考點(diǎn)01 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)
解答題
1．（2024·全國(guó)·高考Ⅰ卷）已知函數(shù)
(1)若，且，求的最小值；
(2)證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；
(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．
2．（2024·全國(guó)·高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
3．（2024·全國(guó)·高考甲卷理）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
4．（2023·年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
5．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
6．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
7．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范圍．
8．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若的圖象與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.
9．（2020年全國(guó)高考Ⅰ卷（文）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
10．（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
11．（2023·全國(guó)乙卷）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
12．（2022·全國(guó)乙卷）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
13．（2021·全國(guó)甲卷）已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
14．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
15．（2020年全國(guó)高考Ⅰ卷）已知函數(shù).
（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
考點(diǎn)02 恒成立問(wèn)題
解答題
1．（2024·全國(guó)·高考甲卷文）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．
2．（2023 全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對(duì)任意的，有．
4．（2021·全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
7．（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．
（1）求b．
（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
（2023年全國(guó)新高考Ⅱ卷（文））
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
9．（2020年全國(guó)高考Ⅱ卷（文）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
考點(diǎn)03 三角函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題
一、解答題
1．（2023年全國(guó)高考Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
2．（2023·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若和有公共點(diǎn)，
（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
（ii）求證：．
4．（2020年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.
（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；
（2）證明：；
（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
5．（2021年全國(guó)高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；
（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
考點(diǎn)04 導(dǎo)數(shù)類綜合問(wèn)題
1（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.
(2)求證：不經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？
（參考數(shù)據(jù)：，，）
2．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求圖象上點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在時(shí)恒成立，求的值；
(3)若，證明．
3．（2023·全國(guó)乙卷）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
4．（2022·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．
5．（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
6．（2022年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
7．（2021·全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
8．（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
9．（2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)
①；
②．
10．（2020年全國(guó)高考Ⅲ卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．
（1）求b．
（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
11．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．
12．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處切線的斜率；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：；
(3)證明：．
13．（2021·全國(guó)乙卷）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．
14．（2021年全國(guó)高考Ⅱ卷（文））已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)
①；②．
15．（2020·全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；
（2）設(shè)a>0時(shí)，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．
16．（2020·全國(guó)高考Ⅲ卷(文)）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
17（2021·年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
考點(diǎn)05 函數(shù)導(dǎo)數(shù)新定義
1（2024·上?！じ呖颊骖}）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱是在的“最近點(diǎn)”．(1)對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；(2)對(duì)于，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；
(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù) 在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性
參考答案與詳細(xì)解析


考點(diǎn)01 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)
解答題
1．（2024·全國(guó)·高考Ⅰ卷）已知函數(shù)
(1)若，且，求的最小值；
(2)證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；
(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)
【詳解】（1）時(shí)，，其中，
則，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值為.，
（2）的定義域?yàn)椋?br>設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，
關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
因?yàn)樵趫D象上，故，
而，
，
所以也在圖象上，
由的任意性可得圖象為中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為.
（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，
所以即，
先考慮時(shí)，恒成立.
此時(shí)即為在上恒成立，
設(shè)，則在上恒成立，
設(shè)，
則，
當(dāng)，，
故恒成立，故在上為增函數(shù)，
故即在上恒成立.
當(dāng)時(shí)，，
故恒成立，故在上為增函數(shù)，
故即在上恒成立.
當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，
故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；
綜上，在上恒成立時(shí).
而當(dāng)時(shí)，
而時(shí)，由上述過(guò)程可得在遞增，故的解為，
即的解為.
綜上，.
2．（2024·全國(guó)·高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，
可得，，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
所以切線方程為，即.
（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且?br>若，則對(duì)任意恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無(wú)極大值，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價(jià)于，解得，
所以a的取值范圍為；
解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且?br>若有極小值，則有零點(diǎn)，
令，可得，
可知與有交點(diǎn)，則，
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無(wú)極大值，符合題意，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，
因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為.
3．（2024·全國(guó)·高考甲卷理）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值.(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
故，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
故在上為增函數(shù)，而，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在處取極小值且極小值為，無(wú)極大值.
（2），
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
故，即，
所以在上為增函數(shù)，故.
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，故在上，
即在上即為減函數(shù)，
故在上，不合題意，舍.
當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.
4．（2023·年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.
【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
5．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
據(jù)此可得，
所以函數(shù)在處的切線方程為，即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
滿足題意時(shí)在區(qū)間上恒成立.
令，則，
令，原問(wèn)題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，
則，
當(dāng)時(shí)，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，不合題意;
令，則，
當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.
當(dāng)時(shí)，由可得，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，
注意到，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
由于，故當(dāng)時(shí)，，不合題意.
綜上可知：實(shí)數(shù)得取值范圍是.
6．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時(shí)，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，
由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，
此時(shí)
存在，使得，
所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
7．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范圍．
【答案】(1)3(2)
【詳解】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，
即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；
（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，
設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，
則，整理得，
令，則，令，解得或，
令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：
則的值域?yàn)?，故的取值范圍?
8．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若的圖象與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.
【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，
因?yàn)?，故?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）因?yàn)榍业膱D與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，
所以的圖象在軸的上方，
由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，
故即.
9．（2020年全國(guó)高考Ⅰ卷（文）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
令，解得，令，解得，
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，
從方程可知，不成立，即有兩個(gè)解，
令，則有，
令，解得，令，解得或，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，
而時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，有，
所以滿足條件的的取值范圍是：.
10．（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【詳解】（1），，.
，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),
∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
∴所求三角形面積為．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
設(shè),則
∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.
當(dāng)時(shí)， ，，,
∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
當(dāng)時(shí)， ∴不是恒成立.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)
由得，即，而，所以．
令，則，所以在R上單調(diào)遞增．
由，可知，所以，所以．
令，則．
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以，則，即．
所以a的取值范圍為．
［方法三］：換元同構(gòu)
由題意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在時(shí)為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．
令，所以．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．所以．
［方法四］：
因?yàn)槎x域?yàn)椋?，所以，即?br>令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以時(shí)，有，即．
下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立．
令，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．
因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．
因此要證明時(shí)，恒成立，只需證明即可．
由，得．
上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得，故時(shí)，恒成立．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，顯然不滿足恒成立．
所以a的取值范圍為．
11．（2023·全國(guó)乙卷）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見(jiàn)解析.(3).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，據(jù)此可得，
函數(shù)在處的切線方程為，
即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>定義域關(guān)于直線對(duì)稱，由題意可得，
由對(duì)稱性可知，
取可得，
即，則，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.
即存在滿足題意.
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;
當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，
據(jù)此可得恒成立，
則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
故，即(取等條件為)，
所以，
，且注意到，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以.
令，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.
12．（2022·全國(guó)乙卷）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）的定義域?yàn)?br>當(dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
（2）
設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意
若,當(dāng),則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意
若
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
當(dāng),
令則
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
又，，
所以在上有唯一零點(diǎn)
又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)
(2)當(dāng)
設(shè)
所以在單調(diào)遞增
所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增,
又
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，
又，
而,所以當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)
即在上有唯一零點(diǎn)
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為
13．（2021·全國(guó)甲卷）已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,
令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
,設(shè)函數(shù),
則,令，得,
在內(nèi),單調(diào)遞增；
在上,單調(diào)遞減；
,
又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是.
[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)
由與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，取對(duì)數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解．
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
由于，
當(dāng)時(shí)，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知，所以，即．
構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的解為且．
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
[方法三]分離法：一曲一直
曲線與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相同的解．
因?yàn)椋詢蛇吶?duì)數(shù)得，即，問(wèn)題等價(jià)為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．
②當(dāng)時(shí)，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．
當(dāng)與為同一直線時(shí)有得
直線的斜率滿足：時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．
記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時(shí)，最大值為，所當(dāng)且時(shí)有．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
[方法四]：直接法
．
因?yàn)?，由得?br>當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
因?yàn)?，且，所以，即，即，兩邊取?duì)數(shù)，得，即．
令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．
故實(shí)數(shù)a的范圍為．]
14．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析；（III）
【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出大致圖像如下：
所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；
（III）由（II）知，此時(shí)，
所以，
令，
若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，
，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.
15．（2020年全國(guó)高考Ⅰ卷）已知函數(shù).
（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）
【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，
由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
(2) [方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
由得，，其中，
①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；
②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，
記，，
令，
則，，
故單調(diào)遞增，，
故函數(shù)單調(diào)遞增，，
由可得：恒成立，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
因此，,
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
[方法二]：特值探路
當(dāng)時(shí)，恒成立．
只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．
當(dāng)時(shí)，．
只需證明⑤式成立．
⑤式，
令，
則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)單調(diào)遞增；
當(dāng)單調(diào)遞減．
從而，即，⑤式成立．
所以當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上．
[方法三]：指數(shù)集中
當(dāng)時(shí)，恒成立，
記，
，
①.當(dāng)即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意；
②.若即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，
所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時(shí)，成立；
③當(dāng)即時(shí)，，又由②可知時(shí)，成立，所以時(shí)，恒成立，
所以時(shí)，滿足題意.綜上，.
考點(diǎn)02 恒成立問(wèn)題
解答題
1．（2024·全國(guó)·高考甲卷文）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析
【詳解】（1）定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），且時(shí)，，
令，下證即可.
，再令，則，
顯然在上遞增，則，
即在上遞增，
故，即在上單調(diào)遞增，
故，問(wèn)題得證
2．（2023 全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
方法二：令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對(duì)任意的，有．
【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率∴切線方程為：
（2）解：因?yàn)椋? 所以，
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，∴
∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.
（3）解：原不等式等價(jià)于，
令，，即證，
∵，
，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，所以命題得證.
4．（2021·全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解
【詳解】（1）由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋?br>要證，即證，即證．
（?。┊?dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（?。áⅲ┯校?br>[方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當(dāng) 時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；
同理，當(dāng)時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單減，故；
當(dāng)時(shí)，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見(jiàn)結(jié)論證明
令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．
（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．
綜合（?。áⅲ┑茫?dāng)且時(shí)，，即．
5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，
此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）因?yàn)?，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，，.
6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)
（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析；（III）
【詳解】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出大致圖像如下：
所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；
（III）由（II）知，此時(shí)，
所以，
令，
若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，
，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.
7．（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．
（1）求b．
（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；
（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，由題意，，即：，則．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得，，
令，得或；令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
且，
若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，
即或.
當(dāng)時(shí)，，
又，
由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，
即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，
此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
當(dāng)時(shí)，，
又，
由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，
即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，
此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.
［方法二］【最優(yōu)解】：
設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，且，則．
從而．
令，由判別式，可知在R上有解，的對(duì)稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時(shí)，），進(jìn)而有，所以的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值均不大于1．
［方法三］：
設(shè)是函數(shù)的一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，且．設(shè)，則，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又，于是的值域?yàn)椋?br>設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則必有，于是，所以解得，即．
綜上，的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
［方法四］：
由（1）知，，令，得或．則在區(qū)間內(nèi)遞增，在區(qū)間內(nèi)遞減，在區(qū)間內(nèi)遞增，所以的極大值為的極小值為．
（ⅰ）若，即或，有唯一一個(gè)零點(diǎn)，顯然有，不滿足題意；
（ⅱ）若，即或，有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)一個(gè)零點(diǎn)為，顯然有，此時(shí)，，則，另一個(gè)零點(diǎn)為1，滿足題意；同理，若一個(gè)零點(diǎn)為，則另一個(gè)零點(diǎn)為．
（ⅲ）若，即，有三個(gè)零點(diǎn)，易知在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，顯然有，又，，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)m，顯然，同理，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)n，有．綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
［方法五］：
設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)且，則是的另一個(gè)零點(diǎn)．
．
則，設(shè)，由判別式，所以方程有解．假設(shè)實(shí)數(shù)滿足．
由，得．與矛盾，假設(shè)不成立．所以，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
（2023年全國(guó)新高考Ⅱ卷（文））
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）
【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
構(gòu)建，
則，
構(gòu)建，則對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
即對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>若，則，
因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.
當(dāng)時(shí)，令
因?yàn)椋?br>且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，
由（1）可得，
構(gòu)建，
則，
且，則對(duì)恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，則，且，
則，
即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
9．（2020年全國(guó)高考Ⅱ卷（文）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【詳解】（1），，.
，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),
∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
∴所求三角形面積為．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
設(shè),則
∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.
當(dāng)時(shí)， ，，,
∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
當(dāng)時(shí)， ∴不是恒成立.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)
由得，即，而，所以．
令，則，所以在R上單調(diào)遞增．
由，可知，所以，所以．
令，則．
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以，則，即．
所以a的取值范圍為．
［方法三］：換元同構(gòu)
由題意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在時(shí)為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．
令，所以．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．所以．
［方法四］：
因?yàn)槎x域?yàn)椋?，所以，即?br>令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以時(shí)，有，即．
下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立．
令，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．
因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．
因此要證明時(shí)，恒成立，只需證明即可．
由，得．
上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得，故時(shí)，恒成立．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，顯然不滿足恒成立．
所以a的取值范圍為．
考點(diǎn)03 三角函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題
一、解答題
1．（2023年全國(guó)高考Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）
【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
構(gòu)建，
則，
構(gòu)建，則對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
即對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>若，則，
因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.
當(dāng)時(shí)，令
因?yàn)椋?br>且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，
由（1）可得，
構(gòu)建，
則，
且，則對(duì)恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，則，且，
則，
即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
2．（2023·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析.(2)
【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可;
（2）構(gòu)造,計(jì)算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對(duì)討論即可.
【詳解】（1）
令,則
則
當(dāng)
當(dāng),即.
當(dāng),即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當(dāng),符合題意.
若
當(dāng),所以.
.
所以,使得,即,使得.
當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.
所以當(dāng),不合題意.
綜上,的取值范圍為.
3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若和有公共點(diǎn)，
（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
（ii）求證：．
【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析
【詳解】（1），故，而，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.
（2）（i）當(dāng)時(shí)，
因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，
設(shè)，故，故在上有解，
設(shè)，故在上有零點(diǎn)，
而，
若，則恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，
若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，
而，，故在上無(wú)零點(diǎn)，
故，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，，
故在上存在唯一零點(diǎn)，
且時(shí)，；時(shí)，；
故時(shí)，；時(shí)，；
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，
而，故即，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，故.
（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，
所以有解，其中，
若，則，該式不成立，故.
故，考慮直線，
表示原點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，
故，所以，
下證：對(duì)任意，總有，
證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.
當(dāng)時(shí)，即證，
設(shè)，則（不恒為零），
故在上為減函數(shù)，故即成立.
綜上，成立.
下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，
，則，
故在上為增函數(shù)，故即恒成立.
下證：在上恒成立，即證：，
即證：，即證：，
而，故成立.
故，即成立.
4．（2020年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.
（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；
（2）證明：；
（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.
(3)[方法一]將所給的式子進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造出(2)的形式，利用(2)的結(jié)論即可證得題中的不等式.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：
，
在上的根為：，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
(2)[方法一]【最優(yōu)解】：基本不等式法
由四元均值不等式可得
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即或時(shí)等號(hào)成立．
所以．
[方法二]：構(gòu)造新函數(shù)+齊次化方法
因?yàn)?，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值．
求導(dǎo)得，令，得．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以函數(shù)的最大值為，故．
[方法三]：結(jié)合函數(shù)的周期性進(jìn)行證明
注意到，
故函數(shù)是周期為的函數(shù)，
結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，
，，
據(jù)此可得：，，
即.
(3)利用(2)的結(jié)論
由于，
所以．
5．（2021年全國(guó)高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；
（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.
【詳解】（1）
令，則
當(dāng)時(shí)，令，解得：
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
又，，
即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，即無(wú)零點(diǎn)
，使得
又在上單調(diào)遞減 為，即在上的唯一零點(diǎn)
綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)
（2）若時(shí)，，即恒成立
令
則，
由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
且，，
，
①當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立
在上單調(diào)遞增
，即，此時(shí)恒成立
②當(dāng)時(shí)，，，
，使得
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
又，
在上恒成立，即恒成立
③當(dāng)時(shí)，，
，使得
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
時(shí)，，可知不恒成立
④當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞減 可知不恒成立綜上所述：
考點(diǎn)04 導(dǎo)數(shù)類綜合問(wèn)題
1（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.
(2)求證：不經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？
（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明見(jiàn)解析(3)2
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2），切線的斜率為，
則切線方程為，
將代入則，
即，則，，
令，
假設(shè)過(guò)，則在存在零點(diǎn).
，在上單調(diào)遞增，，
在無(wú)零點(diǎn)，與假設(shè)矛盾，故直線不過(guò).
（3）時(shí)，.
，設(shè)與軸交點(diǎn)為，
時(shí)，若，則此時(shí)與必有交點(diǎn)，與切線定義矛盾.
由（2）知.所以，
則切線的方程為，
令，則.
，則，
，記，
滿足條件的有幾個(gè)即有幾個(gè)零點(diǎn).
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
因?yàn)椋?br>，
所以由零點(diǎn)存在性定理及的單調(diào)性，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有兩個(gè)零點(diǎn)，即滿足的有兩個(gè).
2．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求圖象上點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在時(shí)恒成立，求的值；
(3)若，證明．
【答案】(1)(2)2(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析
【詳解】（1）由于，故.
所以，，所以所求的切線經(jīng)過(guò)，且斜率為，故其方程為.
（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
所以在上遞減，在上遞增，這就說(shuō)明，即，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
設(shè)，則
.
當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，所以命題等價(jià)于對(duì)任意，都有.
一方面，若對(duì)任意，都有，則對(duì)有
，
取，得，故.
再取，得，所以.
另一方面，若，則對(duì)任意都有，滿足條件.
綜合以上兩個(gè)方面，知的值是2.
（3）先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)，有.
證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，
且，
所以，即.
由，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
所以在上遞減，在上遞增.
不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論.
情況一：當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立；
情況二：當(dāng)時(shí)，有.
對(duì)任意的，設(shè)，則.
由于單調(diào)遞增，且有
，
且當(dāng)，時(shí)，由可知
.
所以在上存在零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時(shí)，時(shí).
故在上遞減，在上遞增.
①當(dāng)時(shí)，有；
②當(dāng)時(shí)，由于，故我們可以取.
從而當(dāng)時(shí)，由，可得
.
再根據(jù)在上遞減，即知對(duì)都有；
綜合①②可知對(duì)任意，都有，即.
根據(jù)和的任意性，取，，就得到.
所以.
情況三：當(dāng)時(shí)，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，.
而根據(jù)的單調(diào)性，知或.
故一定有成立.綜上，結(jié)論成立.
3．（2023·全國(guó)乙卷）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見(jiàn)解析.(3).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
據(jù)此可得，
函數(shù)在處的切線方程為，
即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>定義域關(guān)于直線對(duì)稱，由題意可得，
由對(duì)稱性可知，
取可得，
即，則，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.
即存在滿足題意.
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;
當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，
據(jù)此可得恒成立，
則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
故，即(取等條件為)，
所以，
，且注意到，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以.
令，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.
綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.
4．（2022·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)的解析
【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)
的定義域?yàn)?，則
令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構(gòu)處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)
要證,即證
因?yàn)?即證
又因?yàn)?故只需證
即證
即證
下面證明時(shí)，
設(shè)，
則
設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解
又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故
兩邊取對(duì)數(shù)得：，即
又因?yàn)?，故，?br>下證
因?yàn)?br>不妨設(shè)，則只需證
構(gòu)造，則
故在上單調(diào)遞減
故，即得證
5．（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，而?br>若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故.
的定義域?yàn)?，?
當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
故.
當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
故.
因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?br>故，整理得到，其中，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.綜上，.
（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.
當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
設(shè)，其中，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.
當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，
當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)根，
故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則.設(shè)，其中，故，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
而，，
故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：
當(dāng)時(shí)，即即，
當(dāng)時(shí)，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
故，
此時(shí)有兩個(gè)不同的根，
此時(shí)有兩個(gè)不同的根，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和
共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；
②時(shí)，此時(shí)，
故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；
③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，
即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，，?br>令，則，
所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為
其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，
即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，，?br>令，則，
所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為
再次，證明存在b，使得
因?yàn)?，所以?br>若，則，即，
所以只需證明在上有解即可，
即在上有零點(diǎn)，
因?yàn)?，?br>所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，
此時(shí)取
則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，
因?yàn)?br>所以，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，
同理，因?yàn)椋?br>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，
又因?yàn)?，所以?br>即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
6．（2022年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見(jiàn)解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對(duì)任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時(shí)，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對(duì)任意的恒成立.
所以對(duì)任意的，有，
整理得到：，
故
，故不等式成立.
7．（2021·全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解
【詳解】（1）由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋?br>要證，即證，即證．
（?。┊?dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當(dāng) 時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；
同理，當(dāng)時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單減，故；
當(dāng)時(shí)，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見(jiàn)結(jié)論證明
令，因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．
（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．
綜合（?。áⅲ┑茫?dāng)且時(shí)，，即．
8．（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】(1)的定義域?yàn)椋?br>由得，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br>于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因?yàn)?，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)?，所以，?br>又因?yàn)椋裕?br>即．
因?yàn)?，所以，即?br>綜上，有結(jié)論得證．
9．（2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)
①；
②．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當(dāng)時(shí)，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：
，
當(dāng)時(shí)，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.
10．（2020年全國(guó)高考Ⅲ卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．
（1）求b．
（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)?，由題意，，即：，則．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得，，
令，得或；令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
且，
若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，
即或.
當(dāng)時(shí)，，
又，
由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，
即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，
此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
當(dāng)時(shí)，，
又，
由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，
即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，
此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.
［方法二］【最優(yōu)解】：
設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，且，則．
從而．
令，由判別式，可知在R上有解，的對(duì)稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時(shí)，），進(jìn)而有，所以的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值均不大于1．
［方法三］：
設(shè)是函數(shù)的一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，且．設(shè)，則，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又，于是的值域?yàn)椋?br>設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則必有，于是，所以解得，即．
綜上，的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
［方法四］：
由（1）知，，令，得或．則在區(qū)間內(nèi)遞增，在區(qū)間內(nèi)遞減，在區(qū)間內(nèi)遞增，所以的極大值為的極小值為．
（ⅰ）若，即或，有唯一一個(gè)零點(diǎn)，顯然有，不滿足題意；
（ⅱ）若，即或，有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)一個(gè)零點(diǎn)為，顯然有，此時(shí)，，則，另一個(gè)零點(diǎn)為1，滿足題意；同理，若一個(gè)零點(diǎn)為，則另一個(gè)零點(diǎn)為．
（ⅲ）若，即，有三個(gè)零點(diǎn)，易知在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，顯然有，又，，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)m，顯然，同理，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)n，有．
綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
［方法五］：
設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)且，則是的另一個(gè)零點(diǎn)．
．
則，設(shè)，由判別式，所以方程有解．
假設(shè)實(shí)數(shù)滿足．
由，得．與矛盾，假設(shè)不成立．
所以，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．
11．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)3個(gè)
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，
所以，，
則，解得，
所以.
（2）由（1）得，
則，
令，解得，不妨設(shè)，，則，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，即
所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
則，故，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則，故，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
所以，則單調(diào)遞增，
所以在上無(wú)極值點(diǎn)；
綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).
12．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處切線的斜率；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：；
(3)證明：．
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1），則，
所以，故處的切線斜率為；
（2）要證時(shí)，即證，
令且，則，
所以在上遞增，則，即.
所以時(shí).
（3）設(shè)，，
則，
由（2）知：，則，
所以，故在上遞減，故；
下證，
令且，則，
當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，
所以，故在上恒成立，
則，
所以，，…，，
累加得：，而，
因?yàn)?，所以?br>則，
所以，故；
綜上，，即.
13．（2021·全國(guó)乙卷）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2) 和.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
導(dǎo)函數(shù)的判別式，
當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，的解為：，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在，上
單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)由題意可得：，，
則切線方程為：，
切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則：,
整理可得：，即：，
解得：，則，
切線方程為：,
與聯(lián)立得，
化簡(jiǎn)得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，是的一個(gè)因式，∴該方程可以分解因式為
解得,
，
綜上，曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.
14．（2021年全國(guó)高考Ⅱ卷（文））已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)
①；②．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當(dāng)時(shí)，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：
，
當(dāng)時(shí)，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.
15．（2020·全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；
（2）設(shè)a>0時(shí)，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．
【答案】（1）；（2）在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒(méi)有遞增區(qū)間
[方法一]【最優(yōu)解】：
等價(jià)于．
設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
故，所以，即，所以c的取值范圍是．
[方法二]：切線放縮
若，即，即當(dāng)時(shí)恒成立，
而在點(diǎn)處的切線為，從而有，
當(dāng)時(shí)恒成立，即，則．所以c的取值范圍為．
[方法三]：利用最值求取值范圍
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
設(shè)，則有 ，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范圍為．
（2）且
因此，設(shè) ，
則有，
當(dāng)時(shí)，，所以， 單調(diào)遞減，因此有，即
，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以， 單調(diào)遞增，因此有，即 ，所以單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間和 上單調(diào)遞減，沒(méi)有遞增區(qū)間.
16．（2020·全國(guó)高考Ⅲ卷(文)）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；(2).
【詳解】（1）由題，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在
，上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，有三個(gè)零點(diǎn)，則，且
即，解得，
當(dāng)時(shí)，，且，
所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，
同理，，
所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，
又在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，
綜上可知的取值范圍為.
17（2021·年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】(1)的定義域?yàn)椋?br>由得，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br>于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因?yàn)?，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)椋?，?br>又因?yàn)椋裕?br>即．
因?yàn)?，所以，即?br>綜上，有結(jié)論得證．
考點(diǎn)05 函數(shù)導(dǎo)數(shù)新定義
1（2024·上?！じ呖颊骖}）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱是在的“最近點(diǎn)”．
(1)對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；
(2)對(duì)于，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；
(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù) 在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，(3)嚴(yán)格單調(diào)遞減
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
故對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得該點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”．
（2）由題設(shè)可得，
則，因?yàn)榫鶠樯蠁握{(diào)遞增函數(shù)，
則在上為嚴(yán)格增函數(shù)，
而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故，此時(shí)，
而，故在點(diǎn)處的切線方程為.
而，故，故直線與在點(diǎn)處的切線垂直．
（3）設(shè)，
，
而，
，
若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，
設(shè)，則既是的最小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，
因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域均為，則也是兩函數(shù)的極小值點(diǎn)，
則存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因?yàn)楹瘮?shù)在定義域R上恒正，
則恒成立，
接下來(lái)證明，
因?yàn)榧仁堑淖钚≈迭c(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，
則，
即，③
，④
③④得
即，因?yàn)?br>則，解得，
則恒成立，因?yàn)榈娜我庑裕瑒t嚴(yán)格單調(diào)遞減
考點(diǎn)
五年考情（2020-2024）
命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)
2024全國(guó)甲卷 Ⅰ卷
2023 Ⅱ卷 乙 甲
2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷
2021 甲卷 Ⅰ卷
2020Ⅰ卷 Ⅲ卷
含參的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題是高考中的一個(gè)高頻考點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題或者存在使成立問(wèn)題以及其他問(wèn)題，可直接求導(dǎo)或者是利用分離參數(shù)去轉(zhuǎn)化。
考點(diǎn)2恒成立問(wèn)題
2023甲卷
2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
2021乙卷 Ⅱ卷
2020ⅠⅡⅢ卷
考點(diǎn)3與三角函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題
2023 Ⅱ卷 甲卷
2022天津卷
2021Ⅰ卷
2020 Ⅱ卷 甲卷
與三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題隨著新高考新結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，這類題目一壓軸題出現(xiàn)的頻率會(huì)變大。
考點(diǎn)04 導(dǎo)數(shù)綜合類問(wèn)題
2024 北京 天津
2023乙卷 北京 Ⅰ卷 天津
2022 甲卷 Ⅰ Ⅱ卷
2021乙卷Ⅰ卷
2020 Ⅱ Ⅲ卷
導(dǎo)數(shù)綜合類問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)的壓軸題一般牽扯到不等式的證明問(wèn)題，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，拐點(diǎn)偏移問(wèn)題，隱零點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)放縮問(wèn)題。未來(lái)也是高考重難點(diǎn)
考點(diǎn)05 新定義問(wèn)題
2024 上海卷
隨著高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)的形式出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題將成為高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)
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2024全國(guó)甲卷 Ⅰ卷
2023 Ⅱ卷 乙 甲
2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷
2021 甲卷 Ⅰ卷
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含參的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題是高考中的一個(gè)高頻考點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題或者存在使成立問(wèn)題以及其他問(wèn)題，可直接求導(dǎo)或者是利用分離參數(shù)去轉(zhuǎn)化。
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三年（2021-2023）高考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（文）含答案
藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)真題演練 專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（教師版）

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