1.理解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法. 2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式. 3.掌握直線與圓錐曲線相交的綜合問題.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有______、______、______；相交有兩個(gè)交點(diǎn)(特殊情況除外)，相切有一個(gè)交點(diǎn)，相離無交點(diǎn).(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程.消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①當(dāng)a≠0時(shí)，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時(shí)，直線l與曲線C______；Δ＝0時(shí)，直線l與曲線C______；Δ＜0時(shí)，直線l與曲線C______.②當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的________平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的________平行或重合.
2.圓錐曲線的弦長公式設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝______________＝____________________________或?|AB|＝______________＝________________________，k為直線斜率且k≠0.
解析　(3)當(dāng)“直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)”成立時(shí)，則與漸近線平行的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)或者直線l與雙曲線相切有一個(gè)交點(diǎn).(4)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)也只有一個(gè)交點(diǎn).
解析　結(jié)合圖形(圖略)分析可知，滿足題意的直線共有4條，過點(diǎn)(0，1)且平行于漸近線的兩條直線以及過點(diǎn)(0，1)且與雙曲線相切的兩條直線.
解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
KAODIANJUJIAOTUPO
考點(diǎn)一　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
解　將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關(guān)于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形.
解析　法一　由于直線y＝kx＋1恒過點(diǎn)(0，1)，所以點(diǎn)(0，1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，故m≥1且m≠5.
由題意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0對(duì)一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對(duì)一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，所以m≥1－5k2恒成立，所以m≥1且m≠5.
(3)若直線y＝k(x＋2)＋1與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為?____________.
解析　當(dāng)斜率k＝0時(shí)，直線y＝1平行于x軸，與拋物線y2＝4x僅有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)斜率不等于0時(shí)，直線y＝k(x＋2)＋1與拋物線y2＝4x聯(lián)立，
解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，由點(diǎn)A，B在雙曲線上，
由雙曲線方程可得漸近方程為y＝±3x，如圖.
解析　易知此弦所在直線的斜率存在，∴設(shè)斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解析　設(shè)拋物線的方程為x2＝2ay，則拋物線與直線x－2y＝1聯(lián)立消去y，得x2－ax＋a＝0，所以x1＋x2＝a，x1x2＝a，
所以a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6，所以x2＝－4y或x2＝12y.
解析　由題意知，橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，直線AB的方程為y＝2(x－1).
(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，若拋物線C上存在關(guān)于直線l：x－y－2＝0對(duì)稱的不同的兩點(diǎn)P和Q，則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為__________.
解析　因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，則p＝1，所以y2＝2x.設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2).
考點(diǎn)三　直線與圓錐曲線的綜合
解　由題意可知直線的斜率不為0，則設(shè)直線的方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48＞0，
1.解答直線與橢圓相交的題目時(shí)，常用到“設(shè)而不求”的方法，即聯(lián)立直線和橢圓的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件，建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系求解.2.涉及直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.
(2)直線l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若|AP|＝|AQ|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解　由題意知直線l不過點(diǎn)A.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)為D(x0，y0)，連接AD(圖略).
整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，由4－5k2≠0且Δ＞0，
微點(diǎn)突破　　圓錐曲線中的切線問題
消去x整理得4y2－2ky＋k2－3＝0，所以Δ＝4k2－16(k2－3)＝4(12－3k2)＝0，可得k＝±2，顯然x＋y＝4與橢圓無交點(diǎn)，
(2)(2024·成都診斷)已知點(diǎn)P是直線l：y＝－2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軌跡E：x2＝8y的兩條切線，焦點(diǎn)為F，切點(diǎn)分別為A，B.求證：①直線AB過定點(diǎn)；
②∠PFA＝∠PFB.
(ⅰ)當(dāng)直線PF的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為y＝2，∴PF⊥AB，∴∠PFA＝∠PFB；(ⅱ)當(dāng)直線PF的斜率存在時(shí)，∵P(t，－2)，F(xiàn)(0，2)，
∴PF⊥AB，∴∠PFA＝∠PFB.綜上所述：∠PFA＝∠PFB得證.
即x－y－4＝0，切線l的斜率為1.與直線l垂直的直線的斜率為－1，過A點(diǎn)且與直線l垂直的直線方程為y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.
(2)過點(diǎn)P(2，－1)作拋物線C：x2＝2y的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為____________.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則兩條切線的斜率分別為k1＝x1，k2＝x2，兩條切線的方程為y－y1＝x1(x－x1)，y－y2＝x2(x－x2)，又兩條切線過點(diǎn)P(2，－1)，所以－1－y1＝x1(2－x1)，－1－y2＝x2(2－x2)，所以直線AB的方程為－1－y＝x(2－x)，又x2＝2y，所以直線AB的方程為2x－y＋1＝0.
KESHIFENCENGJINGLIAN
解析　直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(diǎn)(1，1)，又點(diǎn)(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交.
解析　由題意可知F(1，0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.
得(b2－a2)x2－2a2x－a2－a2b2＝0，
則Δ＝4a4＋4(b2－a2)(a2＋a2b2)＝0，即a2＋(b2－a2)(1＋b2)＝0，又b2＝9－a2，所以a2＋(9－2a2)(10－a2)＝0，即a4－14a2＋45＝0，
對(duì)于B，根據(jù)kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直線方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，B正確；
8.過點(diǎn)P(2，2)作拋物線y2＝2x的切線l，切線l在y軸上的截距為________.
令x＝0，得y＝1，∴切線l在y軸上的截距為1.
9.以A(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線C：2x2－y2＝2的弦所在直線的方程為______________.
解析　設(shè)A(2，1)是弦P1P2的中點(diǎn)，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，
∴以A(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.
∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.∴以A(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為4x－y－7＝0.
因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b＝c.因?yàn)樗倪呅蜯F1NF2的面積為32，
(2)直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，1)，求直線l的方程.
解　由題意得，直線l的斜率存在.
解　由(1)知，F(xiàn)1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，由題意得直線AB的方程為y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解析　如圖，連接AF1，DF2，EF2，
所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因?yàn)閨AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，
所以△AF1F2為等邊三角形，又DE⊥AF2，所以直線DE為線段AF2的垂直平分線，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，
解析　由題意知F(1，0)，F(xiàn)1(－1，0)，設(shè)過點(diǎn)F的直線MN的方程為x＝my＋1.設(shè)點(diǎn)M(my1＋1，y1)，N(my2＋1，y2)，則M1(－1，y1)，N1(－1，y2).
15.(2024·溫州適應(yīng)性考試)已知P為直線y＝－x－1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C：x2＝2y的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B，則原點(diǎn)O到直線AB距離的最大值為________.
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知直線PA：y－y1＝x1(x－x1)，化簡(jiǎn)得y＝x1x－y1.同理可得，直線PB：y＝x2x－y2.因?yàn)辄c(diǎn)P是直線y＝－x－1上一動(dòng)點(diǎn)，所以不妨設(shè)P(t，－t－1)，則－t－1＝x1t－y1，－t－1＝x2t－y2，所以直線AB：tx－y＋t＋1＝0.直線tx－y＋t＋1＝0過定點(diǎn)G(－1，1)，

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