本試卷共4頁(yè)，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題辿出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 若數(shù)列的前五項(xiàng)分別為，，，，，則下列最有可能是其通項(xiàng)公式的是（）
A. B. C. D.
2. 已知直線：和圓：，若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則其到直線的最短距離為（）
A. B. C. D.
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，若對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，若關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）
A. 2B. C. 5D.
4. 如圖，在四面體中，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).若，其中，，為實(shí)數(shù)，則的值是（）
A. B. C. D.
5. 已知橢圓：（）的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，分別是兩個(gè)焦點(diǎn)，則的面積為（）
A. B. C. 16D. 32
6. 與圓：及圓：都外切的圓的圓心在（）
A. 雙曲線上B. 橢圓上C. 拋物線上D. 雙曲線的一支上
7. 在等差數(shù)列中，m，n，p，，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
8. 已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點(diǎn)，，過(guò)引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)，，過(guò)作，垂足為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，則與的離心率之和為（）
A. B. C. D.
二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知直線：與直線：，其中，則下列命題正確的是（）
A. 若，則或或B. 若，則或
C. 直線和直線均與圓相切D. 直線和直線的斜率一定都存在
10. 以下四個(gè)命題為真命題是（）
A. 已知的周長(zhǎng)為6，且，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）
B. 若直線的方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到直線的距離為
C. 等比數(shù)列中，若，，則
D. 若圓：與圓：（）恰有三條公切線，則
11. 著名的冰雹猜想，又稱角谷猜想，它是指任何一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，則先乘以3再加上1；如果是偶數(shù)，就除以2.這樣經(jīng)過(guò)若干次變換后，最終一定得1，若是數(shù)列或中的項(xiàng)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若，則需要4次變換得到1
B. 若，則需要7次變換得到1
C. 中的項(xiàng)變換成1的次數(shù)一定少于中的項(xiàng)變換成1的次數(shù)
D. 存在正整數(shù)，使得與變換次數(shù)相同
12. 在棱長(zhǎng)為1正方體中，為平面上一動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（）
A. 若點(diǎn)在線段上，則平面
B. 存在無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)，使得平面平面
C. 將以邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，三棱錐的體積為定值
D. 若，則點(diǎn)的軌跡為拋物線
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知，，若，則______.
14. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______.
15. 圓與圓的公共弦長(zhǎng)為______.
16. 已知拋物線：，且過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若以為直徑的圓與軸交于和兩點(diǎn)，則直線的方程為______.
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答.
①垂直于直線；②平行于直線；③截距相等.
問(wèn)題：直線經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且______.
（1）求直線方程；
（2）直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與軸和軸分別交于、兩點(diǎn)，求的面積.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
18. 已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線：.
（1）求圓的方程；
（2）寫出直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的值及最短弦長(zhǎng).
19. 如圖，是拋物線型拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，水面寬16米，拱橋頂部離水面8米.
（1）當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬多少米？
（2）現(xiàn)有一艘船，可近似為長(zhǎng)方體的船體高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船體寬為12米，前后長(zhǎng)為80米，若河水足夠深，要使這艘船能安全通過(guò)，則水面寬度至少應(yīng)為多少米？（計(jì)算結(jié)果保留至小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：）
20. 已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
21. 長(zhǎng)方體中，，是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），是的中點(diǎn).
（1）若，求三棱錐體積；
（2）平面與平面所成角的余弦值，求與平面所成角的余弦值.
22. 已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，若是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，求此時(shí)的常數(shù)及四邊形面積的最大值.
銅仁市2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷
高二數(shù)學(xué)
本試卷共4頁(yè)，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題辿出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 若數(shù)列的前五項(xiàng)分別為，，，，，則下列最有可能是其通項(xiàng)公式的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用觀察法求解.
【詳解】數(shù)列，，，，，
，，，，，
所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是，
故選：C.
2. 已知直線：和圓：，若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則其到直線的最短距離為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出點(diǎn)到直線：的距離為，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則其到直線的最短距離為，求解即可.
【詳解】圓：的圓心，
所以點(diǎn)到直線：的距離為，
所以點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則其到直線的最短距離為：.
故選：A.
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，若對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，若關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）
A. 2B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系求出，進(jìn)而求出，再由空間向量數(shù)量積的定義求解即可.
【詳解】關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，
所以，即，，
所以.
故選：C.
4. 如圖，在四面體中，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).若，其中，，為實(shí)數(shù)，則的值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將用表示，對(duì)比系數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)?br>，
所以，故.
故選：A.
5. 已知橢圓：（）的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，分別是兩個(gè)焦點(diǎn)，則的面積為（）
A. B. C. 16D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】由已知求出，再求的面積即可.
【詳解】由題意可得，解得，
所以，.
故選：A.
6. 與圓：及圓：都外切的圓的圓心在（）
A. 雙曲線上B. 橢圓上C. 拋物線上D. 雙曲線的一支上
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓方程得出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，判斷出兩圓的位置關(guān)系，再利用與兩圓都外切的位置關(guān)系得出圓心距離所滿足的等量關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線的定義即可得出答案.
【詳解】由圓可知，圓心，半徑，
圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑
因此圓心距，所以兩圓相離；
設(shè)與兩圓都外切圓的圓心為，半徑為
則滿足，
所以，
即圓心的軌跡滿足到兩定點(diǎn)距離之差為定值，且定值小于兩定點(diǎn)距離，
根據(jù)雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，
即圓心在雙曲線的一支上.
故選：D.
7. 在等差數(shù)列中，m，n，p，，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】分充分性和必要性分別判斷：
充分性：取進(jìn)行否定；
必要性：直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可.
【詳解】在等差數(shù)列中，若，則成立，故必要性滿足；
下面討論充分性：取，若，則不一定成立，故充分性不滿足，所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
【點(diǎn)睛】判斷充要條件的四種方法：
（1）定義法；（2）傳遞性法；（3）集合法；（4）等價(jià)命題法.
8. 已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點(diǎn)，，過(guò)引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)，，過(guò)作，垂足為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，則與的離心率之和為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由雙曲線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，故可得橢圓離心率，點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合題目所給條件，可由、表示出、，結(jié)合雙曲線定義即可得雙曲線離心率.
【詳解】由可得，
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為、，
則橢圓的離心率為，
由，，則，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由為中點(diǎn)，
故，，
由，故，
則，，
由雙曲線定義可知，，
故，則離心率為，
故與的離心率之和為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在作出，方可將題目所給條件結(jié)合起來(lái)，得出、，結(jié)合雙曲線定義求出雙曲線離心率.
二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知直線：與直線：，其中，則下列命題正確的是（）
A. 若，則或或B. 若，則或
C. 直線和直線均與圓相切D. 直線和直線的斜率一定都存在
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)直線垂直公式建立方程求角判斷A，根據(jù)直線平行公式建立方程求角判斷B，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷C，舉例判斷D.
【詳解】對(duì)于A，直線：與直線：，
若，則，即，又，所以，
或或，解得或或，正確；
對(duì)于B，若，則，所以，又，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線：即，
直線：即，兩直線重合，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，直線：即，
直線：即，兩直線平行，符合題意；
所以，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，圓的圓心為，半徑為1，
圓心到直線：的距離為，
圓心到直線：的距離為，
所以直線和直線均與圓相切，正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線：化簡(jiǎn)為，直線斜率不存在；
當(dāng)時(shí)，直線：化簡(jiǎn)為，直線斜率不存在；D錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 以下四個(gè)命題為真命題的是（）
A. 已知的周長(zhǎng)為6，且，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）
B. 若直線的方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到直線的距離為
C. 等比數(shù)列中，若，，則
D. 若圓：與圓：（）恰有三條公切線，則
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義，可判斷A，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷B，由等比中項(xiàng)可知的值判斷C，利用兩圓外切建立方程求解判斷D.
【詳解】對(duì)于A：設(shè)，，所以，滿足橢圓的定義，
即點(diǎn)點(diǎn)是以頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，，，則，
所以橢圓方程，因?yàn)槿c(diǎn)不能共線，所以，
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（），正確；
對(duì)于B：因?yàn)橹本€的方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，且，
所以點(diǎn)到直線的距離為，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以是和的等比中項(xiàng)，所以，
，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，圓：的圓心，半徑，
圓：（）的圓心，半徑，
因?yàn)閳A與圓恰有三條公切線，所以兩圓外切，
則，所以，解得，正確.
故選：AD
11. 著名的冰雹猜想，又稱角谷猜想，它是指任何一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，則先乘以3再加上1；如果是偶數(shù)，就除以2.這樣經(jīng)過(guò)若干次變換后，最終一定得1，若是數(shù)列或中的項(xiàng)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若，則需要4次變換得到1
B若，則需要7次變換得到1
C. 中的項(xiàng)變換成1的次數(shù)一定少于中的項(xiàng)變換成1的次數(shù)
D. 存在正整數(shù)，使得與的變換次數(shù)相同
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A中，，按照流程變換即可判斷；選項(xiàng)B中，，按照流程變換即可判斷；選項(xiàng)C中，舉出反例“時(shí)”即可；選項(xiàng)D，從角度思考，問(wèn)題即可解決.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，變化過(guò)程為：，4次變換得到1，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，，變化過(guò)程為：，7次變換得到1，B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，舉例說(shuō)明，當(dāng)時(shí)，
，變化過(guò)程為：，16次變換得到1；
，變化過(guò)程為：，3次變換得到1；
C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，舉例說(shuō)明，當(dāng)時(shí)，，變換次數(shù)相同，D正確；
故選：ABD.
12. 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為平面上一動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（）
A. 若點(diǎn)在線段上，則平面
B. 存在無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)，使得平面平面
C. 將以邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，三棱錐的體積為定值
D. 若，則點(diǎn)的軌跡為拋物線
【答案】AB
【解析】
【分析】利用面面平行證線面平行可判定A項(xiàng)；利用線面垂直證面面垂直可判定B項(xiàng)；由三棱錐的體積公式可判斷C；利用平面截圓錐的結(jié)論可判定D項(xiàng)；.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如圖所示，連接對(duì)應(yīng)面對(duì)角線，
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：，平面，平面，
∴平面，
同理可知平面，
又平面，∴平面平面，
又，∴平面，
∴平面，故A正確;
對(duì)于B項(xiàng)，

連接，
易知面，面，則，
又平面，
∴平面，
而平面，∴，
同理，
又平面，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面，
所以存在無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)，使得平面平面，故B正確;
對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
三棱錐，
因?yàn)橐赃吽谥本€為軸旋轉(zhuǎn)一周，所以為一個(gè)變量，
所以棱錐的體積為不為定值，故C不正確.
對(duì)于D，因?yàn)闉槎ㄖ本€，是定角，到的距離為定值，
所以時(shí)，在以為旋轉(zhuǎn)軸，到的距離為半徑的圓錐上，
又平面，故平面截圓錐的軌跡為雙曲線的一支，即D錯(cuò)誤；
故選：AB.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)關(guān)鍵點(diǎn)需要利用平面截圓錐曲線（不過(guò)圓錐頂點(diǎn)）來(lái)判定即可（當(dāng)且僅當(dāng)平面平行于圓錐底面時(shí)截圓錐所得圖形為圓，慢慢傾斜平面至與圓錐母線平行之前截圓錐得圖形均為橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)平面與圓錐的母線平行時(shí)所截圖形為拋物線，再傾斜平面直至與圓錐的軸平行時(shí)所截圖形均為雙曲線的一支）.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知，，若，則______.
【答案】4
【解析】
【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.
【詳解】若，則，
即，解得.
故答案為：.
14. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______.
【答案】27
【解析】
【分析】題中所給式子使用進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到數(shù)列第2項(xiàng)及以后各項(xiàng)的通項(xiàng)公式，用公式求即可．
【詳解】由于，則，
所以，
所以.
故答案是：.
15. 圓與圓的公共弦長(zhǎng)為______.
【答案】
【解析】
【分析】?jī)蓤A方程相減即可得公共弦所在直線，分別求出其中一圓的圓心到直線的距離與半徑，再利用直線與圓的相交弦長(zhǎng)公式即可求出答案.
【詳解】聯(lián)立方程組，，
兩式相減，得，為公共弦長(zhǎng)所在直線的方程，
又圓的圓心為，，
圓心到直線的距離為，
所以兩圓公共弦長(zhǎng).
故答案為：.
16. 已知拋物線：，且過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若以為直徑的圓與軸交于和兩點(diǎn)，則直線的方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得直線的斜率存在，將直線設(shè)為點(diǎn)斜式方程，與曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和，列方程求解.
【詳解】由已知可得且直線的斜率存在，將直線設(shè)為，
由得
設(shè)，則
所以，
由題意可知，且
所以
解得，所以直線的方程為.
故答案為：
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答.
①垂直于直線；②平行于直線；③截距相等.
問(wèn)題：直線經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且______.
（1）求直線的方程；
（2）直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與軸和軸分別交于、兩點(diǎn)，求的面積.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）通過(guò)解方程組求出兩條直線和的交點(diǎn).
選①：根據(jù)互相垂直兩直線方程的特征進(jìn)行求解即可；
選②：根據(jù)互相平行兩直線方程的特征進(jìn)行求解即可
選③：根據(jù)截距是否為零，結(jié)合直線的截距式的方程分類討論進(jìn)行求解即可.
（2）選①、選②、選③都是在直線方程中令求出在縱軸和橫軸的截距，最后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為.
選①，垂直于直線
設(shè)直線的方程為：，其過(guò)點(diǎn)，則，
即，故直線的方程為.
選②，平行于直線，
設(shè)直線的方程為：，其過(guò)點(diǎn)，則，
即，故直線的方程為.
選③，截距相等，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)為，其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
故，即.得直線：.
故直線的方程為或（或）.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知選①時(shí)，直線的方程為，
可知其在軸和軸的交點(diǎn)分別為，，
故.
選②時(shí)，直線的方程為，
可知其在軸和軸的交點(diǎn)分別為，，
故.
選③時(shí)，直線的方程為，
可知其在軸和軸的交點(diǎn)分別為，.
故.
18. 已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線：.
（1）求圓的方程；
（2）寫出直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的值及最短弦長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）最小值為，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓心與圓上點(diǎn)的距離求出半徑，即可由圓心和半徑直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將直線改成關(guān)于m的一次方程形式，根據(jù)方程恒成立列方程組求解定點(diǎn)；當(dāng)半徑確定時(shí)，利用弦心距，半弦長(zhǎng)，半徑構(gòu)成的直角三角形知弦長(zhǎng)最小時(shí)，弦心距最大，即可求出m的值．
【小問(wèn)1詳解】
∵圓的半徑，
∴圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
∵直線的方程為，令解得：，∴定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∵，∴點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線恒與圓相交.
又圓心到直線的距離
∴被圓截得的弦長(zhǎng)為，
當(dāng)取得最大值2時(shí)，弦長(zhǎng)有最小值，最小值為，此時(shí).
19. 如圖，是拋物線型拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，水面寬16米，拱橋頂部離水面8米.
（1）當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬多少米？
（2）現(xiàn)有一艘船，可近似為長(zhǎng)方體的船體高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船體寬為12米，前后長(zhǎng)為80米，若河水足夠深，要使這艘船能安全通過(guò)，則水面寬度至少應(yīng)為多少米？（計(jì)算結(jié)果保留至小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）8米 （2）13.9米.
【解析】
【分析】（1）合理建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，根據(jù)題意求出參數(shù)，令即可求出水面寬度；
（2）當(dāng)時(shí)，求出拱頂與船頂?shù)淖罱嚯x，加上船在水面以上的高度即令，從而求出水面的寬度.
【小問(wèn)1詳解】
如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線型拱橋的方程為（）
由題意，可知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入拋物線方程可得，即得，
所以拋物線方程為.
當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，即，代入拋物線方程可得，即水面寬為8米.
【小問(wèn)2詳解】
由于船體寬12米，則當(dāng)船體恰好能通過(guò)時(shí)，令米，
代入拋物線方程中，則，解得米，
即拱頂與船頂?shù)淖罱嚯x為4.5米.
又因船在水面上部分高為1.5米，故拱頂離水面6米.
在拋物線方程中，令，則，
故，所以水面寬度至少應(yīng)為13.9米.
20. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】20. （）
21.
【解析】
【分析】（1）由和的關(guān)系即可得到結(jié)果.
（2）由，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
又因時(shí)，滿足，所以（）
【小問(wèn)2詳解】
（）
，①
，②
將①②兩式相減得
所以.
21. 長(zhǎng)方體中，，是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），是的中點(diǎn).
（1）若，求三棱錐體積；
（2）平面與平面所成角的余弦值，求與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出三棱錐體積；
（2）利用向量法求出平面一個(gè)法向量，進(jìn)而求出與平面所成角余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，.
設(shè)，由題意設(shè)，
即，則，所以.
（1）因?yàn)?，解?
所以.
.
小問(wèn)2詳解】
由長(zhǎng)方體可知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則，
令，則，，則，
由題意得：，解得：或（舍），
則，，
設(shè)與平面所成角為，則
，則.
所以與平面所成角余弦值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)，關(guān)鍵是結(jié)合已知條件求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)求得結(jié)果.
22. 已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)分別為，，若是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，求此時(shí)的常數(shù)及四邊形面積的最大值.
【答案】（1）
（2）28，
【解析】
【分析】（1）由橢圓的定義求出，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，再由，即可得出答案；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，由韋達(dá)定理表示出，因?yàn)槭且粋€(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，求出，再表示出四邊形的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和為，.
又，故，故橢圓方程為.
【小問(wèn)2詳解】
依題意，可得四邊形為平行四邊形，
故，
設(shè)，，則
，
由，消掉可得，
可得，
，
∴
.
若上式與無(wú)關(guān)，故，.故此時(shí)常數(shù)為28.
此時(shí)，，
，
而原點(diǎn)到的距離，四邊形的面積
，
此時(shí)，滿足成立.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法
①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．
②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

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