數(shù)學(xué)
說明：共三大題，23小題，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填表中）
1．巴黎奧運(yùn)會(huì)比賽中，中國健兒勇于拼搏，生動(dòng)詮釋了奧林匹克精神和中華體育精神．下列巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法通常是：從電線桿DE上一點(diǎn)A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB與AC，當(dāng)固定點(diǎn)B，C到桿腳E的距離相等，且B，E，C在同一直線上時(shí)，電線桿DE就垂直于BC．工程人員這種操作方法的依據(jù)是（ ）

A．等邊對(duì)等角
B．垂線段最短
C．等腰三角形“三線合一”
D．線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等
3．如圖，平分，，是上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的長不可能是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的小正方形，則（ ）
A．B．C．D．
5．近年來，高速鐵路的規(guī)劃與建設(shè)成為各地政府爭取的重要項(xiàng)目，如圖，A，B，C三地都想將高鐵站的修建項(xiàng)目落戶在當(dāng)?shù)兀?，國資委為了使A，B，C三地的民眾都能享受高鐵帶來的便利，決定將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應(yīng)建在（ ）
A．AB，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處B．AB，BC兩邊高線的交點(diǎn)處
C．AB，BC兩邊中線的交點(diǎn)處D．∠B，∠C兩內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)處
6．完美五邊形是指可以無重疊、無間隙鋪滿整個(gè)平面的凸五邊形．如圖，五邊形是迄今為止人類發(fā)現(xiàn)的第15種完美五邊形的示意圖，其中，則的度數(shù)和為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，小明在計(jì)算機(jī)上用“幾何畫板”畫了一個(gè)，，并畫了兩銳角的角平分線，及其交點(diǎn)，小明發(fā)現(xiàn)，無論怎樣變動(dòng)的形狀和大小，的度數(shù)都是定值，則這個(gè)定值為（ ）．

A．B．C．D．
8．信息課上，小文同學(xué)利用計(jì)算機(jī)軟件繪制了美麗的蝴蝶，如圖，在繪圖過程中，小文建立平面直角坐標(biāo)系，先畫出一半圖形，利用對(duì)稱性畫出另一半．若圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3,2，則其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）

A．B．2,3C．D．
9．如圖，書架兩側(cè)擺放了若干本相同的書籍，左右兩摞書中豎直放入一個(gè)等腰直角三角板，其直角頂點(diǎn)C在書架底部DE上，當(dāng)頂點(diǎn)A落在右側(cè)書籍的上方邊沿時(shí)，頂點(diǎn) B 恰好落在左側(cè)書籍的上方邊沿．已知每本書長，厚度為，則兩摞書之間的距離DE為（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，點(diǎn)A，，，在同一直線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)．若，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11．一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放，一直角三角形的斜邊與另一直角三角形的直角邊在同一直線上，則的大小為 ．
12．如圖，，與相交于點(diǎn)，若，，則的長為 ．
13．已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，則它的周長為 ．
14．《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作的一部組合家具的設(shè)計(jì)圖（“蜨”，同“蝶”），它的基本組件為斜角形，包括長斜兩只、右半斜兩只、左半斜兩只、閨一只、小三斜四只、大三斜兩只，共十三只（圖1中的“樣”和“隻”為“樣”和“只”）．圖2為某蝶幾設(shè)計(jì)圖，其中和為大三斜組件（“一樣二隻”的大三斜組件為兩個(gè)全等的等腰直角三角形），已知某人位于點(diǎn)處，點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱，連接，．若，則 °．
15．如圖，（和是對(duì)應(yīng)角），，若，，當(dāng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．（1）已知的三邊長是，，，若，，且三角形的周長是小于15的奇數(shù)．求邊長的值．
（2）圖1是小寧制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，，，，，求的度數(shù)．
17．如圖，在正五邊形中，連接，求證：．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．
(1)請(qǐng)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的．
(2)請(qǐng)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的．
(3)若內(nèi)部一點(diǎn)在中的對(duì)稱點(diǎn)為，在中的對(duì)稱點(diǎn)為，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)．
19．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師提出下列問題：如圖，在中，是銳角，于點(diǎn)D，且，，，求的長．小亮積極思考后向同學(xué)們展示了自己的解題過程，過程如下：
證明：如圖1，在線段上取一點(diǎn)E，使，連接．
，，
垂直平分，
，（依據(jù)1）
．（依據(jù)2）
，
．
又，
，
，
，（依據(jù)3）
，
．
(1)上述解題過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”，“依據(jù)3”分別指的是什么？依據(jù)1： ．依據(jù)2： ．依據(jù)3： ．
(2)看完小亮的解題過程，小創(chuàng)提出了自己的想法：證明：如圖2，延長到點(diǎn)E，使，連接．……請(qǐng)根據(jù)小亮的思路寫出完整的解題步驟．
20．如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，，為外部一點(diǎn)，，且，連接，與交于點(diǎn)．
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
21．如圖，是的角平分線，，，垂足分別是，，連接，與相交于點(diǎn)．
(1)求證：是的垂直平分線．
(2)若的面積為，，，求的長．
22．綜合與實(shí)踐
【問題情境】
如圖1，這是一個(gè)圓形噴水池，水池的中心處有一噴水裝置，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組計(jì)劃使用皮尺測量水池的直徑，但因噴水裝置阻擋，無法直接測量，該如何準(zhǔn)確測量呢？（水池邊緣厚度忽略不計(jì)）
【方案設(shè)計(jì)】方案一：如圖2，先在水池邊上取A，兩點(diǎn)，使得A，，三點(diǎn)共線，再在水池外取一點(diǎn)，測得，的長，在射線，上分別取點(diǎn)，，使得，，最后測得的長，便可求出的長．
方案二：如圖3，先在水池邊上取A，兩點(diǎn)，使得A，，三點(diǎn)共線，過點(diǎn)作的垂線，在上取，兩點(diǎn)，使．接著過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)，最后測得的長，便可求出的長．
【問題解決】
(1)理論上，方案一是否可行？請(qǐng)說明理由．
(2)理論上，方案二是否可行？請(qǐng)說明理由．
(3)小明同學(xué)提出，在方案二中，并不一定需要，，只需要即可，小明的想法是否可行？請(qǐng)說明理由．
23．綜合與探究
如圖1和圖2，在中，，．點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，點(diǎn)在邊上隨點(diǎn)移動(dòng)，且始終保持，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的路程為．
(1)若點(diǎn)在上，當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)A的距離最短．
(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，若經(jīng)過的兩條角平分線與的交點(diǎn)，求四邊形的周長．（用含有的式子表示）
(3)當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，能否使得？如果能，寫出的值，并給予證明；如果不能，請(qǐng)說明理由．
1．B
解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，故符合題意；
C、不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
故選B．
2．C
解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人員這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，
故選：C．
3．A
解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，如圖所示：
∵平分，，，
∴，
∴；
故選A．
4．C
解：如圖，
由圖可知：，
∴，
∴，
∵，
∴；
故選C．
5．A
解：因?yàn)闆Q定將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，所以高鐵站應(yīng)建在AB，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處，
理由是線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；
故選A．
6．C
解：多邊形的外角和為，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
7．A
解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
故選：．
8．A
解：∵圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
故選：A．
9．A
解：∵為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵每本書長，厚度為，
∴，
∴．
故選：A．
10．C
解：，，
，
是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
∴，故①正確，
，
，，
，故②正確，
，
在和中，
，
∴，
，，故③正確，④錯(cuò)誤；
綜上所述：正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；
故選：C．
11．##105度
解：由題意得，，
∴，
∴，
故答案為：．
12．3
解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案為3．
13．15
解：若等腰三角形的另一邊長為3，此時(shí)三邊分別為3，3，6，因?yàn)?，不能?gòu)成三角形；
若等腰三角形的另一邊長為6，此時(shí)三邊分別為3，6，6，因?yàn)?，能?gòu)成三角形，三角形周長為：；
故答案為：15．
14．19
解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，
∴，，
∵和為兩個(gè)全等的等腰直角三角形，
，，
，
，，
，即是等腰三角形，
．
故答案為：19．
15．
解：∵（和是對(duì)應(yīng)角），，
∴，，
，
∵，
∴，，
，
∴．
故答案為：．
16．（1）；（2）
解：（1）∵，，
∴，該三角形的周長為，
∵三角形的周長是小于15的奇數(shù)，
∴，
∴c為的奇數(shù)，
∴；
（2），
，即，
在與中，
，
∴，
．
17．見詳解
解：如圖：
∵五邊形是正五邊形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．(1)圖見詳解
(2)圖見詳解
(3)
（1）解：所作如圖所示：
（2）解：所作如圖所示：
（3）解：由（1）（2）可知：．
19．(1)垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等；在同一三角形中，等邊對(duì)等角；在同一三角形中，等角對(duì)等邊
(2)見解析
解：（1）證明：在線段上取一點(diǎn)E，使，連接．
，，
垂直平分，
，（垂直平分線上任意一點(diǎn),到線段兩端點(diǎn)的距離相等）
．（在同一三角形中，等邊對(duì)等角）
，
．
又，
，
，
，（在同一三角形中，等角對(duì)等邊）
，
．
故答案為：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等；在同一三角形中，等邊對(duì)等角；在同一三角形中，等角對(duì)等邊；
（2）證明：如圖2，延長到點(diǎn)E，使，連接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，，
垂直平分，
．
20．(1)證明見解析
(2)
解：（1）證明：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)見詳解
(2)6
解：（1）證明：是的角平分線，，，
，，
在和中，
，
，
，
∵，
是的垂直平分線；
（2）解：結(jié)合圖形，得，
，
，，
，
解得：，
即的長為6．
22．(1)可行，理由見詳解
(2)可行，理由見詳解
(3)小明的想法可行，理由見詳解
（1）解：方案1可行．
理由如下：
在和中，
，
∴，
，
即量出的距離就是的長；
（2）解：方案2可行．
理由如下：
，，
，
在和中，
，
∴，
，
即量出的距離就是的長；
（3）解：小明的想法可行．
理由如下：
，
，
在和中，
，
∴，
，
即量出的距離就是的長．
23．(1)10
(2)
(3)存在，
（1）解：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，由垂線段最短知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)A的距離最短，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案為：10；
（2）解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，
∵，
∴，
∴，，，，
∵經(jīng)過的兩條角平分線與的交點(diǎn)，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，則，
∴，則，
∴四邊形的周長
；
（3）解：存在，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴．

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