一、選擇題
1．設(shè)全集,集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知,則z的虛部為( )
A.B.C.D.
3．已知向量,則在上的投影向量為( )
A.B.C.D.
4．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則( )
A.B.C.D.
5．若正四棱錐的側(cè)面三角形底角的正切值為2,則側(cè)面與底面的夾角為( )
A.B.C.D.
6．已知拋物線的焦點為F,過點F且斜率為的直線l交C于A,B兩點,點M在C的準(zhǔn)線上,.若的面積為32,則( )
A.B.2C.D.4
7．在中,若,,則的面積的最大值為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù),下列結(jié)論正確的是( )
A.的圖象是中心對稱圖形
B.在區(qū)間上單調(diào)遞增
C.若方程有三個解,,則
D.若方程有四個解,則
二、多項選擇題
9．下列結(jié)論正確的是( )
A.已知樣本數(shù)據(jù),,,的方差為2,則數(shù)據(jù),,,的方差為4
B.已知概率,,則
C.樣本數(shù)據(jù)6,8,8,7,9,10,8的第75百分位數(shù)為8.5
D.已知（為有理數(shù)）,則
10．若圓錐側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓,則( )
A.該圓錐的母線與底面所成的角為B.該圓錐的體積為
C.該圓錐的內(nèi)切球的體積為D.該圓錐的外接球的表面積為
11．已知定義域為R的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù),且,則( )
A.為奇函數(shù)
B.在處的切線斜率為7
C.
D.對
12．在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線,,與圓相切的直線l交于P,Q兩點,點M,N分別是曲線與上的動點,且,則( )
A.B.的最小值為2
C.的最小值為D.點到直線的距離為
三、填空題
13．已知為第二象限角,且,則的值為________________.
14．已知盒中有3個紅球,2個藍球,若無放回地從盆中隨機抽取兩次球,每次抽取一個,則第二次抽到藍球的概率為__________________.
15．已知函數(shù)有一個極值點為零點,則______________.
16．已知數(shù)列滿足,,則_________________.
四、解答題
17．已知數(shù)列的前n項和為,.
(1)求的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項的和.
18．記三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B為銳角,.
(1)求;
(2)求的最小值.
19．如圖所示,在四棱錐中,,,平面平面,點F為的中點.
(1)證明：;
(2)若,與平面所成角的正弦值為,求四棱錐的體積.
20．在某網(wǎng)絡(luò)平臺組織的禁毒知識挑戰(zhàn)賽中,挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：每局回答3道題,若回答正確的次數(shù)不低于2次,該局得3分,否則得1分,每次回答的結(jié)果相互獨立.已知甲、乙兩人參加挑戰(zhàn)賽,兩人答對每道題的概率均為.
(1)若甲參加了3局禁毒知識挑戰(zhàn)賽,設(shè)甲得分為隨機變量X,求X的分布列與期望;
(2)若甲參加了局禁毒知識挑戰(zhàn)賽,乙參加了局禁毒知識挑戰(zhàn)賽,記甲在禁毒知識挑戰(zhàn)賽中獲得的總分大于的概率為,乙在禁毒知識挑戰(zhàn)賽中獲得的總分大于的概率為,證明：.
21．已知橢圓的離心率為,左、右焦點分別為,,點D為線段的中點,過點且斜率為的直線l交C于M,N兩點,的面積最大值為.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線,分別交C于點P,Q,直線的斜率為,是否存在實數(shù),使得？若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
22．已知函數(shù).
(1)若時,,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè),證明：.
參考答案
1．答案：C
解析：由題意知,,,
則,故,
故選：C.
2．答案：A
解析：,
故z的虛部為.
故選：A.
3．答案：B
解析：,,
,
在上的投影向量為,
故選：B.
4．答案：D
解析：當(dāng)時,,
由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
故,,即,,
即,,
又,則,
故選：D.
5．答案：C
解析：如圖：四棱錐為正四棱錐,M為中點,O為底面中心,
設(shè)四棱錐底面邊長為a,,,根據(jù)題意有,
即,解得,O為底面中心,,
所以為側(cè)面與底面的夾角,因為平面,
所以,,,
所以,所以則側(cè)面與底面的夾角為.
故選：C.
6．答案：B
解析：由題意,拋物線的焦點,準(zhǔn)線方程為：,
因為直線l的斜率為,故直線的方程為：,
由得,
,
設(shè),,
所以,,
由拋物線定義可知,,
因為點M在C的準(zhǔn)線上,設(shè)點,
又,,所以,
所以,
所以,解得.
故選：B.
7．答案：D
解析：設(shè)E,F分別為,的中點,連接,
則,則,故,
則,故
又,,則,
故,,
當(dāng)時,四邊形面積最大,最大值為,
故的面積的最大值為,
故選：D.
8．答案：D
解析：對于B,當(dāng)時,,
,
因為,所以,,
所以,所以,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,故B錯誤;
當(dāng)時,,
,
因為,,所以,
所以,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增;
因為,所以,
所以的對稱軸為,
又,
,
故圖象如下：
對于A,由圖象可知,不是中心對稱圖形,故A錯誤;
對于C,若方程有三個解,則,故
又,解得,所以,
所以,故C錯誤;
對于D,由圖象可知若方程有四個解,則,解得,
故D正確.
故選：D
9．答案：BD
解析：對于A,根據(jù)方差公式可得,若,,,的方差為2,
則數(shù)據(jù),,,的方差為,即A錯誤;
對于B,由條件概率公式可得,可得,即B正確;
對于C,將樣本數(shù)據(jù)重新排列可得6,7,8,8,8,9,10,共7個數(shù),又;
所以第75百分位數(shù)為第6位數(shù),即,所以C錯誤;
對于D,由可得a代表展開式中的有理項,
所以,即D正確;
故選：BD.
10．答案：BD
解析：由題意可知,圓錐的母線長為2,圓錐側(cè)面展開圖的弧長為,
設(shè)圓錐的底面半徑為r,則,解得,則圓錐的高,
如下圖：
對于A,設(shè)圓錐的母線與底面所成的角為,則,解得,故A錯誤;
對于B,圓錐的體積,故B正確;
對于C,設(shè)圓錐的內(nèi)切球的球心為,半徑為,可得此時圓錐的軸截面,如下圖所示：
由,則在等邊中,內(nèi)切圓半經(jīng),即,
所以圓錐的內(nèi)切球的體積,故C錯誤;
對于D,設(shè)圓錐的外接球的球心為,半徑為,可得此時圓錐的軸截面,如下圖所示：
在等邊中,外接圓半徑,即,
所以圓錐的外接球的表面積,故D正確.
故選：BD.
11．答案：ACD
解析：由題意定義域為R的函數(shù)滿足
令,則,,
令,則,即,,
故為奇函數(shù),A正確;
由于,故,即,
則為偶函數(shù),由可得,
由,令得,
故,令,則,,B錯誤;
又,
則,
令,則,
由柯西方程知,,故,
則,由于,故,
即,則,C正確;
對,,
,
故,D正確,
故選：ACD.
12．答案：ABD
解析：對于A,若l斜率存在,則設(shè)其方程為,設(shè),,
聯(lián)立,得,
需滿足,,
則,,
由于直線l與圓相切,故,;
;
當(dāng)l斜率不存在時,直線l與圓相切,不妨取直線,
此時不妨取,,則也成立,
綜合知,A正確;
對于B,由題意知O到l的距離為1,由A知,
則,
故,
則,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,
即有,,結(jié)合,
此時時等號成立,即不妨取,,
故的最小值為2,B正確;
對于C,由題意知ON斜率一定存在,設(shè)為t,則ON方程為,
在上,由于的漸近線方程為,則,
聯(lián)立,解得,則,
因為,故OM的方程為,在上,
聯(lián)立,解得,則,
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時取得等號,
故的最小值為,C錯誤;
對于D,由于,則O到MN的距離為
,D正確,
故選：ABD.
13．答案：
解析：由題意得,為第二象限角,且,則,所以.
14．答案：
解析：第一次抽到紅球,第二次抽到藍球的概率為,
第一次抽到藍球,第二次抽到藍球的概率為,
故第二次抽到藍球的概率為.
故答案為：.
15．答案：
解析：由題意,則,
時,,不合題意,故;
設(shè)為的極值點也為其零點,
則,且,則,
故或,顯然不適合題意,舍去,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,,
則,,
令,時,
在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時,,在單調(diào)遞減,
當(dāng)時,,在單調(diào)遞增,
故為的極小值點,
即函數(shù)的極值點也為零點,符合題意,
故,
故答案為：.
16．答案：1785
解析：由余弦函數(shù)性質(zhì)可知數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列,
易知,,,,
則,且,可得;
由累加法可得
;
故答案為：1785.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）當(dāng)時,,,
當(dāng)時,,則,
則數(shù)列為為首項,公比為2的等比數(shù)列,
故;
（2）因為,
故數(shù)列的前項的和為：
.
18．答案：(1);
(2)無最小值;
解析：（1）因為,
由正弦定理得,
由余弦定理可得,
所以可得,解得或;
又B為銳角,所以,
因此;
（2）結(jié)合（1）中,又可得：
;
令,則,
又B為銳角,,所以,
可得,
所以,當(dāng)時,恒成立,
即可得為單調(diào)遞增,
所以時,,所以無最值;
因此無最小值;
19．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：（1）因為,,所以,
又因為平面平面,平面平面,平面,
所以平面,又因為平面,
所以;
（2）取,的中點分別為O、G,連接,,
則,因為,
所以,而平面,所以平面,
因為,,所以,
以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以直線,,所在直線為x軸、y軸、z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
設(shè),則,,,
故,可取為平面的一個法向量,
由與平面所成角的正弦值為,
可得,解得,
設(shè)為平面的一個法向量,,,
則,即,令,則,
又,故B到平面的距離為,
所以四棱錐的體積.
20．答案：(1)分布列見解析;6
(2)證明見解析
解析：（1）依題意可得,隨機變量,
設(shè)甲、乙在一局比賽中得3分的概率為P,則,
則,,
,,
故X的分布列為：
故;
（2）證明：設(shè)在甲參加了的局禁毒知識挑戰(zhàn)賽中,獲勝局?jǐn)?shù)為Y,
則所獲總分為,若,則,
則,因為,
故,同理可得,
則
,
故.
21．答案：(1)
(2)存在;
解析：（1）由題意可知當(dāng)M位于橢圓的短軸端點時,的面積最大,
即,即,,
由橢圓的離心率為,即,即,
結(jié)合,
解得,,,
故橢圓的方程為;
（2）設(shè),,,而,,
當(dāng)MN斜率不為0時,M,N均不在x軸上,
則直線MP的方程為,
聯(lián)立,,
由于MP過點D,D在橢圓內(nèi)部,則必有,
則,,代入MP方程可得,
同理可得,,
故,
又因為N,,M三點共線,所以,
即,故,則,
所以此時存在實數(shù),使得;
當(dāng)MN斜率為0時,M,N均在x軸上,則P,Q也在x軸上,
此時,也符合題意;
綜上存在實數(shù),使得;
22．答案：(1)
(2)證明見解析;
解析：（1）根據(jù)題意可得,
當(dāng)時,可得在上恒成立,
當(dāng)時,由可得,
易知需滿足,解得,
又,
令,,
當(dāng)時,在上恒成立,即在上恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,即可得恒成立;
當(dāng)時,,令,
則,所以在上恒成立,
即在上單調(diào)遞減,
又因為,,
由零點存在定理可得,使得;
當(dāng)時,,即,所以在上單調(diào)遞增;
時,,即,所以在上單調(diào)遞減;
（i）若時,,所以當(dāng)時,,
又,即,使得;
當(dāng)時,,即,所以在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,即,所以在上單調(diào)遞減,
又因為,所以要使在上恒成立,只需,
解得,又,
所以可得;
（ii）當(dāng)時,,又在上單調(diào)遞增,所以一定使得時,;
即,所以在上單調(diào)遞減,
即可得,
這與在上恒成立矛盾,不合題意;
綜上可得
（2）令,則恒成立,所以在R上單調(diào)遞增,
又,所以當(dāng)時,,即,
所以;
即不等式右側(cè)恒成立;
由（1）可得得：當(dāng)時,對于,恒成立,
即,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立;
取,,易知,
可得,
所以,
綜上可得：.
X
3
5
7
9
P

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