1.了解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問題.
1.直線與圓錐曲線的位置判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交?Δ 0；直線與圓錐曲線相切?Δ 0；直線與圓錐曲線相離?Δ 0.特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).②與拋物線的對(duì)稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(2)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線與拋物線相切.(　　)(3)與雙曲線漸近線平行的直線一定與雙曲線有公共點(diǎn).(　　)(4)圓錐曲線的通徑是所有的焦點(diǎn)弦中最短的弦.(　　)
由題意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
2.已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長是A.2 B.4 C.8 D.16
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝1，
3.已知點(diǎn)A，B是雙曲線C： ＝1上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)是M(3,2)，則直線AB的斜率為
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵點(diǎn)A，B是雙曲線C上的兩點(diǎn)，
∵M(jìn)(3,2)是線段AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
例1　(1)若直線mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓 ＝1的交點(diǎn)有A.1個(gè) B.至多1個(gè)C.2個(gè) D.0個(gè)
因?yàn)橹本€mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒有交點(diǎn)，
(2)(多選)已知直線y＝x與雙曲線 ＝1(a>0，b>0)無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率可能為
(1)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(2)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行(或重合).
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2023·梅州模擬)拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線為l，l與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作拋物線的一條切線，切點(diǎn)為B，則△OAB的面積為A.1 B.2 C.4 D.8
∵拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線為l，∴l(xiāng)的方程為x＝－1，A(－1,0)，設(shè)過點(diǎn)A作拋物線的一條切線為x＝my－1，m>0，
∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，
(2)已知雙曲線C： ＝1(a>0，b>0)，經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F，且傾斜角為60°的直線l與雙曲線右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為______.
例2　(2021·新高考全國Ⅱ)已知橢圓C的方程為 ＝1(a>b>0)，右焦點(diǎn)為(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線x2＋y2＝b2(x>0)相切.證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|＝
由(1)得，曲線為x2＋y2＝1(x>0)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN：x＝1，不符合題意；當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
所以必要性成立；充分性：設(shè)直線MN：y＝kx＋m(kmb>0)，短軸長為橢圓左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F1的距離為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為B，過F1的直線l與橢圓C交于點(diǎn)M，N，且S△BMN＝ 求直線l的方程.
由題意知，直線的斜率存在且不為0，F(xiàn)1(－1,0)，B(2,0)，設(shè)直線l的方程為x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
解得m＝±1，所以直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
例3　(2023·衡水模擬)已知橢圓C： ＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為 短軸頂點(diǎn)分別為M，N，四邊形MF1NF2的面積為32.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b＝c.因?yàn)樗倪呅蜯F1NF2的面積為32，
(2)直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,1)，求直線l的方程.
由題意得，直線l的斜率存在.
因?yàn)锳B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,1)在橢圓內(nèi)部，
故直線l的方程為y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
(1)解決圓錐曲線“中點(diǎn)弦”問題的思路①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.②點(diǎn)差法：設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓錐曲線的方程，并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和直線AB斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計(jì)算量.
(2)點(diǎn)差法常用結(jié)論已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，若拋物線C上存在關(guān)于直線l：x－y－2＝0對(duì)稱的不同的兩點(diǎn)P和Q，則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為A.(1，－1) B.(2,0)C. D.(1,1)
因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，則p＝1，所以y2＝2x.設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2).
則(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
又∵P，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，
又∵PQ的中點(diǎn)在直線l上，
∴線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1).
1.已知直線l：kx＋y＋1＝0，橢圓C： ＝1，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系是A.相離 B.相切C.相交 D.無法確定
由直線l：kx＋y＋1＝0，得直線l過定點(diǎn)(0，－1)，
所以直線l與橢圓C相交.
由拋物線的對(duì)稱性知，要使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，
代入拋物線方程可解得p＝1.
2.(2023·長春模擬)直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，若使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，則p等于
3.已知直線l的方程為y＝kx－1，雙曲線C的方程為x2－y2＝1.若直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
因?yàn)橹本€y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝1的右支交于不同的兩點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)P為直線l與橢圓的交點(diǎn)， 所以點(diǎn)P到直線AB的距離為d，
此時(shí)直線l與橢圓有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有2個(gè)P點(diǎn)，所以共有3個(gè)P點(diǎn).
5.(多選)已知直線l：x＝ty＋4與拋物線C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別記為k1，k2，則A.y1y2為定值B.k1k2為定值C.y1＋y2為定值D.k1＋k2＋t為定值
對(duì)于A，y1y2＝－16為定值，故A正確；
對(duì)于C，y1＋y2＝4t，不為定值，故C錯(cuò)誤；
6.(多選)已知橢圓C： ＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c.直線l：y＝k(x＋c)(k∈R)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下列說法中正確的是A.△ABF2的周長為4a
由直線l：y＝k(x＋c)過點(diǎn)(－c,0)，知弦AB過橢圓的左焦點(diǎn)F1.所以△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正確；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則a2－2c2≤3c2≤a2－c2，
即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，
如圖所示，由橢圓定義可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a ，則△ABF2的周長為4a，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABF2內(nèi)切圓的半徑為r，又△ABF2內(nèi)切圓的周長是2π，故2π＝2πr，則r＝1，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
9.已知橢圓C：長軸長為4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
解得a＝2，c＝1，則b2＝3，
(2)已知直線l過定點(diǎn) ，若橢圓C上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l的斜率k的取值范圍.
易知直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為
當(dāng)直線l的斜率k＝0時(shí)，易得在橢圓C上有無數(shù)對(duì)A，B關(guān)于直線y＝0對(duì)稱；
兩式相減得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0，
因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，
解得－20)，則在橢圓上一點(diǎn)A(x0，y0)處的切線方程為 ＝1，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓C1： ＋y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B為C1在第一象限中的任意一點(diǎn)，過B作C1的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，則△OCD面積的最小值為
設(shè)B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由題意得，
12.已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方)，過A，B分別作l的垂線，垂足分別為M，N，連接MF，NF.若|MF|＝ |NF|，則直線AB的斜率為_____.
如圖，由題意得|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，因?yàn)椤螦FM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，
13.(2022·濟(jì)南模擬)已知拋物線C：y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，直線l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于M1，M2，M3，M4四點(diǎn)，則下列各式結(jié)果為定值的是A.|M1M2|·|M3M4| B.|FM1|·|FM4|C.|M1M3|·|M2M4| D.|FM1|·|M1M2|
如圖，分別設(shè)M1，M2，M3，M4四點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，x3，x4，由y2＝4x得焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l0：x＝－1，由定義得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，同理|M3M4|＝x4，
整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，設(shè)M1(x1，y1)，M4(x4，y4)，則x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.
14.(2022·新高考全國Ⅰ)已知橢圓C： ＝1(a>b>0)，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為 過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，|DE|＝6，則△ADE的周長是_____.
如圖，連接AF1，DF2，EF2，
所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因?yàn)閨AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，
所以△AF1F2為等邊三角形，又DE⊥AF2，所以直線DE為線段AF2的垂直平分線，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，
得13x2＋8cx－32c2＝0.設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，

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