下列式子哪些是單項式，哪些不是？是單項式的，它們的系數(shù)各是什么？
問題一個長方形操場被劃分成四個不同的小長方形活動區(qū)域，各邊的長度如圖所示.如何計算整個操場的面積?
可以直接計算整個長方形的面積，也可以分別求出A，B，C，D區(qū)域的面積，再相加即可.
A BC D
你能求出A，B，C，D四個區(qū)域的面積嗎?請解釋你的運算過程. A區(qū)域的面積為a·2b=2ab；B區(qū)域的面積為a·3a=3a2；C區(qū)域的面積為3b·2b=6b2；D區(qū)域的面積為3b·3a=9ab.
怎樣計算單項式4xy與單項式-3xy2的乘積？規(guī)定單項式與單項式相乘的法則，目標就是讓整式的乘法滿足交換律和結合律.
于是，4xy與-3xy2相乘，應為4xy·（ -3xy2 ）=[4×（-3）]·（x·x）·（y·y2） = -12x2y3.因此，單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘.
交流討論1. 2x2y·3xy2 和 4a2x5 ·(-3a3bx)怎樣計算？2.如何進行單項式乘單項式的運算？3.在探索單項式乘法運算法則的過程中，你運用了哪些運算律和運算法則？
(1)2x2y·3xy2(利用乘法交換律、結合律將系數(shù)與系數(shù)，相同字母分別結合，有理數(shù)的乘法、同底數(shù)冪的乘法) (2)4a2x5 ·(-3a3bx) = －12a5bx6． (字母b 只在一個單項式中出現(xiàn)，這個字母及其指數(shù)不變)
=(2×3)(x2·x)(y·y2)= 6x3y3；
=[4×(－3)](a2· a3)· b·(x5· x)
單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.
單項式與單項式的乘法法則
（1）系數(shù)相乘；（2）相同字母的冪相乘；（3）其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.
計算：(1)2xy2? xy ; (2) (－2a2b3?(－3a)； (3)7xy2z?(2xyz)2.
解:(1)原式=(2× )?(x?x)?(y2?y)=
(2)原式=[(－2)×(－3)]?(a2a)?b3 =6a3b3;
(3)原式=7xy2z?4x2y2z2
=(7×4)?(xx2)?(y2y2)?(zz2)
例9 計算：2xy2·x3y3+（-5x3y4）·（-3xy）. 解 2xy2·x3y3+（-5x3y4）·（-3xy） =2x1+3y2+3+15x3+1y4+1 =2x4y5+15x4y5 =17x4y5.
(1) (－3x)2 ·4x2； (2)(－2a)3(－3a)2；
解：原式=9x2·4x2 =(9×4)(x2·x2) =36x4；
解：原式=－8a3·9a2 =[(－8)×9](a3·a2) =－72a5;
解：原式=
例10 天文學上計算天體之間的距離常用“光年”作為單位，1光年就是光在真空中沿直線傳播一年所經過的距離.光在真空中的速度約為3×108m/s，1年約為3.15×107s.計算1光年約為多少米.解 根據(jù)題意得 3×108×3.15×107=（3×3.15）×（108×107） =9.45×1015（m）.答：1光年約為9.45×1015米.
有一塊長為xm，寬為ym的長方形空地，現(xiàn)在要在這塊地中規(guī)劃一塊長 xm，寬 ym的長方形空地用于綠化，求綠化面積和剩下的面積．
解：長方形的面積是xym2，綠化的面積是 x× y＝ xy(m2)，則剩下的面積 是xy－ xy＝ xy(m2)．
例3 已知－2x3m＋1y2n與7x5m－3y5n－4的積與x4y是同類項，求m2＋n的值．
解：∵－2x3m＋1y2n與7x5m－3y5n－4的積與x4y是同類項，
∴2n＋5n－4＝1，3m＋1＋5m－3＝4，
3 下面的計算對不對？如果不對，應怎樣改正？（1）4x2·3x3=12x6；（2）（-x2）·（2x）2=4x4.
4 計算：（-2x2）·3xy4－2x2y3·（-4xy）.
5 某衛(wèi)星繞地球飛行的速度是3.1×103m/s，求其飛行3×102s所走的路程.
1.計算3a·(2b)的結果是( ) A.3ab B.6a C.6ab D.5ab
【解析】3a·(2b)=(3×2)·(a·b)=6ab.
2.計算(－2a2)·3a的結果是( ) A.－6a2 B.－6a3 C.12a3 D.6a3
【解析】(－2a2)·3a=(－2×3)·(a2·a)=－6a3.
3.下面計算結果對不對？如果不對，應當怎樣改正？ (1)3a3 ·2a2=6a6 ( ) 改正： . (2) 2x2 ·3x2=6x4 ( ) 改正： . (3)3x2 ·4x2=12x2 ( ) 改正： . (4) 5y3·3y5=15y15 ( ) 改正： .
3a3 ·2a2=6a5
3x2 ·4x2=12x4
5y3·3y5=15y8
(1)3x2 ·5x3； (2)4y ·(-2xy2)；
解：原式=[4×(-2)](y·y2) ·x =-8xy3；
(3)(-x)3·(x2y)2； 解：原式=(-x3)·(x4y2) =-x7y2.
解：原式=（3×5）(x2·x3) =15x5
5.若長方形的寬是a2，長是寬的2倍，則長方形的面積為 _____.【解析】長方形的長是2a2，所以長方形的面積為a2·2a2=2a4.
6.一個三角形的一邊長為a，這條邊上的高的長度是它的 那么這個三角形的面積是_____.【解析】因為三角形的高為 ，所以這個三角形的面積是
7.若（am+1bn+2）·(a2n－1b)=a5b3,求m+n的值.
解：am+1+2n－1bn+2+1=a5b3;
解得：m=5,n=0.
實質上是轉化為同底數(shù)冪的運算
（1）不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象 （2）有乘方運算，先算乘方，再算單項式相乘.
單項式乘以單項式中的“一、二、三”:一個不變：單項式與單項式相乘時，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.二個相乘：把各個單項式中的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘.
三個檢驗：單項式乘以單項式的結果是否正確，可從以下三個方面來檢驗：①結果仍是單項式；②結果中含有單項式中的所有字母；③結果中每一個字母的指數(shù)都等于前面單項式中同一字母的指數(shù)和.

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初中數(shù)學湘教版（2024）七年級下冊（2024）電子課本 新教材

1.1 整式的乘法

版本： 湘教版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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