湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項：
1．本試卷分試題卷和答題卡.試題卷共 6 頁，有四道大題，共 19 道小題，滿分 150 分.考試時
間 120 分鐘.
2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題
卡的指定位置.
3．考生作答時，選擇題和非選擇題均須作答在答題卡上，在本試題卷上答題無效.考生在答題
卡上按答題卡中注意事項的要求答題.
4．考試結(jié)束后，將答題卡小號在上，大號在下，裝袋密封上交.
一、單選題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符
合題目要求）
1. 已知拋物線，則拋物線的焦點坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定的拋物線方程直接求出焦點坐標(biāo).
【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)是 .
故選：A
2. 已知傾斜角為的直線的方向向量為，則的值為（）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到直線的斜率，從而求出直線的方向向量.
【詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，
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又直線的方向向量為，所以 .
故選：C
3. 已知數(shù)列的前項和，則（）
A. 10 B. 6 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用第項與前項的關(guān)系求出答案.
【詳解】數(shù)列的前項和，所以 .
故選：D
4. 已知函數(shù) ，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù) 計算可得.
【詳解】因為，所以，則，
所以 .
故選：A
5. 在正項等比數(shù) 列中，若為方程的兩個實根，則
（）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】利用韋達定理求出，再利用對數(shù)運算及等比數(shù)列性質(zhì)計算得解.
【詳解】由為方程的兩個實根，得，
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在正項等比數(shù)列中，，，
所以 .
故選：B
6. 已知橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理求解即得.
【詳解】依題意，，，而，則，
在中，由余弦定理得，
所以 .
故選：C
7. 在平行六面體中，，，則異面
直線與所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取空間向量的一個基底，利用空間向量求出異面直線的夾角余弦值.
【詳解】在平行六面體中，，
，而，，
則，
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，
，
，因此，
所以異面直線與所成角的余弦值為 .
故選：A
8. 已知雙曲線的右焦點為，以點為圓心，半徑為的圓與雙曲線的一條漸
近線的兩個交點為．若，則該雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出點到漸近線的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)可得，進而求出離心率.
【詳解】由對稱性，不妨令漸近線為，右焦點，
則點到直線距離，
由，得，
所以該雙曲線的離心率 .
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故選：D
二、多項選擇題（本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的四個選項中，有多項
符合題目要求.全部選對得 6 分，部分選對得部分分，有選錯的得 0 分）
9. 已知公差為的等差數(shù)列，其前項和為，且，則下列說法正確的為（）
A. B. 為等差數(shù)列
C. 當(dāng) 取得最小值時， D. 為遞減數(shù)列
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前項和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得，再逐項分析
判斷.
【詳解】在等差數(shù)列中，，
則，，公差，
對于 A，，A 錯誤；
對于 B，，則，，
為等差數(shù)列，B 正確；
對于 D，由，得為遞增數(shù)列，D 錯誤；
對于 C，數(shù)列前 6 項都為負，從第 7 項起都為正，因此當(dāng) 取得最小值時，，C 正確.
故選：BC
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10. 已知直線與圓，則下列說法正確的是（）
A. 直線恒過定點
B. 當(dāng)直線與圓相切時，切線方程是
C. 當(dāng) 時，圓上恰有四個點到直線的距離等于
D. 圓上的一點到直線的最大距離是
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直線所過定點判斷 A；由直線與圓相切判斷 B；求出圓心到直線距離判斷 CD.
【詳解】對于 A，直線恒過定點，A 正確；
對于 B，圓的圓心，半徑，點到直線的距離為 2，
即直線過點與圓相切，因此直線可以是，B 錯誤；
對于 C，當(dāng) 時，直線，點到此直線距離為，
因此圓上恰有四個點到直線的距離等于，C 正確；
對于 D，點到直線距離的最大值為，
因此圓上的一點到直線的最大距離是，D 正確.
故選：ACD
11. 在棱長為 2 的正方體中，點是線段上的動點，點是線段的中點．則下
列說法正確的是（）
A. 若點是的中點，則過、、三點的正方體的截面的周長是
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B. 三棱錐的體積是定值
C. 直線與平面所成的線面角的正弦值是
D. 異面直線與所成的角的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】做出截面，求出截面周長，即可判斷 A，根據(jù)錐體的體積公式判斷 B，建立空間直角坐標(biāo)系，利用
空間向量法判斷 C、D.
【詳解】對于 A：連接、，取的中點，連接、，
則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
又且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以，所以四點共面，則截面周長為，故 A 正確；
對于 B：，即三棱錐的體積是定值，故 B 正確；
對于 C、D：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
設(shè) ，
所以，又平面的法向量為，
設(shè)直線與平面所成的線面角為，則，故 C 錯誤；
因為，，設(shè)異面直線與所成的角為，
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則，
所以當(dāng) 時，，又，所以，
即異面直線與所成的角的最大值是，故 D 正確.
故選：ABD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題 C、D 選項的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法定量計算.
三、填空題（本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分）
12. 已知圓，圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】將兩圓相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程.
【詳解】設(shè)兩圓交點為，，
則兩點坐標(biāo)是方程組的解，
兩式相減得，即，
所以兩點坐標(biāo)均滿足此方程，
所以即為兩圓的公共弦所在直線的方程，
故答案為：
13. 已知拋物線，過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，則
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______．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出直線與軸交點坐標(biāo)，即可得到拋物線方程，再設(shè) ，，聯(lián)立直線與
拋物線方程，消元、列出韋達定理，再由焦點弦公式計算可得.
【詳解】直線過點，又拋物線的焦點坐標(biāo)為，
所以，解得，所以拋物線，設(shè) ，，
由，消去可得，顯然，
所以，則 .
故答案為：
14. 任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘 3 再加上 1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以 2．反復(fù)進行上述兩種
運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷
猜想”等）．如取正整數(shù) ，根據(jù)上述運算法則得出，共需經(jīng)
過 8 個步驟變成 1（簡稱為 8 步“雹程”）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：
（為正整數(shù)），，若，記數(shù)列的前項和為，則 ______
．
【答案】4725 或 4746
【解析】
【分析】根據(jù)給定的運算法則，逆推進出前 4 項，再結(jié)合數(shù)列周期性求出 .
【詳解】由，得，或，
若，則數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為 3，
因此；
若，則數(shù)列去掉前 3 項后是周期數(shù)列，其周期為 3，
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因此 .
故答案為：4725 或 4746
【點睛】思路點睛：由“角谷猜想”的運算法則，利用逆推的方法求出前 4 項，再利用周期性求和.
四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 已知圓經(jīng)過三點．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過點且被圓截得的弦長為 2 的直線的方程．
【答案】（1）；
（2）或 .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件，聯(lián)立方程組，求出圓一般方程，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進行分類討論，再根據(jù)圓的弦長公式，即可求得斜率，從而得到直線方程.
【小問 1 詳解】
設(shè)圓的一般方程為，將三點坐標(biāo)代入得：
，解得
所以圓的一般方程為：，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： .
【小問 2 詳解】
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為：，
此時直線與圓有兩個交點，則被圓截得的弦長為 2，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，即：
由（1）圓心，圓心 C 到直線的距離為，
由得：，解之得
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所以直線的方程為：，即：
綜上所述，直線的方程為：或 .
16. 已知函數(shù) （為常數(shù)）在處的切線與直線垂直．
（1）求的值；
（2）已知點是函數(shù) 圖象上的一點，求點到直線的距離的最小值．
【答案】（1）2. （2）；
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，利用切線與已知直線垂直求出的值.
（2）由（1）求出函數(shù) ，平移直線與曲線相切，求出切點坐標(biāo)，再利用點到直線距離
求出最小值.
【小問 1 詳解】
函數(shù) 的定義域為，求導(dǎo)得，則，
由曲線在處的切線與直線垂直，得，
所以的值是 2.
【小問 2 詳解】
由（1）知，，平移直線與函數(shù) 的圖象相切，設(shè)切點為，
則切線的斜率，解得，切點為，
所以點到直線的距離的最小值為 .
17. 如圖，四棱錐中，平面，，，
，，點為線段上靠近的三等分點．
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（1）求證：平面平面；
（2）求平面和平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合余弦定理，利用線面垂直的性質(zhì)判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出面面角的余弦值.
【小問 1 詳解】
在四棱錐中，，
由余弦定理，得，
則，而，則，，
由平面平面，得，又平面，
因此平面，又平面，所以平面平面 .
【小問 2 詳解】
由（1）知，直線兩兩垂直，以原點，直線分別為軸建立空間直角坐
標(biāo)系，
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則，，
顯然平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，得，
設(shè)平面和平面夾角，，
所以平面和平面夾角的余弦值 .
18. 已知正項數(shù)列的前項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，數(shù)列的前項和為．求證：．
【答案】（1）
（2）證明見詳解.
【解析】
【分析】（1）由與的關(guān)系，及等差數(shù)列通項公式即可求；
（2）由（1）求出，利用裂項相消法求，即可證明.
【小問 1 詳解】
由題意，當(dāng) 時，，解得或，
因為，所以，
由得，
兩式相減得，
整理得，因為，
所以，
所以數(shù)列是首項為 6，公差為 4 的等差數(shù)列，
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所以 .
【小問 2 詳解】
由（1）可知，，
所以，
所以
.
因為，所以，
所以，即 .
19. 已知雙曲線為雙曲線的左、右焦點，漸近線方程為，
點為雙曲線在第一象限上的一點，且的面積為．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）、為雙曲線的左右頂點，直線上一點，以為圓心，半徑為的圓與直線交于
兩點，直線、與雙曲線分別交于另一點、．
①證明：為定值；
②探究：直線是否恒過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．
【答案】（1）
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（2）①證明見解析；②直線恒過定點，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由漸近線方程得到，再由余弦定理、三角形面積公式及雙曲線的定義得到方程組，
求出，，即可得解；
（2）①設(shè) ，即可表示出、的坐標(biāo)，再由斜率公式計算可得；②設(shè)直線的方程為
，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，根據(jù) ，
求出、的關(guān)系，即可得解.
【小問 1 詳解】
雙曲線的漸近線為，
設(shè) ，由漸近線方程為，所以，則，
由，在中由余弦定理可得，
又點為雙曲線在第一象限上的一點，所以，
即，所以，
又的面積為，即，所以，
又，解得，，
所以雙曲線方程為；
【小問 2 詳解】
①由（1）可得、，
設(shè) ，則，所以，，
所以，，
所以，即為定值；
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②直線恒過定點，理由如下：
設(shè) ，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由，可得，
顯然且，則，，
所以，
又，
，
所以，即，所以，
即直線的方程為，所以直線恒過點 .
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再
根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
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