一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．1
3．已知非零向量，滿足，且，則與的關(guān)系是（ ）
A．垂直B．共線C．夾角為D．夾角為
4．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線交C于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且.若P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．2C．4D．6
6．正三棱臺(tái)的上、下底邊長(zhǎng)分別為6，18，該正三棱臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和三個(gè)側(cè)面都相切），則正三棱臺(tái)的高為（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知數(shù)列滿足，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則所有項(xiàng)恒大于等于B．若，則是單調(diào)遞增數(shù)列
C．若是常數(shù)列，則D．若，則是單調(diào)遞增數(shù)列
8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，，其中，，，則當(dāng)面積最小時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．斜率為2的直線l與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，與雙曲線交于C，D兩點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是雙曲線兩條漸近線所構(gòu)成的“X”形圖象的方程
B．P也是線段的中點(diǎn)
C．若l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，則直線的斜率是
D．若l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則
11．已知的定義域?yàn)榉橇阌欣頂?shù)集，且滿足下面三個(gè)性質(zhì)：
①；
②；
③當(dāng)時(shí)，，其中
下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則
B．恰有兩個(gè)整數(shù)解
C．若，，則，，中至少有兩個(gè)相等
D．若，則
三、填空題
12．已知，則 .
13．用紅、橙、黃、綠四種顏色給一些大小相同的正四面體模具上色，要求每個(gè)正四面體四個(gè)面顏色各不相同.我們規(guī)定：如果兩個(gè)已上色的四面體，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)將其中一個(gè)變得與另一個(gè)完全相同，則認(rèn)為它們用了同一種上色模式.那么不同的上色模式共有 種.
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線，，半圓C：.現(xiàn)從點(diǎn)向上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線、時(shí)會(huì)發(fā)生鏡面反射.設(shè)光線在發(fā)生反射前所在直線的斜率為k，若光線始終與半圓C沒(méi)有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 .
四、解答題
15．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，.
(1)求的外接圓半徑；
(2)若為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.
16．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別在線段，上，且，.
(1)若，證明：；
(2)若，點(diǎn)P，Q分別在直線，上，且，，求的取值范圍.
17．箱子里有四張卡片，分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，每次從箱子中隨機(jī)抽取一張卡片，各卡片被抽到的概率均為，記錄卡片上的數(shù)字，然后將卡片放回箱子.重復(fù)這個(gè)操作，直到滿足下列條件之一結(jié)束：
（a）第一次抽取的卡片上寫(xiě)的數(shù)字是4；
（b）設(shè)n為大于等于2的整數(shù)，第n次抽取的卡片上寫(xiě)的數(shù)字大于第次抽取的卡片上寫(xiě)的數(shù)字.例如，當(dāng)記錄的數(shù)字依次為3，2，2，4時(shí)，這個(gè)操作在第4次結(jié)束.
(1)若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，求前四次抽取的情況總數(shù)；
(2)求操作在第n次結(jié)束的概率.
18．已知函數(shù)，.
(1)設(shè)直線與曲線交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值；
(2)a取遍全體正實(shí)數(shù)時(shí)，曲線在坐標(biāo)平面上掃過(guò)一片區(qū)域，該區(qū)域的下邊界為函數(shù)，求的解析式；
(3)證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，.（附：）
19．在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，短半軸長(zhǎng)為.過(guò)點(diǎn)作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，直線PA交y軸于點(diǎn)M，直線PB交y軸于點(diǎn)N，記直線PA，PB的斜率分別為和.
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明是定值，并求出該定值；
(3)設(shè)點(diǎn)，證明C上存在異于其上下頂點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得恒成立，并求出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo).
《湖南省永州市2025屆高三上學(xué)期高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案
1．B
【分析】由題意結(jié)合交集定義即可求解.
【詳解】由題可知中的元素表示滿足的奇數(shù)，
故.
故選：B.
2．D
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法的幾何意義確定復(fù)數(shù)的模.
【詳解】由.
故選：D
3．B
【分析】由題意結(jié)合數(shù)量積定義直接計(jì)算得即可得解.
【詳解】設(shè)已知兩個(gè)向量的夾角為θ，
由題
，
，所以共線.
故選：B.
4．A
【分析】由一元二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合題意列出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，
所以.
故選：A.
5．C
【分析】先由題設(shè)求得（t為參數(shù)），進(jìn)而求出取橢圓上頂點(diǎn)時(shí)的值，從而得不會(huì)為直角即可求解.
【詳解】由題，又，.
，即（t為參數(shù)），
取上頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí).
不會(huì)為直角，只有當(dāng)或是直角才符合題意，
所以由對(duì)稱性可知滿足是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4.
故選：C.
6．D
【分析】由截面圖結(jié)合等面積法和勾股定理列出關(guān)于r的等量關(guān)系求出r即可求解.
【詳解】由題可知上下底正三角形的高分別為，
由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點(diǎn)為上下底的重心，
故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，
則有即，
所以正三棱臺(tái)的高為6.
故選：D.
7．C
【分析】由值不定即可判斷A；由題設(shè)求出和即可判斷B；由求出即可求出判斷C；由和即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
所以，但值不定，
所以若，則所有項(xiàng)不一定恒大于等于2，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若時(shí)，，，而，故B錯(cuò)；
對(duì)于C，若是常數(shù)列，則，即，
所以，故C正確；
對(duì)于D，由題，
因?yàn)?，所以由遞推關(guān)系可知，且，，
所以，.故D錯(cuò)誤.
故選：C.
8．C
【分析】設(shè)，先由結(jié)合兩角和正切公式得且，接著計(jì)算得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)最小值即可求解.
【詳解】如圖所示，
設(shè)，則，，，，
所以由可得，
，
記，則，
所以時(shí)，，解得（舍去）或，
時(shí)，，解得，
所以時(shí)可取最小值，而，
所以.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是由結(jié)合兩角和正切公式得且即把關(guān)聯(lián)起來(lái).
9．ABD
【分析】由題意結(jié)合條件概率定義、獨(dú)立事件定義和獨(dú)立事件概率乘法公式逐項(xiàng)求出相應(yīng)所需的即可判斷得解.
【詳解】對(duì)于A，由題意可得，
所以，故A正確；
對(duì)于B，，
所以，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，?br>所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋?故D正確.
故選：ABD.
10．ABD
【分析】由雙曲線漸近線求法即可判斷A；分別聯(lián)立直線l與雙曲線和漸近線方程結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷B；由點(diǎn)差法即可求解判斷CD.
【詳解】對(duì)于A.，或，這恰為雙曲線兩條漸近線，故A正確；
對(duì)于B.設(shè)直線方程為，分別聯(lián)立與，
得和，
這兩式的兩根之和都是，所以，中點(diǎn)為同一個(gè)，故B正確；
對(duì)于C.因?yàn)?，?br>所以，
所以直線的斜率是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D.由C選項(xiàng)可知，即，故D正確.
故選：ABD.
11．AC
【分析】應(yīng)用特殊值法及奇偶性定義判斷奇偶性，進(jìn)而有，即可判斷A；應(yīng)用反證法，對(duì)于任意除1和以外的整數(shù)有，根據(jù)已知推出矛盾判斷B；根據(jù)已知得，討論、判斷上述結(jié)論是否成立判斷C；由函數(shù)性質(zhì)得、求值判斷D.
【詳解】A：令，有，即；
令，有，即；
令，有，即是偶函數(shù)；
因?yàn)?br>，，所以，A正確；
B：假設(shè)選項(xiàng)正確，對(duì)于任意除1和以外的整數(shù)，有，
即，，而，且，
所以，，矛盾，故B錯(cuò)誤.
C：，所以，
若，結(jié)論顯然成立；
若，則，即或，結(jié)論依然成立，C正確；
D：，
，
，D錯(cuò)誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知函數(shù)性質(zhì)，奇偶性定義、賦值法、反證思想的應(yīng)用為關(guān)鍵.
12．
【分析】先由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式得，再由倍角公式和常數(shù)“1”的代換結(jié)合分式齊次式弦化切即可求解.
【詳解】由題得，
所以.
故答案為：.
13．2
【分析】以不同頂點(diǎn)作為底面頂點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)確定不同朝向情況，再應(yīng)用排列數(shù)求不同上色情況數(shù)，即可確定上色模式數(shù).
【詳解】假設(shè)一個(gè)正四面體四個(gè)頂點(diǎn)為、、、，則作底面頂點(diǎn)時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，除底面外三個(gè)面的朝向有三種，如圖所示：
同理，，作底面頂點(diǎn)時(shí)也分別有3種，一共有12種，
即一個(gè)正四面體可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到12種朝向.
因?yàn)樗姆N顏色的排列數(shù)有種，
所以一共有種不同的上色模式.
故答案為：2
14．
【分析】求出光線與、、相切時(shí)的斜率，樹(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】將半圓依次沿著，，作對(duì)稱，如圖所示：
光線在鏡面發(fā)生反射可以等效處理為：光線進(jìn)入了鏡子后的空間，
因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為光線如何與鏡子內(nèi)外的圓沒(méi)有交點(diǎn)，光線變化的范圍如圖所示.
當(dāng)光線與相切時(shí)，光線所在直線斜率為，
由對(duì)稱性可知當(dāng)光線遇射線時(shí)反射光線若與相切，則入射光線所在直線為x=1與圓相切，
當(dāng)光線與圓相切但遇射線時(shí)反射光線不與相切時(shí)，
此時(shí)，所以光線斜率為
，
當(dāng)光線與相切時(shí)，光線斜率為，
所以由圖可知k的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)化問(wèn)題的難度.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，即可由余弦定理求解，
（2）根據(jù)正弦定理以及三角恒等變換可得，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.
【詳解】（1）由可得，
故，由于，故
由余弦定理得
由于，所以，
，根據(jù)解得，
所以的外接圓半徑為.
（2）由（1）知，，，，
由正弦定理有，
所以
，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得 ，
所以，則，
所以，則.
所以周長(zhǎng)的取值范圍為.
16．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】(1)當(dāng)時(shí)分別找到點(diǎn)和點(diǎn)的位置，利用線面垂直，可證線線垂直；
(2)根據(jù)題中垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，把表示為的函數(shù)，求函數(shù)值域即可.
【詳解】（1）連接，，當(dāng)，則是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槊?，面，所以?br>所以.

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，方向?yàn)椋?，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則
A1,0,0，，，，，
，，所以，，
所以，，所以，
又，設(shè)直線的方向向量為，
則由得，
取，又，
所以
由得，
易知在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增
所以，所以.
17．(1)15；
(2)操作在第n次結(jié)束的概率為.
【分析】（1）由操作的的條件直接寫(xiě)出所有可能情況即可得解.
（2）設(shè)操作在第次結(jié)束的概率為，操作在第次未結(jié)束的概率為，由題設(shè)表示和，利用隔板法討論操作進(jìn)行了次，但是并沒(méi)有結(jié)束的情形，從而求出，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）由題意可得若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，則前四次抽取的卡片數(shù)字可能為：
1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333，共有15種情況.
（2）設(shè)操作在第次結(jié)束的概率為，操作在第次未結(jié)束的概率為.
則當(dāng)時(shí)，，； 當(dāng)時(shí)，.
接下來(lái)我們討論操作進(jìn)行了次，但是并沒(méi)有結(jié)束的情形，抽取的數(shù)字結(jié)構(gòu)如下所示：
分別設(shè)序列中的3，2，1的個(gè)數(shù)為，，，可知.
利用隔板法，可以知道對(duì)應(yīng)情形的數(shù)量，操作如下：
令，，，即，
一共有種情形，
各情形概率均為，所以有，
當(dāng)時(shí)，.
經(jīng)檢驗(yàn)，其對(duì)依然成立，所以.
18．(1)點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為；
(2)；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由時(shí)的結(jié)合基本不等式即可求解；
（2）構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分和兩種情況研究函數(shù)單調(diào)性求出其最小值即可得解；
（3）由第（2）問(wèn)恒成立，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明，再利用導(dǎo)數(shù)分段求證成立即可得證.
【詳解】（1）時(shí)，.
令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為.
（2），定義域?yàn)?,+∞，
令，
則，
①當(dāng)，即時(shí)，，在0,+∞上單調(diào)遞增，
；
②當(dāng)，即時(shí)，由，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
.
綜上所述，.
（3）由第（2）問(wèn)可知恒成立，所以只需證明即可.
①若，構(gòu)造
因?yàn)?，所以在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，
即在上恒成立；
②若，，
因?yàn)椋?br>構(gòu)造，則.
令，則，所以φx在單調(diào)遞增，
而，所以恒成立，
在單調(diào)遞增，.
因?yàn)?，即?br>，所以，
而，即證在上恒成立.
19．(1)；
(2)，證明見(jiàn)解析；
(3)證明見(jiàn)解析，或.
【分析】（1）根據(jù)橢圓所過(guò)的點(diǎn)及短半軸長(zhǎng)、橢圓參數(shù)關(guān)系求橢圓方程；
（2）將橢圓中心作平移為，齊次化法設(shè)對(duì)應(yīng)平移后直線方程為，進(jìn)而有，結(jié)合“1”的處理得到和是的兩個(gè)根，應(yīng)用韋達(dá)定理即可證明結(jié)論；
（3）由題意，設(shè)，并得到、，代入等量關(guān)系式，結(jié)合（2）結(jié)論整理得，聯(lián)立橢圓求出定點(diǎn)，即證結(jié)論.
【詳解】（1）由已知得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）將橢圓向右平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得，
即，
運(yùn)用齊次化方法，構(gòu)造平移后的直線，
設(shè)，則過(guò)點(diǎn)，則，
，
整理得，
顯然和是的兩個(gè)根，
，，
，得證.
（3）根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得，設(shè)，
直線：，令，得，同理，
代入，則，
兩邊平方化簡(jiǎn)得，
即，
即，得，即滿足條件的軌跡是一個(gè)定圓，
聯(lián)立其和橢圓，得，解得或（舍），
綜上，橢圓上存在點(diǎn)或使得恒成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，將作為坐標(biāo)中心，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)橢圓、直線方程，進(jìn)而有和是的兩個(gè)根，第三問(wèn)，利用及、得到的軌跡為關(guān)鍵
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
C
D
C
C
ABD
ABD
題號(hào)
11









答案
AC









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