1.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,σ2)，且P(X8，則曲線C為橢圓D. 若曲線C為雙曲線，則20)與雙曲線C2：x2m2?y2n2=1(m>0,n>0)有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P，且PF1⊥PF2，記C1，C2的離心率分別為e1，e2.下列結(jié)論正確的是( )
A. 若|PF1|= 7+1，|PF2|= 7?1，則e2=2
B. 若e1=2 77，則e2=2
C. e1e2的最小值為1
D. 記△F1PF2的內(nèi)心為I，C2的右頂點(diǎn)為E，則IE⊥x軸
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.有10件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中任取3件，若X表示取得次品的個數(shù)，則E(2X+1)= ______．
13.已知曲線G：x|x|+y|y|=4，O為坐標(biāo)原點(diǎn).給出下列四個結(jié)論：
①曲線G關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形；
②經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與曲線G有且僅有一個公共點(diǎn)；
③直線l：x+y=2與曲線G所圍成的圖形的面積為π?2；
④設(shè)直線l：y=kx+2，當(dāng)k∈(?1,0)時，直線l與曲線G恰有三個公共點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號是______．
14.四面體P?ABC中，PA= 3，其余棱長都為2，動點(diǎn)Q在△ABC的內(nèi)部(含邊界)，設(shè)∠PAQ=α，二面角P?BC?A的平面角的大小為β，△APQ和△BCQ的面積分別為S1，S2，且滿足S1S2=3sinα4sinβ，則Q到BC的最
大距離為______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
如圖，過圓x2+y2=2外一點(diǎn)P(4,2)向圓引切線．
(1)求過點(diǎn)P的圓的切線方程；
(2)若切點(diǎn)為P1，P2，求過切點(diǎn)P1，P2的直線方程．
16.(本小題12分)
2023年，5月18日至19日，中國?中亞峰會在陜西省西安市舉辦.多家外媒積極評價(jià)，認(rèn)為這次峰會非常重要，中亞國家正在深化合作，共同致力于實(shí)現(xiàn)各國人民和平與繁榮.報(bào)道中指出“中國?中亞峰會致力于發(fā)展新能源綠色經(jīng)濟(jì)，符合中亞國家共同利益.”新能源汽車、電動汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，為了解某一地區(qū)電動汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到表格如表：
(1)求電動汽車產(chǎn)值y(億元)關(guān)于(x月份)的線性回歸方程；
(2)該機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100位購車車主的性別與購車種類，其中購買非電動汽車的男性45人，女性35人；購買電動汽車的男性5人，女性15人.請問是否有95%的把握認(rèn)為是否購買電動汽車與性別有關(guān).(參考公式如表)
①i=15(xi?x?)(yi?y?)=59；②b =i=1n(xi?x?)(yi?y?)i=1n(xi?x?)2；③K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
17.(本小題12分)
在三棱錐P?ABC中，PB=PC=3，BC=2，AB=AC= 3，AD=λAC，λ∈(0,1)．
(1)如圖一，G為△ABC的重心，若DG//平面PAB，求λ的值；
(2)如圖二，當(dāng)λ=12，且二面角P?BC?A的余弦值為?14時，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小題12分)
某學(xué)校組織游戲活動，規(guī)則是學(xué)生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個球，每次摸球結(jié)果相互獨(dú)立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為23，摸到2分球的概率為13．
(1)學(xué)生甲和乙各摸一次球，求兩人得分相等的概率；
(2)若學(xué)生甲摸球2次，其總得分記為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望；
(3)學(xué)生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎勵；若不同，則得分多者獲得獎勵.已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎勵的概率．
19.(本小題12分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A1和A2，離心率為 32，且經(jīng)過點(diǎn)P(?2, 3)，過點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H.在x軸上存在一點(diǎn)A(異于H)，使得|AA2||AA1|=|HA2||HA1|．
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)判斷直線AP與橢圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(Ⅲ)過點(diǎn)A作一條垂直于x軸的直線l，在l上任取一點(diǎn)T，直線TA1和直線TA2分別交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，證明：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)．
參考答案
1.D
2.A
3.A
4.B
5.D
6.C
7.D
8.B
9.AD
10.BCD
11.ABD
12.175
13.①③④
14.4 3?6
15.解：(1)設(shè)過點(diǎn)P的圓的切線方程為y?2=k(x?4)，x2+y2=2的圓心為(0,0)，半徑為 2；
則d=|4k?2| 1+k2= 2，解得k=1或k=17，
故切線方程為x?7y+10=0或x?y?2=0．
(2)解法1：將切線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組，由x2+y2=2x?y?2=0，可得x=1y=?1，
由x2+y2=2x?7y+10=0，可得x=?15y=75，
即P1(?15,75)和P2(1,?1)，
故過切點(diǎn)P1，P2的直線方程為y+175+1=x?1?15?1，整理得2x+y?1=0．
解法2：因?yàn)镺，P1，P，P2四點(diǎn)共圓，
所以P1，P2在以O(shè)P為直徑的圓上，圓心為(2,1)，半徑為12 42+22= 5，
即方程為(x?2)2+(y?1)2=5
與已知圓x2+y2=2相減，得過切點(diǎn)P1，P2的直線方程為2x+y?1=0．
16.解：(1)設(shè)所求回歸直線方程為y =a +b x，
∵x?=1+2+3+4+55=3，y?=16+20+23+31+405=26，
∴b =i=1n(xi?x?)(yi?y?)i=1n(xi?x?)2=5912+22+22+12=5910=5.9，
∴a =y??b x?=26?5.9×3=8.3，
故電動汽車產(chǎn)值y(億元)關(guān)于(x月份)的線性回歸方程為y =5.9x+8.3；
(2)根據(jù)題意，得2×2列聯(lián)表如下：
K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=(45×15?5×35)2×10050×50×80×20=6.25>3.841，
故有95%的把握認(rèn)為是否購買電動汽車與性別有關(guān)．
17.解：(1)連接CG并延長與PB交于點(diǎn)E，連接AE，

所以平面CAE∩平面PAB=AE，
因?yàn)镈G//平面PAB，DG?平面ACE，
所以DG//AE，
又因?yàn)镚為△PBC的重心，所以CG=23CE，
所以CD=23CA，
所以AD=13AC，即λ=13；
(2)設(shè)O為BC的中點(diǎn)，連接AO，
因?yàn)镻B=PC，AB=AC，所以BC⊥AO，BC⊥PO，
又AO∩PO=O，所以BC⊥平面PAO，又BC?平面ABC，
所以平面PAO⊥平面ABC，
過點(diǎn)O在平面PAO內(nèi)作AO的垂線OZ，如圖所示，
分別以O(shè)A，OC，OZ為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

所以A( 2,0,0)，C(0,1,0)，B(0,?1,0)，
因?yàn)棣?12，所以D( 22,12,0)，
由題意知，∠POA是二面角P?BC?A的平面角，
又二面角P?BC?A的余弦值為?14，OP=2 2，OA= 2，
取△POA的平面圖，設(shè)∠POE=θ，

則sinθ=sin(∠AOP?π2)=?cs∠AOP=14，
csθ=cs(∠AOP?π2)=sin∠AOP= 154，
故PE=2 2×14= 22，OE=2 2× 154= 302，
所以P(? 22,0, 302)，
所以PD=( 2,12,? 302)，OP=(? 22,0, 302)，OC=(0,1,0)，
設(shè)平面PBC的一個法向量為n=(x,y,z)，
所以n?OP=0n?OC=0，所以? 22x+ 302z=0y=0，
令z=1，可得n=( 15,0,1)，
設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為θ，
sinθ=|cs|=| 30? 302|4× 392= 13052，
即直線PD與平面PBC所成角的正弦值為 13052．
18.(1)解：由題意，摸到1分球的概率為23，摸到2分球的概率為13，
若學(xué)生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，則甲乙同時摸到1分球或2分球，
所以兩人得分相等的概率為P=23×23+13×13=59．
(2)解：由題意知，學(xué)生甲摸球2次的總得分X的可能取值為2，3，4，
可得P(X=2)=23×23=49,P(X=3)=C21×23×13=49,P(X=4)=13×13=19，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：
所以，期望為E(X)=2×49+3×49+4×19=83．
(3)解：記Am=甲最終得分為m分，其中m=8，9，10，B=乙獲得獎勵，
可得P(A9)=C21×23×13=49,P(A8)=C22×23×23=49，
當(dāng)甲的最終得分為9分時，乙獲得獎勵需要最終得分為10分，
則P(B|A9)=C55(13)5=(13)5；
當(dāng)甲最終得分為8分時，乙獲得獎勵需要最終得分為10分或9分，
則P(B|A8)=C55(13)5+C51×23×(13)4=11×(13)5，
所以P(B)=P(B|A9)+P(B|A8)=P(A9)P(B|A9)+P(A8)P(B|A8)=49×(13)5+49×11×(13)5=16729，
所以乙獲得獎勵的概率為16729．
19.解：(Ⅰ)因?yàn)闄E圓C的離心率為 32，
所以e2=1?b2a2=34，①
又點(diǎn)P在橢圓C上，
所以4a2+3b2=1，②
聯(lián)立①②，
解得a2=16b2=4，
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y24=1；
(Ⅱ)不妨設(shè)A(x,0)，
因?yàn)锳A2：AA1=HA2：HA1，
所以|x?4||x+4|=62，
解得x=?8，
此時A(?8,0)，
可得直線AP的方程為y= 36(x+8)，
聯(lián)立y= 36(x+8)x216+y24=1，消去y并整理得x2+4x+4=0，
解得x=?2，
故直線AP與橢圓C相切；
(Ⅲ)證明：不妨設(shè)T(?8,t)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
因?yàn)門，M，A1三點(diǎn)共線，
所以y1x1+4=?t4，
因?yàn)門，N，A2三點(diǎn)共線，
所以y2x2?4=?t12，
可得y1(x2?4)y2(x1+4)=3，
因?yàn)閤216+y24=1，
所以y12x12?16=y12(x1+4)(x1?4)=?14，
整理得(x1?4)(x2?4)y1y2=?12，
即x1x2?4(x1+x2)+12y1y2+16=0，
不妨設(shè)直線MN的方程為x=my+n，
此時(m2+12)y1y2+(mn?4m)(y1+y2)+n2?8n+16=0，
聯(lián)立x=my+nx216+y24=1，消去x并整理得(m2+4)y2+2mny+n2?16=0，
由韋達(dá)定理得y1+y2=?2mnm2+4，y1y2=n2?16m2+4，
所以n2?2n?8=0，
解得n=?2或n=4(舍去)．
故直線MN經(jīng)過定點(diǎn)(?2,0)． 月份
6月
7月
8月
9月
10月
月份代碼x
1
2
3
4
5
產(chǎn)值y(億元)
16
20
23
31
40
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
性別
購買非電動汽車
購買電動汽車
合計(jì)
男性
45
5
50
女性
35
15
50
合計(jì)
80
20
100
X
2
3
4
P
49
49
19

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