1．若成等比數(shù)列，則 ．
2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為 ．
3．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，若，，則通項(xiàng) ．
4．已知無窮等比數(shù)列中，首項(xiàng)，公比，則 ．
5．已知復(fù)平面上有點(diǎn)和點(diǎn)，向量與向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為與，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
6．若復(fù)數(shù)，，則實(shí)數(shù) ．
7．已知，若與夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
8．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根為，，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
9．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則 ．
10．“燕山雪花大如席”，北京冬奧會(huì)開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運(yùn)動(dòng)聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們?cè)俅晤I(lǐng)略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力．順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊．若正六邊形的邊長為1，點(diǎn)是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的取值范圍為 ．
11．已知函數(shù)，，（其中、為常數(shù)，且有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
12．已知數(shù)列滿足：，若對(duì)任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
二．選擇題（每題3分，共12分）
13．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列命題錯(cuò)誤的是
A．B．為純虛數(shù)C．D．
14．已知常數(shù)，如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為
A．B．C．D．
15．已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論一定成立的是
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
16．若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得，，則稱數(shù)列為數(shù)列的“數(shù)列”．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中為假命題的是
A．存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”
B．存在等比數(shù)列，使得是的“數(shù)列”
C．存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”
D．存在等比數(shù)列，使得是的“數(shù)列”
三．解答題（8分+8分+10分+12分+14分）
17．已知，，．
（1）求與的夾角；
（2）求．
18．已知是復(fù)數(shù)，與均為實(shí)數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
20．已知函數(shù)，，
（1）若，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若，，求函數(shù)在上的值域；
（3）若，函數(shù)在，內(nèi)沒有對(duì)稱軸，求的取值范圍
21．已知數(shù)列滿足，，，為正整數(shù)．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)，，都不成等差數(shù)列；
（3）若關(guān)于正整數(shù)的不等式的解集中有且僅有三個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
參考答案
一．填空題（每題3分，共36分）
1．若成等比數(shù)列，則 ．
解：由等比中項(xiàng)定義可得：
，
解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．
故答案為：．
2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為 2 ．
解：由題意知，，
所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為2．
故答案為：2．
3．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，若，，則通項(xiàng) ．
解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由是等差數(shù)列，得，
由，解得或，
又，得，所以，，
所以，
所以．
故答案為：．
4．已知無窮等比數(shù)列中，首項(xiàng)，公比，則 ．
解：是無窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，
則．
故答案為：．
5．已知復(fù)平面上有點(diǎn)和點(diǎn)，向量與向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為與，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
解：，
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
6．若復(fù)數(shù)，，則實(shí)數(shù) ．
解：，
則，解得．
故答案為：．
7．已知，若與夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ，， ．
解：已知，
當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)與方向相同，
若與夾角為銳角，則且與不同向，
即，解得且，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．
故答案為：，，．
8．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根為，，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
解：關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根為，
所以，所以，解得．
故答案為：．
9．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則 20 ．
解：因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，
因?yàn)?，?br>，
所以，
則．
故答案為：20．
10．“燕山雪花大如席”，北京冬奧會(huì)開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運(yùn)動(dòng)聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們?cè)俅晤I(lǐng)略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力．順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊．若正六邊形的邊長為1，點(diǎn)是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的取值范圍為 ， ．
解：如圖：由正六邊形的性質(zhì)可知，，故，
所以，所以點(diǎn)的位置在直線的右側(cè)的六邊形內(nèi)（包括邊界）或落在線段上，
又表示的是與在上的投影的乘積，故當(dāng)落在線段上時(shí)，在上的投影最小為0，當(dāng)落在線段上時(shí)，在上的投影最大為，
故，
故答案為：，．
11．已知函數(shù)，，（其中、為常數(shù)，且有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ， ．
解：函數(shù)在，上為偶函數(shù)，且函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
故必有一個(gè)零點(diǎn)為，
所以，解得，
所以函數(shù)，
則函數(shù)在，上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)于的圖象與直線在，上有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在，上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在，上恰有3個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，故，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在，上恰有5個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，故．
綜上所述，的取值范圍是，．
故答案為：，．
12．已知數(shù)列滿足：，若對(duì)任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ， ．
解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，
所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以不等式，可化為，
當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，由已知，
當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，由已知，
所以的取值范圍為，．
故答案為：，．
二．選擇題（每題3分，共12分）
13．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列命題錯(cuò)誤的是
A．B．為純虛數(shù)C．D．
解：設(shè)，
則，
對(duì)于，，故正確；
對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，故正確；
對(duì)于，，，故正確．
故選：．
14．已知常數(shù)，如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為
A．B．C．D．
解：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
，，
即，，
當(dāng)，，
即的最小值為，
故選：．
15．已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論一定成立的是
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
解：對(duì)于選項(xiàng)，可列舉公比的等比數(shù)列1，，1，，，顯然滿足，但，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，可列舉公比的等比數(shù)列，1，，，顯然滿足，但，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)樗?，即，所以?br>當(dāng)公比時(shí)，任意，故有；當(dāng)公比時(shí)，，故，，仍然有，故正確；
對(duì)于選項(xiàng)，可列舉公比的等比數(shù)列，1，，，顯然滿足，但，故錯(cuò)誤．
故選：．
16．若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得，，則稱數(shù)列為數(shù)列的“數(shù)列”．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中為假命題的是
A．存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”
B．存在等比數(shù)列，使得是的“數(shù)列”
C．存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”
D．存在等比數(shù)列，使得是的“數(shù)列”
解：對(duì)于，例如，則是等差數(shù)列，，都是嚴(yán)格增數(shù)列，
可得，
則，
取，則，，即，成立，
所以是的“數(shù)列”，所以為真命題，所以正確；
對(duì)于，例如，則是等比數(shù)列，，都是嚴(yán)格增數(shù)列，
可得，則，
取，則，，即，成立，
所以是的“數(shù)列”，所以為真命題，所以正確；
對(duì)于，存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋际菄?yán)格增數(shù)列，
所以，，所以，取，滿足，
可知必存在，使得成立，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，則有；
對(duì)任意正整數(shù)，則有；故不存在正整數(shù)使得，
所以為假命題；
對(duì)于；例如，則是等比數(shù)列，，都是嚴(yán)格增數(shù)列，
可得，則，
取，則，，即，成立，
所以是的“數(shù)列”，所以為真命題，所以正確；
故選：．
三．解答題（8分+8分+10分+12分+14分）
17．已知，，．
（1）求與的夾角；
（2）求．
解：（1）因?yàn)?，，?br>展開后整理得：，
化簡得，
所以．
設(shè)，則，
由于，，所以；
（2）由（1）知，，，
則
．
18．已知是復(fù)數(shù)，與均為實(shí)數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）設(shè)，
則為實(shí)數(shù)，
．
為實(shí)數(shù)，
，解得．
則；
（2）在第一象限，
，
解得．
19．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則，，，
又，可得，
；
（2）由（1）可得，
，以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以為首項(xiàng)、公比為的等比數(shù)列，
，
數(shù)列的前項(xiàng)和為：
．
20．已知函數(shù)，，
（1）若，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若，，求函數(shù)在上的值域；
（3）若，函數(shù)在，內(nèi)沒有對(duì)稱軸，求的取值范圍
解：（1）時(shí)，，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，，
則，解得，
所以的取值范圍為；
（2）若，，，
時(shí)，，，
所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br>（3）若，函數(shù)，
因?yàn)樵?，?nèi)沒有對(duì)稱軸，則，由，得，
所以，，
因?yàn)樵?，?nèi)沒有對(duì)稱軸，且，，
所以或，
因?yàn)椋獾没?br>所以的取值范圍為．
21．已知數(shù)列滿足，，，為正整數(shù)．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)，，都不成等差數(shù)列；
（3）若關(guān)于正整數(shù)的不等式的解集中有且僅有三個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
解：（1）證明：由已知可知，，否則不可能是等比數(shù)列，
，，，
，，
，數(shù)列是等比數(shù)列，
，．
（2）證明：假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，成等差數(shù)列，
則，即，
整理得，即，
是奇數(shù)，上式左側(cè)是一個(gè)奇數(shù)，右側(cè)是一個(gè)偶數(shù)，不可能相等，
數(shù)列中的任意三項(xiàng)，，都不成等差數(shù)列．
（3）關(guān)于正整數(shù)的不等式，即，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
關(guān)于正整數(shù)的不等式的解集中有且僅有三個(gè)元素，
實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
題號(hào)
13
14
15
16
答案
B
C
C
C

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