注意事項：
1．考生做題時將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效.
2．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
3．選擇題答案使用 2B 鉛筆填涂，非選擇題答案使用 0.5 毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆
書寫，字體工整，筆跡清楚.
4．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.
5．保持卷面清潔，不折疊、不破損.
一、選擇題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是
符合題目要求的.）
1. 直線 的傾斜角為（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知直線方程確定傾斜角即可.
【詳解】因為直線 與 x 軸垂直，所以傾斜角為 ．
故選：C
（北師大選擇性必修一第 140 頁 A 組第 3 題）
2. 若 ，且 為直線 l 的一個方向向量， 為平面 的一個法向量，則 m 的值
為（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由題意 ，利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)值.
【詳解】由題意知 ，即 ，解得 ．
故選：C
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3. 已知圓 圓 則兩圓的公切線條數(shù)為（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】確定兩圓的位置關(guān)系后可得公切線條數(shù)．
【詳解】圓 標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，
則已知兩圓圓心分別為 ，半徑分別為 ，
圓心距為 ，
因此兩圓外切，它們有三條公切線，
故選：B．
4. 已知事件 A，B 互斥， ，且 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由互斥事件的加法及已知可得 ，再由對立事件概率求法求 .
【詳解】因為 ，且 ，所以 ，
所以 ．
故選：A
5. 一批電阻的阻值 （單位： ）服從正態(tài)分布 ，根據(jù)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，概率低于 0.003 視為小概
率事件，現(xiàn)從甲、乙兩箱成品中各隨機抽取一個電阻，測得阻值分別為 和 ，則下列結(jié)論正確
的是（ ）
A. 甲、乙兩箱電阻均可出廠 B. 甲、乙兩箱電阻均不可出廠
C. 甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠 D. 甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)定義結(jié)合正態(tài)分布的概率得出結(jié)論.
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【詳解】依題意 ，所以 ，
所以 ， ， ，
因為 ，
所以甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠．
故選：C.
6. 二面角的棱上有 A、B 兩點，直線 AC、BD 分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于 AB，已知
，則該二面角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律及已知可得 ，即可求二面角余弦
值.
【詳解】由 ，且 ，
得 ，
故 ，即 ，
所以 ，即二面角的余弦值為 .
故選：D
7. 用 1，2，3，4，5，6 這六個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則在數(shù)字 1，3 相鄰的條件下，數(shù)字 2，4 也相
鄰的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】應(yīng)用排列數(shù)及條件概率公式求條件概率即可.
【詳解】記“數(shù)字 1，3 相鄰”為事件 A，“數(shù)字 2，4 也相鄰”為事件 B，
則 ，所以 ．
故選：B
8. 已知 分別是雙曲線 的左、右焦點，點 O 為坐標(biāo)原點，過 的直線分別交
雙曲線左、右兩支于 A，B 兩點，點 C 在 x 軸上， 平分 到漸近線的距離為 ，
則雙曲線的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知有 ，設(shè) ，則 ，結(jié)合
角平分線的性質(zhì)、雙曲線的定義得到 ，在 中應(yīng)用余弦定理得到雙曲線參數(shù)
的關(guān)系，即可得方程.
【詳解】如圖 ，易知 ，
設(shè) ，則 ，
由 平分 ，則 ，
由雙曲線定義知 ， ，
所以 ，即 ，
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在 中 ，化簡得 ，
由 得 ， 到漸近線的距離為 ，則 ，
所以 ，故雙曲線的方程為： ．
故選：D
二、選擇題（本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.）
9. 關(guān)于 的展開式，下列說法中正確的是（ ）
A. 各項系數(shù)之和為 1 B. 第二項與第四項的二項式系數(shù)相等
C. 常數(shù)項為 15 D. 有理項共有 4 項
【答案】CD
【解析】
【分析】賦值法求二項式中各項系數(shù)之和判斷 A；由二項式系數(shù)定義求對應(yīng)項的二項式系數(shù)判斷 B；應(yīng)用二
項式展開式通項求常數(shù)項、有理項判斷 C、D.
【詳解】對于 A，令 時，則 展開式中各項系數(shù)之和為 0，錯誤；
對于 B，第二項二項式系數(shù) ，第四項的二項式系數(shù) ，第二項與第四項的二項式系
數(shù)不相等，錯誤；
對于 C， 展開式的通項為 ，
令 ，得 ，展開式中的常數(shù)項為 ，正確；
對于 D，當(dāng) 時， ，所以展開式的有理項共有 4 項，正確．
故選：CD
10. 某同學(xué)投籃兩次，第一次命中率為 ．若第一次命中，則第二次命中率為 ；若第一次未命中，則第
二次命中率為 ．記 為第 i 次命中，X 為命中次數(shù)，則（ ）
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A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用全概率公式及貝葉斯公式可判定 A、D 選項，利用期望與方差公式可判定 B、C 選項.
【詳解】對于 A，易知 ，故 A 正確；
對于 D，易知 ，故 D 正確；
對于 B、C，易知 可取 ，則 ,
，所以 ，
，故 B 正確；C 錯誤；
故選：ABD
11. 如圖，在棱長為 4 的正方體 中，O 為 和 的交點，點 在線段 上，
，E，F(xiàn) 分別為棱 和 的中點，則下列選項正確的是（ ）
A. 若點 P 是線段 上一動點，則直線 平面
B. 若點 Q 是平面 內(nèi)一點，且滿足 ，則點 Q 的軌跡是拋物線
C. 若點 M 為平面 內(nèi)一點，且滿足 ，則 OM 的最小值為
D. 過線段 BD 且垂直于平面 的截面圖形為等腰梯形
【答案】ACD
【解析】
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【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)易證平面 平面 即可判斷 A；由題意易得 ，結(jié)合
已知有 ，構(gòu)建坐標(biāo)系求點 Q 的軌跡判斷 B；AC 與 BD 的交點為 G，連接 ，先得到點 M 的軌
跡為線段 ，并確定 OM 的最小值即 O 到直線 的距離，應(yīng)用等面積法求結(jié)果判斷 C；取 的
中點分別是 H、T，根據(jù)已知證得 平面 ，進(jìn)而得面 面 ，進(jìn)而確定截面形狀判
斷 D.
【詳解】對于 A，由正方體性質(zhì)知 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，又 ，同理可證 面
又 且都在面 內(nèi)，則平面 平面 ，
又直線 平面 ，所以直線 平面 ，正確；
對于 B，由 面 ， 面 ，則 ，即 ，
又 ，易知 ，由于 ，則 ，
在面 構(gòu)建如下圖示的平面直角坐標(biāo)系，且 ，若 ，
所以 ，整理得 ，
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所以點 Q 的軌跡是圓心為 ，半徑為 的圓，錯誤；
對于 C，AC 與 BD 的交點為 G，連接 ，
因為 面 ， 面 ，所以面 面 ，交線為 ，
所以點 M 的軌跡為線段 ，則 OM 的最小值即 O 到直線 的距離，
當(dāng) 時，因為 是直角三角形，所以 ，
則 ，即 OM 的最小值為 ，正確；
對于 D，取 的中點分別是 H、T，由 面 ，則 是 在面 上的射影，
由 是 的中點，則 ，又 ， ，
所以 ，易得 ，則 ，
同理 ， 都在面 內(nèi)，所以 平面 ，
而 ，則 面 ，故面 面 ，
所以四邊形 BDTH 即所求截面，而 ，故四邊形 BDTH 為等腰梯形，正確．
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故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)各項給定條件證明相關(guān)線面、面面平行或垂直，綜合幾何法、解析法確定動點
的軌跡為關(guān)鍵.
三、填空題（本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.）
12. 一個底面半徑為 2 圓柱被與其底面所成角是 的平面所截，截面是一個橢圓，則該橢圓的離心率為
______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)可得橢圓的長半軸為 ，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系求 ，即可得離心率.
【詳解】因為底面半徑為 R 的圓柱被與底面成 的平面所截，其截口是一個橢圓，
則這個橢圓的短半軸為 ，長半軸為 ，且 ，
，
橢圓的離心率為 ；
故答案為： ．
13. 唐代詩人李顧 詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣
的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，
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怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為 ，若將軍從點 處出
發(fā)，河岸線所在直線方程為 ，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最
短總路程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出點 關(guān)于直線 的對稱點 的坐標(biāo)，再求出 到圓上的點的距離最小值.
【詳解】設(shè)點 關(guān)于直線 的對稱點 ，
的中點為 ，
故 ，解得 ，即 ，
依題意即為點 到軍營最短的距離，
所以“將軍飲馬”的最短總路程為 .
故答案為：
14. 甲乙兩人進(jìn)行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號 的卡片各 1 張，兩人輪流從中不放回的
隨機抽取 1 張卡片，直到其中 1 人抽到的卡片編號之和等于 12 或者所有卡片被抽完時，游戲結(jié)束.若甲先抽
卡，求甲抽了 3 張卡片時，恰好游戲結(jié)束的概率是______.
【答案】
【解析】
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【分析】依題意可知游戲結(jié)束時共抽取了 5 張卡片，甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為 12，乙抽取的兩張卡片
數(shù)字之和不為 12，分別計算出所對應(yīng)的排列總數(shù)即可得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)題意可知甲抽了 3 張卡片時，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從 7 張卡片中抽取了 5 張，
且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為 12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為 12；
總的情況相當(dāng)于從 7 張卡片中抽取了 5 張并進(jìn)行全排列，即共 種排法；
其中三張卡片數(shù)字之和為 12 的組合有 ； ； ； ； 共 5 種情況；
當(dāng)甲抽取的數(shù)字為 ； ； ； 時，
乙在剩余的 4 個數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有 種；
當(dāng)甲抽取的數(shù)字為 時，
若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為 ，此時不合題意，此時共有 種；
所以符合題意的排列總數(shù)為 種，
可得所求概率為 .
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于首先明確游戲結(jié)束時甲乙兩人抽取的卡片張數(shù)以及數(shù)字之和的所有情
況，再利用全排列公式計算出各種情況對應(yīng)的種類數(shù)可得結(jié)論.
四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 直線 l 經(jīng)過兩直線 和 的交點．
（1）若直線 l 與直線 垂直，求直線 l 的方程；
（2）若直線 l 與圓 相切，求直線 l 的方程．
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）求已知直線的交點，根據(jù)直線的垂直關(guān)系求直線方程即可；
（2）討論直線 l 的斜率存在性，結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)列方程求參數(shù)，即可得直線方程.
【小問 1 詳解】
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由 ，得 ，所以交點坐標(biāo)為 ；
又直線 l 與直線 垂直，設(shè)直線 l 的方程為 ，
將 代入得 ，所以直線 l 的方程為 ．
【小問 2 詳解】
當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，直線 l 的方程為 ，
此時圓心 到直線 l 的距離為 3，等于圓的半徑，故直線 l 與圓相切，滿足題意；
當(dāng)直線 l 斜率存在時，設(shè)直線 l 的方程為 ，即 ，
因為直線 l 與圓相切，所以圓心 到直線 l 的距離 ，解得 ，
此時直線 l 的方程為 ，
綜上所述，直線 l 的方程為 或 ．
（北師大選擇性必修一第 129 頁第 4 題）
16. 已知：如圖，三角形 ABC 為正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 ，F(xiàn) 為
BE 的中點．
（1）求點 B 到平面 ADF 的距離；
（2）求平面 BDE 與平面 ABC 所成銳二面角的正弦值．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）在平面 ACDE 內(nèi)，過點 D 向 EA 做垂線，垂足記為 G，根據(jù)已知證明 平面 ADF，則點 B
到平面 ADF 的距離為線段 BF 的長，即可求距離.
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（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的正弦值.
【小問 1 詳解】
在平面 ACDE 內(nèi)，過點 D 向 EA 做垂線，垂足記為 G，又 ，
，
在直角 中， ，
在直角 中， ，
，又 F 為 BE 的中點，
，又 ，則 ，
平面 ADF，
平面 ADF，即點 B 到平面 ADF 的距離為線段 BF 的長，
因為 ，所以 ．
小問 2 詳解】
如圖，取 AC 的中點 O，連接 BO，則 ，
以 O 為坐標(biāo)原點，AO，BO 分別為 x，y 軸，過 O 作平行于 AE 的直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則 ，
可得 ，易知 是平面 ABC 的一個法向量，
設(shè)平面 BDE 的一個法向量為 ，則 ，即 ，
令 ，則 ，所以 ，則 ，
所以平面 BDE 與平面 ABC 所成銳二面角的正弦值為 ．
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17. 甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每場比賽中，甲、乙各射擊一次，甲、乙每次至少射中 8 環(huán)．根據(jù)統(tǒng)計資料
可知，甲擊中 8 環(huán)、9 環(huán)、10 環(huán)的概率分別為 0.7，0.2，0.1，乙擊中 8 環(huán)、9 環(huán)、10 環(huán)的概率分別為 0.6，
0.2，0.2，且甲、乙兩人射擊相互獨立．
（1）在一場比賽中，求甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率；
（2）若獨立進(jìn)行三場比賽，用 X 表示這三場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的場數(shù)，求 X 的分布列
與數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算得解.
（2）求出 的可能值，由（1）結(jié)合二項分布的概率求出分布列及期望.
【小問 1 詳解】
設(shè)甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)為事件 A，
則事件 A 包括：甲擊中 9 環(huán)乙擊中 8 環(huán)，甲擊中 10 環(huán)乙擊中 8 環(huán)，甲擊中 10 環(huán)乙擊中 9 環(huán)，
所以 .
【小問 2 詳解】
依題意，X 的所有可能取值為 0，1，2，3，
由（1）知，在一場比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為 0.2，則 ，
因此 ，
，
所以 X 的分布列為
X 0 1 2 3
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P 0.512 0.384 0.096 0.008
期望 .
18. 在平面直角坐標(biāo)系 中，動點 P 與定點 的距離和它到定直線 的距離之比是常數(shù) ，
記 P 的軌跡為曲線 E．
（1）求曲線 E 的方程；
（2）設(shè)過點 且互相垂直的兩條直線分別與曲線 E 交于點 M，N（異于點 A），求證：直線 MN 過定
點．
【答案】（1） ；
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩點距離、點線距離求曲線 E 的方程；
（2）法一：討論直線 MN 斜率存在性，設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及 求出相
關(guān)參數(shù)，得到直線方程，進(jìn)而確定直線是否過定點；法二：將 視作對稱中心，齊次化處理相關(guān)方程、
設(shè)直線方程，聯(lián)立方程并結(jié)合 求方程中所含的參數(shù)值，進(jìn)而確定直線是否過定點；
【小問 1 詳解】
設(shè) ，因為 P 與定點 的距離和它到定直線 的距離之比是常數(shù) ，
所以 ，化簡得 ，曲線 E 的方程為 ．
【小問 2 詳解】
解法一：設(shè) ，
當(dāng)直線 MN 斜率不存在，直線 AM，AN 分別為 ，
分別聯(lián)立 ，有 ，可得 或 （ 點橫坐標(biāo)，舍），則
，
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此時直線 MN 的方程為 ，過點 ；
當(dāng)直線 MN 斜率存在時，設(shè)其方程為 ，
由 ，消去 y 得 ，
所以 ，
由根與系數(shù)的關(guān)系得 ，
因為 ，所以 ，即 ，
即 ，
即 ，
將 ，代入化簡得 ，
所以 或 ，
當(dāng) 時，直線 MN 方程為 （不合題意，舍），
當(dāng) 時，直線 MN 方程為 ，MN 恒過定點 ，
綜上所述，直線 MN 過定點 ．
解法二：（齊次化）設(shè)不過點 A 的直線 MN 的方程為 ，
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將雙曲線 E 的方程變形為： ，即 ，
將直線 MN 的方程代入得， ，
整理得， ，
變形得 ．
由題意，直線 AM、AN 的斜率存在，且 ，
設(shè) ，
則 是方程 的兩個根，
所以 ，解得 ，
則直線 MN 的方程為 ，整理得 ，
令 ，得 ，所以直線 MN 恒過定點 ．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程并應(yīng)用韋達(dá)定理及 求出直線方
程中的相關(guān)參數(shù)為關(guān)鍵.
19. 在 的展開式中，把 ， ，
， ， 叫做三項式系數(shù)．
（1）當(dāng) 時，寫出三項式系數(shù) ， ， 的值；
（2）類比二項式系數(shù)性質(zhì) ，探究 ， ， ，
的等量關(guān)系，并給出證明；
（3）求 的值．
【答案】（1）
（2） ，證明見解析
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（3）
【解析】
【分析】（1）由 代入計算即可；
（2）根據(jù)類比推理由二項式系數(shù)的性質(zhì) ，類比推理三項式系
數(shù) ，由 ，
，根據(jù)兩邊 系數(shù)相等證明
式子成立；
（3）由 ，用二項式定理的性質(zhì)，分析即可求解.
【小問 1 詳解】
因為 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
類比二項式系數(shù)性質(zhì) ，三項式系數(shù)有如下性質(zhì)：
，
因為 ，
所以 ，
上式左邊 的系數(shù)為 ，而上式右邊 的系數(shù)為 ，
由 為恒等式，
得
【小問 3 詳解】
，
其中 系數(shù)為 ，
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又 ，
而二項式 的通項 ，
因為 2024 不是 3 的倍數(shù)，所以 的展開式中沒 項，
由代數(shù)式恒成立，得
．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是類比 的二項式展開式(楊輝三角)的規(guī)律和結(jié)合
二項式定理解題.
第 19頁/共 19頁

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2021-2022學(xué)年河南省南陽市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析

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2022南陽高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試題含解析

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