則是增函數(shù)，
故，即，可得.
故選：D
【549】．（2022·天津·耀華中學(xué)二?！ぁ铩铩铩铩铮?br>已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在兩個(gè)極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為
(2)
【解析】
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求得，令，結(jié)合單調(diào)性得到，進(jìn)而得到，分和，兩種情況分類討論，結(jié)合單調(diào)性與極值點(diǎn)的概念，即可求解.
(1)
解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
可得，
令，可得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)
解：由函數(shù)，
可得，
令，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
當(dāng)時(shí)，可得，所以，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極小值為，無極大值；
②當(dāng)時(shí)，，
又由在上單調(diào)遞增，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，令，可得，
又因?yàn)椋?，即，所以?br>所以，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【550】．（2022·浙江·三模·★★★★★）
已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)單調(diào)遞增，求a的最大值；
(3)設(shè)是的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，是的最大零點(diǎn)．證明：．
注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
【答案】(1)在上單調(diào)遞增；
(2)1；
(3)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)可直接求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）由題意得對(duì)任意的的恒成立，即可求出a的最大值.
（3）由（2）知，當(dāng)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)時(shí)，，則存在兩個(gè)零點(diǎn)，故，由此可得出，再證明：．
即可證明。
(1)
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增．
(2)
若函數(shù)單調(diào)遞增，則對(duì)任意的恒成立．
令，
在上，單增，在上，單減，
所以，即.
所以在恒成立，
則在恒成立，
令，則，
所以時(shí)，即遞減，時(shí)，即遞增，
故，即.
綜上，a的最大值是1．
(3)
由于時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)時(shí)，．
此時(shí)，
于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于正無窮，，趨向于正無窮時(shí)，趨向于正無窮，則存在兩個(gè)零點(diǎn)，
不妨設(shè)，也即的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，故
先估計(jì)，令，，
則，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以
則
于是，
由知，，故．
只需再證明：．
由，
趨向于正無窮時(shí)，趨向于正無窮，
故存在．
又是的最大零點(diǎn)，則，得證！
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及一些導(dǎo)數(shù)中的基本不等式的運(yùn)用，同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力.
考點(diǎn)3.2.2 零點(diǎn)問題
【551】．（2022·遼寧·★★★）
（2015·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
設(shè)，，
由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，
，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)的最小值為.
又，.
直線恒過定點(diǎn)且斜率為，
故且，解得，故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.
【552】．（2017·全國·高考真題·★★★★）
已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
【詳解】
因?yàn)椋O(shè)，則
，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只有當(dāng)時(shí)，才滿足題意，即是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，所以，解得.故選：C.
【點(diǎn)睛】
利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：
（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.
（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
【553】．（2022·四川·樹德中學(xué)模擬預(yù)測·★★★）
已知函數(shù)的零點(diǎn)為a，函數(shù)的零點(diǎn)為b，則下列不等式中成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)與關(guān)于直線對(duì)稱，畫出圖象，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】
由，得，，
因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，
在同一坐標(biāo)系下，畫出，，，的圖象，
如圖所示：
則，，，關(guān)于對(duì)稱.
所以，，故B錯(cuò)誤.
因?yàn)?，，，所以，故A錯(cuò)誤.
因?yàn)?，，在上為增函?shù)，
，，所以.
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且，所以.
，故C正確.
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，在為增函數(shù).
所以，
即，，故D錯(cuò)誤.
故選：C
【554】．（2022·全國·高考真題·★★★★）（多選題）
已知函數(shù)，則（）
A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有三個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】
由題，，令得或，
令得，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以是極值點(diǎn)，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，
將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，
所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，
故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【555】．（2021·北京·高考真題·★★★）
已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；
②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；
③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；
④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】
對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；
對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，
因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.
故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
【556】．（2018·江蘇·高考真題·★★★★）
若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為__________．
【答案】.
【解析】
【詳解】
分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果.
詳解：由得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且，所以，因此從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)取值條件．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．
【557】．（2022·全國·高考真題·★★★★）
已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可
（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究
(1)
的定義域?yàn)?br>當(dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
(2)
設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意
若,當(dāng),則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意
若
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
當(dāng)
當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn)
又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)
(2)當(dāng)
設(shè)
所以在單調(diào)遞增
所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增,
又
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減
有
而,所以當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)
即在上有唯一零點(diǎn)
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.
【558】．（2022·全國·高考真題·★★★★）
已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．
【答案】(1)
(2)證明見的解析
【解析】
【分析】
（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.
(1)
的定義域?yàn)椋?br>令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
(2)
由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1
不妨設(shè)
要證,即證
因?yàn)?即證
因?yàn)?即證
即證
即證
下面證明時(shí)，
設(shè)，
則
設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式
這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握
【559】．（2021·全國·高考真題·★★★★）
已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)
①；
②．
【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；
(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】
(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當(dāng)時(shí)，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：
，
當(dāng)時(shí)，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
【點(diǎn)睛】
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【560】．（2021·浙江·高考真題·★★★★★）
設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.
(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
(2)；
(3)證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
(2)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.
【詳解】
(1)，
①若，則，所以在上單調(diào)遞增；
②若，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
(2)有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，
令，則，
記，
記，
又，所以時(shí)，時(shí)，，
則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，
.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)[方法一]【最優(yōu)解】：
有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).
由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，
，
注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，又由知，
，
要證，只需，
且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以只需證，
只需證，
只需證，
，只需證在時(shí)為正，
由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，
又，故在時(shí)為正，
從而題中的不等式得證.
[方法二]：分析+放縮法
有2個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，由得（其中）．
且．
要證，只需證，即證，只需證．
又，所以，即．
所以只需證．而，所以，
又，所以只需證．
所以，原命題得證．
[方法三]：
若且，則滿足且，由（Ⅱ）知有兩個(gè)零點(diǎn)且．
又，故進(jìn)一步有．
由可得且，從而．．
因?yàn)椋?br>所以，
故只需證．
又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故只需證，即，注意時(shí)有，故不等式成立．
【整體點(diǎn)評(píng)】
本題第二、三問均涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，其中第三問難度更大，涉及到三種不同的處理方法，
方法一：直接分析零點(diǎn)，將要證明的不等式消元，代換為關(guān)于的函數(shù)，再利用零點(diǎn)反代法，換為關(guān)于的不等式，移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析范圍.
方法二：通過分析放縮，找到使得結(jié)論成立的充分條件，方法比較冒險(xiǎn)！
方法三：利用兩次零點(diǎn)反代法，將不等式化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為與0比較大小，代入函數(shù)放縮得到結(jié)論.
【561】．（2022·福建省福州第一中學(xué)三?！ぁ铩铩铩铮ǘ噙x題）
已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．為偶函數(shù)B．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
C．既無最大值，也無最小值D．若且，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】
求出即可判斷函數(shù)奇偶性，再分段討論求即可確定函數(shù)單調(diào)性，分別驗(yàn)證即可．
【詳解】
解：因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>又，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．
當(dāng)時(shí)，，即恒成立，所以在為減函數(shù)．
又因?yàn)?，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，即恒成立，所以在上為減函數(shù)．
又因?yàn)椋栽谏现挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，即B，C選項(xiàng)正確．
當(dāng)時(shí)，若，，由，可得，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，
同理可證當(dāng)，時(shí)，結(jié)論也成立，故D正確．
故選：BCD．
【562】．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模·★★★★）（多選題）
已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（）
A．點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)
B．，使
C．函數(shù)的值域?yàn)?br>D．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
【答案】CD
【解析】
【分析】
根據(jù)零點(diǎn)的定義即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的值域，即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出函數(shù)在和的最值，即可判斷B；方程，即或，結(jié)合C選項(xiàng)，方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出的范圍，即可判斷D.
【詳解】
解：對(duì)于A，因?yàn)椋允呛瘮?shù)的零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，
又當(dāng)時(shí)，，，
故當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以函數(shù)在上遞增，
故，
故當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋蔆正確；
對(duì)于B，由C可知，函數(shù)在上遞增，在上遞增，
則，
所以不存在，使，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于D，關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以或，
由C知，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以方程也只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
如圖，畫出函數(shù)的簡圖，
則或，
所以或，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故D正確.
故選：CD.
【點(diǎn)睛】
本題考查了零點(diǎn)的定義，考查了利用到處求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的值域，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)的問題，考查了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想.
【563】．（2022·全國·模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解．
【答案】(1)答案不唯一，具體見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）先求出函數(shù)的定義域，再求出，然后分，可得出函數(shù)的單調(diào)性.
（2）設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，所以只需證在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求出其導(dǎo)數(shù)，由零點(diǎn)存在原理即可證明.
(1)
函數(shù)的定義域是，．
當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減．
(2)
當(dāng)時(shí)，方程即為，即．
令，則，
則“方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解”等價(jià)于“函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”．
當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，
所以只需證在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，，
所以在上恒成立．
所以在上單調(diào)遞增，又，，
所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
故方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解．
【564】．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測·★★★★★）
已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
(1)令，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)令，若函數(shù)有兩不同零點(diǎn)．
①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②證明：．
【答案】(1)；
(2)① ；②證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)為偶函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為時(shí)恒成立，根據(jù)及參變分離求有恒成立，求參數(shù)范圍；
（2）①利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，及區(qū)間值域情況，進(jìn)而判斷有兩不同解時(shí)m的范圍即可；②由（1）知：時(shí)且，應(yīng)用放縮法有，構(gòu)造研究極值并判斷的兩根與大小關(guān)系得到即可證結(jié)論.
(1)
由題設(shè)，，則，
所以為偶函數(shù)，故只需時(shí)，恒成立，而滿足，
所以有恒成立，令，則，
若，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，即在上遞增，則，即，
所以，在上，則，
綜上：a的范圍為．
(2)
①由題設(shè)，，若得：，
故在單調(diào)減，在單調(diào)增，且趨向負(fù)無窮趨向于0，趨向正無窮趨向于正無窮，
又，，則時(shí)，；時(shí)，，
要使有兩個(gè)不同解且，則；
②由（1）知：時(shí)，則；
記且，則，
所以上，上，
故在上遞減，上遞增，且，
所以也有兩根，記為，又上，則，
令，則為的兩根，故，，
所以，而，
所以．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)并確定區(qū)間值域求參數(shù)范圍；應(yīng)用放縮法有上，研究不等式右側(cè)的性質(zhì)并確定兩根與兩根的大小關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理、基本不等式證明結(jié)論.
【565】．（2022·青海西寧·二模·★★★★）
定義方程的實(shí)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，若函數(shù)，，的“新駐點(diǎn)”分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分別求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)相等列出方程，直接解得，再引入新函數(shù)，利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定新函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間，得的范圍從而確定它們的大?。?br>【詳解】
由題意：，
所以分別為的根，即為函數(shù)
的零點(diǎn)，
可解得；
為單調(diào)遞增函數(shù)，
且，所以，
令，解得，或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由，，，
，所以，
所以.
故選：B.
【566】．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測·★★★★★）
已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，參變分離成的形式，畫圖可得k的取值范圍.
【詳解】
由題知，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，的圖象如下，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與無交點(diǎn)，即無零點(diǎn).
故選：D.
【567】．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★★）
已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為（）
A．3B．4C．2或3或4或5D．2或3或4或5或6
【答案】A
【解析】
【分析】
畫出函數(shù)圖象，令，則，所以，即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用韋達(dá)定理及函數(shù)圖象分類判斷即可.
【詳解】
根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；
函數(shù)，時(shí)單調(diào)遞減，所以，
對(duì)于方程，令，則，所以，
即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，
當(dāng)時(shí)，，3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，也是3個(gè)交點(diǎn)；
故選：A．
【點(diǎn)睛】
函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
【568】．（2022·河南·模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有3個(gè)根.進(jìn)行分類討論：分別研究和的根的情況，求出k的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，所以有3個(gè)根.
經(jīng)驗(yàn)證：x=1為其中一個(gè)根.
當(dāng)時(shí)，可化為，及
i.或時(shí)，方程有且僅有一個(gè)根x=-1；
ii.且時(shí)，方程有兩個(gè)根，或x=-1.
當(dāng)時(shí)，可化為.
令，（x>0）.則.
當(dāng)時(shí)，有，所以在上單減.
因?yàn)?，所以有且只?個(gè)根x=1.所以需要有兩個(gè)根或x=-1，才有3個(gè)根，此時(shí)且.
當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)根x=-1，所以只需在有2個(gè)根.此時(shí).
在上，，單減；在上，，單增.
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以只需，即，亦即.
記.
則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）.
所以要使成立，只需，解得：.所以且.
綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故選：B
【點(diǎn)睛】
利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：
（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)g（x）的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)g（x）的零點(diǎn)問題；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究，
【569】．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測·★★★）
若關(guān)于x的方程有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】
參變分離得，求出的值域即的取值范圍．
【詳解】
有解，即，令，
，令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以的值域?yàn)?，故的取值范圍為?br>故答案為：．
【570】．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測·★★★）
若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知直線與函數(shù)在上的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得的值，再利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)在上的最大值和最小值，即可得解.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，
則，由，可得，列表如下：
如下圖所示：
因?yàn)樵趦?nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，
所以，，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)?，，所以，?br>因此，在上的最大值與最小值的和為.
故答案為：.
【571】．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)．
(1)求的極值點(diǎn)．
(2)若有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足．
（i）求k的取值范圍
（ⅱ）證明．
【答案】(1)
(2)（i）；（ⅱ）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可求得極小值點(diǎn)；（2）（i）將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,同時(shí)要注意邊界; （ⅱ）通過換元,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,從而獲得證明.
(1)
函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增.
所以為的極值點(diǎn).
(2)
因?yàn)橛星覂H有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足，所以.
（i）問題轉(zhuǎn)化為在(0,+∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),則.
當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞增.
若有兩個(gè)零點(diǎn),則必有,解得：.
若k≥0,當(dāng)時(shí), ,無法保證有兩個(gè)零點(diǎn)；
若,又,，,
故存在使得,存在使得.
綜上可知, .
（ⅱ）設(shè)則t∈(1,+∞).將代入,可得，（*）.
欲證: ，需證即證，將（*）代入，則有，則只需要證明：，即.
構(gòu)造，則，.
令，則.所以，則，所以在內(nèi)單減.
又，所以當(dāng)時(shí)，有，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，單調(diào)遞減；
所以，因此，即.
綜上所述，命題得證.
【點(diǎn)睛】
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
(4)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．
【572】．（2022·湖北·模擬預(yù)測·★★★★）
已知
(1)若，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，若恒成立，求的范圍．
【答案】(1)單調(diào)性見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)可得，再根據(jù)與的關(guān)系分類討論即可；
（2）由題，，設(shè)根據(jù)零點(diǎn)關(guān)系可得，再代入化簡可得恒成立，設(shè)，再求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值即可
(1)
定義域?yàn)?br>ⅰ）即時(shí)，
，或
ⅱ）即時(shí)，，恒成立
ⅲ）即，
，或
綜上：
時(shí)，，單調(diào)遞減；、，單調(diào)遞增
時(shí)，，單調(diào)遞增
時(shí)，，單調(diào)遞減；、，單調(diào)遞增
(2)
，由題，
則，設(shè)
∴
∴
恒成立
，
∴
∴恒成立
設(shè)，
∴恒成立
?。r(shí)，，
∴，
∴在上單調(diào)遞增
∴恒成立，
∴合題
ⅱ），，
∴，
∴在上單調(diào)遞增
時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞減
∴，，不滿足恒成立
綜上：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問題，同時(shí)也考查了雙零點(diǎn)與恒成立問題的綜合，需要根據(jù)題意消去參數(shù)，令，再化簡所求式關(guān)于的解析式，再構(gòu)造函數(shù)分析最值.屬于難題
【573】．（2022·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)．
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分為和兩種情形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系可得單調(diào)性；
（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)（1）中的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得結(jié)果.
(1)
由題意知，，
的定義域?yàn)?，?br>若，則，所以在上單調(diào)遞減；
若，令，解得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)
因?yàn)?，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)．
若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)．
若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．
①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)：
②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，，即．
又，故在上有一個(gè)零點(diǎn)．
存在，則．
又，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【574】．（2022·貴州·貴陽一中模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍恰好是求b的值.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論，并解不等式，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)由(1)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可求.
(1)
的定義域?yàn)椋?br>若，則，
在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
若，則或，
，
在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
若，則
或，
在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.
(2)
可知要有三個(gè)零點(diǎn)，則，
且
由題意也即是的解集就是，
也就是關(guān)于的不等式的解集就是，
令，
時(shí)，
所以有或，
當(dāng)時(shí)，，
的解是，滿足條件，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，不滿足條件，
故，綜合上述.
【點(diǎn)睛】
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
考點(diǎn)3.2.3 函數(shù)的極值與最值問題
【578】．（2022·全國·高考真題·★★★★）
已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
(1)
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以；
(2)
，則，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時(shí)，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，
由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，
此時(shí)
存在，使得，
所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.
【579】．（2021·北京·高考真題·★★★★）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.
【解析】
【分析】
（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；
（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，
此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）因?yàn)?，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，，.
【580】．（2017·山東·高考真題·★★★★）
已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析
【解析】
【詳解】
試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)得斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程.
（Ⅱ）寫出函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得到，由于的正負(fù)與的取值有關(guān)，故可令，通過應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，明確其正負(fù).然后分和兩種情況討論極值情況即可.
試題解析：（Ⅰ）由題意
又，
所以，
因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為
，
即 .
（Ⅱ）由題意得，
因?yàn)?br>，
令
則
所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?br>所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
(1)當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)取得極小值，極小值是；
(2)當(dāng)時(shí)，
由得，
①當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)取得極大值.
極大值為，
當(dāng)時(shí)取到極小值，極小值是；
②當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；
③當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時(shí)取得極大值，極大值是；
當(dāng)時(shí)取得極小值.
極小值是.
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)有極小值，極小值是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，
極大值是
極小值是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，
極大值是；
極小值是.
【名師點(diǎn)睛】
1.函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)的幾何意義是曲線y＝f (x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y?y0＝f ′(x0)(x?x0)．注意：求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過點(diǎn)P的切線的不同．
2. 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等.
【581】．（2020·北京·高考真題·★★★★）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.
【詳解】
（Ⅰ）因?yàn)?，所以?br>設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，
由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.
（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，
令，得，令，得，
所以，
不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，
則，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以時(shí)，取得極小值，
也是最小值為.
[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法
．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，不妨設(shè)，，
令，則．
令，則面積為，只需求出的最小值．
．
因?yàn)?，所以令，得?br>隨著a的變化，的變化情況如下表：
所以．
所以當(dāng)，即時(shí)，．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．
綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
所以當(dāng)，即時(shí)，．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．
綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．
[方法四]：兩次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整體點(diǎn)評(píng)】
（Ⅱ）的方法一直接對(duì)面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡化了運(yùn)算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為簡潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識(shí)最少，配湊巧妙，技巧性較高.
【582】．（2021·天津·高考真題·★★★★）
已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）
【解析】
【分析】
（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】
（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫出大致圖像如下：
所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；
（III）由（II）知，此時(shí)，
所以，
令，
若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，
，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.
【583】．（2019·全國·高考真題·★★★★）
已知函數(shù).證明：
（1）存在唯一的極值點(diǎn)；
（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解
【解析】
【分析】
（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯一，使得，進(jìn)而可得判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定其極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，證明出結(jié)論成立；
（2）先由（1）的結(jié)果，得到，，得到在內(nèi)存在唯一實(shí)根，記作，再求出，即可結(jié)合題意，說明結(jié)論成立.
【詳解】
（1）由題意可得，的定義域?yàn)椋?br>由，
得，
顯然單調(diào)遞增；
又，，
故存在唯一，使得；
又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
因此，存在唯一的極值點(diǎn)；
（2）由（1）知，，又，
所以在內(nèi)存在唯一實(shí)根，記作.
由得，
又，
故是方程在內(nèi)的唯一實(shí)根；
綜上，有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).
【點(diǎn)睛】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、以及函數(shù)零點(diǎn)的問題，屬于?？碱}型.
【584】．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，（是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），求a的取值范圍．
【答案】(1)極大值為2，極小值為
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，再利用極值的定義求解；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)法得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，則得到在上恒成立求解．
(1)
解：，
令，得或，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為．
(2)
，
，即，
即，
設(shè)，，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則由，
得在上恒成立，即在上恒成立．
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
故．
【585】．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)．
(1)若，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，并設(shè)，再求導(dǎo)數(shù)，確定出的單調(diào)性、極值，從而得出的范圍，使得有兩個(gè)解（記），并說明這兩個(gè)解是的極值點(diǎn)即得．
(1)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)
，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
則當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同根，
使得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則．
【586】．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)．
(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
(2)若是的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）代入，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，再根據(jù)即可證明；
（2）求導(dǎo)后可得，再分析的兩根滿足的條件，結(jié)合極值點(diǎn)的性質(zhì)分析求解即可
(1)
當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即得證
(2)
若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，.
這與是的極大值點(diǎn)矛盾.
若，，
令，，對(duì)稱軸，則的兩根分別，
，可得或，顯然
①若，則在上，單調(diào)遞增，故不為極大值點(diǎn)；
②若，則在上，單調(diào)遞減，故不為極大值點(diǎn)；
③若，則在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，故為極大值點(diǎn)，此時(shí)，即，解得
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)分析函數(shù)的正負(fù)區(qū)間的問題，同時(shí)也考查了根據(jù)極值點(diǎn)求解參數(shù)的問題，需要根據(jù)題意分析導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)根的分布問題，屬于難題
【587】．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)若函數(shù)在（0，2π）上有唯一的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
【答案】(1)2個(gè)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)利用導(dǎo)數(shù)，通過分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，由此確定a的取值范圍.
(1)
因?yàn)?，所?br>，
則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在單詞遞增，
又，
則在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，
所以在區(qū)間上共有兩個(gè)零點(diǎn)，
(2)
①當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在單詞遞增，
此時(shí)在的時(shí)候取得極小值，則時(shí)符合題意：
②當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在單詞遞減，
此時(shí)在的時(shí)候取得極小值，則時(shí)符合題意
③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，不符合題意：
④當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在的時(shí)候取得極小值，則時(shí)符合題意；
⑤當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，不符合題意；
⑥當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在的時(shí)候取得極小值，則時(shí)符合題意；
⑦當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，不符合題意；
綜上所述.
【點(diǎn)睛】
(1)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同．
(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值
【588】．（2022·福建省福州第一中學(xué)三?！ぁ铩铩铩铮?br>已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，且.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）先求導(dǎo)，再討論時(shí)，函數(shù)單增不合題意，時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性知符合題意；
（2）先由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在定理即可確定在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)；表示出，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，求得，又由，結(jié)合在上的單調(diào)性即可求解.
(1)
，當(dāng)時(shí)，，，
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，顯然在上遞增，又因?yàn)?，?br>所以在上有唯一零點(diǎn)，所以，；，，
所以在上有唯一極值點(diǎn)，符合題意.綜上，.
(2)
由（1）知，所以時(shí)，，所以，，單調(diào)遞減；
，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，，則，又因?yàn)椋?br>所以在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn).
因?yàn)?，由?）知，所以，
則，構(gòu)造，所以，
記，則，顯然在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，由前面討論可知：，，且在單調(diào)遞增，所以.
【點(diǎn)睛】
本題關(guān)鍵點(diǎn)在于先表示出，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為新的函數(shù)再次求導(dǎo)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而得到，再結(jié)合以及在上的單調(diào)性即可證得結(jié)論.
【589】．（2022·安徽省舒城中學(xué)三?！ぁ铩铩铩铮?br>已知函數(shù)．
(1)求證：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；
(2)設(shè)區(qū)間（其中），證明：存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間I上總存在極值點(diǎn)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得證；
（2）分析要使得在區(qū)間上總存在極值點(diǎn)，則需滿足，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得實(shí)數(shù)的取值范圍，由此得證.
(1)
∵，則，
設(shè)，則，令，解得
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且，即
所以，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.
(2)
由（其中），易知，
由（1）可知在上單調(diào)遞增，．
由，求導(dǎo)，
其中，求導(dǎo)，
即在上單調(diào)遞增，故．
令，由上可知在單調(diào)遞增．
要使得在區(qū)間上總存在極值點(diǎn)，則需滿足，
而恒成立恒成立，
于是，∴，
而，
又，
∴單調(diào)遞減，且，
故，∴，
∴單調(diào)遞增，且，
故，即，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；
∵在上單調(diào)遞增，故······①
又，故要使得恒成立，
則只需，
同理可得······②
且，由①②可知，
存在當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，判斷函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，若，則函數(shù)單調(diào)遞增；若，則函數(shù)單調(diào)遞減，考查學(xué)生的計(jì)算能力與邏輯思維能力，屬于難題.
【590】．（2022·天津·二模·★★★★）
已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解
（2）轉(zhuǎn)化為討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)
（3）利用（2），討論極值點(diǎn)與定區(qū)間的關(guān)系，再數(shù)形結(jié)合得最小值
(1)
當(dāng)時(shí)，

，
故切線方程為：
(2)
，
① 當(dāng)時(shí)，，僅有單調(diào)遞增區(qū)間，其為：
② 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：
③ 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)
的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：
綜上所述：當(dāng)時(shí)，僅有單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為：
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：
(3)
當(dāng)時(shí)，由（2）中③知在上單調(diào)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，
③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴.．
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，分類討論思想，屬中檔題
【591】．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)．
(1)若在處的切線與軸平行，求的值；
(2)有兩個(gè)極值點(diǎn)，比較與的大?。?br>(3)若在上的最大值為，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)3或
【解析】
【分析】
（1）直接求導(dǎo)，由直接解出即可；
（2）先由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再分別計(jì)算與，比較大小即可；
（3）對(duì)進(jìn)行分類討論，分別確定在上的單調(diào)性，進(jìn)而求得最大值，由最大值為，解出即可.
(1)
，
由，解得，
當(dāng)時(shí)，，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)切線與x軸重合，不符合題意；
所以；
(2)
由（1）知：，令可得或，
則在單增，在上單減，則是的兩個(gè)極值點(diǎn)，不妨設(shè)，
則，，
又，即；
(3)
由（2）知：在單增，在上單減.
當(dāng)時(shí)，，則在上單增，則，解得或，故；
當(dāng)時(shí)，，則在上單增，在上單減，
則，解得，不滿足，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，則在上單減，則，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，則在上單減，在上單增，則，
若，則，解得或，不滿足，不合題意，
若，則，解得或，不滿足，不合題意；
當(dāng)時(shí)，則在上單增，則，解得或，故；
綜上：或.
考點(diǎn)3.2.4 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
【592】．（2016·浙江·高考真題·★★★★）
設(shè)函數(shù)=，．證明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）證明詳見解析．
【解析】
【詳解】
試題分析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.第一問，利用放縮法，得到，從而得到結(jié)論；第二問，由得，進(jìn)行放縮，得到，再結(jié)合第一問的結(jié)論，得到，從而得到結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?br>由于，有即，
所以
（Ⅱ）由得，故
，
所以.
由（Ⅰ）得，
又因?yàn)?，所?
綜上，
【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù).
【思路點(diǎn)睛】（Ⅰ）先用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算，再用放縮法可得，進(jìn)而可證；（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論及放縮法可證．
【593】．（2020·天津·高考真題·★★★★）
已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，且，有．
【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的極小值為，無極大值；（Ⅱ）證明見解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ) (i)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）首先確定導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后令，將原問題轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的函數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】
(Ⅰ) (i) 當(dāng)k=6時(shí)，，.可得，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
(ii) 依題意，.
從而可得，
整理可得：，
令，解得.
當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：
所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)；
g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.
（Ⅱ）證明：由，得.
對(duì)任意的，且，令，則
. ①
令.
當(dāng)x>1時(shí)，，
由此可得在單調(diào)遞增，所以當(dāng)t>1時(shí)，，即.
因?yàn)椋?，?br>所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，當(dāng)時(shí)，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，當(dāng)時(shí)，任意的，且，有
.
【點(diǎn)睛】
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【594】．（2019·江蘇·高考真題·★★★★★）
設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；
（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．
【答案】（1）；
（2）的極小值為
（3）見解析.
【解析】
【分析】
（1）由題意得到關(guān)于a的方程，解方程即可確定a的值；
（2）由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數(shù)的解析式，然后求解其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)即可確定函數(shù)的極小值.
（3）由題意首先確定函數(shù)的極大值M的表達(dá)式，然后可用如下方法證明題中的不等式：
解法一：由函數(shù)的解析式結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式；
解法二：由題意構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，．
令，則．
令，得．列表如下：
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故．
所以當(dāng)時(shí)，，因此．
【詳解】
（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，解得?br>（2）因?yàn)椋?br>所以，
從而．令，得或．
因?yàn)椋荚诩现?，且?br>所以．
此時(shí)，．
令，得或．列表如下：
所以的極小值為．
（3）因?yàn)?，所以?br>．
因?yàn)?，所以?br>則有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為．
由，得．
列表如下：
所以的極大值．
解法一：
．因此．
解法二：
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，．
令，則．
令，得．列表如下：
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故．
所以當(dāng)時(shí)，，因此．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力．
【595】．（2015·福建·高考真題·★★★★）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）．
【解析】
【詳解】
試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，解出即可；（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-x+1，先求出函F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；（3）通過討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可
試題解析：（1）得.
得，解得
故的單調(diào)遞增區(qū)間是
（2）令,
則有
當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，
（3）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意．
當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有則
從而不存在滿足題意．
當(dāng)時(shí)，令，
由得，．
解得
當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞增．
從而當(dāng)，即
綜上嗎，k的取值范圍是
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)
【596】．（2022·天津·靜海一中模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)，
(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖像的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)的圖像恒在直線的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若，且，證明：>
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）首先求出切線的方程，然后設(shè)與相切時(shí)的切點(diǎn)為，然后可建立方程組求解；
（2）由題可得對(duì)于恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可；
（3）首先可得在上單調(diào)遞減，然后由可得，同理可得，兩式相加即可證明.
(1)
，在處切線斜率，，所以切線，
又，設(shè)與相切時(shí)的切點(diǎn)為，則斜率，
則切線的方程又可表示為，
由，解之得．
(2)
由題可得對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，
令，則，由得，
則當(dāng)時(shí)，，由，得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
(3)
由題知，
由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，①同理，②
①+②得，
因?yàn)椋?br>由得，即，
所以，即，所以．
【597】．（2022·全國·模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)．
(1)求的最大值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過單調(diào)區(qū)間可求得結(jié)果．
（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，再分別證明及成立即可．
(1)
由已知得，，
要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
令，得，即，
解得，（），
當(dāng)時(shí)滿足題意，此時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，故的最在值為.
(2)
當(dāng)時(shí)，要證明，即證明，
而，故需要證明.
先證：，（）
記，
，
時(shí)，，所以在上遞增，
，
故，即.
再證：，（）
令，
則則,
故對(duì)于，都有，因而在，上遞減，
對(duì)于，都有，
因此對(duì)于，都有.
所以成立，即成立，
故原不等式成立.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵利用不等式放縮，從而使得問題得以順利解決.
【598】．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)．
(1)若，求在處的切線方程；
(2)若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線的斜率為，利用點(diǎn)斜式求切線方程；（2）分析可得對(duì)的零點(diǎn)即的零點(diǎn)，對(duì)分析可得，利用零點(diǎn)整理可得，構(gòu)建函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明．
(1)
當(dāng)時(shí)，，，
又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率為．
所以切線方程為，即
(2)
由已知得有兩個(gè)不等的正實(shí)跟．
所以方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，即有兩個(gè)不等的正實(shí)根，①
要證，只需證，即證，
令，，所以只需證，
由①得，，
所以，，消去a得，只需證，
設(shè)，令，則，
則，即證
構(gòu)建則，
所以在上單調(diào)遞增，則，
即當(dāng)時(shí)，成立，
所以，即，即，
所以，證畢．
【點(diǎn)睛】
利用同構(gòu)處理可得，結(jié)合零點(diǎn)代換整理可得．
【599】．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù).
(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍；
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）分析可知，由參變量分離法可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）令，其中，令，，分析可知關(guān)于的方程也有兩個(gè)實(shí)根、，且，設(shè)，將所求不等式等價(jià)變形為，令，即證，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.
(1)
解：函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，不合乎題意，所以，，
由可得，
構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
，由可得，列表如下：
所以，函數(shù)的極大值為，如下圖所示：
且當(dāng)時(shí)，，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(2)
證明：因?yàn)?，則，
令，其中，則有，
，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根、，令，，
則關(guān)于的方程也有兩個(gè)實(shí)根、，且，
要證，即證，即證，即證，
由已知，所以，，整理可得，
不妨設(shè)，即證，即證，
令，即證，其中，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，故原不等式成立.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
【600】．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測·★★★★）
已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)（i）證明：函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，且；
（ii）證明：.
參考數(shù)據(jù)：，，，.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的意義列方程組，即可解得；
（2）（i）求出導(dǎo)函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在對(duì)立即可證明；
（ii）求出，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞減，
即可證明；要證，即證.令，利用導(dǎo)數(shù)證明出；令，利用導(dǎo)數(shù)證明出，得到，即可證明.
(1)
定義域?yàn)椋?br>由題意知，解得.
(2)
（i）由（1）知，
令，則，從而即單調(diào)遞增
又，故存在唯一的使得
從而有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，且
（ii），的極小值
令，則，從而在上單調(diào)遞減，，故
下證，即證
一方面令，則，則在上單調(diào)遞增，從而
另一方面，令，
令有
從而
從而即成立，故.
【點(diǎn)睛】
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：
（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；
（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍；
（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.
【601】．（2022·浙江·紹興一中模擬預(yù)測·★★★★★）
已知函數(shù)，設(shè)．
(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，成立；
(2)若，在上不恒成立，求a的取值范圍；
(3)若恰有三個(gè)不同的根，證明：．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）要證，只需要證明，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性，繼而求出最值，即可求解.
（2），在上不恒成立, 等價(jià)于存在，使,構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求最值，即可求解.
（3）分情況討論，當(dāng)時(shí)，不可能有三個(gè)不同的根，故可知，進(jìn)而可知，即可求解.
(1)
若，則
設(shè)，令，，所以在時(shí)單調(diào)遞增，且，故則，所以在上單調(diào)遞增，故，故得證.
(2)
原命題等價(jià)于存在，使
，即存在，
設(shè)，則，其中在上單調(diào)遞增，且，所以在單調(diào)遞增，
故，所以．
(3)
在定義域上單調(diào)遞增，
①當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，且為的極小值點(diǎn)．且，所以，故不可能有三個(gè)根．
②當(dāng)時(shí)，同理，不符合要求．
③當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，
，即，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以．得證．
【602】．（2022·浙江·寧波諾丁漢附中模擬預(yù)測·★★★★★）
已知函數(shù).
(1)設(shè)，證明：；
(2)已知，其中為偶函數(shù)，為奇函數(shù).若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）欲證，只需證，令，利用導(dǎo)數(shù)得出，即可證明；
（2）由奇偶性得出，由（1）得不等式成立，從而得出，，構(gòu)造函數(shù)，由證明即可.
(1)
欲證，只需證，即證，
設(shè)，即證，①
設(shè)，則，
所以單調(diào)遞增，所以，所以①式成立，所以，.
(2)
根據(jù)已知，得到
聯(lián)立解得.
由（1）得不等式成立，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以對(duì)任意成立.
，即，
所以，由知.
所以.
構(gòu)造，則存在零點(diǎn)，且.
同理可證.
所以.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題二時(shí)，關(guān)鍵在于利用恒成立，從而得出，，構(gòu)造函數(shù)，由得出.
【603】．（2022·全國·模擬預(yù)測·★★★★★）
已知實(shí)數(shù)x，y滿足．
(1)若x=0時(shí)，試問上述關(guān)于y的方程有幾個(gè)實(shí)根？
(2)證明：使方程有解的必要條件為：．
【答案】(1)有唯一的根；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）記，利用導(dǎo)數(shù)證明在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，即得解；
（2）先證，，再放縮解不等式即得解.
(1)
解：將x=0代入得：，
不妨記，，
易知在R上遞增，且，
可得當(dāng)y0時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
由于，故x=0時(shí)關(guān)于y的方程有唯一的根．
(2)
先證，令，則，
當(dāng)x0時(shí)，，單調(diào)遞增；
，所以有恒成立，
由，可得：，
所以有：，
所以，即．
所以使方程有解的必要條件為：．
【604】．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測·★★★★★）
設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，其中，均大于零.
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：.
參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）由題意，問題等價(jià)于在上有解，求出函數(shù)的值域即可得答案；
（2）由題意，，將函數(shù)中替換為，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且，再構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性即可證明不等式.
(1)
解：由題意，在上有解，即在上有解，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)
證明：當(dāng)時(shí)，由（1）問知，
，將替換為，
構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為，
，其中，
又，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上無零點(diǎn)，
由參考數(shù)據(jù)，，可得，，
所以在上存在零點(diǎn)，且，
構(gòu)造函數(shù)，
因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，
所以，即，整理得.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（2）問的解題關(guān)鍵是將函數(shù)中替換為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn).
增
極大值
減
增
極大值
減
極小值
增
a
0
減
極小值
增
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
+
0
–
極大值
1
+
0
–
0
+
極大值
極小值

+
0
–
0
+
極大值
極小值
+
0
–
極大值
+
0
↗
極大值
↘
增
極大值
減
0
極小值
0
極大值

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