（5類核心考點精講精練）
平面向量與代數、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高。
平面向量是有效連接代數和幾何的橋梁，已成為高考數學的一個命題熱點。
近年，高考、?？贾杏嘘P“系數和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學生在解決此類問題時，往往要通過建系或利用角度與數量積處理，結果因思路不清、解題繁瑣，導致得分率不高，而向量三點共線定理與等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題，將系數和的代數運算轉化為距離的比例運算，數形結合思想得到了有效體現(xiàn)，同時也為相關問題的解決提供了新的思路，大家可以學以致用
知識講解
如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根據點的位置分幾種情況來考慮系數和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若時，則射線與無交點，由知，存在實數，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若時，
（i）如圖1，當在右側時，過作，交射線于兩點，則
，不妨設與的相似比為
由三點共線可知：存在使得：
所以
（ii）當在左側時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數和只與兩三角形的相似比有關。
我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設點在上的射影為，直線交直線于點，則 (的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍
考點一、“x+y”或“λ+μ”型綜合
1．（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【法一：系數和】，分析：如圖 ，
由平面向量基底等和線定理可知，當等和線與圓相切時， 最大，此時
故選 .
【法二：坐標法】詳見解析版
2，（衡水中學二模）邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內部的動點，設向量，則的取值范圍是（ ）
分析:如圖，設，由等和線結論，.此為的最小值；
同理，設，由等和線結論，.此為的最大值.
綜上可知.
在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，
若，則的最大值為( )

如圖，正六邊形，是內（包括邊界）的動
點，設，則的取值范圍是____________
如圖在直角梯形中，，，，動點在以為圓心，且與直線相切的圓內運動，設
則的取值范圍是____________
3．在中，，，，M是外接圓上一動點，若，則的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
4．（22-23高三上·江蘇蘇州·階段練習）在中，，，，點在該三角形的內切圓上運動，若（，為實數），則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高一下·廣東珠海·期末）在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
考點二、“+”或“+”型綜合
已知是內一點,且,點在內(不含邊界),若,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
已知為邊長為2的等邊三角形，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________
若點在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______
設長方形的邊長分別是,點是內(含邊界)的動點,設,則的取值范圍是_________
1．在矩形ABCD中，，，P為矩形內一點，且若，則的最大值為
A．B．C．D．
2．（2023·安徽淮南·一模）已知是的重心，過點作直線與，交于點，且，，，則的最小值是
A．B．C．D．
3．已知是內一點，且，點在內（不含邊界），若，則的取值范圍是
A．B．C．D．
4．（22-23高三上·江蘇南通·開學考試）在中，，，過的外心O的直線(不經過點)分別交線段于，且，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
考點三、“-”或“-”型綜合
如圖,已知為銳角三角形的外心,,且,求的取值范圍？
1．（2023·全國·高三專題練習）在矩形ABCD中，，，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最小值為（ ）
A．B．1C．-1D．
考點四、“-”或“-”型綜合
1．（2023·浙江·高三專題練習）如圖，在直角梯形中， ， ∥， ， ，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·安徽六安·高三階段練習）在直角梯形中，，∥，，、分別為、的中點，點在以為圓心，為半徑的圓弧上變動，（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是 ．
1．（2023·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是
A．B．C．D．
考點五、系數和（等和線）的綜合應用
1．如圖所示，△ABC中，AC＝3，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，且PN＝2PM，則△ABC面積的最大值為 ．
5．5．2．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知為線段的中點，設為中間小正方形內一點（不含邊界）.若，則的取值范圍為 .
3．（2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為兩曲線的一個公共點，且，則 ；為的內心，三點共線，且，軸上點滿足，，則的最小值為 ．
1．（2024高三·全國·專題練習）在中，三個內角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則 ．
2．（22-23高二下·廣東汕尾·期末）如圖，在中，點D在線段上，且，E是的中點，延長交于點H，點為直線上一動點（不含點A），且（）．若，且，則的面積的最大值為 ．

3．（20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）已知△ABC中，，若點P為四邊形AEDF內一點(不含邊界)且，則實數x的取值范圍為 .
1．（2023高三·全國·專題練習）在正方形中，與交于點，為邊上的動點（不含端點），，則的最小值為 .
2．（2023高三·全國·專題練習）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點D在的延長線上，且，點P是(含邊界)的動點，設，則的最大值為 ．
3．（22-23高一下·四川眉山·階段練習）已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊相交于點M，N兩點（點M，N與點B，C不重合），設，，則的最小值為 ．
4．（2023高三·全國·專題練習）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若，則2x＋2y的最大值為

5．（2023高三·全國·專題練習）如圖，在中，為邊上不同于，的任意一點，點滿足.若，則的最小值為 .

6．（22-23高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得．動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，．則的取值范圍為 ．

7．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點（如圖），若在上，且，則的最大值為 ．
8．（23-24高一下·天津·期中）如圖，在中，與BE交于點，，則的值為 ；過點的直線分別交于點設，則的最小值為 .

9．（21-22高三上·河南鄭州·階段練習）如圖，在扇形中，，，點為的中點，點為曲邊區(qū)域內任一點（含邊界），若，則的最大值為 ．
10．（22-23高三下·上海寶山·開學考試）如圖所示，，圓M與AB，AC分別相切于點D，E，AD=1，點P是圓M及其內部任意一點，且，則的取值范圍是
11．（2024高三下·全國·專題練習）如圖，平面內有三個向量，，，其中 ，，且，，若，則 .
12．（22-23高二上·上海寶山·階段練習）設點在以為圓心，半徑為1的圓弧上運動（包含、兩個端點），，且，則的取值范圍為 .
13．（19-20高一上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，扇形的半徑為1，圓心角，點P在弧BC上運動，，則的最大值為 .
14．（22-230高三上·浙江臺州·期末）如圖，已知正方形，點E，F(xiàn)分別為線段，上的動點，且，設（x，），則的最大值為 .
15．（22-23高三·浙江·階段練習）已知，與所成角為，點P滿足，若，則的最大值為 .
16．（22-23高一下·重慶萬州·期中）如圖，在中，，點在線段上移動（不含端點），若，則的取值范圍是 ．
17．（21-22高三下·浙江杭州·階段練習）已知正三角形的邊長為2，D是邊的中點，動點P滿足，且，其中，則的最大值為 ．
18．（22-23高一下·湖北孝感·期中）趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設，若，則的值為 .
19．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習）對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能給人以美感，激發(fā)學生對數學的興趣.如圖，在菱形中，，以菱形的四條邊為直徑向外作四個半圓，是這四個半圓弧上的一動點，若，則的最大值為 .

（23-24高一下·安徽宿州·期中）由三角形內心的定義可得：若點為內心，則存在實數，使得.在中，，若點為內心，且滿足，則的最大值為
第04講 平面向量系數和（等和線、等值線）問題
（高階拓展、競賽適用）
（5類核心考點精講精練）
平面向量與代數、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高。
平面向量是有效連接代數和幾何的橋梁，已成為高考數學的一個命題熱點。
近年，高考、?？贾杏嘘P“系數和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學生在解決此類問題時，往往要通過建系或利用角度與數量積處理，結果因思路不清、解題繁瑣，導致得分率不高，而向量三點共線定理與等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題，將系數和的代數運算轉化為距離的比例運算，數形結合思想得到了有效體現(xiàn)，同時也為相關問題的解決提供了新的思路，大家可以學以致用
知識講解
如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根據點的位置分幾種情況來考慮系數和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若時，則射線與無交點，由知，存在實數，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若時，
（i）如圖1，當在右側時，過作，交射線于兩點，則
，不妨設與的相似比為
由三點共線可知：存在使得：
所以
（ii）當在左側時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數和只與兩三角形的相似比有關。
我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設點在上的射影為，直線交直線于點，則 (的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍
考點一、“x+y”或“λ+μ”型綜合
1．（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【法一：系數和】
分析：如圖 ，
由平面向量基底等和線定理可知，當等和線與圓相切時， 最大，此時
故選 .
【法二：坐標法】
【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系.
設,
易得圓的半徑，即圓C的方程是，
，若滿足，
則，，所以，
設，即，點在圓上，
所以圓心到直線的距離，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.
【點睛】（1）應用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算.
（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.
2，（衡水中學二模）邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內部的動點，設向量，則的取值范圍是（ ）
分析:如圖，設，由等和線結論，.此為的最小值；
同理，設，由等和線結論，.此為的最大值.
綜上可知.
在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，
若，則的最大值為( )

解：如圖所示：
過作的垂線，垂足為，則，當三點共線時，高線最長，即
如圖，正六邊形，是內（包括邊界）的動
點，設，則的取值范圍是____________
解：連接因為正六邊形，由對稱性知道
，設與交于點，與交于點，
當在上時，在上射影最小為；
當與重合時，在上射影最大為；
則
設則
則
如圖在直角梯形中，，，，動點在以為圓心，且與直線相切的圓內運動，設
則的取值范圍是____________
解：設圓與直線相切于點，過作于，作直線，且直線與圓相切與，連，則過圓心，且，由圖可知，對圓內任意一點
在直線上的射影長度滿足：，
又，
所以
而，所以
3．在中，，，，M是外接圓上一動點，若，則的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設M的坐標為，
由，
可得利用正弦函數的圖像及性質即得解.
【詳解】以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
設M的坐標為，過點B作 軸
又
當時，
故選：C
【點睛】本題考查了向量的坐標運算和向量的數乘運算和正弦函數的圖像和性質，以及直角三角形問題，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.
4．（22-23高三上·江蘇蘇州·階段練習）在中，，，，點在該三角形的內切圓上運動，若（，為實數），則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可得，再結合余弦定理，面積公式可求出、、邊上高，內切圓半徑，最后根據平行線等比關系即可求解.
【詳解】，由在內切圓上，
故，
假設，由于，，
則，且為上一點，，，三點共線，
由平行線等比關系可得，要使，即與之間的比例最小，則在內切圓的最高點，如圖所示，
由，
因為，所以，
設邊上高為，內切圓半徑為，
由，
所以，，
可得的最小值為，
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：這道題關鍵的地方是轉化得到，令，觀察到分母的系數相加為1，則可得到為上一點，再結合平行線等比關系以及圖象可得到比例最小的具體位置
5．（22-23高一下·廣東珠海·期末）在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理與勾股定理得是直角三角形，進而可以建立直角坐標系，根據點的坐標得向量的坐標，由向量的坐標運算可得的表達式，進而利用三角函數求最值即可.
【詳解】因為在中，，，，
由余弦定理得，
所以，則，所以，
故以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
，
易得，則，，
設的坐標為，則，
又，
所以，
則，得，，
所以，
當且僅當時，等號成立，即的最大值為.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是建立直角坐標系，利用向量的線性運算法則得到的關系式，從而利用三角函數的性質得解.
考點二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型綜合
已知是內一點,且,點在內(不含邊界),若,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因為是內一點,且，所以為的重心
在內(不含邊界),且當與重合時,最小,
此時
所以,即
當與重合時,最大,此時
所以,即
因為在內且不含邊界
所以取開區(qū)間,即.
已知為邊長為2的等邊三角形，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________
答案:
【解析】如圖,取中點為,
顯然,當與重合時,取最小值1.
將平行移動至與相切處,
為切點時,取最大值.
延長交于,易知.
由等和線及平行截割定理,.
所以的最大值為.
故的取值范圍是.
若點在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______
【解析】令,
則,
即,
其中.
由知點在線段上,如下圖:
由于在中,,
且點在線段上(含端點,
因此,其中是邊上的高.
可得.
可得.
所以,.
再由
可知.
設長方形的邊長分別是,點是內(含邊界)的動點,設,則的取值范圍是_________
解:如圖,取中點,則
此時的等和線為平行于的直線顯然,當點與點重合時,最小為1,當點與重合時,最大,
由于,
所以,
于是的最大值為
所以的取值范圍是.
1．在矩形ABCD中，，，P為矩形內一點，且若，則的最大值為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可根據條件畫出圖形，根據圖形設，且，則又可用表示為：所以根據平面向量基本定理得到：，所以，最大值為1，所以的最大值為．
【詳解】如圖，設，，
則：；
又；
；
；
的最大值為．
故選B．
【點睛】考查共線向量基本定理，兩角和的正弦公式，正弦函數的最大值，以及平面向量基本定理．
2．（2023·安徽淮南·一模）已知是的重心，過點作直線與，交于點，且，，，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根據三點共線得到，也就是，再利用得到，最后利用基本不等式求的最小值.
【詳解】
因為三點共線，故，因為，所以，又為重心，故，而不共線，所以，也即是.
，由基本不等式可以得到：
，當且僅當等號成立，故的最小值為，故選D.
【點睛】應用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數式變形以產生和為定值或積為定值的局部結構.求最值時要關注取等條件的驗證.
3．已知是內一點，且，點在內（不含邊界），若，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據可知O為的重心；根據點M在內，判斷出當M與O重合時，最?。划擬與C重合時，的值最大，因不含邊界，所以取開區(qū)間即可．
【詳解】因為是內一點，且
所以O為的重心
在內（不含邊界），且當M與O重合時，最小，此時

所以，即
當M與C重合時，最大，此時

所以，即
因為在內且不含邊界
所以取開區(qū)間，即
所以選B
【點睛】本題考查了向量在三角形中的線性運算，特殊位置法的應用，屬于難題．
4．（22-23高三上·江蘇南通·開學考試）在中，，，過的外心O的直線(不經過點)分別交線段于，且，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得，外接圓的半徑，設，，，根據，結合和
三點共線，得到，進而求得，利用基本不等式和函數的性質，即可求得取值范圍.
【詳解】因為中，，
由余弦定理可得，
即，且，
設，
則，，
所以，
同理可得，，
解得，所以，
又因為，，所以，
因為三點共線，可得，
因為，所以，所以，
同理可得，所以
所以，
設，可得，
令，可得，令，解得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以當時，取得最小值，最小值為；
又由，，可得，
所以當時，取得最大值，最大值為，
所以的取值范圍是.
故選：B.
考點三、“x-y”或“λ-μ”型綜合
如圖,已知為銳角三角形的外心,,且,求的取值范圍？
解:
作圓的直徑,則點在劣弧上運動.于是.其中.
考慮到問題涉及的代數式為,為了利用向量分解的系數和的幾何意義,
將條件轉化為.
此時可知連接向量的終點與向量的終點的直線即等系數和線,于是.
依次作出其余等系數和線,可得的取值范圍是.
1．（2023·全國·高三專題練習）在矩形ABCD中，，，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最小值為（ ）
A．B．1C．-1D．
【答案】C
【解析】以A為原點，直線AB，AD為x，y軸建立平面直角坐標系，求出圓的標準方程，可得的坐標的參數形式，再由用坐標表示，這樣就可表示為的三角函數，由三角函數恒等變換可求得其最小值．
【詳解】以A為原點，直線AB，AD為x，y軸建立平面直角坐標系，則，，
直線，圓C與直線BD相切，所以圓C的半徑，圓C的方程為，
設點，即，
又，
∴，
所以.
即時，取得最小值．
故選：C．
【點睛】本題考查向量的線性運算，解題關鍵是建立平面直角坐標系，把向量用兩種不同方法表示，從而把表示為參數的三角函數，利用三角函數知識求得最小值．
考點四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型綜合
1．（2023·浙江·高三專題練習）如圖，在直角梯形中， ， ∥， ， ，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立直角坐標系，將由點坐標轉化后數形結合求解
【詳解】以點為坐標原點， 方向為x,y軸正方向建立直角坐標系，則，
，設，則，解得，
故，即，
數形結合可得當時，取最小值2，
當直線與圓相切時，，取得最大值 .
故選：B
2．（2022春·安徽六安·高三階段練習）在直角梯形中，，∥，，、分別為、的中點，點在以為圓心，為半徑的圓弧上變動，（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】如圖以為軸建立直角坐標系，設，則可表示出的坐標，可列出關于的不等式組，表示出，利用三角函數恒等變換公式化簡，從而可求得結果
【詳解】如圖以為軸建立直角坐標系，則，，，，，，所以，，
設，
因為
所以，
所以，
解得，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，即，
故答案為：
1．（2023·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據直角坐標系，根據向量的坐標運算，即可表達出，進而用輔助角公式以及三角函數的性質即可求解.
【詳解】
分別以所在直線為軸，軸，方向為正方向建立直角坐標系，知,
設，由得：，即 ,
則，
由可得：，則，故.
則的取值范圍是 .
故選：C
考點五、系數和（等和線）的綜合應用
1．如圖所示，△ABC中，AC＝3，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，且PN＝2PM，則△ABC面積的最大值為 ．
【答案】5
【分析】根據題意設作為該平面的一組基底，根據向量運算的三角形法則及共線向量定理分別表示出，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再設PM＝2t，求得PN，PA，PB，設△APN的面積為x，運用余弦定理和面積公式，結合二次函數的最值可得x的最大值，進而得到所求△ABC的面積的最大值．
【詳解】設
則, ,
∵A、P、M和B、P、N分別共線，
∴存在實數λ、μ，使
故.
而
∴，
解得 ，
故
即AP：PM＝4：1，BP：PN＝3：2，
設PM＝t，則PN＝2t，PA＝4t，PB＝3t，t＞0，
設△APN的面積為x，∠APN＝α，
在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，
可得csα＝＝，sinα＝，
則
當，即t＝時，x取得最大值，
而△ABP的面積為x，△BPM的面積為，
則△ABC的面積為，
則△ABC的面積的最大值為×＝5．
故答案為：5．
2．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知為線段的中點，設為中間小正方形內一點（不含邊界）.若，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由題意，利用平面向量基本定理，數形結合與臨界值法，即可求解.
【詳解】過點作，分別交于點，
過點作，交的延長線于點，
過點作，交的延長線于點，如圖，
由
可知，點在線段上運動（不含端點）.
當點與點重合時，，可知.
當點與點重合時，，可知.
故的取值范圍為.
故答案為：
3．（2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為兩曲線的一個公共點，且，則 ；為的內心，三點共線，且，軸上點滿足，，則的最小值為 ．
【答案】 4
【分析】第一空：利用橢圓與雙曲線的定義及性質，結合圖形建立方程，求出，在利用余弦定理建立關于離心率的齊次方程解出即可；
第二空：由為的內心，得出角平分線，利用角平分線的性質結合平面向量得出及，代入中利用基本不等式求最值即可.
【詳解】①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為，
橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，
不妨設點在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義：，
由橢圓的定義：，
可得：，
又，由余弦定理得：
，
即，
整理得：，
所以：；
②為的內心，
所以為的角平分線，則有，同理：，
所以，
所以，即，
因為，
所以，故，
為的內心，三點共線，
即為的角平分線，則有，又，
所以，即，
因為，
所以，故，
所以
，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為，
故答案為：4，.
【點睛】方法點睛：離心率的求解方法，
（1）直接法：由題意知道利用公式求解即可；
（2）一般間接法：由題意知道或利用的關系式求出，在利用公式計算即可；
（3）齊次式方程法：建立關于離心率的方程求解.
1．（2024高三·全國·專題練習）在中，三個內角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則 ．
【答案】
【分析】根據余弦定理可求解余弦，即可根據同角關系求解正切，進而運用定理4的結論，即可求解.
【詳解】因為，，，所以，
由余弦定理可得，
由以及為銳角，可得，故．
同理，．于是．
接下來證明定理4：O是（非直角三角形）的垂心．
證明：O是（非直角三角形）的垂心
，
由定理4得，
故，
化簡得．所以．
故答案為：
2．（22-23高二下·廣東汕尾·期末）如圖，在中，點D在線段上，且，E是的中點，延長交于點H，點為直線上一動點（不含點A），且（）．若，且，則的面積的最大值為 ．

【答案】
【分析】因為是的中點，得到，設，所以，根據三點共線，求得，得到，得到，
延長于，使得，延長于點，使得，結合相似，求得得到為等腰三角形，且，得出，進而取得的面積的最大值.
【詳解】因為是的中點，可得，
設，所以，
因為三點共線，所以，解得，所以
所以，所以，所以，所以，
延長于，使得，延長于點，使得，如圖所示，
則，且相似比為，所以,
所以，所以，所以，所以，
因為，所以，
所以為等腰三角形，且，所以，
因為，所以，
所以.
所以的面積的最大值為.

【點睛】解決向量在平面幾何中的應用問題的兩種方法：
（1）坐標法，把幾何圖形放在適當的坐標系中，則有關點與向量就可以用坐標表示出來，這樣就能進行相應的代數運算，從而使問題得到解決；
（2）基向量法，選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據向量的運算法則?運算律和性質求解.
3．（20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）已知△ABC中，，若點P為四邊形AEDF內一點(不含邊界)且，則實數x的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據題意畫出圖形，結合圖形找出臨界點的位置，進行適當的推理與運算，即可求出實數x的取值范圍.
【詳解】解：如圖所示，在線段BD上取一點G，使得，
設DC=3a，則DG=a，BC=5a，BG=a；
過點G作GH∥DE，分別交DF?AE于K?H，
連接FH，則點K?H為臨界點；
GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，
，
所以FH∥BC；
所以FHBC，
所以，
所以KGHK，
KGHGDE.
所以實數x的取值范圍是().
故答案為：().

【點睛】關鍵點點睛：本題考查了平面向量的線性運算問題，也考查了推理與運算能力，是難題，解題的關鍵是根據題意畫出圖形，結合圖形找出臨界點的位置.
1．（2023高三·全國·專題練習）在正方形中，與交于點，為邊上的動點（不含端點），，則的最小值為 .
【答案】
【詳解】解法一：建立如圖所示的平面直角坐標系，設，則，
所以，因為，所以，
從而，所以，設，
則，
所以，從而在上↘，在上↗，
故，所以的最小值為.
解法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，設，則，
所以，因為，所以，從而，
所以
，
當且僅當時等號成立，結合可解得：，所以的最小值為.
解法三：，設，則，如圖，設，則三點共線，因為，所以，即，從而，所以，當在上（不含端點）運動時，顯然，所以，當且僅當時取等號，容易驗證滿足的點在上，所以的最小值為.

2．（2023高三·全國·專題練習）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點D在的延長線上，且，點P是(含邊界)的動點，設，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】根據平面向量基本定理及向量共線定理即可求解.
【詳解】當點P位于B點時，過點B作，交的延長線于G，H，
則，且，
，，
所以.
故答案為：.
3．（22-23高一下·四川眉山·階段練習）已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊相交于點M，N兩點（點M，N與點B，C不重合），設，，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】根據三角形重心及加法、數乘運算得到，由向量共線的推論得，再應用基本不等式“1”的代換求目標式的最小值，注意等號成立條件.
【詳解】由題設，
又共線，如下圖，則，即，故，
而，則，

所以，
僅當，即時等號成立，
所以目標式最小值為4.
故答案為：4
4．（2023高三·全國·專題練習）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若，則2x＋2y的最大值為

【答案】
【分析】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設，，把用表示，由和的范圍，求2x＋2y的最大值.
【詳解】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，

設，則，
等邊三角形邊長為2，則外接圓半徑為，當點P為切點時, ，
∵，∴設，則，當點P為切點時, 有最大值,
，，
∴，，∴.
即2x＋2y的最大值為.
故答案為：
5．（2023高三·全國·專題練習）如圖，在中，為邊上不同于，的任意一點，點滿足.若，則的最小值為 .

【答案】/0.4
【分析】
根據題意，得，因為，，三點共線，所以，將化為的函數求最小值即可.
【詳解】
根據題意，得.
因為，，三點共線，設，則，
所以，
所以，
所以有，即，
所以，
所以當時，取得最小值.
故答案為：
6．（22-23高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得．動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，．則的取值范圍為 ．

【答案】
【分析】建立坐標系，討論，，，四種情況，求出的范圍.
【詳解】建立如圖所示的坐標系，正方形的邊長為1，則，

∵．
當時，有且，∴，∴，
當時，有且，∴，
當時，有且，∴，
當時，有且，∴，
綜上，，
故答案為：
7．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點（如圖），若在上，且，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設，,又，利用向量的坐標運算，結合三角函數的恒等變形與性質求解即可.
【詳解】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，
設，
又，
則，
，即
，
解得，
,
因為，則，
所以當時，取得最大值1，
則的最大值為.
故答案為：.
8．（23-24高一下·天津·期中）如圖，在中，與BE交于點，，則的值為 ；過點的直線分別交于點設，則的最小值為 .

【答案】 4
【分析】設，將分別代入，利用共線定理的推論列方程組求出，然后根據求解可得；將代入，根據共線可得，然后妙用“1”，利用基本不等式求解即可.
【詳解】設，令，
因為，所以，
所以，
又與分別共線，所以，解得.
因為，
所以，即，
解得，即.
因為，

所以，
所以，
因為共線，所以，
所以，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：4；.
9．（21-22高三上·河南鄭州·階段練習）如圖，在扇形中，，，點為的中點，點為曲邊區(qū)域內任一點（含邊界），若，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】建立直角坐標系，根據向量的坐標運算即可得，，進而根據線性規(guī)劃求截距最大或者根據三角換元法即可求解.
【詳解】建立平面直角坐標系如圖所示，
設，則，；
，；
由是區(qū)間內的任意點，且，
，，，
，；，，
，設，即，
用線性區(qū)域的方法，平移直到于圓弧相切，與軸相交于,
此時直線截距最大，切點就是滿足條件的點；
由于此時切線的斜率為
此時,由此，
故,因此此時，
即的最大值為，
故答案為：.
10．（22-23高三下·上海寶山·開學考試）如圖所示，，圓M與AB，AC分別相切于點D，E，AD=1，點P是圓M及其內部任意一點，且，則的取值范圍是
【答案】
【分析】建立直角坐標系，求出圓M的方程，則點P在圓M內或其圓周上，根據點P的范圍，將原問題轉化為線性規(guī)劃求 目標函數的最大值和最小值問題.
【詳解】如圖以A為原點直線AB為x軸建立直角坐標系：
由題意 ， ， ，
過點D作AB的垂線，過點E作AC的垂線，兩垂線的交點即為圓心M，在 中，
， ， ，圓M的半徑為 ；
設 ，則P點圓M內或圓周上，
，， ，由題意 ， ，
， ，即是求z的取值范圍，也就是求z的最大值和最小值，
根據幾何意義，當直線 與圓M相切時z取最值，
.此時到直線 的距離為 ，
所以z的范圍為；
故答案為：.
11．（2024高三下·全國·專題練習）如圖，平面內有三個向量，，，其中 ，，且，，若，則 .
【答案】6
【分析】連接 ,交于點,求得，法一：由平面向量基本定理得利用求得；法二：根據等高線定理求解.
【詳解】
連接 ,交于點,
則,
,
法一：由平面向量基本定理得
,
法二：根據等高線定理可得
故答案為：6
12．（22-23高二上·上海寶山·階段練習）設點在以為圓心，半徑為1的圓弧上運動（包含、兩個端點），，且，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據共線向量基本定理,設,結合條件可求得的等量關系，根據M的位置可求得的范圍，同時根據基本不等式，求得的取值范圍， 即可得的取值范圍。
【詳解】
設與相交于,且
由，，三點共線可得
即,所以
又因為
所以
即
當時，,此時
當與(或)點重合時,此時,此時
所以
由基本不等式,可得
當或時,
當x=1且y=1時，x+y=2，xy=1，則
即
【點睛】本題考查了平面向量基本定理、向量共線基本定理的綜合應用，注意向量線性運算的轉化，屬于中檔題。
13．（19-20高一上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，扇形的半徑為1，圓心角，點P在弧BC上運動，，則的最大值為 .
【答案】.
【分析】如圖所示：作平行四邊形，分別在上，故，計算得到，，，得到答案.
【詳解】如圖所示：作平行四邊形，分別在上，故.
故，設，
根據正弦定理：，，
故，，
故，
其中，當時，有最大值為.
故答案為：.
【點睛】本題考查了正弦定理和三角恒等變換的應用，意在考查學生的綜合應用能力.
14．（22-230高三上·浙江臺州·期末）如圖，已知正方形，點E，F(xiàn)分別為線段，上的動點，且，設（x，），則的最大值為 .
【答案】
【分析】設邊長為1，，建立直角坐標系，求得的坐標，根據題設用表示出，再利用函數的性質，即可求解．
【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，并設邊長為1，，
則，可得，
由，
可得，解得其中，
所以，
令，則，
當且僅當時，即時取等號，
所以的最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐標運算，以及利用基本不等式求最值的應用，其中解答中將平面向量問題坐標化，通過數形結合求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力．
15．（22-23高三·浙江·階段練習）已知，與所成角為，點P滿足，若，則的最大值為 .
【答案】
【分析】可建立如圖所示的平面直角坐標系,根據題設可得動點在圓內運動,設點,則可用的三角函數表示,進而求得最大值.
【詳解】由題,如圖建系,,,,則,,
因為,則點在以點為圓心,半徑為1的圓內（包括邊界）,
則設,
因為,所以,
所以,
因為,所以,
所以的最大值為,
故答案為:
【點睛】本題考查平面向量中基底向量的系數和的最值,考查坐標法表示向量的應用.
16．（22-23高一下·重慶萬州·期中）如圖，在中，，點在線段上移動（不含端點），若，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據題意，設，根據向量的線性運算，利用表示出，求出和，然后利用雙鉤函數的單調性求出的取值范圍.
【詳解】解：由題可知，，設，
則，
所以，
而，
可得：，
所以，
設，
由雙鉤函數性質可知，在上單調遞減，
則，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】本題考查平面向量的線性運算和平面向量的基本定理的應用，還涉及雙鉤函數的單調性，考查轉化思想和運算能力.
17．（21-22高三下·浙江杭州·階段練習）已知正三角形的邊長為2，D是邊的中點，動點P滿足，且，其中，則的最大值為 ．
【答案】/2.5
【分析】構建以為原點，為x、y軸的直角坐標系，確定相關點坐標并設且()，由向量線性關系的坐標表示列方程得到關于的三角函數式，應用正弦型函數性質求最大值.
【詳解】由題設，在以為圓心，1為半徑的圓上或圓內，
構建以為原點，為x、y軸的直角坐標系，如下圖示：
所以，，，令且()，
所以，，，
又，即，
所以，而，
則，
故當時，有最大值.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：構建直角坐標系并設且()，應用平面向量線性關系的坐標表示求得關于參數的函數式求最值.
18．（22-23高一下·湖北孝感·期中）趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設，若，則的值為 .
【答案】
【分析】根據余弦定理、正弦定理以及平面向量基本定理求得，進而求得正確答案.
【詳解】過作，交于，則，
由于，所以，
設，則，，
設，則,
則，
由于，所以在三角形中，
由余弦定理得，
所以，，
在三角形中，由正弦定理得：
，，
所以.
，
在三角形中，由正弦定理得：
，，
所以.
所以.
故答案為：
【點睛】平面向量的基本定理可以解決向量分解的問題，相當于向量線性運算.在求解幾何圖形問題的過程中，可考慮利用正弦定理或余弦定理來進行邊角轉化.
19．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習）對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能給人以美感，激發(fā)學生對數學的興趣.如圖，在菱形中，，以菱形的四條邊為直徑向外作四個半圓，是這四個半圓弧上的一動點，若，則的最大值為 .

【答案】
【分析】就和分類討論，后者可根據對稱性只需考慮在對應的半圓弧上，前者，后者，而后者可建系處理.
【詳解】連接.
若，則，
若不為零，則，這與題設矛盾，若為零，則與重合.
若，則，
設，故，且三點共線.
由對稱可知只需考慮在對應的半圓弧上.
當在對應的半圓弧上（除外）時，總在的延長線上，
故此時.

當在對應的半圓弧上，總在之間，故此時
建立如圖所示的平面直角坐標系，

則，，，
設，
當時，，而，
此時.
當時，則，
由可得，
故，
當時，.
綜上，
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：與向量的線性表示有關的最值問題中，如果考慮基底向量前系數的和的最值，則可利用三點共線構造系數和的幾何意義，這樣便于求最值.
20．（23-24高一下·安徽宿州·期中）由三角形內心的定義可得：若點為內心，則存在實數，使得.在中，，若點為內心，且滿足，則的最大值為 .
【答案】
【分析】設，根據共線向量的幾何意義和二倍角公式解答即可.
【詳解】延長交于，
設與圓相切于點，與圓相切于點，如圖所示，
則，，設，且.
因為、、三點共線，所以，
即，
因為，所以，
又因為，所以，
所以.
故答案為：

相關學案

2025高考數學專項講義第18講圓錐曲線中的極點極線問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)：

這是一份2025高考數學專項講義第18講圓錐曲線中的極點極線問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)，共70頁。學案主要包含了命題規(guī)律，備考策略，命題預測，通性通法，整體點評，名師點睛等內容，歡迎下載使用。

2025高考數學專項講義第15講導數中的極值點偏移問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)：

這是一份2025高考數學專項講義第15講導數中的極值點偏移問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)，共114頁。學案主要包含了命題規(guī)律，備考策略，命題預測，整體點評，名師點睛等內容，歡迎下載使用。

2025高考數學專項講義第11講圓錐曲線中的中點弦問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)：

這是一份2025高考數學專項講義第11講圓錐曲線中的中點弦問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)，共59頁。學案主要包含了命題規(guī)律，備考策略，命題預測，考點定位，考查意圖，通性通法，整體點評等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關學案 更多

2025高考數學專項講義第08講利用洛必達法則解決導數問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)

2025高考數學專項講義第08講利用洛必達法則解決導數問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)
2025高考數學專項講義第07講圓錐曲線中的離心率問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)

2025高考數學專項講義第07講圓錐曲線中的離心率問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)
2025高考數學專項講義第06講平面向量中的范圍與最值問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)

2025高考數學專項講義第06講平面向量中的范圍與最值問題(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)
2025高考數學專項講義第05講平面向量之極化恒等式(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)

2025高考數學專項講義第05講平面向量之極化恒等式(高階拓展、競賽適用)(學生版+解析)
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部