一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．如圖為函數(shù)在上的圖象，則的解析式只可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
6．在體積為12的三棱錐中，，平面平面，若點都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
7．若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．設，則（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．
9．設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件：，下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．是數(shù)列中的最大值D．數(shù)列無最大值
10．透明的盒子中裝有大小和質地都相同的編號分別為的4個小球，從中任意摸出兩個球．設事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（ ）
A．事件與事件是互斥事件B．事件與事件是對立事件
C．事件與事件是相互獨立事件D．事件與事件是互斥事件
11．已知，其中，則的取值可以是（ ）
A．eB．C．D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，第14題第一個空3分，第二個空2分．
12．若，則______．
13．設是數(shù)列的前n項和，點在直線上，則數(shù)列的前項和為______．
14．已知點是軸上的動點，且滿足的外心在軸上的射影為，則點的軌跡方程為______，的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．
15．（13分）設的內角的對邊分別為，且，邊上的兩條中線相交于點．
（1）求；
（2）若，求的面積．
16．（15分）如圖，在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，是邊長為2的正三角形，為的中點，為上一點，且平面平面．
（1）求證：平面；
（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．
17．（15分）為研究“眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關”的問題，對某班同學的近視情況和看電子產(chǎn)品的時間進行了統(tǒng)計，得到如下的列聯(lián)表：
附表：
．
（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關；
（2）在該班近視的同學中隨機抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時的概率是多少？
（3）以頻率估計概率，在該班所在學校隨機抽取2人，記其中近視的人數(shù)為，每天看電子產(chǎn)品超過一小時的人數(shù)為，求的值．
18．（17分）已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調性；
（3）設函數(shù)．證明：存在實數(shù)，使得曲線關于直線對稱．
19．（17分）已知橢圓的對稱中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過點和．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點作不與坐標軸平行的直線交曲線于兩點，過點分別向軸作垂線，垂足分別為點，，直線與直線相交于點．
①求證：點在定直線上；
②求面積的最大值．
2024-2025學年度高三上期數(shù)學10月階段性測試（答案）
一、單項選擇題：BAACDDDC
8．【解】由對數(shù)函數(shù)的性質知，
，所以；
當時，，
所以
，
取，則，
所以，即，綜上，．
二、多項選擇題：ABC ACD CD．
11．【解】令，則，
故當時，單調遞增，當時，單調遞減，
，又，不妨設，
解法一：記，設，
則在上恒成立，所以在上單調遞減，
所以，則，
又因為，且在上單調遞減，所以，則，所以．
解法二：由，兩式相減，可得，令，
則；
令，則，
令，則在上恒成立，所以在上單調遞增，
因為在上恒成立，
所以在上單調遞增，則，即，所以．
解法三：，兩式相減得，
由對數(shù)均值不等式，可得，
三、填空題： ；3
14．【解】設點，則根據(jù)點是的外心，，而，則，所以
從而得到點的軌跡為，焦點為
由拋物線的定義可知，
因為，即，當點在線段上時等號成立．
四、解答題：
15．【解】（1）因為，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．
（2）因為是邊上的兩條中線與的交點，所以點是的重心．
又，
所以在中，由余弦定理
，
所以，又，所以，所以，
所以的面積為．
16．【解】（1）是邊長為的正三角形，為的中點，則．且平面平面，平面平面平面，則平面．
（2）由于底面為等腰直角三角形，是邊長為2正三角形，可取中點，連接，則．
且平面平面，且平面平面，則平面．
因此兩兩垂直，可以建立空間直角坐標系．
是邊長為2的正三角形，則可求得高．
底面為等腰直角三角形，求得．
可以得到關鍵點的坐標
由第（1）問知道平面的法向量可?。?br>設平面的法向量為，且，則，則，解得．
則．則平面與平面夾角的余弦值為．
17．【解】（1）零假設為：學生患近視與長時間使用電子產(chǎn)品無關．
計算可得，，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習慣有關．
（2）每天看電子產(chǎn)品超過一小時的人數(shù)為，
則，
所以在該班近視的同學中隨機抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時的概率是．
（3）依題意，，
事件包含兩種情況：
①其中一人每天看電子產(chǎn)品超過一小時且近視，另一人既不近視，每天看電子產(chǎn)品也沒超過一小時；
②其中一人每天看電子產(chǎn)品超過一小時且不近視，另一人近視且每天看電子產(chǎn)品沒超過一小時，于是，
所以．
18．【解】（1）切點為．因為，所以切線的斜率為，
所以曲線在處的切線方程為，化簡得；
（2）由題意可知，則的定義域為，
當時，，則在上單調遞減；
當時，令，即，解得，
若；若，
則在上單調遞減，在上單調遞增．
綜上所述，當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
（3）證明：函數(shù)，
函數(shù)的定義域為．若存在，使得曲線關于直線對稱，
則關于直線對稱，所以
由
．
可知曲線關于直線對稱．
19．【解】（1）設橢圓的方程為，代入已知點的坐標，
得：，解得，所以橢圓的標準方程為．
（2）如圖：①設直線的方程為，并記點，
由消去，得，易知，
則．
由條件，，直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立解得，所以點在定直線上．
②，而，所以，
則，
令，則，所以，
當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為．近視情況
每天看電子產(chǎn)品的時間
合計
超過一小時
一小時內
近視
10人
5人
15人
不近視
10人
25人
35人
合計
20人
30人
50人
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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