注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意得，則.
故選：C.
2. 雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】雙曲線(xiàn)中，
則，
故其漸近線(xiàn)方程為.
故選：B.
3. 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】B
【解析】在中，每一項(xiàng)為，
當(dāng)，即時(shí)，的系數(shù)為，
故選：B.
4. 已知正項(xiàng)數(shù)列．若該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后5項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則數(shù)列所有項(xiàng)的和為（ ）
A. 98B. 92C. 96D. 100
【答案】C
【解析】由于數(shù)列的后5項(xiàng)成等比數(shù)列，所以，
由于為正項(xiàng)數(shù)列，所以，
，又且前3項(xiàng)成等差數(shù)列，所以
故數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，
故選：C.
5. 已知空間中三條不同的直線(xiàn)和平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】B
【解析】對(duì)A，，，則有可能相交、異面、平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，由線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理可知B正確；
對(duì)C，若，，則與平行、相交或異面，故C錯(cuò)誤.
對(duì)D，若，，則有可能平行，有可能異面，故D錯(cuò)誤
故選：B
6. 從三棱錐的6條棱中任選2條棱，則這2條棱所在的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如圖：從三棱錐的6條棱中任取2條,所有的基本事件有：
共15種，
互為異面直線(xiàn)的有共3種，
故概率為，
故選：A.
7. 若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br>又函數(shù)處的切線(xiàn)方程為，
所以，且，
聯(lián)立解得，；故選：D.
8. 已知是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. B.
C. 事件相互獨(dú)立D.
【答案】D
【解析】隨機(jī)事件滿(mǎn)足：，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，
則，B正確；
對(duì)于C，樣本空間，則，，
，
因此，事件相互獨(dú)立，C正確；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.
故選：D
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列命題正確的是（ ）
A. 若隨機(jī)變量，則
B. 直線(xiàn)與圓相交，且相交弦的長(zhǎng)度為
C. 經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)至少經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，由隨機(jī)變量，得，A正確；
對(duì)于B，圓的半徑，圓心到直線(xiàn)的距離
，弦長(zhǎng)為，B正確；
對(duì)于C，經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本的中心點(diǎn)，可以不經(jīng)過(guò)任何一個(gè)樣本點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，平方相加得，
解得，D正確.
故選：ABD
10. 若的兩根為，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C. 的虛部為
D.
【答案】AD
【解析】由的兩根為，且，則，
對(duì)于A，，即，因此，A正確；
對(duì)于B，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，的虛部為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，D正確.
故選：AD
11. 設(shè)，函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，的最小值為
B. 對(duì)任意的至少存在一個(gè)零點(diǎn)
C. 存在，使得有三個(gè)不同零點(diǎn)
D. 對(duì)任意的在上是增函數(shù)
【答案】BC
【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
則，即，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由，得，因此存在，使得，
則是的零點(diǎn)，即至少存在一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由，解得或，此時(shí)都大于1，
因此是的零點(diǎn)，所以對(duì)任意的至少存在一個(gè)零點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C，取，，
由，得或，
解得或或，此時(shí)有三個(gè)不同零點(diǎn)，C正確；
對(duì)于D，若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得，
因此當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：BC
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若，則______．
【答案】
【解析】隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，
若，所以，
則.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為，則______；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個(gè)取值可以為_(kāi)_____．
【答案】①1 ②（答案不唯一）
【解析】由題意得得，解得，
則，
由，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
且，
所以有，
因此的一個(gè)取值可以為，
故答案為：1；（答案不唯一）.
14. 已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則______；若斜率為的直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，的中垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)，則______．
【答案】① 8 ② 2
【解析】如圖所示：
由拋物線(xiàn)的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
由題意可得，所以；
所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：，
設(shè)直線(xiàn)的方程為： ，設(shè)，
聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程： ，
整理可得：，,
則，
所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，
所以的中垂線(xiàn)的方程為：，
令，可得，所以N的橫坐標(biāo)為：，
所以，
由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得，，
所以，故答案為：8，2
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足．
（1）求；
（2）若，且，求的周長(zhǎng)．
解：（1）已知，
則由正弦定理有.
又∵，則，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，.
（2）由題可知：，所以，
由余弦定理可得，即，
所以，可得，則，
所以的周長(zhǎng)為.
16. 如圖所示，在長(zhǎng)方體中，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與棱作平面．
（1）直接在圖中作出平面截此長(zhǎng)方體所得的截面（不必說(shuō)明畫(huà)法和理由），判斷截面圖形的形狀，并證明；
（2）設(shè)平面平面．若截面圖形的周長(zhǎng)為16，求二面角的余弦值．
解：（1）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，連接，
則四邊形為所作截面，截面為矩形，證明如下：
在長(zhǎng)方體中，，
又平面平面，平面平面，平面平面，
于是，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，
因此，所以四邊形為矩形.
（2）連接，由矩形的周長(zhǎng)為16，且，得，
又，，得，又，則，
由（1）知，，則平面，而平面，
因此，二面角的平面角為，
在中，，則，
所以二面角的余弦值為.
17. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)有極小值，且極小值小于時(shí)，求的取值范圍．
解：（1）的定義域?yàn)?，?br>若，則，所以在上單調(diào)遞增．
若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在無(wú)極小值.
當(dāng)時(shí)，在取得極小值為．
因此等價(jià)于.即，
令，其中，因?yàn)?
所以在上單調(diào)遞增，且．
于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此，的取值范圍是．
18. 已知橢圓，以的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形．設(shè)為原點(diǎn)，直線(xiàn)與交于不同的兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為．
（1）求的方程及離心率；
（2）若軸，證明：是等腰直角三角形．
解：（1）由題意.
因.所以，
所以橢圓方程為，離心率為.
（2）設(shè)，聯(lián)立方程，
消去得：.
依題意，得，
則.
直線(xiàn)，
令得，
又因?yàn)?，所?
因?yàn)檩S，所以點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以，
所以向量，，
則有
.
所以，所以.
設(shè)的中點(diǎn)為，則，.
，
由題意可知，故，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，
所以，
所以為等腰直角三角形.
19. 在2024年5月舉行的第一屆全國(guó)全民健身大賽（西南區(qū)）籃球項(xiàng)目貴州選拔賽暨2024年貴州省籃球公開(kāi)賽中，銅仁市代表隊(duì)?wèi){借出色的技術(shù)和頑強(qiáng)拼搏的精神，從全省42支隊(duì)伍中脫穎而出，闖進(jìn)決賽．受此影響，銅仁市某校掀起了籃球運(yùn)動(dòng)的熱潮，在一次籃球訓(xùn)練課上，甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人．
（1）求2次傳球后球在甲手中的概率；
（2）設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）現(xiàn)在丁加入傳球訓(xùn)練，且甲、乙、丙、丁四人分別站定于如圖所示的四點(diǎn)（為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)），且每次傳球時(shí)，傳球者將球傳給相鄰?fù)瑢W(xué)的概率為，傳給對(duì)角線(xiàn)上同學(xué)的概率為（例如：甲傳球給乙或丁的概率都是，傳球給丙的概率是；若第一次仍由甲將球傳出，則次傳球后，試比較球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并說(shuō)明理由．
解：（1）依題意，傳球2次后球在甲手中包括兩個(gè)基本事件，即：甲乙甲和甲丙甲，
所以傳球2次后球在甲手中的概率為.
（2）設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為，
則當(dāng)時(shí)，第次傳球后球在甲手中的概率為，第次傳球后球不在甲手中的概率為，
顯然，若要第n次傳球后球在甲手中，則第次傳球后球必定不能在甲手中，
無(wú)論此時(shí)球在乙或丙的手中，傳給甲的概率都是，則有，即，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，即.
（3）設(shè)第n次傳球后球在甲手中概率，球在乙手中的概率，
球在丙手中的概率,則球在丁手中的概率，
則有，
，，
，，
于是，且，
又，
則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，
又于是，
而，且有，
于是，又，則，
若為奇數(shù)，則，此時(shí)，
若為偶數(shù)，則，此時(shí).

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