1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合B，根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以
故選：B
2. 設(shè)，是兩個(gè)平面，，是兩條直線，若，，則“”是“，”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面平行的性質(zhì)與判定及充分條件、必要條件的概念得解.
【詳解】若，，則,可能平行，也可能相交，故不一定成立，
若，則，，
故是，的充分不必要條件.
故選：A
3. 已知向量，滿足，，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算可得向量，的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)的模長(zhǎng)運(yùn)算可得的值.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>則，所以，
所以.
故選：C.
4. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，，則“”的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件“”中含有的基本事件的個(gè)數(shù)，利用對(duì)立事件的概率公式可求“”的概率.
【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，共有種基本事件，
設(shè)為拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，，則“”，
則中共有基本事件3種：，，
所以，故“”的概率為.
故選：D.
5. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用雙曲線的定義及中位線的性質(zhì)求解即可.
【詳解】如圖，連接，
由題意可知，
因?yàn)闉樽鴺?biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以，，
則.
故選：C
6. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，為邊上一點(diǎn)，且，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，可求，可求的面積.
【詳解】因?yàn)樵谥校?，又為邊上一點(diǎn)，且，
所以，
又，所以，
所以，解得，
所以.
故選：D.
7. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可判斷的大小，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可判斷的大小，進(jìn)而可得結(jié)論.
【詳解】令，求導(dǎo)得，
令，所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以，所以單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以，所以，即，
令，求導(dǎo)得，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以.
故選：B.
8. 已知是遞減的整數(shù)數(shù)列，若，且，則的最小值為（ ）
A. 54B. 55C. 63D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列為遞減的整數(shù)數(shù)列，考慮所給條件，利用等差數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式分析即可得解.
【詳解】因?yàn)槭沁f減的整數(shù)數(shù)列，
所以要使最小，應(yīng)使遞減的幅度盡可能小,考慮公差為的等差數(shù)列,
設(shè),由,得.
記的前項(xiàng)和為，則,當(dāng)時(shí),，
不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?只需去掉這一項(xiàng)即可，
即滿足題意的數(shù)列為 ，即的最小值為 64.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由數(shù)列最后一項(xiàng)為，為了首項(xiàng)最小，可考慮遞減幅度最小，公差為的數(shù)列探索求解即可.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知事件、發(fā)生的概率分別為，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 一定有D. 若，則與相互獨(dú)立
【答案】ABD
【解析】
【分析】由對(duì)立事件的概率公式可判斷A選項(xiàng)；由可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)事件的包含關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)獨(dú)立事件的定義和性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由對(duì)立事件的概率公式可得，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又因?yàn)?，?br>所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
綜上所述，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，無(wú)法確定、的包含關(guān)系，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，，則、獨(dú)立，進(jìn)而可知，與相互獨(dú)立，D對(duì)
故選：ABD.
10. 已知函數(shù)則（ ）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
B. 僅有個(gè)極大值點(diǎn)
C. 無(wú)最大值，有最小值
D. 當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程共有個(gè)實(shí)根
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，函數(shù)在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)僅有個(gè)極大值點(diǎn)，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，函數(shù)的最小值為，函數(shù)無(wú)最大值，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程共有個(gè)實(shí)根，D錯(cuò).
故選：BC.
11. 已知正方體的棱長(zhǎng)為，、、分別為棱、、上的動(dòng)點(diǎn)，是空間中任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 用一個(gè)平面截該正方體，所得截面面積的最大值為
C. 若，則的最大值為
D. 若，則三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的體積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算出截面的面積，可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量法結(jié)合基本不等式可判斷C選項(xiàng)；確定點(diǎn)的位置，利用補(bǔ)形法求出三棱錐外接球的半徑長(zhǎng)，結(jié)合球體體積公式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面，則，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，
因?yàn)椋?、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，取截面，因?yàn)槠矫?，平面，則，
易得，，且四邊形為矩形，
則，
所以，用一個(gè)平面截該正方體，所得截面面積的最大值不是，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、，設(shè)點(diǎn)、，
，，
因?yàn)?，則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，當(dāng)時(shí)，則的最大值為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，，
因?yàn)?，則，可得，
所以，的最大值為，此時(shí)，，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)到平面的距離達(dá)到最大值，
因?yàn)闉槎ㄖ?，此時(shí)，三棱錐的體積取最大值，
且，
由于平面，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如下圖所示：
則三棱錐的外接球直徑為，
可得，所以，其外接球的體積為，D對(duì).
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：
①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟饶Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；
②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；
③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)代其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；
④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若，則______________.
【答案】16
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
故答案為：16
13. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則______________.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域確定對(duì)稱軸得出，再由軸對(duì)稱的關(guān)系式化簡(jiǎn)確定得解.
【詳解】由知，即，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?br>由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，且恒成立，
即，
所以，整理得，
所以，故
故答案為：3
14. 已知定點(diǎn)和，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積的最小值為2，最大值為18，則______________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)直線的方程，點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)到直線的距離，分析出最大值與最小值，利用比例得出，即可由面積公式求.
【詳解】由題知直線不與橢圓相交，
可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，
則點(diǎn)到直線的距離為，
由題可知為定值，則當(dāng)變化時(shí)，的最大值與最小值的
比值為，因?yàn)榈闹挡粸?，所以其值恒為正或恒為負(fù).
由輔助角公式可知的最大值為，為正，
所以的最小值也為正，
所以，解得，所以，
因?yàn)榈拿娣e的最小值為2，所以，所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用不為零，得出恒正或恒負(fù)，由的最大值為正，據(jù)此得出最小值的符號(hào)也為正，因此可利用最大值與最小值的比值求.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

（1）求的解析式；
（2）若在區(qū)間上存在最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的最值、最小正周期、取最大值時(shí)的值確定解析式的從而得的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的最值與正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)列不等式求解實(shí)數(shù)的取值范圍即可.
【小問(wèn)1詳解】
由圖可得，
由，則最小正周期，即，
又當(dāng)時(shí)，取到最大值，則，
所以，又，所以，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 如圖，在幾何體中，平面，，且，四邊形為菱形，，.
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直證明線線垂直，再證明線面垂直即可得線線垂直;
（2）利用空間向量法來(lái)求二面角夾角余弦值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由平面，平面，得：，
再由四邊形為菱形，得：，
因?yàn)?，所以平面，且?br>所以平面，又因?yàn)槠矫妫?br>所以；
【小問(wèn)2詳解】
以菱形中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
由，，可知，
再由，可知，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則有，
令，則，即，
設(shè)平面的法向量為，
則有，
令，則，即，
則，
即平面與平面夾角的余弦值為.
17. 在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，滿足.
（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
（2）設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，將圓沿軸折起，使平面平面，求折起后的長(zhǎng)度的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)直線的方程為：，且，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，利用得，進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)換即可得的值，從而證得結(jié)論；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與圓的方程,可得，結(jié)合折疊后的線段關(guān)系可得，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，從而可得折起后的長(zhǎng)度的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由題可設(shè)直線的方程為：，且，設(shè)，
則，，
所以，
因?yàn)?，所以?br>解得（舍）或，
則直線的方程為：，故直線過(guò)定點(diǎn)；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，以為直徑作圓，則圓心，半徑，
則圓的方程為，
設(shè)直線，
聯(lián)立直線與圓的方程,可得，
所以，
作軸于軸于，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為軸，，平面，
所以平面，則，
故折起后
，
又，所以，
即折起后的長(zhǎng)度的取值范圍為.
18. （1）證明：，其中，，且.
（2）證明：若服從二項(xiàng)分布，則.
（3）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲贏的概率為，乙贏的概率為.雙方約定比滿局，贏的局?jǐn)?shù)多的人獲勝.設(shè)甲獲勝的概率為，證明是遞增數(shù)列，并說(shuō)明該結(jié)論的實(shí)際含義.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析，結(jié)論見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）利用組合數(shù)的階乘公式計(jì)算推理得證.
（2）利用二項(xiàng)分布的概率公式及期望的定義列式，結(jié)合（1）的結(jié)論及二項(xiàng)式定理推理得證.
（3）利用全概率公式，結(jié)合條件概率求出與的關(guān)系即可得證，進(jìn)而寫出實(shí)際含義.
【詳解】（1）.
（2）令，由服從二項(xiàng)分布，得，
因此，
令，所以
（3）設(shè)事件“比滿局甲獲勝”，“第局甲勝”，“第局甲勝”，
因此
，而，則，
所以是遞增數(shù)列，該結(jié)論實(shí)際含義是：比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者（如甲）越有利.
19. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求，的值.
（2）若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求，，結(jié)合切線方程可得，的值；
（2）（i）結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，要證轉(zhuǎn)換為，設(shè)，不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性與最值即可得結(jié)論；（ii）先證明，即證，構(gòu)造函數(shù)即可得證，從而可得，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和即可證得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
，
由題意可得，則，
又，切點(diǎn)在切線上，
所以，則，所以，解得；
【小問(wèn)2詳解】
（?。┮?yàn)?，所以要證，即證
又，所以即證，
因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以可設(shè)，不等式化為，
設(shè)，則恒成立，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，
即上恒成立，則原命題得證；
（ii）先證明，即證，
設(shè)，
則，
又設(shè)函數(shù)，則，所以時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
即當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，
所以，
所以，則在上單調(diào)遞增，
所以，則所證不等式成立，
因?yàn)?，所以，所以?br>又，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，
故.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟：
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．

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湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題
湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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