一、單選題
1．已知向量，，則（ ）
A．B．C．D．
2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．某次測試成績，記成績分以上為優(yōu)秀，則此次測試的優(yōu)秀率約為（ ）
參考數(shù)據(jù)：若，則，.
A．B．
C．D．
5．已知函數(shù)（），實(shí)數(shù)，滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是（ ）
A．B．C．D．
7．已知一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在球的球面上，若圓錐的母線與球的半徑之比為，則圓錐與球的體積之比等于（ ）
A．B．C．D．
8．從幾何體的某一頂點(diǎn)開始，沿著棱不間斷、不重復(fù)地畫完所有棱的畫法稱為“一筆畫”．下列幾何體可以“一筆畫”的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．圖象關(guān)于軸對稱B．是的一個(gè)周期
C．在單調(diào)遞減D．圖象恒在軸的上方
11．“四葉草”形態(tài)優(yōu)美、寓意美好．已知曲線，其形態(tài)極像“四葉草”，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交坐標(biāo)軸于，兩點(diǎn)，則（ ）
A．有4條對稱軸B．圍成的面積大于
C．D．的面積最大值為4
三、填空題
12．已知函數(shù)滿足，則實(shí)數(shù) ．
13．圍棋是世界上最古老的棋類游戲之一．一副圍棋的棋子分黑白兩種顏色，現(xiàn)有枚黑色棋子和枚白色棋子隨機(jī)排成一行，每枚棋子排在每個(gè)位置可能性相等，則兩端是同色棋子的概率為 ．
14．已知函數(shù)，曲線在，兩點(diǎn)（不重合）處的切線互相垂直，垂足為，兩切線分別交軸于，兩點(diǎn)，設(shè)△面積為，若恒成立，則的最小值為 ．
四、解答題
15．已知內(nèi)角所對的邊分別為，．
(1)求；
(2)若，，求的周長．
16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過與交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交的準(zhǔn)線于點(diǎn)．
(1)當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，求；
(2)求直線的斜率；
(3)若，，，四點(diǎn)共圓，求該圓的半徑．
17．如圖，四棱臺(tái)的底面為正方形，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若側(cè)面為等腰梯形，.
（i）證明：平面平面；
（ii）求平面和平面夾角的余弦值．
18．已知函數(shù)（）．
(1)若，求的極值；
(2)討論的單調(diào)性．
19．已知數(shù)列，，，是的前項(xiàng)和.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求；
(3)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
參考數(shù)據(jù)：.
《云南省昆明市2025屆高三“三診一?！泵自\斷測試數(shù)學(xué)試題》參考答案
1．D
【分析】首先求出，再根據(jù)坐標(biāo)法計(jì)算其模.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故選：D
2．A
【分析】首先要將復(fù)數(shù)化簡為的形式，其中為實(shí)部，為虛部.根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后根據(jù)實(shí)部和虛部的正負(fù)確定其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.
【詳解】化簡復(fù)數(shù)，
對于復(fù)數(shù)，實(shí)部，虛部.
因?yàn)閷?shí)部，虛部，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.
故選：A.
3．D
【分析】先根據(jù)已知求出集合B，再根據(jù)交集定義計(jì)算求解再判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，所以，則.
故選：D.
4．B
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，結(jié)合題中參考數(shù)據(jù)，即可求得優(yōu)秀率.
【詳解】因?yàn)?，所以由正態(tài)分布性質(zhì)得120分以上的概率為，
故優(yōu)秀率約為.
故選：B.
5．B
【分析】由已知條件代入運(yùn)算可得，求得.
【詳解】根據(jù)題意，可得，可得，
.
故選：B.
6．A
【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義求出點(diǎn)的軌跡方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.
【詳解】設(shè)，由，得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，
實(shí)軸長為2的雙曲線右支，方程為，當(dāng)時(shí)，，
所以點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是.
故選：A
7．C
【分析】畫出草圖，通過已知條件建立等式關(guān)系，逐步推導(dǎo)圓錐和球的相關(guān)參數(shù)，然后代入體積公式求出體積比.
【詳解】設(shè)圓錐底面半徑和高分別為，則母線，
顯然球?yàn)閳A錐外接球，設(shè)半徑為R，由，可得.
又因?yàn)閳A錐的母線與球的半徑之比為，即.
聯(lián)立可得，將代入，可得.
再將和代入，可得.
然后求圓錐體積與球體積之比：圓錐體積，球的體積.
則. 把，代入上式可得.
故選：C.
8．C
【分析】根據(jù)一筆畫的要求，先找到都是偶點(diǎn)的圖形，一定可以一筆畫，再驗(yàn)證奇點(diǎn)的圖形是否符合一筆畫的條件.
【詳解】從一頂點(diǎn)出發(fā)的邊數(shù)為雙數(shù)的頂點(diǎn)叫偶點(diǎn)，凡是偶點(diǎn)組成的圖形一定可以一筆畫，所以C 選項(xiàng)正確;
從一頂點(diǎn)出發(fā)的邊數(shù)為單數(shù)的頂點(diǎn)叫奇點(diǎn)，凡是奇點(diǎn)組成的圖形，必須滿足只有兩個(gè)奇點(diǎn)，其余點(diǎn)為偶點(diǎn)才可以一筆畫，
而ABD選項(xiàng)圖形中，每個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)，所以不能一筆畫.
故選：C
9．ABC
【分析】根據(jù)對立事件的概率公式判斷A，根據(jù)條件概率公式判斷B，根據(jù)全概率公式判斷C，根據(jù)和事件的概率公式判斷D.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，故A正確；
，故B正確；
因?yàn)椋?br>所以，故C正確；
，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
10．ABD
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷A，計(jì)算即可判斷B，利用特殊值判斷C，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷D.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，
所以為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于軸對稱，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以是的一個(gè)周期，故B正確；
因?yàn)椋?br>，
又，所以，所以且在定義域上連續(xù)，
所以在不可能單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，且，
又因?yàn)椋?br>所以，即，
由在上單調(diào)遞增，所以，
所以；
當(dāng)時(shí)，且，
又因?yàn)椋?br>所以，即，
由在上單調(diào)遞增，所以，
所以；
綜上可得：對，恒成立，即圖象恒在軸的上方，故D正確.
故選：ABD
11．ACD
【分析】對A，通過方程中的變換得新曲線的對稱軸判斷；對B，由該曲線在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓內(nèi)，故面積小于圓的面積判斷；對C，設(shè)點(diǎn)，求出直線，點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合求解；對D，由結(jié)合，得解.
【詳解】對于A，將換為方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；
將換為方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；
將換為，換為方程不變，所以曲線關(guān)于對稱；
將換為，換為方程不變，所以曲線關(guān)于對稱；
所以曲線有4條對稱軸，故A正確；
對于B，，則，
所以曲線包含在圓的內(nèi)部，因?yàn)閳A的面積為，
所以曲線的面積小于，故B錯(cuò)誤；
對于C，設(shè)點(diǎn)，則，且，
所以直線，即，
令，得，即，
令，得，即，
由，可得，，
，故C正確；
對于D，由C可知，，又，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)等號成立，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求曲線的對稱軸，關(guān)鍵是通過替換方程中去分析證明.
12．1
【分析】根據(jù)推導(dǎo)出，即可得到，解得即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，
則，即，所以，
所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
故答案為：
13．
【分析】計(jì)算兩端棋子顏色不同的概率，再使用對立事件概率的性質(zhì)即可.
【詳解】若兩端的棋子顏色不同，那么兩端的棋子的顏色分布有種可能，中間的棋子的顏色分布有種可能.
所以兩端棋子顏色不同的概率為，故兩端是同色棋子的概率為.
故答案為：.
14．1
【分析】先根據(jù)已知條件求出，進(jìn)而得到，再求出，根據(jù)的范圍得出的范圍，最后根據(jù)恒成立求出的最小值.
【詳解】由函數(shù)，設(shè)，，.
對求導(dǎo)得，所以在點(diǎn)處切線.
對求導(dǎo)得，所以在點(diǎn)處切線.
因?yàn)榍芯€垂直，則，所以.
此時(shí)，因?yàn)?，即，所以，，于?
由，因?yàn)?，，則，
解得. 因?yàn)椋?br>又，根據(jù)基本不等式，所以.
由恒成立，則.則的最小值為1.
故答案為：1.
15．(1)
(2)15
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，及二倍角公式化簡求解；
（2）由得，結(jié)合余弦定理求得，得解.
【詳解】（1）由正弦定理及二倍角公式得，
因?yàn)?，所以，，故?br>所以.
（2）由，得，則，
由余弦定理得，
所以，故，
所以周長為.
16．(1)8
(2)0
(3)
【分析】（1）可利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立，再根據(jù)弦長公式計(jì)算. （2）需要先求出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，通過直線與準(zhǔn)線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合直線與拋物線方程求出點(diǎn)坐標(biāo). （3）若，，，四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出相關(guān)關(guān)系，進(jìn)而求出圓的半徑.
【詳解】（1）由題意知，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，
聯(lián)立，則，所以，，
所以 .
（2）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，，所以，，所以，
直線方程為，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
所以，直線的斜率為0.
（3）由題意知，，，，，不妨設(shè)在第一象限，
因?yàn)?，，，四點(diǎn)共圓，直線平行軸，故可設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓半徑為，
，即，所以，
，
解得，故，所以.
17．(1)證明見解析；
(2)（i）證明見解析；（ii）．
【分析】（1）取中點(diǎn)為，證明四邊形為平行四邊形，得，利用線面平行的判定定理證明；
（2）（i）由勾股定理可得，即，又，可證平面，由面面垂直的判斷定理得證；（ii）過點(diǎn)作直線平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，代入公式運(yùn)算得解.
【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連結(jié)，，由為的中點(diǎn)得，，
在四棱臺(tái)中，由已知得，，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，
所以平面．
（2）（i）因?yàn)?，所以?br>所以，即，
又，，平面，
所以平面，
由平面，故平面平面.
（ii）過點(diǎn)作直線平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則，
因?yàn)槠矫嫫矫妫覀?cè)面為等腰梯形，易求得四棱臺(tái)的高為，
則，，，，
所以，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則由，得，
令，得平面的一個(gè)法向量為，
同理，得平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面和平面的夾角為，則，
所以平面和平面夾角的余弦值為．
18．(1)無極大值，極小值為
(2)答案見解析
【分析】（1）求出的解析式和定義域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解；
（2）求出，分、、、和結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求解.
【詳解】（1）時(shí)，，定義域?yàn)镽，
，由得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以有極小值，無極大值，極小值為；
（2），
①當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，f′x>0，單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，f′x0，單調(diào)遞增，
時(shí)，，，f′x0，單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；
④當(dāng)時(shí)，，，，
時(shí)，，，f′x>0，單調(diào)遞增，
時(shí)，，，f′x0，單調(diào)遞增；
⑤當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，f′x0，單調(diào)遞增.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（2）關(guān)鍵在于對取值范圍的正確分類.
19．(1)證明見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式證明即可；
（2） 應(yīng)用錯(cuò)位相減法計(jì)算求和即可；
（3）分奇偶應(yīng)用等比數(shù)列求和，再構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合累加法及對數(shù)運(yùn)算證明即可.
【詳解】（1）由題，得；
又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）可知，故.
，
則，
兩式相減得，
，
所以.
（3）由（2）可知
所以數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)（），
偶數(shù)項(xiàng)，（），.
由于，則，所以，則，
所以.
由于


.
構(gòu)造函數(shù)，，
所以，則在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)，則，
即任意，，即在恒成立.
令，，則，即，，
所以，，，.
以上各式相加得，
，即.
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用換元法令，累加法計(jì)算求解.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
B
B
A
C
C
ABC
ABD
題號
11









答案
ACD









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