（考試時長：120分鐘試卷滿分：150分）
注意事項：
1．答題前，務必在答題卷上填寫姓名和考號等相關信息并貼好條形碼．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卷上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卷上，寫在本試卷上無效．
3．考試結束后，將答題卷交回．
第I卷（選擇題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】先得，，根據(jù)并集的運算可得.
【分析】，
，
則，
故選：C
2. 復數(shù)的虛部是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算，分子和分母同時乘以，進行化簡運算，找到虛部即可.
【詳解】由題意可得：，故虛部為:.
故選：B.
3. 某校有教師360人，其中高級及以上職稱教師240人，一級職稱教師80人，其他職稱教師40人，現(xiàn)采用分層抽樣從中抽取18人參加某項調研活動，則高級及以上職稱教師應抽取人數(shù)是（）
A. 2B. 4C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求解即可.
【詳解】由題意知，高級及以上職稱教師應抽取的人數(shù)為
人.
故高級及以上職稱教師應抽取的人數(shù)為12人.
故選：D.
4. 若；，則p是q的（）
A充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 即不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質，分別求得命題為真命題時，的取值范圍，再結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，解得，構成集合
又由，可得，解得，構成集合，
因為集合是集合的真子集，所以是的必要不充分條件.
故選：B.
5. 已知，，且函數(shù)的圖象經過點，則的最小值為（）
A. B. 9C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)恒過的定點得，利用基本不等式中常數(shù)代換技巧即可求解最值.
【詳解】因為函數(shù)的圖象經過點，所以，又，，
所以，
當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為.
故選：C
6. 函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判斷出函數(shù)的奇偶性，再利用特殊值的正負得出選項．
【詳解】設，
則，即在上是奇函數(shù)，排除B，D，
又，
故選：A
7. 已知等邊三角形ABC的邊長為2，D，E分別是BC，AC的中點，則（）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】將，設基底，表示出，，運用數(shù)量積定義解決問題.
【詳解】解：
.
故答案選：A.
8. 已知定義在上的函數(shù)滿足，，則下列選項不一定正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件可得函數(shù)的周期為2，利用賦值法可得，由此可判斷各選項.
【詳解】因為，，
可得，，,
即得，所以函數(shù)的周期為2，
令，可得，故A，B正確；
又的周期為2，所以，故D正確；而C不一定正確.
故選：C.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．
9. 設m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法中正確的有（）
A. 若，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，則
【答案】CD
【解析】
【詳解】根據(jù)線線，線面，面面的位置關系，即可判斷選項.
【分析】A.缺少這個條件，故A錯誤；
B. 若，，，則或相交，故B錯誤；
C. 若，，則，又，則，故C正確；
D.若，，則，又，則，故D正確.
故選：CD
10. 下列等式成立的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】應用三角恒等變換化簡求值，逐個判斷即可.
【詳解】對A，，A錯誤；
對B，，B正確；
對C，，C正確；
對D，
，D錯誤.
故選：BC
11. 已知三條直線：，，不能圍成一個三角形，則實數(shù)k的值為（）
A. B. C. 0D. 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分直線與平行或重合，直線與平行或重合和直線過和的交點，三種情況討論，結合兩直線平行的判定和兩直線的交點坐標，列出方程，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，直線，不能圍成一個三角形，
當直線與平行或重合時，可得，解得；
當直線與平行或重合時，可得，解得；
當直線過和的交點時，
由方程組，解得，即兩直線的交點為，
代入直線，可得，解得，
所以實數(shù)的值為.
故選：BCD.
12. 已知實數(shù)滿足，則下列不等式可能成立的有（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先令連等式為，取特殊值或者畫出函數(shù)圖像確定ABD可能成立，再利用導數(shù)證明C錯誤即可.
【詳解】法一：令，則，
當時，此時，D正確；
當時，此時，B正確；
當時，此時，A正確；
令，則，
令，則，
令，解得，此時單調遞增，
令，解得，此時單調遞減，
所以，即恒成立，
所以在上單調遞增，所以，
所以恒成立，即恒成立，所以C錯誤，
故選：ABD
法二：令，則，
如圖所示，分別畫出的圖像，
當時，此時，D正確；
當時，此時，B正確；
當時，此時，A正確；
令，則，
令，則，
令，解得，此時單調遞增，
令，解得，此時單調遞減，
所以，即恒成立，
所以在上單調遞增，所以，
所以恒成立，即恒成立，所以C錯誤，
故選：ABD
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，，則的值為________．
【答案】0
【解析】
【分析】運用向量數(shù)量積定義和坐標運算規(guī)則解決問題.
【詳解】解：因為，，
所以.
故答案為：0.
14. 從0~9這10個數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，則這個數(shù)的平方的個位數(shù)字是奇數(shù)的概率為________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用列舉法求解出古典概型的概率.
【詳解】，
其中個位數(shù)字是奇數(shù)的有，共5個，
故這個數(shù)的平方的個位數(shù)字是奇數(shù)的概率為.
故答案為：
15. 四面體ABCD中，，，，則該四面體的外接梂的表面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】利用補形法解決外接球問題.
【詳解】解：因為，，，
故可以將此四面體ABCD的外接球等價于如圖所示的長方體的外接球，
所以，，，
所以，
外接球的直徑，
故外接球的半徑為，
所以外接梂的表面積為.
故答案為：.
16. 已知定義在上奇函數(shù)為單調遞增函數(shù)，若恒成立，則t的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【詳解】由題為在上的奇函數(shù)和單調遞增函數(shù)，根據(jù)，得，設得，再利用基本不等式可得結果.
【分析】由得，
因為為上的奇函數(shù)，所以，
故，
又因在上單調遞增，
所以即，
設，則恒成立，
則，
因，當且僅當即，時等號成立,
故.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求B的大?。?br>（2）若，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）運用正弦定理化簡，再運用余弦定理便可解出結果；
（2）運用方程組思想解出的值，從而解出的面積.
【小問1詳解】
在ABC中，因為，
由正弦定理可得，,
化簡得，
所以，
因為，所以；
【小問2詳解】
由（1）及題意可得，
故，
整理得，
又，解得，
所以.
18. 已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若關于x的方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖像平移可得；
（2）將方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根，轉化為函數(shù)在區(qū)間
的圖像與函數(shù)的圖像有兩個交點，利用函數(shù)圖像可確定實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
函數(shù)，由圖象向右平移可得，
所以函數(shù)的解析為：.
【小問2詳解】
函數(shù)，當時，
，
函數(shù)的圖像如下：
要使方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根，
等價于函數(shù)在區(qū)間的圖像與函數(shù)的圖像有兩個交點，
由圖可知：，
故實數(shù)的取值范圍為：.
19. 為了解某校任課教師年齡分布情況，現(xiàn)隨機抽取100名教師，統(tǒng)計他們的年齡，并進行適當分組，繪制出如下圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求出頻率分布直方圖中實數(shù)a的值．根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校任課教師年齡的下四分位數(shù)；（結果保留小數(shù)點后2位有效數(shù)字）
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，現(xiàn)從年齡在內的教師中采用分層抽樣的方式抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人分享他們的教學經驗，求這2人中至少有1人年齡在內的概率．
【答案】（1）a=0.016，下四分位數(shù)約為34.58
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的特征和下四分位數(shù)的概念計算，即可求解；
（2）由（1）求出抽取在[45,50)、[50,55)內的人數(shù)，標記，列舉出所有的樣本點，利用古典概型的概率公式計算即可求解.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖得(0.012+2a+2×0.024+0.048+0.060)×5=1，
解得a=0.016，
設樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為m，則有：，
解得；
根據(jù)頻率分布直方圖的下四分位數(shù)，可估計該校任課教師年齡的下四分位數(shù)約為34.58.
【小問2詳解】
由（1）得a=0.016，
結合頻率分布直方圖可算得年齡在[45,50)的人數(shù)為人，
年齡在[50,55)的人數(shù)為人；
用分層抽樣的方式從這兩組中抽取5人，則落在[45,50)內的應抽人，
在[50,55)內的應抽人，
將年齡在[45,50)的3位教師編號為1，2，3，年齡在[50,55)的2位教師編號為，b；
則從這5人中隨機抽取2人，所有基本事件為：（1,2）（1,3）（1,）（1,b）（2,3）
（2,）（2,b）（3,）（3,b）（,b）共10種，
至少有1名年齡在[50,55)的有（1,）（1,b）（2,）（2,b）（3,）（3,b）（,b）共7種，
所以這2人中至少有1名年齡在[50,55)的概率為
20. 如圖，四棱錐中．底面為矩形，平面，M，N分別為，的中點．
（1）若點E是線段的中點．證明：平面；
（2）設，，，線段上是否存在點E，使得與平面所成角的正弦值為．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）連接交于點O，連接，則，又，從而可證，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；
（2）建立如圖空間直角坐標系，設（0≤≤1），利用空間向量法求出與平面的所成角，求出即可.
【小問1詳解】
連接交于點O，連接，
因為底面為矩形，故點O是中點，
又E是線段的中點，在PBD中，有；
在PBA中，M，N分別為，的中點，有，
所以，平面，又平面，
故平面；
【小問2詳解】
以A為原點為基底，建立如圖空間直角坐標系，
因為，所以，
則：，
設平面PBC的法向量為，
則，即：，
令，解得，則.
設（0≤≤1），則，，
要使得AE與平面PBC所成角的正弦值為，則：
，
解得：，（舍去）
故線段上存在點E，使得與平面所成角θ的正弦為.
21. 已知直線（為任意實數(shù)），直線.
（1）當時，求的值；
（2）過點作直線的垂線，垂足為Q，求點Q到直線的距離的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩直線平行公式建立的方程求解，注意檢驗兩直線重合的情況；
（2）先求出直線的垂線，聯(lián)立方程求解點Q，把點Q到直線的距離的最大值轉化為兩點的距離求解.
【小問1詳解】
當時，有，解得；經檢驗與不重合，
所以.
【小問2詳解】
，斜率為，
過點與直線的垂線的直線方程為：即，
聯(lián)立方程，解得，即Q，
直線即，
聯(lián)立，解得，所以直線恒過點，
使點Q到直線的距離的最大值，只需線段QR垂直于直線，
此時點Q到直線的距離的最大值為：.
22. 已知定義在的函數(shù)，其中．
（1）若方程有解，求實數(shù)a取值范圍；
（2）若對任意實數(shù)，不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可將原方程變形為，利用轉化的思想可知函數(shù)的圖象有交點，結合二次函數(shù)的性質即可求解；
（2）易知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則、，結合恒成立問題，列出不等式組，解之即可求解.
【小問1詳解】
已知，當時則.
要使方程有解有解，
即方程有根；
轉化為函數(shù)的圖象有交點；
又函數(shù)的函數(shù)值大于，
故實數(shù)a的取值范圍為.
【小問2詳解】
由可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，；
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為：，
最小值為：
對于任意實數(shù)，不等式在區(qū)間上恒成立，等價于：
，即，解得，
對任意實數(shù)恒成立，
即，解得：.

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