一、單選題
1．（2022春·山西呂梁·高二校聯(lián)考期中）設是一個離散型隨機變量，其分布列為
則等于（ ）A．1B．C．D．
2．（2023·全國·高二專題練習）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（ ）
A．甲贏三局
B．甲贏一局輸兩局
C．甲、乙平局二次
D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
3．（2022·高二課時練習）設X是一個離散型隨機變量，則下列不能作為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)是（ ）
A．，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D．，，…，
4．（2022春·江蘇常州·高二常州市第一中學校聯(lián)考期中）下表是離散型隨機變量X的概率分布，則常數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·河南南陽·高二?？茧A段練習）已知隨機變量X的分布列為，，則等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·江西撫州·高二校聯(lián)考期末）設隨機變量的分布列為，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
7．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校?？计谀┮阎S機變量ξ的分布如下：則實數(shù)a的值為（ ）
A．－B．C．D．
8．（2023·全國·高二專題練習）下列變量中，是離散型隨機變量的是（ ）．
A．某機場明年5月1日運送乘客的數(shù)量
B．某辦公室一天中接到電話的次數(shù)
C．某地警方明年5月1日到10月1日期間查處酒駕司機的人數(shù)
D．一瓶凈含量為的果汁的容量
三、填空題
9．（2022秋·廣西欽州·高二?？茧A段練習）已知隨機變量的分布列如下：
則的值為__________．
10．（2023·高二課時練習）已知下列四個變量：①某高鐵候車室中一天的旅客數(shù)量；②某次學術講座中學員向主講教授提問的次數(shù)；③某一天中長江的水位；④某次大型車展中銷售汽車的數(shù)量．其中，所有離散型隨機變量的序號為______．
11．（2023秋·山東德州·高二德州市第一中學?？计谀┰OX是一個離散隨機變量，其分布列為：
則實數(shù)q的值為______.
12．（2022·高二課時練習）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，則表示______.
13．（2023·高二課時練習）離散型隨機變量的概率分布規(guī)律為，，其中是常數(shù)，則______．
四、雙空題
14．（2022·高二課時練習）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點分布，則________；若，則________.
五、解答題
15．（2022春·重慶榮昌·高二重慶市榮昌永榮中學校?？计谥校┰OX是一個離散型隨機變量，其分布列為：
(1)求q的值；
(2)求．
16．（2023·高二課時練習）設隨機變量的概率分布，．
(1)求常數(shù)的值；
(2)求和的值．
17．（2022秋·遼寧沈陽·高二沈陽市第三十一中學?？茧A段練習）2022年冬奧會期間，冬奧會吉祥物“冰墩墩”備受人們的歡迎，某大型商場舉行抽獎活動，活動獎品為冰墩墩玩偶和現(xiàn)金.活動規(guī)則：凡是前一天進入商場購物且一次性購物滿300元的顧客，第二天上午8點前就可以從若干個抽獎箱（每個箱子裝有8張卡片，3張印有“獎”字，5張印有“謝謝參與”，其他完全相同）中選一個箱子并一次性抽出3張卡片，抽到印有“獎”字的卡片才能中獎，抽到1張印有“獎”字的卡片為三等獎，獎勵現(xiàn)金10元，抽到2張印有“獎”字的卡片為二等獎，獎勵1個冰墩墩玩偶，抽到3張印有“獎”字的卡片為一等獎，獎勵2個冰墩墩玩偶.根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，進入商場購物的顧客中一次性購物滿300元的約占.
(1)求每一個參與抽獎的顧客中獎的概率；
(2)設每次參與抽獎活動所得的冰墩墩玩偶個數(shù)為X，求X的分布列.
18．（2022·高二課時練習）寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果.
(1)一袋中裝有只同樣大小的白球，編號為、、、、.現(xiàn)從該袋內隨機取出只球，被取出的球的最大號碼數(shù)；
(2)某單位的某部電話在單位時間內收到的呼叫次數(shù).
19．（2022春·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習）某校為緩解學生壓力，舉辦了一場趣味運動會，其中有一個項目為籃球定點投籃，比賽分為初賽和復賽．初賽規(guī)則為：每人最多投3次，每次投籃的結果相互獨立．在處每投進一球得3分，在處每投進一球得2分，否則得0分．將學生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定為通過初賽，立即停止投籃，否則應繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．現(xiàn)甲先在處投一球，以后都在處投，已知甲同學在處投籃的命中率為，在處投籃的命中率為，求他初賽結束后所得總分的分布列．
【能力提升】
一、單選題
1．（2022·高二課時練習）已知隨機變量滿足，，其中.令隨機變量，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022春·廣東廣州·高二廣州市第七中學校考期中）若隨機變量的分布列為
且，則隨機變量的方差等于A．B．C．D．
二、多選題
3．（2022春·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學?？计谥校┤綦S機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022春·全國·高二期末）設隨機變量X表示從1到n這n個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，隨機變量Y表示從1到X這X個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，記表示，同時發(fā)生的概率，則（ ）
A．當時，
B．當時，
C．當（且）時，
D．當時，Y的均值為
三、解答題
5．（2022春·山東德州·高二?？计谀┠称髽I(yè)生產(chǎn)流水線檢測員每天隨機從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進行檢測．若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1200元，每件一級品可賣1700元，每件二級品可賣1000元，三級品禁止出廠且銷毀．某日檢測抽取的100件產(chǎn)品的柱狀圖如圖所示．
(1)根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．若從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機取出2件，求至少有一件產(chǎn)品是一級品的概率；
(2)已知該生產(chǎn)線原先的年產(chǎn)量為80萬件，為提高企業(yè)利潤，計劃明年對該生產(chǎn)線進行升級，預計升級需一次性投入2000萬元，升級后該生產(chǎn)線年產(chǎn)量降為70萬件，但產(chǎn)品質量顯著提升，不會再有三級品，且一級品與二級品的產(chǎn)量比會提高到8∶2，根據(jù)樣本估計總體的思想，若以該生產(chǎn)線今年利潤與明年預計利潤為決策依據(jù)，請判斷該次升級是否合理．
6．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學校考期末）一個袋中裝有黑球，白球和紅球共個， 這些球除顏色外完全相同. 已知從袋中任意摸出個球， 得到黑球的概率是. 現(xiàn)從袋中任意摸出個球.
(1)用含的代數(shù)式表示摸出的球都是黑球的概率， 并寫出概率最小時的值. （直接寫出的值）
(2)若， 且摸出的個球中至少有個白球的概率是， 設表示摸出的個球中紅球的個數(shù)， 求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
7．（2022·高二課時練習）某高校對該校學生進行了一次“身體素質測試”，包括鉛球、50米跑、立定跳遠三項．現(xiàn)將這三項的指標分別記為x，y，z，并對它們進行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示優(yōu)良，再用綜合指標的值評定身體素質等級，若測為一級；若，則為二級，若，則為三級．為了了解該校學生身體素質的情況，隨機抽取了10人的測試成績，得到如下表所示結果：
(1)在這10人中任取2人，求抽取的2人指標z相同的概率；
(2)從等級是一級的人中任取1人，其綜合指標記為m，從等級不是一級的人中任取1人，其綜合指標記為n，記隨機變量，求X的均值和方差．
8．（2022春·全國·高二專題練習）為進一步加強未成年人心理健康教育，如皋市教育局決定在全市深入開展“東皋大講堂”進校園心理健康教育宣講活動，為了緩解高三學生壓力，高三年級某班級學生在開展“東皋大講堂”過程中，同座兩個學生之間進行了一個游戲，甲盒子中裝有2個黑球1個白球，乙盒子中裝有3個白球，現(xiàn)同座的兩個學生相互配合，從甲、乙兩個盒子中各取一個球，交換后放入另一個盒子中，重復進行n次這樣的操作，記甲盒子中黑球的個數(shù)為，恰好有2個黑球的概率為，恰好有1個黑球的概率為.
(1)求第二次操作后，甲盒子中沒有黑球的概率；
(2)求的概率分布和數(shù)學期望.
9．（2022春·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系xOy中，設點集={(i，j)|i=0，1，2，…，n；j=0，1，2；n∈N*}．從集合中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離．
(1)當n=1時，求X的概率分布；
(2)對給定的正整數(shù)n(n≥3)，求概率(用n表示)．
10．（2022春·全國·高二專題練習）在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽．我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，該廠質檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．
（1）規(guī)定：口罩的質量指標值越高，說明該口罩質量越好，其中質量指標值低于130的為二級口罩，質量指標值不低于130的為一級口罩．現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中抽取3個，求恰好取到一級口罩個數(shù)為的概率；
（2）在2020年“五一”勞動節(jié)前，甲、乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡購物平臺上分別參加A、B兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構成．假定甲、乙兩人在A、B兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為，．
①求的分布列及數(shù)學期望；
②求當?shù)臄?shù)學期望取最大值時正整數(shù)的值．
11．（2022·高二課時練習）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．
(i)證明：為等比數(shù)列；
(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．X
3
4
5
6
P
ξ
1
2
3
P
X
－1
0
1
P
X
?1
0
1
P
編號
編號

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7.2 離散型隨機變量及其分布列

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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