（人教版）數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)期末培優(yōu)訓(xùn)練專題01 相交線與平行線（2份，原卷版+解析版）

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A．∠1＝∠2B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE
C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠DD．如果∠2＝50°，則有BC∥AE
解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠1＝∠3，故A錯(cuò)誤．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠3＝60°
∴∠CAE＝90°+60°＝150°，
∴∠E+∠CAE＝180°，
∴AC∥DE，故B正確，
∵∠2＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，
∵∠E+∠3＝∠B+∠4，
∴∠4＝30°，
∵∠D＝60°，
∴∠4≠∠D，故C錯(cuò)誤，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝40°，
∴∠B≠∠3，
∴BC不平行AE，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
2．（2分）（2022春?宜州區(qū)期中）如圖，AB∥CD，BF交CD于點(diǎn)E，AE⊥BF，∠CEF＝35°，則∠A是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
解：∵AE⊥BF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠CEF＝90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC＝55°．
故選：C．
3．（2分）（2022春?江漢區(qū)校級(jí)月考）如圖，給出了過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（ ）
A．同位角相等，兩直線平行
B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
D．對(duì)頂角相等，兩直線平行
解：如圖，給出了過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行．
故選：A．
4．（2分）（2022春?新羅區(qū)期中）如圖，將一個(gè)寬度相等的紙條沿AB折疊一下，若∠1＝140°，則∠2的值為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
解：如圖：
∵寬度相等的紙條沿AB折疊一下，
∴紙條兩邊互相平行，
∴2∠3＝∠1，∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝140°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝110°，
故選：B．
5．（2分）（2022春?溫江區(qū)期末）將一副直角三角板如圖放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，AB∥EF，則∠CGD＝（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
解：∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵EF∥BC，
∴∠FDA＝∠F＝45°，
∴∠CGD＝∠A+∠FDA＝45°+30°＝75°．
故選：C．
6．（2分）（2022春?牡丹江期中）如圖，AB∥CD，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)D∥EH，且FE平分∠AFG，過點(diǎn)F作FG⊥EH于點(diǎn)G，且∠AFG＝2∠D，則下列結(jié)論：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
解：延長(zhǎng)FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正確，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可見，∠HFD的值未必為30°，∠GFH未必為45°，只要和為90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正確．
故選B．
7．（2分）（2019秋?淮陰區(qū)期末）如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿線段EF折疊到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，則∠DFC'的度數(shù)為（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故選：A．
8．（2分）（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G，若∠DEH＝100°，則∠BEG的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
解：設(shè)FBE＝∠FEB＝α，則∠AFE＝2α，
∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH＝∠GEF＝β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，
∠DEH＝100°，則∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，
在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°
故β﹣α＝40°，
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，
故選：B．
9．（2分）（2022春?大觀區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，P為AB上方一點(diǎn)，H、G分別為AB、CD上的點(diǎn)，∠PHB、∠PGD的角平分線交于點(diǎn)E，∠PGC的角平分線與EH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，下列結(jié)論：
①EG⊥FG；
②∠P+∠PHB＝∠PGD；
③∠P＝2∠E；
④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，則∠F＝60°．
其中正確的結(jié)論有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD，
∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD，
∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝，
即EG⊥FG，故①正確；
設(shè)PG與AB交于M，GE于AB交于N，
∵AB∥CD，
∴∠PMB＝∠PGD，
∵∠PMB＝∠P+∠PHM，
∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正確；
∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，
∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，
∵AB∥CD，
∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD，
∴∠PMB＝2∠ENB，
∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB，
∴∠P＝2∠E，故③正確；
∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMH＝∠PGC，
∠AHP﹣∠PGC＝∠F，
∴∠P＝∠F，
∵∠FGE＝90°，
∴∠E+∠F＝90°，
∴∠E+∠P＝90°，
∵∠P＝2∠E，
∴3∠E＝90，
解得∠E＝30°，
∴∠F＝∠P＝60°，故④正確．
綜上，正確答案有4個(gè)，
故選：D．
二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）
10．（2分）（2022秋?寧強(qiáng)縣期末）將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若∠ABE＝20°，則∠DBC為 70 度．
解：根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′＝180°，
∴∠ABE+∠DBC＝90°，
又∵∠ABE＝20°，
∴∠DBC＝70°．
故答案為：70．
11．（2分）（2022春?新樂市校級(jí)月考）如圖，直線EF，CD相交于點(diǎn)O，OA⊥OB，垂足為O，且OC平分∠AOF．
（1）若∠AOE＝40°，則∠DOE的度數(shù)為 70° ；
（2）∠AOE與∠BOD的數(shù)量關(guān)系為 ∠AOE＝2∠BOD ．
解：（1）∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOF+∠AOE＝180°，∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝140°，
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝∠COF＝70°，
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，
∴∠DOE＝∠COF＝70°．
故答案為：70°；
（2）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOC＝∠COF，
∴∠AOC＝（180°﹣∠AOE）＝90°﹣∠AOE，
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣∠AOC
＝90°﹣（90°﹣∠AOE）
＝﹣∠AOE，
∴∠AOE＝2∠BOD．
故答案為：∠AOE＝2∠BOD．
12．（2分）（2022春?環(huán)翠區(qū)期末）如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是 α+β﹣γ＝90° ．
解：
過點(diǎn)C作CM∥AB，過點(diǎn)D作DN∥EF，
則：∠BCM＝∠ABC＝α，∠EDN＝∠DEF＝γ，
∵AB∥EF，
∴CM∥DN，
∴∠DCM＝∠CDN，
∵∠BCM+∠DCM＝90°，∠CDN+∠EDN＝β，
∴α+（β﹣γ）＝90°，
∴α+β﹣γ＝90°．
故答案為：α+β﹣γ＝90°．
13．（2分）（2022春?紹興期末）如圖，已知直線AB∥CD，點(diǎn)M、N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)E為AB、CD之間一點(diǎn)，且點(diǎn)E在MN的右側(cè)，∠MEN＝128°．若∠BME與∠DNE的平分線相交于點(diǎn)E1，∠BME1與∠DNE1的平分線相交于點(diǎn)E2，∠BME2與∠DNE2的平分線相交于點(diǎn)E3，……，依此類推，若∠MEnN＝8°，則n的值是 4 ．
解：過E作EH∥AB，E1G∥AB，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，E1G∥CD，
∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，
∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝128°，
同理∠ME1N＝∠BME1+∠DNE1，
∵M(jìn)E1平分∠BME，NE1平分∠DNE，
∴∠BME1+∠DNE1＝（∠BME+∠DNE）＝∠MEN，
∴∠ME1N＝∠MEN，
同理，∠ME2N＝∠ME1N＝∠MEN，
∠ME3N＝∠ME2N＝∠MEN，
???，
∴∠MEnN＝∠MEn﹣1N＝∠MEN，
若∠MEnN＝8°，則∠MEN＝×128°＝8°，
∴n＝4．
故答案為：4．
14．（2分）（2022春?鏡湖區(qū)校級(jí)期末）有長(zhǎng)方形紙片，E，F(xiàn)分別是AD，BC上一點(diǎn)∠DEF＝x（0°＜x＜45°），將紙片沿EF折疊成圖1，再沿GF折疊成圖2．
（1）如圖1，當(dāng)x＝32°時(shí)，∠FGD′＝ 64 度；
（2）如圖2，作∠MGF的平分線GP交直線EF于點(diǎn)P，則∠GPE＝ 2x .（用x的式子表示）．
解：（1）由折疊可得∠GEF＝∠DEF＝32°，
∵長(zhǎng)方形的對(duì)邊是平行的，
∴∠DEG＝∠FGD′，
∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝64°，
∴∠FGD′＝∠EGD＝64°，
∴當(dāng)x＝32°時(shí)，∠GFD′的度數(shù)是64°．
故答案為：64；
（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x．
由折疊可得∠GEF＝∠DEF，
∵長(zhǎng)方形的對(duì)邊是平行的，
∴設(shè)∠BFE＝∠DEF＝x，
∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，
∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，
由折疊可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，
∵GP平分∠MGF，
∴∠PGF＝x，
∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x，
∴∠GPE＝2∠GEP＝2x．
故答案為：∠GPE＝2x．
15．（2分）（2022春?諸暨市期末）從汽車燈的點(diǎn)O處發(fā)出的一束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．則∠AOD的度數(shù)是 45°或99° ．
解：∵DE∥CF，
∴∠COD＝∠ODE．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠ODE＝27°，
∴∠COD＝27°．
在圖1的情況下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．
在圖2的情況下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．
∴∠AOD的度數(shù)為45°或99°．
故答案為：45°或99°．
16．（2分）（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，則∠CFE＝ 155 度．
解：由四邊形ABFE沿EF折疊得四邊形A′B′FE，
∴∠A′EF＝∠AEF．
∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
由四邊形A′B′ME沿AD折疊得四邊形A″B″ME，
∴∠A′ED＝∠A″ED．
∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，
∴∠A′ED＝105°+∠DEF．
∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠DEF＝25°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°．
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB
＝180°﹣25°
＝155°．
故答案為：155．
17．（2分）（2022春?東湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，使得CD與AB平行所有滿足條件的時(shí)間＝ 5秒或95秒 ．
解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，
∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分三種情況：
如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，
∠ACD＝120°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，則∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（3t）°＝110°﹣t°，
解得t＝5；
②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時(shí)，
∠DCF＝360°﹣（3t）°﹣60°＝300°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（3t）°＝110°﹣t°，
解得t＝95；
③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時(shí)，
∠DCF＝（3t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（3t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，
即（3t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝95，
∴此情況不存在．
綜上所述，當(dāng)時(shí)間t的值為5秒或95秒時(shí)，CD與AB平行．
故答案為：5秒或95秒．
18．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知如圖，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝127.5°，則∠BCD﹣∠EAB＝ 37.5 度．
解：設(shè)∠ADE＝x，
∵DE平分∠ADB，
∴∠EDB＝∠ADE＝x，
又ED⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣x，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝2x，∠BCD＝180°﹣（90°﹣x+2x）＝90°﹣x，
∵BD∥AE，
∴∠AED＝∠EDB＝x，
∵∠AED+∠BAD＝127.5°，
∴∠BAD＝127.5°﹣x，∠EAB＝180°﹣（127.5°﹣x+2x）＝52.5°﹣x，
∴∠BCD﹣∠EAB＝（90°﹣x）﹣（52.5°﹣x）＝37.5°．
故答案為：37.5．
19．（2分）（2022春?渭濱區(qū)期末）把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G，D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，則∠2﹣∠1＝ 16° ．
解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，
∵長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G，
∴∠DEF＝∠GEF＝49°，
∴∠2＝2×49°＝98°，
∴∠1＝180°﹣98°＝82°，
∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．
故答案為16°．
三．解答題（共9小題，滿分62分）
20．（6分）（2022秋?丹東期末）如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求證：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于點(diǎn)A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度數(shù)．
（1）證明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥CE；
（2）解：∵CE⊥AE于E，
∴∠CEF＝90°，
由（1）知AD∥CE，
∴∠DAF＝∠CEF＝90°，
∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，
∵∠FAB＝55°，
∴∠ADC＝35°，
∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，
∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°
∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°．
21．（6分）（2019春?本溪期中）已知如圖AB∥CD，
①由圖（1）易得∠B、∠BED、∠D的關(guān)系 ∠BED＝∠B+∠D （直接寫結(jié)論）．
由圖（2）易得∠B、∠BED、∠D的關(guān)系 ∠BED＝360°﹣（∠B+∠D） （直接寫結(jié)論）．
②從圖（1）圖（2）任選一個(gè)圖形說明①中其中一個(gè)結(jié)論成立的理由．
[延伸拓展]
利用上面（1）（2）得出的結(jié)論完成下題
③已知，AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F．若∠E＝60°，求∠BFD的度數(shù)．
解：①由圖（1）易得∠B、∠BED、∠D的關(guān)系∠BED＝∠B+∠D．
由圖（2）易得∠B、∠BED、∠D的關(guān)系∠BED＝360°﹣（∠B+∠D）．
故答案為：∠BED＝∠B+∠D；∠BED＝360°﹣（∠B+∠D）；
②如圖（1）所示：過點(diǎn)E作EM∥AB，
∵AB∥CD，EM∥AB，
∴EM∥CD∥AB，
∴∠B＝∠BEM，∠MED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝∠B+∠D，
∴∠BED＝∠B+∠D；
如圖（2）所示：過點(diǎn)E作EM∥AB，
∵AB∥CD，EM∥AB，
∴EM∥CD∥AB，
∴∠B+∠BEM＝180°，∠MED+∠D＝180°，
∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝360°﹣（∠B+∠D）；
③如圖（3），過點(diǎn)E作EN∥AB，
∵BF、DF分別是∠ABE和∠CDE的平分線，
∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEN＝180°，
∵AB∥CD，AB∥NE，
∴NE∥CD，
∴∠CDE+∠NED＝180°，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝60°，
∴∠ABE+∠CDE＝300°，
∴∠EBF+∠EDF＝150°，
∴∠BFD＝360°﹣60°﹣150°＝150°．
22．（6分）（2022?衡東縣校級(jí)開學(xué)）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝124°，∠PCD＝120°，求∠APC的大?。∶鞯慕忸}思路：過點(diǎn)P作PM∥AB，通過平行線的性質(zhì)來求∠APC．
（1）按小明的解題思路，可求得∠APC的大小為 116 度；
（2）如圖2，已知直線m∥n，直線a，b分別與直線m，n相交于點(diǎn)B、D和點(diǎn)A、C．點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)（不與B、D兩點(diǎn)重合），記∠PAB＝α，∠PCD＝β，問∠APC與α，β之間有何數(shù)量關(guān)系？判斷并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若把“線段BD”改為“直線BD”，請(qǐng)求出∠APC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系．
解：（1）過P作PM∥AB，如圖：
∴∠APM+∠PAB＝180°，
∴∠APM＝180°﹣124°＝56°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠CPM+∠PCD＝180°，
∴∠CPM＝180°﹣120°＝60°，
∴∠APC＝56°+60°＝116°；
故答案為：116；
（2）∠APC＝∠α+∠β，理由如下：
過P作PE∥AB交AC于E，如圖：
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）當(dāng)P在線段BD延長(zhǎng)線時(shí)，∠APC＝∠α﹣∠β；理由如下：
過P作PE∥AB，如圖：
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∵∠APC＝∠APE﹣∠CPE，
∴∠APC＝∠α﹣∠β；
當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線時(shí)，∠APC＝∠β﹣∠α；理由如下：
過P作PE∥AB，如圖：
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∵∠APC＝∠CPE﹣∠APE，
∴∠APC＝∠β﹣∠α，
綜上所述，當(dāng)P在線段BD延長(zhǎng)線時(shí)，∠APC＝∠α﹣∠β；當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線時(shí)，∠APC＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在線段BD上時(shí)，∠APC＝∠α+∠β．
23．（6分）（2022春?鹿邑縣月考）如圖，已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若∠E＝70°，求∠BFD的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M和∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作EN∥AB，
∵EN∥AB，
∴∠ABE+∠BEN＝180°，
∵AB∥CD，AB∥NE，
∴NE∥CD，
∴∠CDE+∠NED＝180°，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝70°，
∴∠ABE+∠CDE＝290°，
∵∠ABE與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F，
∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，
過點(diǎn)F作FG∥AB，
∵FG∥AB，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵AB∥CD，F(xiàn)G∥AB，
∴FG∥CD，
∴∠CDF＝∠GFD，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；
（2）結(jié)論：∠E+6∠M＝360°，
證明：∵設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴∠E+6∠M＝360°．
24．（6分）（2022秋?綠園區(qū)期末）【問題情景】如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．過點(diǎn)P作PM∥AB，則∠EPF＝ 105° ；
【問題遷移】如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接PE，PF，過P點(diǎn)作PN∥AB，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間的數(shù)量關(guān)系是 ∠PFC＝∠PEA+∠FPE ，請(qǐng)?jiān)谙路秸f明理由；
【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝36°，∠PFA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH∥AB，則∠EGF＝ 18° ．
解：（1）∵AB∥PM，
∴∠1＝∠AEP＝45°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝120°，
∴∠2＝180°﹣120°＝60°，
∴∠1+∠2＝45°+60°＝105°．
即∠EPF＝105°，
故答案為：105°．
（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF．
理由：∵PN∥AB，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥AB，AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，
故答案為：∠PFC＝∠PEA+∠FPE．
（3）∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，
∴，
由（2）可知，∠CFP＝∠FPE+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠FPE+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（36°+∠AEP）﹣∠HGE＝18°．
故答案為：18°．
25．（8分）（2022春?富縣期末）如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)G，∠BCD＝90°．
（1）求證：∠BAG＝∠BGA；
（2）如圖②，線段AG上有一點(diǎn)P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過點(diǎn)C作CH∥AG．若在直線AG上有一點(diǎn)M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：有兩種情況：
①當(dāng)M在BP的下方時(shí)，如圖，
設(shè)∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②當(dāng)M在BP的上方時(shí)，如圖，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．
綜上，的值是5或．
26．（8分）（2022春?武漢期末）已知，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P在直線AB上方．
問題探究：（1）如圖1，∠CFP+∠EPF＝∠AEP，證明：AB∥CD；
問題拓展：（2）如圖2，AB∥CD，∠AEP的角平分線EK所在的直線和∠DFP的角平分線FR所在的直線交于Q點(diǎn)，請(qǐng)寫出∠EPF和∠EQF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
問題遷移：（3）如圖3，AB∥CD，直線MN分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)H在線段MN上，且∠MEF＝α，請(qǐng)直接寫出∠HFE，∠MEH和∠EHF之間滿足的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）．
（1）證明：如圖，
∵∠AEP是△PEH的外角，
∴∠AEP＝∠EPF+∠EHP，
∵∠CFP+∠EPF＝∠AEP，
∴∠EHP＝∠CFP，
∴AB∥CD；
（2）解：如圖，2∠Q+∠P＝180°
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠AEK＝∠CME，∠EHF＝∠PFD，
∵EK平分∠AEP，
∴∠AEK＝∠KEP，
∴∠AEK＝∠KEP＝∠CME，
設(shè)∠AEK＝∠KEP＝∠CME＝x，
則∠QMF＝x，∠AEP＝2x，
∴∠PEH＝180°﹣2x，
∵FR平分∠PFD，
∴∠PFR＝∠DFR，
設(shè)∠PFR＝∠DFR＝y(tǒng)，
則∠MFQ＝y(tǒng)，∠EHF＝2y，
∴∠Q＝180°﹣∠QMF﹣∠MFQ＝180°﹣x﹣y，
∵∠EHF是△EHP的外角，
∴∠EHF＝∠PEH+∠P，
∴∠P＝∠EHF﹣∠PEH＝2y﹣（180°﹣2x）＝2x+2y﹣180°，
∴2∠Q+∠P＝180°；
（3）解：如圖，
∵∠MEF＝α，
∴∠HEF＝α﹣∠MEH，
∵∠HEF+∠EHF+∠HFE＝180°，
∴α﹣∠MEH+∠EHF+∠HFE＝180°，
∴∠EHF+∠HFE﹣∠MEH＝180°﹣α，
∴∠HFE，∠MEH和∠EHF之間滿足的數(shù)量關(guān)系是∠EHF+∠HFE﹣∠MEH＝180°﹣α．
27．（8分）（2022春?建鄴區(qū)校級(jí)期末）【探究結(jié)論】
（1）如圖1，AB∥CD，E為形內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)AE、CE得到∠AEC，則∠AEC、∠A、∠C的關(guān)系是 ∠AEC＝∠A+∠C （直接寫出結(jié)論，不需要證明）：
【探究應(yīng)用】利用（1）中結(jié)論解決下面問題：
（2）如圖2，AB∥CD，直線MN分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，EG1和EG2為∠BEF內(nèi)滿足∠1＝∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點(diǎn)G1和G2，求證：∠FG1E+∠G2＝180°．
（3）如圖3，已知AB∥CD，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度數(shù)為整數(shù)，則∠C的度數(shù)為 42°或41° ．
（1）解：過點(diǎn)E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠2＝∠C．
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代換），
故答案為：∠AEC＝∠A+∠C；
（2）證明：由（1）可知：∠EG2F＝∠1+∠DFG2，
∵FG2平分∠MFD，
∴∠EFG2＝∠DFG2，
∵∠1＝∠2，
∴∠EG2F＝∠2+∠EFG2，
∵∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°，
∴∠FG1E+∠G2＝180°；
（3）由（1）知：∠AEF＝∠BAE+∠DFE，
設(shè)∠CEF＝x，則∠AEC＝3x，
∵∠EFD＝60°，
∴x+3x＝∠BAE+60°，
∴∠BAE＝4x﹣60°，
又∵8°＜∠BAE＜20°，
∴8°＜4x﹣60°＜20°，
解得17°＜x＜20°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠C＝∠DFE﹣∠CEF＝∠DFE﹣x，
∵∠C的度數(shù)為整數(shù)，
∴x＝18°或19°，
∴∠C＝60°﹣18°＝42°或∠C＝60°﹣19°＝41°，
故答案為：42°或41°．
28．（8分）（2022春?潁州區(qū)期末）（1）問題背景：如圖1，已知AB∥CD，點(diǎn)P的位置如圖所示，連結(jié)PA，PC，試探究∠APC與∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
解：（1）∠APC與∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APC＝∠A+∠C．
理由：如圖1，過點(diǎn)P作PE∥AB，
∴∠APE＝∠A，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE＝∠C，
∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C，
∴∠APC＝∠A+∠C．
總結(jié)：本題通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，從而利用平行線的性質(zhì)，使問題得以解決．
（2）類比探究：如圖2，已知AB∥CD，線段AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)．若∠ABC＝40°，∠ADC＝80°，求∠AEC的度數(shù)．
（3）拓展延伸：如圖3，若∠ABC與∠ADC的角平分線相交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫出∠BFD與∠AEC之間的數(shù)量關(guān)系 ∠BFD＝∠AEC ．
解：（2）如圖2，過E點(diǎn)作EM∥AB，
∴∠BEM＝∠ABC，
∵AB∥CD，
∴CD∥EM，
∴∠MED＝∠ADC，
∴∠AEC＝∠BED＝∠BEM+∠MED＝∠ABC+∠ADC＝40°+80°＝120°；
（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，
如圖3，過F點(diǎn)作FN∥AB，
∴∠ABF＝∠BFN，
∵AB∥CD，
∴CD∥FN，
∴∠NFD＝∠FDC，
∴∠BFD＝∠ABF+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABF＝∠ABC，∠FDC＝∠ADC，
∴∠BFD＝（∠ABC+∠ADC）＝∠AEC．
即∠BFD＝∠AEC．
故答案為∠BFD＝∠AEC