注意事項(xiàng)：
1．共三大題，23小題，滿分120分，作答時(shí)間120分鐘．
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷相應(yīng)的位置．
3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在下表中）
1. 一元二次方程一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A. 2B. 6C. D.
2. 下列是部分星座的符號(hào)，其中是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如圖，是的直徑，C為圓內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. 是圓心角B. 是的弦
C. 是圓周角D.
4. 某種商品每天的銷售利潤(rùn)y（元）與單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為．則這種商品每天的最大利潤(rùn)為（ ）
A. 0.1元B. 3元C. 25元D. 75元
5. 在如圖所示的方格紙（1格長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度）中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，使各頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上，則其旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是( )
A. B. C. D.
6. 若將拋物線向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，則所得拋物線的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
7. 某廠1月份生產(chǎn)口罩60萬箱，第一季度生產(chǎn)口罩共200萬箱，一位同學(xué)根據(jù)題意列出了方程，則x表示意義是（ ）
A. 該廠二月份的增長(zhǎng)率B. 該廠三月份的增長(zhǎng)率
C. 該廠一、二月份平均每月的增長(zhǎng)率D. 該廠二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率
8. 如圖，點(diǎn)P從右向左運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)路線在拋物線上，點(diǎn)P第一次到達(dá)x軸時(shí)的坐標(biāo)為，則當(dāng)點(diǎn)P再次到達(dá)x軸時(shí)的坐標(biāo)為（ ）
A B. C. D.
9. 如圖，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)，，到點(diǎn)的距離相等，則與的數(shù)量關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸相交于點(diǎn)C，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在一起探究該函數(shù)的圖像與性質(zhì)，下面是他們得出的結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11. 若二次函數(shù)的圖像開口向下，則m的值為___________．
12. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)P（﹣1，p）和點(diǎn)Q（q，3）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則pq的值為_____．
13. 如圖，點(diǎn)在上，，則的度數(shù)為___________．
14. 如圖，在中，、，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、則的長(zhǎng)為___________．
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，．當(dāng)線段OM最長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為___________．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16. （1）解方程：．
（2）如圖，已知，把繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B與的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D重合．求的度數(shù)．
17. 疫情期間“停課不停學(xué)”，因此王老師在線上開通公眾號(hào)進(jìn)行公益授課，4月份該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)為6000，6月份該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)達(dá)到7260，若從4月份到6月份，每月該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的平均增長(zhǎng)率都相同，求該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求頂點(diǎn)D坐標(biāo)．
（2）求的面積．
19. 關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為正整數(shù)，求此方程的根．
20. 已知：如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度得到，若．
（1）求證：；
（2）若，，求四邊形面積．
21. 如圖，是半的直徑，是圓上兩點(diǎn)，且，OD與BC交于點(diǎn)E．
（1）求證：E為的中點(diǎn)．
（2）若，，求的長(zhǎng)度．
22. 已知拋物線（m是常數(shù)）．
（1）用含m的代數(shù)式表示該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）當(dāng)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，求m的值及此時(shí)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）小明研究發(fā)現(xiàn)：無論m取何值，拋物線的頂點(diǎn)都在同一條直線上．請(qǐng)寫出這條直線的解析式，并加以證明．
23. 綜合與實(shí)踐
已知與均為等腰直角三角形，其中，連接，P是的中點(diǎn)，連接．
初步感知
（1）如圖1，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系為___________，位置關(guān)系為___________．
深入探究
（2）如圖2，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，（1）中得到的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)加以證明．
拓展提高
（3）如圖3，若等腰直角繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)恰好與平行時(shí)，（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)加以證明．
數(shù)學(xué)答案
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在下表中）
1. C
解析：解：一元二次方程，其一次項(xiàng)系數(shù)是-6．
故選：C．
2. B
解析：解：A、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
C、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
D、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
故選：B．
3. A
解析：解：A、的頂點(diǎn)在圓心，原說法正確，符合題意；
B、點(diǎn)不在圓上，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、點(diǎn)C不在圓上，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、,原說法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
4. C
解析：解：對(duì)于該商品每天的銷售利潤(rùn)y與單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式，
可知其函數(shù)圖像開口向下，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
即當(dāng)單價(jià)元時(shí)，該商品每天的最大利潤(rùn)為元．
故選：C．
5. D
解析：解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)角概念：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角，可知∠是旋轉(zhuǎn)角，
由圖知，∠=90°，
故選：D．
6. B
解析：解：拋物線向右平移3個(gè)單位，解析式為；
再向上平移2個(gè)單位，解析式為．
故選：B．
7. D
解析：解：根據(jù)題意得：二月份生產(chǎn)口罩萬箱，三月份生產(chǎn)口罩萬箱，
∴中，x表示的意義是該廠二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率．
故選：D．
8. C
解析：解：∵拋物線的解析式為，
∴對(duì)稱軸為，
∵，
∴點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離為，
∴與軸的另一個(gè)交點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離也為，即，
∴當(dāng)點(diǎn)P再次到達(dá)x軸時(shí)的坐標(biāo)為，
故選：C．
9. D
解析：解：由題意得到OA=OB=OC=OD，作出圓O，如圖所示，
∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠C=180°．
故選D．
10. B
解析：解：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴，
∴，
故甲同學(xué)結(jié)論正確；
∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，
根據(jù)函數(shù)圖像可得，當(dāng)時(shí)，或，
故乙同學(xué)結(jié)論錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為，
即，
∴，即，
故丙同學(xué)結(jié)論錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，即，
∵時(shí)，，
∴，
故丁同學(xué)結(jié)論正確；
綜上，正確的結(jié)論有甲、丁兩位同學(xué)的兩個(gè)結(jié)論，
故選：B．
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11.
解析：解：∵二次函數(shù)的圖像開口向下，
∴，，
∴，
故答案為：．
12. -3
解析：∵點(diǎn)P(－1，p)和點(diǎn)Q(q，3)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴p=-3，q=1,
∴pq=-3×1=-3.
故答案為-3.
13.##90度
解析：解：∵如圖：，
∴，
故答案為：．
14.
解析：解：∵、，
∴，，
∵旋轉(zhuǎn)，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
15.
解析：解：∵點(diǎn)和點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)在點(diǎn)上方，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，
當(dāng)最小時(shí)，則OM最長(zhǎng)，
∵，即，
∴，
∵點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，
∴,
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16.（1），；（2）
解析：解：（1），
因式分解得：，
∴或，
∴，；
（2）∵把繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B與的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D重合，
∴，，
∴．
17.該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為
解析：解：設(shè)月平均增長(zhǎng)率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，（舍去），
故該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，
答：該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為．
的關(guān)鍵．
18.（1） （2）
小問1解析：
解：，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)的坐標(biāo)為；
小問2解析：
令，即，
解得：，，
∴點(diǎn)，
∴，
令，即，
∴點(diǎn)，
∴，
∴．
19.（1）且；（2），．
解析：（1）∵
．
解得且．
（2）∵正整數(shù)，
∴．
∴原方程為．
解得，．
20.（1）見解析 （2）24
小問1解析：
證明：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度得到，
，，
，
，
，
在與中，
，
；
小問2解析：
解：由(1)知，，
，
，，
，
四邊形是菱形，
，
設(shè)，交于，
，
，
，
四邊形的面積．
21.（1）見解析 （2）
小問1解析：
解：∵是半的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴E為的中點(diǎn)；
小問2解析：
由（1）得，
設(shè)，則，
在中，，
即，
解得：，
即，
∴．
22.（1）
（2）；頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
（3）
小問1解析：
解：，
∴該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
小問2解析：
解：當(dāng)二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，，
解得：，
∴此時(shí)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
小問3解析：
解：直線的函數(shù)表達(dá)式為，證明如下：
∵將，代入滿足，
∴m取不同值時(shí)，點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖像上
即頂點(diǎn)所在的直線的函數(shù)表達(dá)式為．
23.
（1），
（2）成立，理由見解析
（3）成立，理由見解析
小問1解析：
解：∵，P是的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∵與均為等腰直角三角形，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：，；
小問2解析：
成立，理由如下：
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∵P是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是的中點(diǎn)，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，
∴，；
小問3解析：
成立，理由如下：
延長(zhǎng)至，使，連接，
∵與均為等腰直角三角形，
∴,
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形且點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴．

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