考點(diǎn)01：函數(shù)圖象的識(shí)別
1．（ 2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取特值排除即可.
【詳解】因?yàn)?，故A、C錯(cuò)誤；
又因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；
故選：D.
2．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通過函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，排除法得到正確答案．
【詳解】記，其定義域?yàn)椋?br>所以，
所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B、D，
，故C錯(cuò)誤，A正確．
故選：A．
3．函數(shù)的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，
對(duì)任意，，
所以，
所以的定義域?yàn)椋?br>，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
令，
可得，即，
所以，可得，
由可得，解得，
所以的定義域?yàn)椋?br>又，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，
則，，
所以，排除A選項(xiàng).
故選：C
4．函數(shù)的圖像大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】通過分析的奇偶性，在上的單調(diào)性，結(jié)合上函數(shù)值的正負(fù)性可排除不符合題意的選項(xiàng)，即可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，故排除A；
注意到，則為奇函數(shù)，故可排除B；
又注意到時(shí)，，故可排除D.
故選：C
5．函數(shù)的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷BC錯(cuò)誤，再由函數(shù)自變量趨向正無窮大時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)判斷AD.
【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>且，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故BC錯(cuò)誤；
當(dāng)趨向正無窮時(shí)，顯然的分子增長(zhǎng)快于分母增長(zhǎng)，趨向正無窮，故A正確B錯(cuò)誤.
故選：A
考點(diǎn)02：函數(shù)圖象的變換
6．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，所得圖象的函數(shù)解析式是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律可得答案.
【詳解】把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得函數(shù)，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象.
故答案為：
7．（ 2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可知 圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，由 的圖像即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所?圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，
由解析式，作出的圖像如圖
從而可得圖像為B選項(xiàng).
故選：B.
8．利用函數(shù)的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象．
(1)；
(2)
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)圖象見詳解
(2)圖象見詳解
(3)圖象見詳解
(4)圖象見詳解
(5)圖象見詳解
(6)圖象見詳解
【分析】先作出函數(shù)的圖象，
（1）把的圖象關(guān)于軸對(duì)稱即可得到的圖象；
（2）保留圖象在軸右邊部分，去掉軸左側(cè)的，并把軸右側(cè)部分關(guān)于軸對(duì)稱即可得到的圖象；
（3）把圖象向下平移一個(gè)單位即可得到的圖象；
（4）結(jié)合（3），保留上方部分，然后把下方部分關(guān)于軸翻折即可得到的圖象；
（5）把圖象關(guān)于軸對(duì)稱即可得到的圖象；
（6）把的圖象向右平移一個(gè)單位得到的圖象．
【詳解】（1）把的圖象關(guān)于軸對(duì)稱得到的圖象，如圖，

（2）保留圖象在軸右邊部分，去掉軸左側(cè)的，并把軸右側(cè)部分關(guān)于軸對(duì)稱得到的圖象，如圖，

（3）把圖象向下平移一個(gè)單位得到的圖象，如圖，

（4）結(jié)合（3），保留上方部分，然后把下方部分關(guān)于軸翻折得到的圖象，如圖，

（5）把圖象關(guān)于軸對(duì)稱得到的圖象，如圖，

（6）把的圖象向右平移一個(gè)單位得到的圖象，如圖，

9．要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移1個(gè)單位B．向右平移1個(gè)單位
C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)解析式說明圖象平移過程即可.
【詳解】由向右平移個(gè)單位，則.
故選：D
10．已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先由函數(shù)的圖象變換得到偶函數(shù)的圖象，再根據(jù)平移變換得到的圖象.
【詳解】在軸左側(cè)作函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，得到偶函數(shù)的圖象，
向左平移一個(gè)單位得到的圖象.
故選：A.
11．已知函數(shù)，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)對(duì)稱性分析可得函數(shù)有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心，結(jié)合圖象變換分析判斷.
【詳解】由題意可得：，
因?yàn)?br>，
若為定值，
則，解得，此時(shí)，
所以函數(shù)有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心.
對(duì)于選項(xiàng)A：有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心為，不合題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心為，符合題意，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心為，不合題意，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心為，不合題意，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
考點(diǎn)03：根據(jù)實(shí)際問題作函數(shù)圖象
12．直角梯形如圖，直線左邊截得面積的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖形的面積求得的表達(dá)式，進(jìn)而確定正確答案.
【詳解】直線的方程為，
當(dāng)，.
當(dāng)時(shí)，.
所以，
對(duì)應(yīng)的圖象為C選項(xiàng).
故選：C
13．“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn).用s1，s2分別表示烏龜和兔子經(jīng)過的路程，t為時(shí)間，則與故事情節(jié)相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷關(guān)于的函數(shù)的性質(zhì)以及其圖象.
【詳解】由題意可得始終是勻速增長(zhǎng),開始時(shí), 的增長(zhǎng)比較快,但中間有一段時(shí)間停止增長(zhǎng)，
在最后一段時(shí)間里, 的增長(zhǎng)又較快,但的值沒有超過的值,結(jié)合所給的圖象可知，B選項(xiàng)正確;
故選：B.
14．某同學(xué)騎自行車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因紅燈停留了一段時(shí)間，然后加快速度趕到了學(xué)校.下列各選項(xiàng)中，符合這一過程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意判斷這位同學(xué)與學(xué)校的距離的變化趨勢(shì)，即可判斷出答案.
【詳解】因?yàn)殚_始時(shí)是勻速行駛，所以這位同學(xué)離學(xué)校的距離勻速減少，
途中停留一段時(shí)間，故此段時(shí)間內(nèi)這位同學(xué)與學(xué)校的距離不變，
然后加快速度趕到了學(xué)校，所以這位同學(xué)與學(xué)校的距離減少的幅度越來越快，
故符合這一過程的是B中圖象.
故選：B.
15．某校航模小組進(jìn)行無人機(jī)飛行測(cè)試，從某時(shí)刻開始15分鐘內(nèi)的速度（單位：米/分鐘）與飛行時(shí)間（單位：分鐘）的關(guān)系如圖所示.若定義“速度差函數(shù)”（單位：米/分鐘）為無人機(jī)在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則的圖像為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖像分析，即可得到答案
【詳解】由題圖知,當(dāng)時(shí), 無人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng),,“速度差函數(shù)”;
當(dāng)時(shí), 無人機(jī)做勻減速運(yùn)動(dòng),速度從160開始下降,一直降到80,“速度差函數(shù)”;
當(dāng)時(shí), 無人機(jī)做勻減速運(yùn)動(dòng), 從80開始下降, ,“速度差函數(shù)”;
當(dāng)時(shí)無人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng),“速度差函數(shù)”.
所以函數(shù)在和兩個(gè)區(qū)間上都是常數(shù).
故選：C
16．如圖，點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過的路程設(shè)為，面積設(shè)為，則函數(shù)的圖象只可能是下圖中的（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在上時(shí)求得函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)來判斷.
【詳解】當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)：；
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)：
；
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)：，
所以，
由函數(shù)解析式可知，有三段線段，又當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)是減函數(shù)，故符合題意的為A.
故選：A
17．如圖，在直角梯形OABC中，已知，且，梯形被直線截得位于直線l左方圖形的面積為S．

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)畫出函數(shù)的圖象．
【答案】(1)；
(2)圖像見解析
【分析】（1）對(duì)分情況討論，即可求解面積，
（2）由分段函數(shù)的解析式，結(jié)合基本函數(shù)的圖形性質(zhì)，即可畫出圖象.
【詳解】（1）由題意可知：線段的方程為，
當(dāng)時(shí)，直線與梯形沒有圍成面積，此時(shí)
當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與線段相截，所以,
當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與線段相截,所以，
當(dāng)時(shí)，,
綜上：
（2）由可得：

考點(diǎn)04：確定零點(diǎn)所在區(qū)間
18．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性判斷其零點(diǎn)所在區(qū)間.
【詳解】因?yàn)?，，單調(diào)遞增，
故的零點(diǎn)所在區(qū)間為，其他選項(xiàng)均不合題意.
故選：A
19．已知函數(shù)，則的零點(diǎn)存在于下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】∵，
∴，
∴，
又與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為．
故選：B.
20．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間（取整數(shù)）是_________．
【答案】
【分析】先根據(jù)題意得出函數(shù)的定義域與單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理，即可得出答案.
【詳解】由題意，得的定義域?yàn)?，易知函?shù)和在均為增函數(shù)，
所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，?br>所以由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.
故答案為：.
21．若是方程的解，則在區(qū)間________內(nèi)(填序號(hào)).
①；②；③；④.
【答案】③
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理即可判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，即方程的根所在區(qū)間.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，，
顯然函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，且連續(xù)不間斷，故其有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
，，則函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，
所以的解在區(qū)間上．
故答案為： ③．
考點(diǎn)05：函數(shù)的零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)
22．已知，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為__________．
【答案】2
【分析】分別作出和的圖象，結(jié)合圖象即可得到答案．
【詳解】由，則，
則令，，
分別作出它們的圖象如下圖所示，

由圖可知，有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為2．
故答案為：2．
23．已知函數(shù)，則關(guān)于的方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．5C．3D．2
【答案】A
【分析】由解得或2，再畫出，，的圖象數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)?，解之得?，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，，的圖象如圖：
由圖可知使得或的點(diǎn)有4個(gè).
故選：A.
24．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖像，利用換元法令，可知；結(jié)合函數(shù)圖像及解析式可求得的值，再結(jié)合圖像即可確定方程解的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【詳解】函數(shù)，
對(duì)，令，令，
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且趨向負(fù)無窮時(shí)，，時(shí)，，
故結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，可畫出函數(shù)圖像如下圖所示：
函數(shù)的零點(diǎn)，即，令，代入可得，
由圖像可知，即，
結(jié)合函數(shù)圖像可知，有1個(gè)解，
綜合可知，函數(shù)的零點(diǎn)有1個(gè)，
故選：A.
25．方程的解的個(gè)數(shù)是________．
【答案】7
【分析】根據(jù)題意可知，在同一坐標(biāo)系下分別畫出和的圖象，找出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由正弦函數(shù)值域可得，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；
所以，分別畫出和在上的圖象如下圖所示：

根據(jù)圖像并根據(jù)其對(duì)稱性可知，在上兩函數(shù)圖象共有7個(gè)交點(diǎn)；
由函數(shù)與方程可知，方程有7個(gè)解.
故答案為：7
26．已知函數(shù)滿足.當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.
【答案】160
【分析】由條件先得出函數(shù)的最小正周期為3，解方程得上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由周期即可確定在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，
所以，所以的最小正周期為3，
當(dāng)時(shí)，令，
解得或，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).
故答案為：160.
考點(diǎn)06：二分法的應(yīng)用
27．（多選）關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)，下列說法正確的是：（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
A．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1
B．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2
C．用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解可取為（精確到）
D．用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解可取為（精確到）
【答案】AC
【分析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，確定函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二分法即可求出零點(diǎn)所在區(qū)間.
【詳解】解：易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，
取區(qū)間中點(diǎn)，則，
所以函數(shù)在上有零點(diǎn)，
取區(qū)間中點(diǎn)，則，
所以函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，
取區(qū)間中點(diǎn)，則，
所以函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，
又精確到的近似值都是，
所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解為，
故選：AC.
28．用“二分法”研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，可知必存在零點(diǎn)，則第二次應(yīng)計(jì)算__________，這時(shí)可以判斷零點(diǎn)__________．
【答案】
【分析】根據(jù)二分法的原理，第二次應(yīng)計(jì)算，再由零點(diǎn)存在性定理可得所在區(qū)間.
【詳解】因?yàn)榈谝淮斡?jì)算，可知必存在零點(diǎn)，
又，，
由零點(diǎn)存在性定理可知.
故答案為：；
29．人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題．牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．這種求方程根的方法，在科學(xué)界已被廣泛采用．例如求方程的近似解，先用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，令，，，得上存在零點(diǎn)，取，牛頓用公式反復(fù)迭代，以作為的近似解，迭代兩次后計(jì)算得到的近似解為______；以為初始區(qū)間，用二分法計(jì)算兩次后，以最后一個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為方程的近似解，則近似解為______．
【答案】
【分析】第一空，理解消楚“迭代”的含義，實(shí)際上是一個(gè)遞推數(shù)列，反復(fù)代入給定的表達(dá)式，計(jì)算即可；第二空，根據(jù)二分法依次取區(qū)間中點(diǎn)值計(jì)算即可.
【詳解】已知，則．
迭代1次后，；
選代2次后，；
用二分法計(jì)算第1次，區(qū)間的中點(diǎn)為，，，所以近似解在區(qū)間上；
用二分法計(jì)算第2次，區(qū)間的中點(diǎn)為，，，所以近似解在區(qū)間上，取其中點(diǎn)值，
故所求近似解為．
故答案為：，
30．若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過0.25，則函數(shù)可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可先對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的零點(diǎn)求值，再用二分法進(jìn)一步判斷的零點(diǎn)區(qū)間，即可求解
【詳解】對(duì)A，的零點(diǎn)為；
對(duì)B，的零點(diǎn)為；
對(duì)C，的零點(diǎn)為；
對(duì)D，的零點(diǎn)為；
，，，
故零點(diǎn)在之間，再用二分法，取，，，故的零點(diǎn)，
由題的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過0.25，則只有的零點(diǎn)符合；
故選：B
考點(diǎn)07：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍
31．函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分析可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，利用零點(diǎn)存在定理可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.
當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)、在上均為增函數(shù)，
此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù).
當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)、在上均為減函數(shù)，
此時(shí)函數(shù)在上為減函數(shù).
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則，
即，解得.
故選：D.
32．函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可得，解出實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【詳解】由零點(diǎn)存在定理可知，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，
顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足，即，
解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D
33．方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)在區(qū)間端點(diǎn)的正負(fù)列式求解即可.
【詳解】考查，因?yàn)?，且開口向上，
故在區(qū)間上最多有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，若方程在區(qū)間上有解，
則，即，解得.
故答案為：
34．設(shè)常數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)在時(shí)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】由函數(shù)在時(shí)有零點(diǎn)，則，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出即可得解.
【詳解】解：令，
則，
因?yàn)?，所以，則，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
35．若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點(diǎn)的意義轉(zhuǎn)化為求方程根的問題，再分類討論求解作答.
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，
當(dāng)時(shí)，方程化為：，當(dāng)時(shí)，方程化為：，
依題意，方程有3個(gè)不等的負(fù)根，而方程兩根之積為負(fù)，必有一正根一負(fù)根，
于是得在上有一個(gè)負(fù)根，在上有兩個(gè)相異負(fù)根，因此，即，
由在上有兩個(gè)相異負(fù)根得，，解得，
在中，，即方程在上有且只有一個(gè)負(fù)根，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：
36．已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________________．
【答案】
【分析】把函數(shù)兩點(diǎn)零點(diǎn)都在轉(zhuǎn)化為函數(shù)值正負(fù),列不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在內(nèi)，
所以即
解得，所以的取值范圍為
故答案為:
考點(diǎn)08：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍
37．若函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，則m取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)方程的根即可求解和時(shí)的根，由不等式即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)無零點(diǎn)，符合題意，
當(dāng)時(shí)，令，則，故或,解得或，
綜上可知在區(qū)間上無零點(diǎn)，則，
故選：D
38．已知函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性得到函數(shù)解析式，變換得到，考慮和兩種情況，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到，解得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，；
故時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即.
，即，，
畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

當(dāng)時(shí)，最多有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即，.
綜上所述：.
故答案為：.
39．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解作答.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)值集合是，
當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，函數(shù)值集合是，
關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，
即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
在坐標(biāo)系內(nèi)作出直線和函數(shù)的圖象，如圖，

觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線和函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
40．（多選）設(shè)函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．的取值與無關(guān)D．的最小值為10
【答案】AD
【分析】根據(jù)題意分析可得：原函數(shù)的4個(gè)零點(diǎn)可表示為直線與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象以及基本不等式逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】令，可得：
當(dāng)時(shí)，即，可得；
當(dāng)時(shí)，即，可得，；
當(dāng)時(shí)，即，可得，.
原函數(shù)的4個(gè)零點(diǎn)可表示為直線與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
對(duì)于選項(xiàng)A、C：如圖所示，是方程的兩個(gè)解，
根據(jù)韋達(dá)定理可得：，即可知選項(xiàng)A成立，選項(xiàng)C不成立；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，結(jié)合圖象可得，即可知選項(xiàng)B不成立；
對(duì)于選項(xiàng)D：其中，
則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，
綜上所述：的最小值為10，選項(xiàng)D成立.
故選：AD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍的方法
（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解；
（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．
41．已知函數(shù)，則的最小值是________，若關(guān)于的方程有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則整數(shù)的一個(gè)取值為________.
【答案】 1（答案不唯一，即可）
【分析】分段函數(shù)分別計(jì)算兩段的最小值，得到函數(shù)的最小值；方程有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,即函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合解決.
【詳解】當(dāng)時(shí)， ，
易知當(dāng)時(shí)，有最小值；
當(dāng)時(shí)，，
由，得，則，此時(shí)最小值為；
綜上：函數(shù)的最小值為.
因?yàn)榉匠逃星覂H有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,即函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
作出函數(shù)的圖像，由于a為整數(shù)，如圖所示，只有函數(shù)和的圖像與函數(shù)的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以整數(shù)a的取值可以為中的一個(gè).
故答案為：；1（答案不唯一，即可）
42．已知函數(shù)若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個(gè)交點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合即可解答.
【詳解】
依題意，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即有四個(gè)解，
轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個(gè)交點(diǎn)，
由函數(shù)函數(shù)可知，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；
結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
考點(diǎn)09：求零點(diǎn)的和
43．若函數(shù)是奇函數(shù)，其零點(diǎn)分別為，且，則關(guān)于x的方程的根所在區(qū)間是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可求得m的值，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可判斷方程的根所在區(qū)間.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，不妨設(shè)為從左往右依次排列，
所以與, 與,，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 ，
所以，則關(guān)于x的方程即為，
令 ，
則在R上連續(xù)且遞增，
因?yàn)?，?br>所以關(guān)于x的方程的根所在區(qū)間是，
故選：A.
44．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解且，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題意作函數(shù)與的圖象，從而可得，，從而得到結(jié)果.
【詳解】由題意作函數(shù)與的圖象，
∵方程有四個(gè)不同的解且，
∴關(guān)于對(duì)稱，即，
當(dāng)?shù)没?，則，
由題知，，故，
所以，
故，
因?yàn)椋?br>設(shè)，則由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，
在單調(diào)遞增，所以，
的取值范圍是
故選：B.
45．已知是定義在區(qū)間的函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)是___________；若方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，，則___________.
【答案】 2，8 20
【分析】解方程，即可求得函數(shù)的零點(diǎn)；將方程四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得結(jié)論；
【詳解】由題意可知，令，即，解得或，
故函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)為和；
方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，
即為與的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
方程即，，即，
當(dāng)即時(shí)，方程可轉(zhuǎn)化為即；
當(dāng)時(shí)，方程可轉(zhuǎn)化為即；
故要有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則兩種情況都有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
不妨設(shè)為的兩根，則，
則為的兩根，則，
則；
故答案為: 2，8; 20.
46．已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，若在上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則___________.
【答案】24
【分析】由題設(shè)可得的周期為8，且關(guān)于對(duì)稱的奇函數(shù)，結(jié)合區(qū)間單調(diào)性判斷上單調(diào)情況，根據(jù)與有4個(gè)交點(diǎn)，及函數(shù)的對(duì)稱性求根的和.
【詳解】由為偶函數(shù)，則，故，
又是定義在上的奇函數(shù)，則，
所以，故，即有，
綜上，的周期為8，且關(guān)于對(duì)稱的奇函數(shù)，
由在上單調(diào)遞減，結(jié)合上述分析知：在上遞增，上遞減，上遞增，
所以在的大致草圖如下：
要使在上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即與有4個(gè)交點(diǎn)，
所以，必有兩對(duì)交點(diǎn)分別關(guān)于對(duì)稱，則.
故答案為：24
47．已知函數(shù)，若滿足（、、互不相等），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

不妨設(shè)，
因?yàn)椋?br>由函數(shù)的性質(zhì)得，，即，
所以，
故選：D
考點(diǎn)10：鑲嵌函數(shù)的零點(diǎn)問題
48．已知函數(shù)，，若方程的所有實(shí)根之和為4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，則.根據(jù)選項(xiàng)分，和進(jìn)行討論即可求解.
【詳解】令，則.
當(dāng)時(shí)，方程即，則有，由函數(shù)圖象可得方程有一個(gè)根為，另一個(gè)根為，
即或，結(jié)合函數(shù)的圖象可得所有根的和為5，不合題意，故排除選項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，方程即，則有，
由函數(shù)圖象可得方程有一個(gè)根，
即，結(jié)合函數(shù)的圖象可得所有根的和為4，滿足題意，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
同理，當(dāng)時(shí)，方程的所有根的和為2.
故選：.
49．已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________．
【答案】
【分析】由題知或，進(jìn)而作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.
【詳解】解：令，即，解得或，
作出函數(shù)的圖象如圖，
由圖可知，方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，有個(gè)實(shí)數(shù)解，且均互不相同，
所以，的實(shí)數(shù)解有個(gè)，
所以，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè).
故答案為：
50．已知?jiǎng)t函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是______．
【答案】7
【分析】作出函數(shù)的圖像，然后分解因式得到或，數(shù)形結(jié)合分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，解方程得或．
作出函數(shù)的圖像，如圖所示．
由圖像知直線與的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，直線與的圖像有3個(gè)交點(diǎn)．
因此函數(shù)的零點(diǎn)有7個(gè)．
故答案為：7
51．已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】畫出的圖像，設(shè)，首先討論的根的情況，再分析根的情況即可分析出根的情況，即可得出答案．
【詳解】畫出的圖像，如圖所示，
由，令，得，
設(shè)，由圖像可知，則，
得的圖像，如圖所示，
由圖像可知，，
①當(dāng)時(shí)，即，沒有根；
②當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)有3個(gè)根，，，
當(dāng)時(shí)，即，有3個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，
故時(shí)，有11個(gè)根；
③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有三個(gè)根，，
當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，
故時(shí)，有12個(gè)根；
綜上所述，最多有12個(gè)根，
故選：B．
52．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)題意利用圖象分析可得，令并將問題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)t對(duì)應(yīng)x值的個(gè)數(shù)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則；
當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增.
作出函數(shù)的圖象如圖所示，
令，則，
若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，解得，
故，
令，即，
令，則或，
解得或，
即或，則或，
由圖象可得有個(gè)實(shí)數(shù)根，有個(gè)實(shí)數(shù)根，
故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，
故選：B．

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考點(diǎn)鞏固卷05 函數(shù)的圖象與方程 (八大考點(diǎn)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)通關(guān)卷（新高考通用）

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