一、單選題（本大題共8小題）
1．一個(gè)容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（ ）
A．15B．16C．17D．18
2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．若，則（ ）
A．B．C． D．
4．直線被圓截得的最短弦的弦長為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
7．已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
8．點(diǎn)是所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有，直線分別交于點(diǎn)，記的面積分別為，則（ ）
A． B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．一口袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中無放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個(gè)紅球，則（ ）
A．事件，為互斥事件B．事件B，C為獨(dú)立事件
C．D．
10．下列命題為真命題的是（ ）
A．已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為
B．“”在上恒成立的充要條件是“”
C．已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，則
D．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為
11．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，對，滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則
B．若函數(shù)在上恰存在個(gè)極值點(diǎn)，則
C．函數(shù)在上有四個(gè)零點(diǎn)，則
D．若，，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）， .
13．為進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)校美育育人功能，構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系，某校開設(shè)了音樂?美術(shù)?書法三門選修課程.該校某班級有5名同學(xué)分別選修其中一門課程學(xué)習(xí)，每門課程至少有一位同學(xué)選修，則恰好有2位同學(xué)選修音樂的概率為 .
14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
16．在三角形中，內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范圍.
17．已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.
(1)求橢圓的方程；
(2)記橢圓的左焦點(diǎn)為，若過三點(diǎn)的圓的圓心恰好在軸上，求直線的方程.
18．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)若存在極大值，求a的取值范圍.
19．對于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階和數(shù)列.
(1)若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；
(2)若，求的二階和數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(3)若是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)的公差.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】將這些數(shù)從小到大重新排列后為：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，
，則取從小到大排列后的第8個(gè)數(shù)，
即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為18.
故選：D.
2．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，且，
所以，解得，
又公差，所以，，
所以，
故選：B.
3．【正確答案】A
【詳解】.
因，則.
故選：A
4．【正確答案】C
【詳解】設(shè)圓的圓心為點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心坐標(biāo)為，半徑，
直線的方程可化為：，所以直線恒過定點(diǎn)，
當(dāng)直線時(shí)，直線截圓的弦長最小，根據(jù)勾股定理可知：
弦長的最小值.
故選：C
5．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，
則需滿足，解得，
即a的范圍是.
故選：B.
6．【正確答案】C
【詳解】過三角形的中心作平面的垂線，
過三角形的中心作平面的垂線，
兩垂線交于點(diǎn)，連接，
依據(jù)題中條件可知，為四面體的外接球球心，
因?yàn)椋?br>所以,
則,
即外接球半徑為，
則該球的表面積為，
故選：C.
7．【正確答案】C
【詳解】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線為，即，解得，
因?yàn)?，所以拋物線的方程為：，其焦點(diǎn)為，
又直線，所以直線恒過拋物線的焦點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，
聯(lián)立方程，兩式相減可得，，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
解得可得，所以點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心，
由拋物線的定義知，圓的半徑，
因?yàn)椋裕?br>解得，則，則.
故選：C.
8．【正確答案】D
【詳解】

由可得，即，
設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，
將代入可得
，即，
由于不共線，則，解得，
即，，
同理，設(shè)，則，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，
又由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，
所以
故選：D.
9．【正確答案】ACD
【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥的，A正確；
由于是紅球有3個(gè)，白球有2個(gè)，事件發(fā)生時(shí)，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨(dú)立，B錯(cuò)；
，C正確；
事件發(fā)生后，口袋中有3個(gè)紅球1個(gè)白球，只有從中取出一個(gè)紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．
故選：ACD．
10．【正確答案】AC
【詳解】對于A，設(shè)，由雙曲線的定義可得，
即，
在中，由余弦定理可得，可得，
所以，故A正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，在上也成立，故B錯(cuò)誤
對于C，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，即的對稱中心為，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，
又，即，
所以，所以，故的周期為8，
因?yàn)?br>所以，故C正確；
對于D，對取對數(shù)可得，
作差可得，
因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
11．【正確答案】ACD
【詳解】由于，則關(guān)于對稱，又，故是的最小值點(diǎn)，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)，因此和是相鄰的對稱中心和對稱軸，故,則，
,故，
由于，故，故，
對于A，，當(dāng)，則，
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，解得，則，A正確，
如圖：作出函數(shù)的圖象如下：
函數(shù)在上恰存在個(gè)極值點(diǎn)，則，故B錯(cuò)誤，
令，則，故的圖象與有四個(gè)交點(diǎn)，如圖，
則關(guān)于對稱，關(guān)于，故，則，故C正確，
如圖，作出與的交點(diǎn)，可知：，
，，
則
結(jié)合，則，故
，
則
結(jié)合，則，故，
故，
則，
故，D正確，
故選：ACD
12．【正確答案】
【詳解】由題意可得，
所以，
所以模長為，
故答案為.
13．【正確答案】/
【詳解】5名同學(xué)分別選修其中一門課程學(xué)習(xí)，每門課程至少有一位同學(xué)選修，
共有種情況.
恰好有2位同學(xué)選修音樂共有.
所以恰好有2位同學(xué)選修音樂的概率.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】由題設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上，不合題意；
當(dāng)，若，可得或，
若時(shí)，在上，，，則，不合題意，
若時(shí)，在上，，，則，不合題意，
若時(shí)，即，
在上，，則，
在上，，則，
顯然在R上遞增，滿足題設(shè)，
綜上，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以目標(biāo)式最大值為.
故
15．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由為直三棱柱，得平面，又，
以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，
由題意可得：，
于是，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，得，
顯然，即平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，顯然軸垂直于平面，
不妨取其法向量為，設(shè)所求的平面夾角為，
則，
即平面與平面夾角的余弦值為.
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可知：，
因?yàn)椋?，所?
（2）由余弦定理可知：，因?yàn)椋?，，?br>因?yàn)?，所以，?br>由正弦定理得：，
所以
，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以時(shí)，取得最小值，
并且，
所以的范圍是.
17．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得：，得，
又當(dāng)時(shí)，，則，所以，即，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)過三點(diǎn)的圓的圓心為，，又，
則，即，
又在橢圓上，故，代入上式化簡得到：，①
同理，根據(jù)可以得到：，②
由①②可得：是方程的兩個(gè)根，則，設(shè)直線：，聯(lián)立方程：，整理得：，故，解得，所以，所以直線的方程為.
18．【正確答案】(1)1
(2)
【詳解】（1）由題可知的定義域?yàn)?,+∞，
當(dāng)時(shí)，，.
令，解得.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，故的最大值為.
（2）.
令，則.
當(dāng)時(shí)，，在0,+∞上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，；，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，得在0,2內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
在上，gx>0，，單調(diào)遞增；
在上，gx0，，單調(diào)遞增；在，gx

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