（2）若在旋轉(zhuǎn)過程中，兩直角邊的交點G、H始終在邊AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形GBHD的面積是否不變，若不變，求出它的值，若改變，求出它的取值范圍；
（3）當三角板旋轉(zhuǎn)至如圖2所示時，三角板DEF與AB、BC邊所在的直線相交于點G、H時，（1）中的結(jié)論仍成立嗎？并說明理由.
2.在等邊△ABC中，點D是線段BC的中點，∠EDF＝120o，射線DE與線段AB相交于點E，射線DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F.
（1）如圖1，若DF⊥AC，直接寫出DE與AB的位置關(guān)系；
（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F，求證：DE＝DF；
（3）在∠EDF繞D順時針旋轉(zhuǎn)過程中，直接用等式表示線段BE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系.
3.拋物線與軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與軸交于點C.
（1）如圖1，求點A的坐標及線段OC的長；
（2）點P在拋物線上，直線PQ∥BC交軸于點Q，連接BQ.若含45o角的直角三角板如圖2所示放置，其中，一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上，求直線BQ的函數(shù)解析式；
4.如圖，在正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q.
（1）如圖1，當點Q在DC邊上，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以說明；
（2）如圖2，當點Q落在DC延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想.
5．我們把兩組對邊分別平行的四邊形定義為平行四邊形，同樣的道理，我們也可以把至少有一組鄰邊相等的四邊形定義為等鄰邊四邊形．把對角互補的等鄰邊四邊形定義為完美等鄰邊四邊形．
（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰邊四邊形的圖形的名稱；
（2）已知，如圖，完美等鄰邊四邊形ABCD，AD＝CD，∠B+∠D＝180°，連接對角線AC，BD，請你結(jié)合圖形，寫出完美等鄰邊四邊形的一條性質(zhì)；
（3）在四邊形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，且BD平分∠ABC時，
求證：四邊形ABCD是完美等鄰邊四邊形．
6．閱讀理解
如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”．證明“四點共圓”判定定理有：1、若線段同側(cè)兩點到線段兩端點連線夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓；2、若平面上四點連成的四邊形對角互補，那么這四點共圓．例：如圖1，若∠ADB＝∠ACB，則A，B，C，D四點共圓；或若∠ADC+∠ABC＝180°，則A，B，C，D四點共圓．
（1）如圖1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，則∠ACD＝ ；
（2）如圖2，若D為等腰Rt△ABC的邊BC上一點，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的長；
（3）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，等邊△EFG內(nèi)接于此正方形，且E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的長．
7．我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作“完美四邊形”．
（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是 （請?zhí)钚蛱枺?br>（2）在“完美”四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，連接AC．
①如圖1，求證：AC平分∠BCD；
小明通過觀察、實驗，提出以下兩種想法，證明AC平分∠BCD：
想法一：通過∠B+∠D＝180°，可延長CB到E，使BE＝CD，通過證明△AEB≌△ACD，從而可證AC平分∠BCD；
想法二：通過AB＝AD，可將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△AEB，可證C，B，E三點在一條直線上，從而可證AC平分∠BCD．
請你參考上面的想法，幫助小明證明AC平分∠BCD；
②如圖2，當∠BAD＝90°，用等式表示線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
8．定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．
根據(jù)以上定義，解決下列問題：
（1）如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應(yīng)點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補”四邊形，為什么？
（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，點B到直線AD的距離為BE．
①求BE的長；
②若M、N分別是AB、AD邊上的動點，求△MNC周長的最小值．
9．如圖1，四邊形ABCD，將頂點為A的∠EAF繞著頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，角的一條邊與DC的延長線交于點F，角的另一邊與CB的延長線交于點E，連接EF．
（1）如果四邊形ABCD為正方形，當∠EAF＝45°時，有EF＝DF﹣BE．請你思考如何證明這個結(jié)論（只需思考，不必寫出證明過程）；
（2）如圖2，如果在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，當∠EAF=12∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式（只需寫出結(jié)論）；
（3）如圖3，如果在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補，當∠EAF=12∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式并給予證明；
（4）在（3）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周長（直接寫出結(jié)果即可）．
對角互補模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）
1.如圖所示，一副三角板按如圖放置，等腰直角三角形固定不動，另一個的直角頂點放在等腰三角形的斜邊中點D處，且可以繞點D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩直角邊與AB、CB的交點為點G、H.
（1）當三角板DEF旋轉(zhuǎn)至圖1所示時，探究BG與CH的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）若在旋轉(zhuǎn)過程中，兩直角邊的交點G、H始終在邊AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形GBHD的面積是否不變，若不變，求出它的值，若改變，求出它的取值范圍；
（3）當三角板旋轉(zhuǎn)至如圖2所示時，三角板DEF與AB、BC邊所在的直線相交于點G、H時，（1）中的結(jié)論仍成立嗎？并說明理由.
【解答】（1）BG＝CH；（2）面積不變，始終是4；（3）仍成立，理由見解析.
【解析】（1）連接BD，如圖所示：
∵等腰直角三角形ABC，點D為AC的中點，∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45o，BD⊥AC，
∵EDF＝90o，∴∠ADG＋∠HDC＝90o，
∵∠BDC＝∠BDA＝90o，∴∠BDG＋∠ADG＝90o，∴∠BDG＝∠HDC，
∴△BDG≌△CDH（ASA），∴BG＝CH；
（2）在等腰直角△ABC中，∵AB＝BC＝4，∴△ABC的面積為8，∴∠A＝∠C＝45o，∴∠A＝∠DBH，
∵BD⊥AC，∠BDG＝∠CDH，∴∠BDH＝∠ADG，
又∵BD＝AD，∴△BDH≌△ADG（SAS），
由（1）可得△BDG≌△CDH，∴，
∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，，
∴在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形GBHD的面積不變，始終是4；
（3）連接BD，如圖所示：
∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，∴∠BDG＝90o－∠CDG，∠CDH＝90o－∠CDG，∴∠BDG＝∠CDH，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠BCD＝45o，∴∠DBG＝∠DCH＝135o，
∴△DBG≌△DCH，∴BG＝CH，∴結(jié)論仍然成立.
2.在等邊△ABC中，點D是線段BC的中點，∠EDF＝120o，射線DE與線段AB相交于點E，射線DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F.
（1）如圖1，若DF⊥AC，直接寫出DE與AB的位置關(guān)系；
（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F，求證：DE＝DF；
（3）在∠EDF繞D順時針旋轉(zhuǎn)過程中，直接用等式表示線段BE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系.
【解答】（1）DE⊥AB；（2）見解析；（3）
【解析】（1）∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90o，
∵∠A＝60o，∠EDF＝120o，∴∠AED＝360o－∠A－∠AFD－∠EDF＝90o，∴∠DE⊥AB；
（2）連接AD，過點D作DM⊥AB于點M，作DN⊥AC于點N，如圖所示：
∵點D是BC的中點，∴AD是∠BAC的角平分線，∴DM＝DN，
∵∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90o，∠A＝60o，∴∠MDN＝360o－60o－90o－90o＝120o，
∵∠EDF＝120o，∴∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND，∴DE＝DF；
（3）過點D作DM⊥AB于點M，作DN⊥AC于點N，如圖所示：
在△BOM與△CDN中，，∴BM＝CN，DM＝DN，
∵∠EDF＝120o＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，
在△DME與△NDF中，，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，
∴BE－CF＝BM＋EM－（FN－CN）＝2BM＝BD＝.
3.拋物線與軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與軸交于點C.
（1）如圖1，求點A的坐標及線段OC的長；
（2）點P在拋物線上，直線PQ∥BC交軸于點Q，連接BQ.若含45o角的直角三角板如圖2所示放置，其中，一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上，求直線BQ的函數(shù)解析式；
【解答】（1），OC＝1；（2）
【解析】（1）將代入到中，解得，∴，
∵BC為對稱軸，點B的坐標為（1，3），∴OC＝1；
（2）如圖，分別過點D作DM⊥軸于點M，作DN⊥PQ于點N.
∵PQ∥BC，∴∠DMQ＝∠DNQ＝∠MQN＝90o，∴四邊形DMQN是矩形，
∵△CDE是等腰直角三角形，∴DC＝DE，
∵∠CDM＋∠MDE＝∠EDN＋MDE＝90o，∴∠CDM＝∠EDN，∴△CDM≌△EDN，
∴DM＝DN，∴矩形DMQN是正方形，∴∠BQC＝45o，∴△BQC是等腰直角三角形，
∴CQ＝CB＝3，∴Q（4，0），設(shè)BQ的解析式為，將點B、Q坐標代入解得K＝－1，b＝4，
∴直線BQ的解析式為.
4.如圖，在正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q.
（1）如圖1，當點Q在DC邊上，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以說明；
（2）如圖2，當點Q落在DC延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想.
【解答】（1）PB＝PQ；（2）PB＝PQ
【解析】（1）過點P作PE⊥BC，PF⊥CD，如圖所示：
∵P、C為正方形對角線AC上的點，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90o，
∴PF＝PE，∴四邊形PECF為正方形，
∵∠BPE＋∠QPE＝90o，∠QPE＋∠QPF＝90o，
∴∠BPE＝∠QPF，∴△PQF≌△PBE，∴PB＝PQ；
（2）過點P 作PE⊥BC，PF⊥CD，如圖所示：
證明過程參考（1），通過證△PQF≌△PBE即可得到PB＝PQ.
5．我們把兩組對邊分別平行的四邊形定義為平行四邊形，同樣的道理，我們也可以把至少有一組鄰邊相等的四邊形定義為等鄰邊四邊形．把對角互補的等鄰邊四邊形定義為完美等鄰邊四邊形．
（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰邊四邊形的圖形的名稱；
（2）已知，如圖，完美等鄰邊四邊形ABCD，AD＝CD，∠B+∠D＝180°，連接對角線AC，BD，請你結(jié)合圖形，寫出完美等鄰邊四邊形的一條性質(zhì)；
（3）在四邊形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，且BD平分∠ABC時，
求證：四邊形ABCD是完美等鄰邊四邊形．
【解答】（1）菱形、正方形都是滿足條件的等鄰邊四邊形；（2）∠BAD+∠BCD＝180°；（3）見解析
【解析】（1）菱形、正方形都是滿足條件的等鄰邊四邊形
（2）性質(zhì)是∠BAD+∠BCD＝180°；
（3）證明：作DM⊥BC，DN⊥AB，垂足分別為M，N，
∵BD平分∠ABC，DM⊥BC，DN⊥AB，
∴DM＝DN，
∵∠DMB＝∠DNB＝90°，
∴∠ABC+∠MDN＝180°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠MDN，
∴∠ADN＝∠MDC，
∵∠DNA＝∠DMC，
∴△DMC≌△DNA，
∴AD＝CD，
∴四邊形ABCD是等鄰邊四邊形；
又∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴等鄰邊四邊形ABCD是完美等鄰邊四邊形．
6．閱讀理解
如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”．證明“四點共圓”判定定理有：1、若線段同側(cè)兩點到線段兩端點連線夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓；2、若平面上四點連成的四邊形對角互補，那么這四點共圓．例：如圖1，若∠ADB＝∠ACB，則A，B，C，D四點共圓；或若∠ADC+∠ABC＝180°，則A，B，C，D四點共圓．
（1）如圖1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，則∠ACD＝ ；
（2）如圖2，若D為等腰Rt△ABC的邊BC上一點，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的長；
（3）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，等邊△EFG內(nèi)接于此正方形，且E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的長．
【解答】（1）55°；（2）22；（3）2393
【解析】（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴A，B，C，D四點共圓，
∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，
故答案為：55°；
（2）在線段CA取一點F，使得CF＝CD，如圖2所示：
∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，
∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，
∴∠AFD＝135°，
∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，
∴∠AFD＝∠DBE，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°，
∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°，
∴∠FAD＝∠BDE，
在△ADF和△DEB中，∠FAD=∠BDEAF=BD∠AFD=∠DBE，
∴△ADF≌△DEB（ASA），
∴AD＝DE，
∵∠ADE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=2AD＝22；
（3）作EK⊥FG于K，則K是FG的中點，連接AK，BK，如圖3所示：
∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，
∴E、K、G、B和E、K、F、A分別四點共圓，
∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，
∴△ABK是等邊三角形，
∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，則M為AB的中點，
∴KM＝AK?sin60°＝23，
∵AE＝3，AM=12AB＝2，
∴ME＝3﹣2＝1，
∴EK=MK2+ME2=(23)2+12=13，
∴EF=EKsin60°=1332=2393．
7．我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作“完美四邊形”．
（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是 （請?zhí)钚蛱枺?br>（2）在“完美”四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，連接AC．
①如圖1，求證：AC平分∠BCD；
小明通過觀察、實驗，提出以下兩種想法，證明AC平分∠BCD：
想法一：通過∠B+∠D＝180°，可延長CB到E，使BE＝CD，通過證明△AEB≌△ACD，從而可證AC平分∠BCD；
想法二：通過AB＝AD，可將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△AEB，可證C，B，E三點在一條直線上，從而可證AC平分∠BCD．
請你參考上面的想法，幫助小明證明AC平分∠BCD；
②如圖2，當∠BAD＝90°，用等式表示線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【解答】（1）④；（2）①見解析；②BC+CD=2AC
【解析】（1）由“完美四邊形”的定義可得正方形是“完美四邊形”．
故答案為：④
（2）①想法一：延長CB使BE＝CD，連接AE
∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE
∵AD＝AB，
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴∠ACD＝∠AEB，AC＝AE
∴∠ACB＝∠AEB．
∴∠ACD＝∠ACB．
即AC平分∠BCD4
想法二：將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD邊與AB邊重合，得到△ABE，
∴△ADC≌△ABE．
∴∠ADC＝∠ABE；
∠ACD＝∠AEB；
AC＝AE．
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ABE+∠ABC＝180°．
∴點C，B，E在一條直線上．
∵AC＝AE，
∴∠ACB＝∠AEB
∴∠ACD＝∠ACB
即AC平分∠BCD
②BC+CD=2AC
理由如下：
延長CB使BE＝CD，連接AE，
由 ①得△ACE為等腰三角形．
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAC＝90°
∴CE2＝2AC2，
∴CE=2AC．
∴BC+CD=2AC．
8．定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．
根據(jù)以上定義，解決下列問題：
（1）如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應(yīng)點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補”四邊形，為什么？
（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，點B到直線AD的距離為BE．
①求BE的長；
②若M、N分別是AB、AD邊上的動點，求△MNC周長的最小值．
【解答】（1）見解析；（2）①4；②82．
【解析】（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
∵將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應(yīng)點F在DA的延長線上，
∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠EBF+∠D＝180°，
∴四邊形BEDF為“直等補”四邊形；
（2）①過C作CF⊥BF于點F，如圖1，
則∠CFE＝90°，
∵四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，
∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠D＝90°，
∵BE⊥AD，
∴∠DEF＝90°，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴EF＝CD＝1，
∵∠ABE+∠A＝∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，
設(shè)BE＝CF＝x，則BF＝x﹣1，
∵CF2+BF2＝BC2，
∴x2+（x﹣1）2＝52，
解得，x＝4，或x＝﹣3（舍），
∴BE＝4；
②如圖2，延長CB到F，使得BF＝BC，延長CD到G，使得CD＝DG，連接FG，分別與AB、AD交于點M、N，過G作GH⊥BC，與BC的延長線交于點H．
則BC＝BF＝5，CD＝DG＝1，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴CM＝FM，CN＝GN，
∴△MNC的周長＝CM+MN+CN＝FM+MN+GN＝FG的值最小，
∵四邊形ABCD是“直等補”四邊形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠HCG＝180°，
∴∠A＝∠HCG，
∵∠AEB＝∠CHG＝90°，
∴△ABE∽△CGH，
∴BEGH=AECH=ABCG
∵AB＝5，BE＝4，
∴AE=AB2?BE2=3，
∴4GH=3CH=52，
∴GH=85，CH=65，
∴FH＝FC+CH=565，
∴FG=FH2+GH2=82，
∴△MNC周長的最小值為82．
9．如圖1，四邊形ABCD，將頂點為A的∠EAF繞著頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，角的一條邊與DC的延長線交于點F，角的另一邊與CB的延長線交于點E，連接EF．
（1）如果四邊形ABCD為正方形，當∠EAF＝45°時，有EF＝DF﹣BE．請你思考如何證明這個結(jié)論（只需思考，不必寫出證明過程）；
（2）如圖2，如果在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，當∠EAF=12∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式（只需寫出結(jié)論）；
（3）如圖3，如果在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補，當∠EAF=12∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式并給予證明；
（4）在（3）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周長（直接寫出結(jié)果即可）．
【解答】（1）見解析；（2）EF＝DF﹣BE；（3）EF＝DF﹣BE；（4）15
【解析】（1）證明：在DF上截取DM＝BE；
∵AD＝AB，∠ABE＝∠ADM＝90°，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠EAB＝∠DAM；
∵∠EAF＝45°，且∠EAB＝∠DAM，
∴∠BAF+∠DAM＝45°，即∠MAF＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AM，AF＝AF，
∴△AEF≌△AMF，得EF＝FM，
∵DF＝DM+FM，
∴DF＝BE+EF，即EF＝DF﹣BE．
（2）EF＝DF﹣BE．（解法參照（1）（3））
（3）EF＝DF﹣BE．
證明：在DF上截取DM＝BE，
∵∠D+∠ABC＝∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠ABE，
∴AD＝AB，
∴△ADM≌△ABE，
∴AM＝AE，
∴∠DAM＝∠BAE；
∵∠EAF＝∠BAE+∠BAF=12∠BAD，
∴∠MAF=12∠BAD，
∴∠EAF＝∠MAF；
∵AF是△EAF與△MAF的公共邊，
∴△EAF≌△MAF，
∴EF＝MF；
∵MF＝DF﹣DM＝DF﹣BE，
∴EF＝DF﹣BE．
（4）由上面的結(jié)論知：DF＝EF+BE；
∴△CEF的周長＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．
即△CEF的周長為15．

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