ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離______的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的______.(2)其數(shù)學表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).
2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)
解析　(1)當定點在定直線上時，軌跡為過定點F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線.
(3)拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形.(4)一條直線平行于拋物線的對稱軸，此時與拋物線只有一個交點，但不相切.
A.(0，－1) B.(0，1)C.(1，0) D.(－1，0)
故焦點為(0，－1).
解析　設拋物線的標準方程是y2＝kx或x2＝my，
3.(多選)頂點在原點，對稱軸為坐標軸且過點P(－2，3)的拋物線的標準方程是(　　)
解析　由題意得，拋物線焦點為F(1，0)，設直線AB的方程為
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
5.已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為________.
解析　設B(x0，y0).
由題意，得F(1，0)，A(－1，0)，
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
解析　直線2x＋3y－8＝0與x軸的交點為(4，0)，∴拋物線y2＝2px的焦點為(4，0)，∴準線方程為x＝－4.
1.設拋物線y2＝2px的焦點在直線2x＋3y－8＝0上，則該拋物線的準線方程為(　　)A.x＝－4 B.x＝－3C.x＝－2 D.x＝－1
解析　設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1，0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2＝4x.
2.動圓過點(1，0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為__________.
解析　如圖，分別過A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，
3.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________.
由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，連接A1F，則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點，設l交x軸于K，
∴拋物線方程為y2＝3x.
∴∠PKM＝45°，∴△PMK為等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知點P在拋物線x2＝2py(p＞0)上，
解析　∵焦點F(1，0)，設直線l為x＝λy＋1(λ≠0)，代入拋物線方程得y2－4λy－4＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達定理得y1y2＝－4，①
角度1　焦半徑和焦點弦
化簡得3t2－10t＋3＝0，
解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義：
可得：y1＋y2＝p，
解析　如圖，∵y2＝－4x，∴p＝2，
例2 (1)若在拋物線y2＝－4x上存在一點P，使其到焦點F的距離與到A(－2，1)的距離之和最小，則該點的坐標為________.
角度2　與拋物線有關的最值問題
焦點坐標為(－1，0).依題意可知當A，P及P到準線的垂足三點共線時，點P與點F、點P與點A的距離之和最小，故點P的縱坐標為1.
解析　如圖，易知拋物線的焦點為F(1，0)，準線是x＝－1，
(2)設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，則點P到點A(－1，1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________.
由拋物線的定義知點P到直線x＝－1的距離等于點P到F的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P，使點P到點A(－1，1)的距離與點P到F(1，0)的距離之和最小，
解析　由題意知，拋物線的準線l：y＝－1，過點A作AA1⊥l交l于點A1，過點B作BB1⊥l交l于點B1，
(3)已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為________.
因為|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故點M到x軸的距離d≥2，故最短距離為2.
解析　由拋物線定義可知點P到準線l的距離等于點P到焦點F的距離，由拋物線y2＝4x及直線方程3x＋4y＋7＝0可得直線與拋物線相離.
訓練1 (1)若拋物線y2＝4x的準線為l，P是拋物線上任意一點，則P到準線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是(　　)
解析　由題意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值時當且僅當|AB|取得最小值.依拋物線定義知，當|AB|為通徑，即|AB|＝2p＝4時為最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值為2.
(2)已知拋物線y2＝4x，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|＋|BD|的最小值為________.
其中Δ＝144(1－2t)>0，
其中Δ＝4－8t>0，所以y1＋y2＝2，從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
解　設直線AP的斜率為k，
所以直線AP斜率的取值范圍是(－1，1).
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因為f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
拋物線的幾個“二級結(jié)論”的應用
解析　[通法]易知直線l的斜率存在，設為k，則其方程為y＝k(x－1).
例1 過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于(　　)
得xA·xB＝1，①因為|AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
[優(yōu)解]法一　由對稱性不妨設點A在x軸的上方，如圖，設A，B在準線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，
設|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
法二　因為|AF|＝2|BF|，
例2 設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為(　　)
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
3.設O為坐標原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為(　　)
解析　不妨設點M位于第一象限，設拋物線的準線l與x軸交于點F′，作MB⊥l于點B，NA⊥l于點A.由拋物線的解析式可得準線方程為x＝－4，F(xiàn)點的坐標為(4，0)，A正確，B錯誤.
4.(多選)已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則(　　 )A.C的準線方程為x＝－4B.F點的坐標為(0，4)C.|FN|＝12
由拋物線的定義有|MF|＝|MB|＝6，結(jié)合題意，有|MN|＝|MF|＝6，
解析　依題意，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
A.|BF|＝3B.△ABF是等邊三角形C.點F到準線的距離為3D.拋物線C的方程為y2＝6x
解析　因為|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點，所以|FA|＝|FB|；又|BF|＝|FD|＝|FA|，所以∠ABD＝90°，|FA|＝|AB|，可得△ABF為等邊三角形，B正確；
解析　建立如圖平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0).
7.如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米.水位下降1米后，水面寬________米.
由題意將點A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.
解析　∵半徑為3的圓與拋物線的準線l相切，∴圓心到準線的距離等于3，
8.已知直線l是拋物線y2＝2px(p＞0)的準線，半徑為3的圓過拋物線頂點O和焦點F與l相切，則拋物線的方程為________.
所以拋物線方程為y2＝4x.當直線AB的斜率不存在時，將x＝1代入拋物線方程，解得|AF|＝|BF|＝2，
當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y＝k(x－1)，
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
與y2＝2px聯(lián)立，化簡得4x2－5px＋p2＝0，
所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
解　由p＝4，4x2－5px＋p2＝0得x2－5x＋4＝0.又x1＜x2，
∴拋物線C的方程為y2＝x，
即只需證明2kOA＝kOB＋kOM成立，其中kOA＝kOP＝1，kOB＝kON.當直線MN斜率不存在或斜率為零時，顯然與拋物線只有一個交點不滿足題意，所以直線MN斜率存在且不為零.
(2)求證：A為線段BM的中點.證明　∵BM⊥x軸，∴設M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，根據(jù)題意顯然有x1≠0.若要證A為BM的中點，只需證2yA＝y(tǒng)B＋y1即可，
即kON＋kOM＝kOB＋kOM＝2＝2kOA，∴2yA＝y(tǒng)B＋y1恒成立，∴A為BM的中點，得證.
解析　∵以MF為直徑的圓過點(0，2)，∴點M在第一象限.
12.設拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0，2)，則C的方程為(　　)A.y2＝4x或y2＝8xB.y2＝2x或y2＝8xC.y2＝4x或y2＝16xD.y2＝2x或y2＝16x
∵點N的橫坐標恰好等于圓的半徑，∴圓與y軸切于點(0，2)，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，∴拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x.
解析　由題意知F(1，0)，不妨設A在第一象限，(1)若直線l斜率不存在，則A(1，2)，B(1，－2)，
13.(多選)設F是拋物線C：y2＝4x的焦點，直線l過點F，且與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是(　　 )A.|AB|≥4B.|OA|＋|OB|＞8C.若點P(2，2)，則|PA|＋|AF|的最小值是3D.△OAB面積的最小值是2
消元得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(2)若直線l存在斜率，設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x－1)，顯然k≠0，
綜上，|AB|≥4，S△OAB≥2，故A正確，D正確.過點A向準線作垂線，垂足為N，則|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|.又P(2，2)在拋物線右側(cè)，故當P，A，N三點共線時，|PA|＋|AF|取得最小值3，故C正確.故選ACD.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
設B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
設d1，d2分別為點D，E到直線AB的距離，
因此，四邊形ADBE的面積

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