一、單選題
1．已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的圖象過定點（ ）
A．B．C．D．
4．若命題，使得為假命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
5．若，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
6．著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)f（x）的圖象大致是
A．B．
C．D．
7．定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
8．若對，使不等式成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域為
B．函數(shù)的值域為
C．
D．函數(shù)為減函數(shù)
10．若，且，則下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．函數(shù)在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質(zhì)．下列命題正確的有（ ）
A．函數(shù)在上具有性質(zhì)
B．若在上具有性質(zhì)，則在上也具有性質(zhì)
C．若在上具有性質(zhì)，且在處取得最大值1，則
D．對任意，若在上具有性質(zhì)，則恒成立
三、填空題
12． ．
13．已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是 .
14．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則不等式的解集為 ．
四、解答題
15．已知集合，.
(1)若，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
16．已知是定義在R上的奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)的取值范圍．
17．杭州亞運會田徑比賽 10月5日迎來收官，在最后兩個競技項目男女馬拉松比賽中，中國選手何杰以2小時13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國隊亞運史上首枚男子馬拉松金牌.人類長跑運動一般分為兩個階段，第一階段為前1小時的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段. 現(xiàn)一60kg的復(fù)健馬拉松運動員進行4小時長跑訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段作速度為 的勻速運動，該階段每千克體重消耗體力 （表示該階段所用時間），疲勞階段由于體力消耗過大變?yōu)?的減速運動（表示該階段所用時間）.疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力 已知該運動員初始體力為不考慮其他因素，所用時間為（單位：h），請回答下列問題：
(1)請寫出該運動員剩余體力關(guān)于時間的函數(shù)；
(2)該運動員在4小時內(nèi)何時體力達到最低值，最低值為多少?
18．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．對數(shù)運算與指數(shù)冪運算是兩類重要的運算.18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，并進一步指出：對數(shù)源出于指數(shù)．然而對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這成為數(shù)學(xué)史上的珍聞．
(1)試利用對數(shù)運算性質(zhì)計算的值；
(2)已知為正數(shù)，若，求的值；
(3)定義：一個自然數(shù)的數(shù)位的個數(shù)，叫做位數(shù)，例如23的位數(shù)是2，2024的位數(shù)是4．試判斷的位數(shù)．（注）
19．列奧納多達芬奇（Lenard da Vinci，1452-1519）是意大利文藝復(fù)興三杰之一．他曾提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達式為，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達式為．
(1)證明：；
(2)求不等式：的解集；
(3)函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸有2個交點，求實數(shù)的取值范圍．
參考答案：
1．D
【分析】確定集合，然后根據(jù)文氏圖的概念及集合的運算求解．
【詳解】由題意，
陰影部分為.
故選：D．
2．A
【分析】判斷條件間的推出關(guān)系，根據(jù)充分必要性的定義判斷即可.
【詳解】當(dāng)：
若異號，即，顯然成立；
若或，均有成立；
所以充分性成立；
當(dāng)：若，，顯然不成立，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
3．D
【分析】利用冪函數(shù)的概念知系數(shù)必為1，再由冪函數(shù)遞增知冪指數(shù)大于0，從而解得，再利用指數(shù)函數(shù)必過點來求出函數(shù)過的定點.
【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得，所以，
故令得，所以
所以的圖象過定點.
故選：D.
4．D
【分析】問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出在上的最大值，解不等式求實數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】因為為假命題，所以為真命題，
即當(dāng)時，恒成立.
因為函數(shù)圖象的對稱軸為，
所以當(dāng)時，，所以，
即，解得或，
即實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
5．D
【分析】結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，結(jié)合基本不等式及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較的大小，可得結(jié)論.
【詳解】，
而，且．
所以，故．
故選：D.
6．C
【解析】首先根據(jù)奇偶性的判斷可知f（x）為偶函數(shù)，排除A，再通過x1進行特值判斷即可得解.
【詳解】函數(shù)的定義域為{x|x±1}，
f（﹣x）f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除A，
當(dāng)x1時，f（x）0恒成立，排除B，D，
故選：C.
【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷，有如下幾個方法：
（1）根據(jù)奇偶性判斷；
（2）根據(jù)特值判斷；
（3）根據(jù)單調(diào)性和趨勢判斷.
7．B
【分析】構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)題意得出函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減；把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性和定義域即可求解.
【詳解】不妨設(shè)任意的，，
因為，則，
所以，
所以在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.
不等式等價于，又，
所以等價于，
因為在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，所以，
即不等式的解集為.
故選：B.
8．C
【分析】根據(jù)題意可得，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得，從而將問題再轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分情況求的取值范圍.
【詳解】，
即對，使不等式成立，
∴，
∵對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，．
恒成立，
的對稱軸，
∴，解得，
或，無解，
或，無解，
綜上，
即的取值范圍為．
故選：C．
9．BC
【分析】根據(jù)分母不為求出函數(shù)的定義域，即可判斷A；再將函數(shù)解析式變形為，即可求出函數(shù)的值域，從而判斷B；根據(jù)指數(shù)冪的運算判斷C，根據(jù)函數(shù)值的特征判斷D.
【詳解】對于函數(shù)，則，解得，所以函數(shù)的定義域為，故A錯誤；
因為，
又，當(dāng)時，則，
當(dāng)時，則，
所以函數(shù)的值域為，故B正確；
又，故C正確；
當(dāng)時，當(dāng)時，所以不是減函數(shù)，故D錯誤.
故選：BC
10．BC
【分析】先由題意得到，進而分析得與，從而判斷BC，再舉反例排除AD，從而得解.
【詳解】因為，所以，則，
又由于，所以，，，則，故B正確；
因為，所以，故C正確；
當(dāng)，，時，可，故A錯誤；
當(dāng)，，時，，故D錯誤.
故選：BC.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于，舉反例排除AD，從而得解.
11．ACD
【分析】由性質(zhì)的定義判斷A選項；舉反例判斷B選項；C選項，由可證得；D選項，由性質(zhì)的定義證明.
【詳解】對A，，對任意時，
，
滿足，A選項正確；
對B，函數(shù)在上滿足性質(zhì)，證明方法同A選項，
對于函數(shù)，，
，不滿足，
在上不滿足性質(zhì)，故B選項不成立；
對C：在上，在處取得最大值1，由，
，故，
所以對任意的，故C選項成立；
對D，對任意，
有
，
，故D選項成立．
故選：ACD.
12．-2
【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則化簡即可求得結(jié)果.
【詳解】．
故答案為：-2.
13．
【分析】畫出函數(shù)圖象，分析出，，故，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到值域，求出取值范圍.
【詳解】畫出的圖象，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，
令，解得，令，則，
若，且，則，，
所以，，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為，
又時，，時，，
故.
故答案為：
14．或
【分析】賦值求出，令，且，根據(jù)時，，得到，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】因為，
令，則，
令，則，
令，且，則，
整理得，
因為，則，可得，
所以，即，
可知在定義域在上單調(diào)遞增，
又因為，即，
可得，即，
由在定義域在上單調(diào)遞增，可得，解得或，
所以不等式的解集為或．
故答案為：或
15．(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍；
（2）先考慮當(dāng)時，求出實數(shù)的取值范圍，分、兩種情況討論，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式（組），綜合可得出實數(shù)的取值范圍，再利用補集思想可得出當(dāng)時實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由可知，所以，，解得，
因此，實數(shù)的取值范圍是．
（2）考慮當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍，則，
若，滿足，則，解得；
若，因為，所以，解得，
所以時，的取值范圍是，
所以時，的取值范圍是.
16．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出并驗證即可.
（2）探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的值域，構(gòu)造方程有兩個不相等的正實根，再利用一元二次方程實根分布求出范圍.
【詳解】（1）因為是定義在R上的奇函數(shù)，有，得，
則有，函數(shù)定義域為R，
有，即是奇函數(shù)，
所以；
（2）由（1）得，
令，
因為在R上遞增，所以在R上遞減，
所以在R上遞增，
因為函數(shù)在上的值域為，
所以，
所以，
因為，所以關(guān)于的方程有兩個不相等的正實根，
所以，
解得，即的取值范圍為
17．(1)
(2)時有最小值，最小值為.
【分析】（1）先寫出速度關(guān)于時間的函數(shù)，進而求出剩余體力關(guān)于時間的函數(shù)；
（2）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合基本不等式，求出最值.
【詳解】（1）由題可先寫出速度關(guān)于時間的函數(shù)，
代入與公式可得
解得；
（2）①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過程中最小值；
②疲勞階段，
則有，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，“”成立，
所以疲勞階段中體力最低值為，
由于，因此，在時，運動員體力有最小值.
18．(1)
(2)
(3)610
【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可；
（2）令，則，根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的互化可得，利用對數(shù)的換底公式化簡原式即可；
（3）利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得，結(jié)合位數(shù)的定義即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）原式；
（2）由題意知，令，則，
所以，
所以；
（3）設(shè)，則，又，
所以，
所以，則，
所以的位數(shù)為610．
19．(1)證明見解析；
(2)（
(3)
【分析】（1）結(jié)合雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)代入計算即可；
（2）求出的單調(diào)性和奇偶性，得到，，求出解集；
（3）參變分離得到在有2個實數(shù)根，換元得到，由對勾函數(shù)單調(diào)性得到的值域，與有兩個交點，故需滿足，即.
【詳解】（1）
．
（2）因為恒成立，故是奇函數(shù)．
又因為在R上嚴格遞增，在R上嚴格遞減，
故是R上的嚴格增函數(shù)，
所以，即，
所以，解得，
即所求不等式的解集為；
（3）因為的圖象在區(qū)間上與軸有2個交點，
所以，
即在有2個實數(shù)根，
所以在有2個實數(shù)根，
令，易知在上單調(diào)遞增，
所以，
則，
令，，
由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，作函數(shù)草圖如圖，
當(dāng)時，函數(shù)與有兩個交點，
即函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸有2個交點，
所以，即.
【點睛】方法點睛：新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
D
D
C
B
C
BC
BC
題號
11









答案
ACD









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