第Ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，，則（）
A. B. C. D.
2. 設(shè)，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 設(shè)，則下列不等式中成立的是（）
A. B.
C. D.
4. 下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）
A. 與B. 與
C. 與D. 與
5. 已知，，，則（）
A. B. C. D.
6. 函數(shù)的部分圖像大致為（）
A. B.
C. D.
7. 已知，則（）
A. B. C. D.
8. 化簡的值為（）
A. 1B. 3C. 4D. 8
9. 將函數(shù)的圖象向左平移后得到函數(shù)的圖象，則的圖象的一個對稱中心為（）
AB. C. D.
10. 已知函數(shù)，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（共80分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.
11. 函數(shù)定義域為______.
12. 已知集合，，則___________
13. 若對數(shù)函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是___________.
14. 已知，，且，則的最大值為___________.
15. 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有三個不同的零點，分別為，則的值為__________.
三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. 已知全集，集合，.
（1）當(dāng)時，求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
17. 已知函數(shù)（，且）與冪函數(shù).
（1）當(dāng)圖象過點時，求的值；
（2）當(dāng)?shù)膱D象過點時，求的值；
（3）在（1）、（2）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
18. 函數(shù).
（1）若解集是或，求不等式的解集；
（2）當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集.
19. 已知函數(shù).
（1）求值；
（2）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求在上的最大值和最小值.
20. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
（1）求實數(shù)的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明在上單調(diào)遞減；
（3）如果對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.天津市部分區(qū)2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)
高一數(shù)學(xué)
第Ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的運算可得.
【詳解】因為，，所以，
，
故選：C
2. 設(shè)，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】由解得或，
因為是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3. 設(shè)，則下列不等式中成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助不等式的性質(zhì)對選項逐個分析即可得.
【詳解】對A：若，則由，有，故錯誤；
對B：若，則有，故錯誤；
對C：若，則有，故錯誤；
對D：由，則，，故，故正確.
故選：D.
4. 下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）
A. 與B. 與
C與D. 與
【答案】C
【解析】
【分析】分別分析每個選項中函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系式及值域是否相同即可.
【詳解】選項A：函數(shù)的定義域為，而的定義域為，故A錯誤；
選項B：函數(shù)的定義域為，而的定義域為，，故B錯誤；
選項C：函數(shù)定義域為，而的定義域為，解析式相同,故C正確；
選項D：函數(shù)的定義域為，而的定義域為，
但是，故解析式不一樣，所以D錯誤；
故選：C.
5. 已知，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
【詳解】由已知，
，
，即，
所以，
故選：A.
6. 函數(shù)的部分圖像大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性及函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.
【詳解】因為，定義域為R
所以
所以為奇函數(shù)，且，排除AB；
當(dāng)時，，即，排除D
故選：C.
7. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助誘導(dǎo)公式計算即可得.
【詳解】，故，
故.
故選：D.
8. 化簡的值為（）
A. 1B. 3C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)換底公式結(jié)合運算性質(zhì)運算求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：B.
9. 將函數(shù)的圖象向左平移后得到函數(shù)的圖象，則的圖象的一個對稱中心為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出平移后的解析式，再令可求出對稱中心的橫坐標(biāo)，從而可求得答案.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移后得到函數(shù).
令，則，
所以所得圖象的對稱中心為，
當(dāng)時，一個對稱中心為.
故選：D
10. 已知函數(shù)，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函數(shù)的定義域要求及所給不等式中的絕對值進行分類討論，再借助參變分離進行計算即可得.
【詳解】當(dāng)時，，故，
即，由隨增大而增大，故，
當(dāng)時，恒成立。
當(dāng)時，，故，
即，由隨增大而增大，故，
當(dāng)時，，故，
即，由隨增大而減小，故，
即，
綜上所述，.
故選：C.
第Ⅱ卷（共80分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.
11. 函數(shù)的定義域為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)解析式有意義列不等式求解可得.
【詳解】由題可知，所以，即，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
12. 已知集合，，則___________
【答案】
【解析】
【分析】化簡集合，，利用集合的交集的定義即可求.
【詳解】因為，，
所以.
故答案為：
13. 若對數(shù)函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和冪函數(shù)的單調(diào)性可直接求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為對數(shù)函數(shù)區(qū)間上均單調(diào)遞增，
所以，解得，
又函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞增，
所以，解得，
綜上，實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
14. 已知，，且，則的最大值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】由，借助基本不等式可先將的最小值求出，即可得的最大值.
【詳解】，
由，故，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即、時，等號成立，
則.
故答案為：.
15. 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有三個不同的零點，分別為，則的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性，先求出函數(shù)的對稱軸，結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.
【詳解】由，得的對稱軸為：，
因為，由，解得，
當(dāng)時，對稱軸為，當(dāng)時，對稱軸為，
若函數(shù)恰有三個不同的零點，等價于函數(shù)與的圖象有三個交點，作出函數(shù)的圖象如圖，得，所以，
由圖象可知，點和關(guān)于直線對稱，則；點和關(guān)于直線對稱，則，
因此，.
故答案為：
三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. 已知全集，集合，.
（1）當(dāng)時，求，；
（2）若，求實數(shù)取值范圍.
【答案】16. ；
17. 或
【解析】
【分析】（1）利用集合交集，并集，補集定義計算即可求；
（2）由，分和兩種情況討論即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，又因為，
所以，或，
所以.
【小問2詳解】
若時，成立，即，解得，
若時，則或，解得或，
綜上，或.
17. 已知函數(shù)（，且）與冪函數(shù).
（1）當(dāng)?shù)膱D象過點時，求的值；
（2）當(dāng)?shù)膱D象過點時，求的值；
（3）在（1）、（2）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）5 （3）最大值為3，最小值為1
【解析】
【分析】（1）將點代入解析式即可求；
（2）由冪函數(shù)定義及過點，列方程組即可求；
（3）由（1）、（2）確定函數(shù)解析式，據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值.
【小問1詳解】
因為的圖象過點，
所以，故.
【小問2詳解】
因為是冪函數(shù)，且圖象過點
所以，解得，故.
【小問3詳解】
由（1）、（2）可知，，
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時，取到最大值為3；當(dāng)時，取到最小值為1.
18. 函數(shù).
（1）若的解集是或，求不等式的解集；
（2）當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）利用已知解集求出參數(shù)，解不含參數(shù)的不等式即可.
（2）分類討論求解不等式即可.
【小問1詳解】
由題意得的解集是或，故的解是或，由韋達定理得，，解得，，故求的解集即可，解得，
【小問2詳解】
由得，故求的解集即可，
，開口向上，化簡得，
令，解得或，
當(dāng)時，，此時解集為，
當(dāng)時，解得，此時令，解得，
當(dāng)時，解得，此時令，解得，
綜上當(dāng)時，，當(dāng)時，.
19. 已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求在上的最大值和最小值.
【答案】19.
20. ；
21. 最大值；最小值
【解析】
【分析】（1）化簡的解析式，代入求值即可；
（2）利用計算周期，令，即可得到增區(qū)間；
（3）由得到，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出最值.
【小問1詳解】
因為，
所以
【小問2詳解】
由（1）可知，的最小正周期，
由，
得，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.
【小問3詳解】
因為，所以，
所以當(dāng)時，即時，取到最大值；當(dāng)時，即時，取到最小值.
20. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
（1）求實數(shù)的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明在上單調(diào)遞減；
（3）如果對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】20.
21. 證明見解析 22.
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)為奇函數(shù)的定義即可得到m值；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義分析證明；
（3）利用的奇偶性和單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)為恒成立，轉(zhuǎn)為求函數(shù)最值問題，最后解不等式即可得t的取值范圍.
【小問1詳解】
因為是定義在R上的奇函數(shù)，
所以，即，
即，即.
【小問2詳解】
由（1）可得：，
任取，則，
因為，則，可得，
可得，即，
所以函數(shù)在R上是減函數(shù)．
【小問3詳解】
因為，且是奇函數(shù)，
可得，
又因為在R上單調(diào)遞減，則，
即，
可知對任意都成立，
由于，
注意到，則，即最大值，
可得，即，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

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