一、解答題
1．（2022·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線經(jīng)過B（3，0）、兩點，與x軸的另一個交點為A，頂點為D．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)點E為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），
①當點E在直線BC的下方運動時，求的面積的最大值；
②在①的條件下，點M是拋物線的對稱軸上的動點，在該拋物線上是否存在點P，使以C、E、P、M為頂點的四角形為平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值為；②存在，、、
【分析】（1）將B、C兩點分別代入解析式求解即可得；
（2）①過點E作軸的平行線交于點，將點B、的坐標代入一次函數(shù)確定函數(shù)解析式，然后設點，則點，得出，結(jié)合圖象確定面積的函數(shù)表達式即可得出結(jié)果；
②分三種情況進行討論分析：a．當四邊形CEPM為平行四邊形時，則CE∥PM，；b．當四邊形CEMP為平行四邊形時，則CE∥MP，；c．當四邊形CPEM為平行四邊形時，則CP∥EM，，利用平行四邊形的性質(zhì)及點坐標之間的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）將B、C兩點分別代入解析式可得：，
解得：
∴函數(shù)的表達式為：；
（2）①過點E作軸的平行線交于點，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
將點B、的坐標代入一次函數(shù)表達式得：，
解得：，
∴函數(shù)表達式為：，
設點，則點，
則，
∴S△CBE=S△ENC+S△ENB=·NE·3==
∵a=＜0，且0＜x＜3，
∴當x=時，△CBE面積有最大值，最大值為，
此時點E的坐標為（，）．
②如圖：C（0，-3）、E（，），設，M（1，m）
a．當四邊形CEPM為平行四邊形時，
則CE∥PM，，
，
即
所以
b．當四邊形CEMP為平行四邊形時，
則CE∥MP，，
，
即
所以
c．當四邊形CPEM為平行四邊形時，
則CP∥EM，，
，
即
所以
所以，符合題意的點P有、、．
【點睛】題目主要考查二次函數(shù)與四邊形、三角形的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題，平行四邊形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題的關鍵．
2．（2022·陜西西安·校考模擬預測）如圖，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝，其圖象與直線y＝x＋2交于C，D兩點，其中點C在y軸上，點P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點P的橫坐標為x0，當x0為何值時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．
【答案】(1)
(2)x0＝1或2或
【分析】（1）根據(jù)對稱軸和C點坐標即可確定拋物線解析式；
（2）因為OC和PE都垂直于x軸，所以只要PF＝OC就能確定以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，求出此時x0的值即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x＝，
∴對稱軸x＝＝＝，
∴b＝，
又∵直線y＝x+2與y軸交于C，
∴C（0，2），
∵C點在拋物線上，
∴c＝2，
即拋物線的解析式為；
（2）解：∵點P的橫坐標為x0，且在拋物線上，
∴P，
∵F在直線y＝x+2上，
∴F（x0，x0+2），
∵PF∥CO，
∴當PF＝CO時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，
①當0＜x0＜3時，
PF＝，
∵OC＝2，
∴，
解得x01＝1，x02＝2，
即當x0＝1或2時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，
②當x0≥3時，
PF＝，
∵OC＝2，
∴，
解得x03＝，x04＝（舍去），
即當x0＝時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，
綜上當x0＝1或2或時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)及平行四邊形的性質(zhì)等知識點，難點在第二小題中要分情況考慮P點在F點上和下兩種情況．
3．（2022·廣東佛山·西南中學校考三模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線的解析式為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)已知為正數(shù)，當時，的最大值和最小值分別為，，且，求的值；
(3)點是平面內(nèi)任意一點，在拋物線對稱軸上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或或或
【分析】（1）求出點和點坐標，從點和點坐標將拋物線的解析式設為交點式，將點坐標代入，進一步求得結(jié)果；
先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的值，進而求得的值，進而求得點的值；
只需滿足三角形為等腰三角形即可．設點的坐標，進而表示出，及，進而根據(jù)，及分情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：當時，，
點，
當時，，，
點，
設，
將點代入得，
，
，
；
（2）解：拋物線的對稱軸為直線：，
，
，
當時，
當時，最小值，
，
，
當時，，
，舍去，
，
；
（3）解：設點，
，，
，
，
，
當時，，
，
，，
當時，，
，
，
當時，，
，
，，
綜上所述：或或或或
【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，兩點間坐標距離公式等知識，解決問題的關鍵是正確分類，準確計算．
4．（2022·山東聊城·校聯(lián)考一模）如圖，在直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為點D，且．
(1)求拋物線的解析式及直線BC的表達式；
(2)在線段BC上找一點E（不與B、C重合），使的值最小，并求出這個最小值；
(3)連接AC，是否在拋物線上存在點P，過點P作于點E，使以點A、C、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點P的坐標為
【分析】（1）先求出拋物線與y軸交于點，可得，從而得到，，進而得到B（3，0），A（－1，0），再利用待定系數(shù)法解答，即可求解；
（2）過點E作EN⊥x軸于點N．先求出拋物線頂點D坐標為，再由，可得∠CBO＝30°，從而得到，進而得到當D，E，N三點共線且垂直于x軸時，值最?。纯汕蠼?；
（3）過點P作PE⊥BC于點E，根據(jù)勾股定理逆定理可證得∠ACB＝90°，從而得到當PE＝AC＝2時，以點A、C、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形．然后過點P作PF∥y軸交BC于點F，交x軸于點G，可得∠PFE=60°，從而得到，然后設，則再分兩種情況討論，即可求解．
（1）
解∶∵拋物線與y軸交于點，
∴，
∵，
∴，，
∴B（3，0），A（－1，0），
把B（3，0），A（－1，0）代入得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）
解：如圖，過點E作EN⊥x軸于點N．
∵，
∴拋物線頂點D坐標為，
在Rt△BOC中，，
∴∠CBO＝30°，
∵EN⊥x軸，
∴，
∴，
∴根據(jù)兩點之間線段最短和垂線段最短，則當D，E，N三點共線且垂直于x軸時，值最?。?br>∴
（3）
解：存在，理由如下：
如圖：過點P作PE⊥BC于點E，
∵A（﹣1，0），B（3，0），，
∴AB＝4，AC＝2，，
∴，
∴∠ACB＝90°，
∵PE⊥BC
∴∠PEC＝90°，
∴PE∥AC，
∴當PE＝AC＝2時，以點A、C、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形．
過點P作PF∥y軸交BC于點F，交x軸于點G，
∴∠BFG＝∠OCB＝60°，
∵∠BFG =∠PFE，
∴∠PFE=60°，
在Rt△PFE中，
，
設直線BC的解析式為y＝mx＋n，
將B（3，0），代入得：
，
解得，，
∴直線BC的解析式為，
設，則
當0＜t＜3時，
，
整理得，，
∴，
∴此方程無實根．
當t＜0或t＞3時，
整理得，，
解得（舍去），
∴點P的坐標為．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解直角三角形，平行四邊的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊的判定和性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關鍵．
5．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=?x2+6x?5與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，經(jīng)過B、C兩點的直線為y=x?5，
(1)寫出相應點的坐標：A______，B______，C______；
(2)點P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個單位的速度向B運動，同時點E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位的速度向C運動．當其中一個點到達終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t秒，求t為何值時，△PBE的面積最大，并求出最大值．
(3)過點A作AM⊥BC于點M，過拋物線上一動點N（不與點B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點Q．若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的橫坐標．
【答案】(1)（1，0），（5，0），（0，-5）
(2)當t=2時，S△BEP最大為2；
(3)點N的橫坐標為：4或或．
【分析】（1）分別令y=0和x=0進行求解即可；
（2）作ED⊥x軸于D，表示出ED，從而表示出S△BEP，利用二次函數(shù)求最值；
（3）過A作AE∥y軸交直線BC于E點，過N作NF∥y軸交直線BC于點F，則NF=AE=4，設N（m，-m2+6m-5），則F（m，m-5），從而有NF=|-m2+5m|=4，解方程即可求出N的橫坐標．
（1）解：令-x2+6x-5=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0），令x=0，則y=-5，∴C（0，-5），故答案為：（1，0），（5，0），（0，-5）；
（2）解：作ED⊥x軸于D，由題意知：BP=4-t，BE=2t，∵B（5，0），C（0，-5），∴OB=OC=5，∴∠OBC=45°，∴ED=sin45°×2t=t，∴S△BEP=×BP×ED=×(4?t)×t=-t2+2t，當t=-=2 時，S△BEP最大為2．∴當t=2時，S△BEP最大為2；
（3）解：過A作AE∥y軸交直線BC于E點，過N作NF∥y軸交直線BC于點F，當x=1時，y=1?5=-4，∴E（1，-4），∴AE=4，∵AMQN是平行四邊形，∴AM=QN，AM∥QN，∴△AEM≌△NFQ，則NF=AE=4，設N（m，-m2+6m-5），則F（m，m-5），∴NF=|-m2+5m|=4，∴m2-5m+4=0或m2-5m-4=0，∴m1=1（舍），m2=4，或m3=，m4=，∴點N的橫坐標為：4或或．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)求最值、以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，將AM=NQ轉(zhuǎn)化為NF=AE是解題的關鍵．
6．（2022·山西呂梁·統(tǒng)考三模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．點M是y軸右側(cè)拋物線上一動點，過點M作的平行線，交直線于點D，交x軸于點E．
(1)請直接寫出點A，B，C的坐標及直線的解析式；
(2)當時，求點D的坐標；
(3)試探究在點M運動的過程中，是否存在以點A，C，E，M，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出M的坐標，若不存在說明理由．
【答案】(1)，，，
(2)點
(3)存在，點M的坐標為（3,4）或
【分析】（1）令拋物線y=0，得，進行計算即可得點A，點B的坐標，令拋物線x=0，得，即可得點C的坐標，令直線的解析式為，將點B的坐標和點C的坐標代入即可得；
（2）過點D作軸，垂足為F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，根據(jù)軸，可得，即可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，在直角中，根據(jù)勾股定理得，AC=5，則，設點D橫坐標為t，則，即可得出EF，DE，根據(jù)，，求解出t即可；
（3）分情況討論，過點C作軸交拋物線于點M，作，則四邊形AEMC為平行四邊形，此時點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，即當y=4時，，進行計算求出滿足要求的解；當且時，四邊形AEMC為平行四邊形，此時M的橫坐標為-4，即y=-4時，，計算求出滿足要求的解即可．
【詳解】（1）解：令拋物線y=0，得，
解得，，，
∴，，
令拋物線x=0，得，
∴，
令直線的解析式為，將點和點代入得，
解得，，
∴直線BC的解析式為：；
（2）解：過點D作軸，垂足為F，
∵，
∴，
∵軸，
∴
∴，
∴，
在直角中，根據(jù)勾股定理得，，
∴，
設點D橫坐標為t，則，
∴，，
∵，，
∴，
解得，
當時，，
∴點．
（3）解：①過點C作軸交拋物線于點M，作，
則四邊形AEMC為平行四邊形，此時點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，
∴當y=4時，，
整理得
∴
解得，（舍），，
∴；
②如圖所示，當且時，
四邊形AEMC為平行四邊形，此時M的縱坐標為-4，
∴y=-4時，，
整理得
解得，，（不合題意，舍去），
∴點M的坐標為；
綜上，M的坐標為（3,4）或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．
7．（2022·山東濟寧·?？级＃┮阎獟佄锞€與直線交于、兩點，如果點，．
(1)求拋物線和直線的解析式．
(2)長度為的線段在線段上移動，點與點在上述拋物線上，且線段與始終平行于軸．連接，求四邊形的面積的最大值，并求出對應點的坐標，判斷此時四邊形的形狀．
【答案】(1)，；
(2)最大為，，四邊形為平行四邊形．
【分析】（1）將兩點坐標代入二次函數(shù)求解即可，設直線解析式為，將兩點坐標代入求解即可；
（2）延長交軸于點，作，設直線交軸于點，設，確定出點坐標，表示出四邊形的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．
【詳解】（1）解：將，代入二次函數(shù)可得
解得
即
設直線解析式為，將，代入可得
，解得
即；
（2）解：延長交軸于點，作，設直線交軸于點，如下圖：
設，則，
由題意可得：軸，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，即
，
線段在線段上移動，則，解得，
由題意可得：
由此可得，時，最大，為，此時
此時，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形．
綜上，最大為，，四邊形為平行四邊形．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何的綜合應用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，解題的關鍵熟練掌握相關基本性質(zhì)．
8．（2022·福建福州·福建省福州屏東中學?？既＃┤鐖D，拋物線與軸交于點，對稱軸交軸于點，點是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點，交軸于點，交軸于點，軸于點，點是拋物線的頂點，已知在點的運動過程中，的最大值是．
(1)求點的坐標與的值；
(2)當點恰好是的中點時，求點的坐標；
(3)連結(jié)，作點關于直線的對稱點，當點落在線段上時，則點的坐標為______直接寫出答案
【答案】(1)B（2，0），a＝；
(2)E（，0）；
(3)E（，0）．
【分析】（1）求出拋物線對稱軸為x＝2，可得點B的坐標為（2，0），由題意可證明△DEF是等腰直角三角形，可得EF的最大值為4，即MB＝4，將拋物線解析式化成頂點式，進而得出2?4a＝4，即可求出a的值；
（2）求出直線CD的表達式，再與拋物線解析式聯(lián)立，求出交點橫坐標即可得出點E的坐標；
（3）設點F（x，），則點E（x，0），證明四邊形FPDE是正方形，可得點P的坐標為（，），求出直線AM的表達式，將點P坐標代入求出x的值，即可得出點E的坐標．
（1）
解：拋物線與y軸交于點A，對稱軸交x軸于點B，
∵當x＝0時，y＝2，
∴A（0，2），
∵對稱軸為x＝?＝2，
∴點B的坐標為（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∵FC⊥AB交y軸于點C，交x軸于點D，EF⊥x軸于點E，
∴∠FDE＝∠DFE＝45°，
∴DF＝EF，
∵FD的最大值是，
∴EF的最大值為4，
∴MB＝4，
∵，
∴2?4a＝4，
∴a＝；
（2）
∵點D恰好是OB的中點，
∴D（1，0），
∵∠CDO＝∠FDE＝45°，
∴OC＝OD＝1，
∴點C的坐標為（0，?1），
設直線CD的表達式為y＝kx＋b（k≠0），
代入C（0，?1），D（1，0）得：，
解得：，
∴直線CD的表達式為：y＝x?1，
由（1）知拋物線解析式為，
聯(lián)立，
解得：，（不合題意，舍去），
∴點E的坐標為（，0）；
（3）
：
設點F（x，），則點E（x，0），
∵EF＝ED，
∴點D的橫坐標為：x?（）＝，
如圖，點與點關于直線對稱，連接DP、FP、PE，
∴DF垂直平分PE，
∴FP＝FE，DP＝DE，
∵EF＝ED，
∴FP＝FE＝DP＝DE，
∴四邊形FPDE是菱形，
又∵∠FED＝90°，
∴菱形FPDE是正方形，
∴點P的坐標為（，），
∵A（0，2），M（2，4），
設直線AM的表達式為y＝mx＋n，
代入A（0，2），M（2，4），得，
解得：，
∴直線AM的表達式為y＝x＋2，
當點P落在線段AM上時，有，
解得：x＝或x＝（舍去），
∴點E的坐標為（，0），
故答案為：（，0）．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法的應用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直線與拋物線的交點，軸對稱的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等知識，解題的關鍵是證出△DEF是等腰直角三角形．
9．（2022·山西·山西實驗中學?？寄M預測）綜合與探究：
已知：二次函數(shù)的圖象的頂點為，與軸交于，A兩點，與軸交于點，如圖：
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)在拋物線的對稱軸上有一點，使得的周長最小，求出點的坐標；
(3)若點在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點，使得以A、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或或.
【分析】（1）利用待定系數(shù)法，設頂點式求出二次函數(shù)的表達式；
（2）根據(jù)軸對稱最短路徑問題得到點E的位置，利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式，令代入計算得到答案；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定定理畫出可能的圖形，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征解答．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點為，
∴設函數(shù)表達式為.
∵圖象過點，
∴當時，，
∴，
解得，，
∴函數(shù)表達式為，即；
（2）解方程，
得：，，
∴點的坐標為，點A的坐標為．
如圖1，連接，
∵A、關于對稱軸對稱，點在對稱軸上，
∴，
∴的周長，
當、、在同一直線上時，的周長最?。?br>設直線的函數(shù)解析式為.
則，解得，
∴直線的函數(shù)解析式為.
∵點的橫坐標為，
所以點的坐標為；
（3）如圖2，當點與點重合，點與點關于軸對稱時，四邊形的對角線互相平分，
∴四邊形是平行四邊形，此時點的坐標為.
當，時，四邊形是平行四邊形，
此時點的橫坐標為，
∴的縱坐標為：，
∴點的坐標為.
當，時，四邊形是平行四邊形，
此時點的橫坐標為，
的縱坐標為：，
∴點的坐標為.
∴以A、、、四點為頂點的四邊形為平行四邊形，點的坐標為：或或.
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定、靈活運用分情況討論思想、掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的一般步驟是解題的關鍵．
10．（2022·甘肅平?jīng)觥ば？级＃┤鐖D， 拋物線交軸于點，交軸于點、C兩點，點為線段上的一個動點（不與重合)，過點作軸，交于點，交拋物線于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接和，當?shù)拿娣e最大時，求出點的坐標及的最大面積；
(3)在平面內(nèi)是否存在一點，使得以點A，M，N，P為頂點，以為邊的四邊形是菱形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)當時，有最大值，最大值為8，此時D；
(3)P或．
【分析】（1）將A，B的坐標代入拋物線的解析式組成二元一次方程組，求解即可；
（2）設D，根據(jù)坐標的特點，可得出點M，N的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式可表達的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意，易證，由此得出和的長，再根據(jù)題意需要分兩種情況討論：①當時，②當時，分別求解即可．
【詳解】（1）解：將點，點代入拋物線，
∴，
∴．
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：∵點，點，
∴直線的解析式為：；
設D，
∵軸，點M在直線上，點N在拋物線上，
∴，
∴，
∴的面積，
∵，
∴當時，有最大值，最大值為8，此時D；
（3）解：存在，如圖，過點M作軸于點E，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴．
根據(jù)題意，需要分兩種情況討論：
①時，如圖，
此時，
解得或t=0（舍），
∴，
∴，
∵，
∴點P在y軸上，
∴，
∴P；
②當時，如圖，此時與互相垂直平分，設與交于點F，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴P．
綜上，存在點P，使得以點A，M，N，P為頂點，以為邊的四邊形是菱形，此時P或．
【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、菱形的判定和性質(zhì)、分類討論的思想等知識，能力要求較高，難度較大，關鍵是掌握菱形的對稱性和進行正確的分類討論．
11．（2022·重慶大渡口·重慶市第三十七中學校?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于A，B兩點，其中，．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)點P，Q為直線下方拋物線上任意兩點，且滿足點P的橫坐標為m，點Q的橫坐標為，過點P和點Q分別作y軸的平行線交直線于C點和D點，連接，求四邊形面積的最大值；
(3)在（2）的條件下，將拋物線沿射線平移2個單位，得到新的拋物線，點E為點P的對應點，點F為的對稱軸上任意一點，點G為平面直角坐標系內(nèi)一點，當點構(gòu)成以為邊的菱形時，直接寫出所有符合條件的點G的坐標．
【答案】(1)；
(2)；
(3)、、．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)題意，求得直線解析式，以及四點坐標，得到、長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，求得的表達式，分兩種情況，討論求解即可．
【詳解】（1）解：將，代入二次函數(shù)解析式，可得
，解得
即；
（2）設直線解析式，代入，，可得
，解得
即，
則，，，
，
，
，
即當時，最大，為；
（3）由（2）可知，
直線為與軸的交點為，與軸的交點為，兩點之間的距離為，
沿射線平移個單位，可看成向右移動了4個單位，向下移動了2個單位，
∴，
則平移后，
拋物線的對稱軸為，
設，
當時，如圖：
則，
解得，
∴或，
當時，平移到，平移到，
∴，
當時，平移到，平移到，
∴，
當時，如下圖：
，解得，
平移到，平移到，可得，
綜上點的坐標為、、．
【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法，四邊形面積、菱形的性質(zhì)及應用等知識解題的關鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關點坐標和相關線段的長度．
12．（2022·山東日照·校考二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，直線與拋物線在第一象限交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接，若過點O的直線交線段于點P，將三角形的面積分成的兩部分，請求出點P的坐標；
(3)若Q是直線上方拋物線上一個動點（不與點A、C重合），當?shù)拿娣e等于的面積時，求出Q點的坐標；
(4)在拋物線的對稱軸上有一動點H，在拋物線上是否存在一點N，使以點A、H、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點或；
(3)或；
(4)或或．
【分析】（1）將點、的坐標代入拋物線表達式即可求解；
（2）OP將的面積分成1：2的兩部分，則或，由或，可得：或，再求解直線為，即可求解；
（3）如圖， 先求解，可得，把直線向上平移4個單位可得一次函數(shù)的解析式為：，則直線與拋物線的交點滿足，再建立方程組可得答案；
（4）如圖，先求解拋物線的對稱軸為：直線，設，，再分三種情況討論：當為對角線時，當為對角線時，當為對角線時，則，再利用中點坐標公式列方程求解即可．
【詳解】（1）解：將點、的坐標代入拋物線表達式得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）如圖，點、，
∴，
將的面積分成的兩部分，
∴或，
∴或，
解得：或，
設直線為，
∴，
解得：，
∴直線為，
當時，則，當時，則，
∴點或；
（3）如圖，由（2）可得直線為，
當時，，則，此時，
把直線向上平移4個單位可得一次函數(shù)的解析式為：，
則直線與拋物線的交點滿足，
∴，解得：或，
∴或；
（4）如圖，，，
∵拋物線為：，
∴拋物線的對稱軸為：直線，
設，，
當為對角線時，則，
解得：，則，
當為對角線時，如圖，
則，解得：，
∴，
∴，
當為對角線時，則，
解得：，
∴，
∴，
綜上：的坐標為：或或．
【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，二次函數(shù)與圖形面積以及二次函數(shù)與特殊四邊形問題，熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及中點坐標公式解題是關鍵．
13．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接，點為線段下方拋物線上一動點，過點作軸交線段于點，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值及此時點的坐標；
(3)如圖2，在（2）問的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，動點在原拋物線的對稱軸上，點為新拋物線上一點，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．
【答案】(1)
(2)當時，取得最大值，最大值為1，此時點的坐標為
(3)點的坐標為，，
【分析】（1）將，代入拋物線，列方程組求解即可得到答案；
（2）延長交軸于點，設直線的函數(shù)表達式為，將，代入列方程組求解得出解析式，設，根據(jù)軸得到，，根據(jù)三角形面積公式用t表示出，利用函數(shù)性質(zhì)即可得到最值；
（3）根據(jù)，得到，結(jié)合拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到拋物線向右平移個單位長度，向上平移3個單位長度，得到新拋物線解析式，設點，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分分類討論根據(jù)中點坐標公式即可得到答案．
【詳解】（1）解：將，代入拋物線得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：如圖，延長交軸于點，
設直線的函數(shù)表達式為，
∵，，
∴，解得，
∴直線的函數(shù)表達式為，
設，其中，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∴當時，取得最大值，最大值為1，此時點的坐標為；
（3）解：∵，，
∴，
∵拋物線沿射線方向平移個單位長度，
∴拋物線向右平移個單位長度，向上平移3個單位長度，
∴平移后的拋物線解析式為，
∵點在原拋物線對稱軸上，
∴設點，
①當以為對角線時，，即，
∴，
∵點為新拋物線上一點，
∴，
②當以為對角線時，，即，
，
∵點為新拋物線上一點，
∴，
③當以為對角線時，，即，
，
∵點為新拋物線上一點，
∴，
綜上所述，點的坐標為，，．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖像上點坐標的特征，平行四邊形等知識，解題的關鍵是用含字母的式子表示相關點坐標和相關線段的長度．
14．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為，點B的坐標，與y軸交于點C，點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，連接CD，過點D作軸于點H，過點A作交DH的延長線于點E．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在線段AE上找一點M，在線段DE上找一點N，求的周長最小值；
(3)在（2）問的條件下，將得到的沿射線AE平移得到，記在平移過程中，在拋物線上是否存在這樣的點Q，使、、、為頂點的四邊形為菱形，若存在，直接寫出平移的距離；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，理由見解析
【分析】（1）將A，B兩點的坐標代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）作點關于的對稱點，關于的對稱點，過點作交的延長線于點，連接，則的周長為最小值為的長，勾股定理即可求解；
（3）在（2）的基礎上，證明四邊形是菱形，求得的長，求得直線與坐標軸的交點坐標，證明，即可求得平移距離．
（1）
解：∵已知拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為，點B的坐標，
∴，
解得，
；
（2）
如圖，作點關于的對稱點，關于的對稱點，過點作交的延長線于點，連接，交AE、DE于M′、N′，
，
，
的周長為，當四點共線時，取得最小值，即與重合，與重合，
的周長為最小值為的長，
軸于點H，
三點共線，三點共線，
根據(jù)題意可知點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，
軸，
由
對稱軸為，則
，
與軸的交點為，即點，
點A的坐標為，
，
，
，
∴，
，
，
，
，，
，
在中，，
即的周長最小值為；
（3）
存在，，理由如下，
由（2）可知
又
在軸上，
是等邊三角形，
又
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形，
設為直線上一點，
,，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
，
解得或，
，
，
，
，
，，
的中點坐標為，與點重合，
，
根據(jù)題意，使、、、為頂點的四邊形為菱形，則，平移距離為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)求解析，菱形的性質(zhì)與判定，平移的性質(zhì)，軸對稱求線段和最短距離，解直角三角形，綜合運用以上知識是解題的關鍵．
15．（2022·重慶·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．其中點A（﹣2，0），點C（0，﹣4），連接AC、BC．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，在直線BC的下方拋物線上有一點P，過點P作PHy軸交BC于點H，求PHCH的最大值以及此時點P的坐標；
(3)將拋物線y沿射線CA方向平移3個單位長度后得到新拋物線y1，點E在新拋物線y1上，點F是原拋物線對稱軸上一點，若以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點F的坐標，并寫出求解其中一個F點的過程．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）通過點A（﹣2，0），點C（0，﹣4）在拋物線上建立方程組即可求出和 得到解析式；
（2）設P點的坐標為，根據(jù)、，得出，將PF的最值，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最大值，即可得到答案；
（3）根據(jù)兩種情況分別分析，先根據(jù)平移計算出拋物線y1的解析式，再根據(jù)兩種情況分別求出E點的橫坐標，代入解析式求出縱坐標，再計算出F點的縱坐標．
(1)
解：∵點A（﹣2，0），點C（0，﹣4）在拋物線上，
得，
解方程組得，；
∴拋物線的解析式為：
(2)
當時，，
解方程得，，
∴點B的坐標為（4，0），
∴ ，
如下圖所示，設CH的中點為N，過點N作EFOB軸，交PH于點F，延長PH交OB于點M，
∵EFOB
∴四邊形是矩形
∵，EFOB
∴，
∵
∴
∴
設P點的坐標為 ，得，
∵,
∴
∵
∴
∴當時，PF最大，且最大值為
∴
故PF最大值為，此時P點的坐標為；
(3)
解：∵拋物線
∴對稱軸為：，
設點移動到點，作軸，垂足為N，
∵, ，
∴，
∵軸
∴,
∴，
∴
∵，,,
∴，，
∴拋物線y沿軸向左移動了，沿軸向上移動得到y(tǒng)1，
∴，
當時，如下所示，設拋物線的對稱軸交于點D，過E點作，垂足為G，
∵，
∴，
∵，，
∴ ，
∵，
∴，且為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵E在拋物線 上，當時，，
∴
∴F的坐標為 ；
當時，過點E作軸，垂足為G，過點C作，垂足為L，

∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵E在拋物線 上，當時，，
∴,
∴,
∴F的坐標為 ；
故點F的坐標為或．
【點睛】本題考查拋物線的相關知識，熟練掌握拋物線的解析式的計算方法、對稱軸的計算方法、最大值的計算方法、平移的相關知識，并將線段的最大值問題轉(zhuǎn)換成拋物線頂點的問題是解本題的關鍵．
16．（2022·重慶·西南大學附中校考三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，B兩點，其對稱軸與x軸交于點D．
圖1 圖2
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)如圖1，點P為第四象限內(nèi)的拋物線上一動點，連接PB，PC，CD，求四邊形PBDC面積的最大值和此時點P的坐標；
(3)將該拋物線向左平移3個單位長度得到拋物線y'，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點E，點F為拋物線y'對稱軸上的一點，M是原拋物線上的動點，直接寫出所有使得以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來．
【答案】(1)；
(2)的最大值為，此時點的坐標為，；
(3)點的坐標為或或．
【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，過點作軸交于點，如圖1，設，，則，得出，再運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得，新拋物線的對稱軸為直線，設，，可得，又，由以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：①當、為對角線時，、的中點重合，②當、為對角線時，、的中點重合，③當、為對角線時，、的中點重合，分別畫出圖形，建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：（1）拋物線經(jīng)過點，其對稱軸，
，
解得：，
該拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）解：如圖，連接BC，作PH∥y軸，交BC于H，
點與點關于對稱軸對稱，
，
，，
，
，
設直線的解析式為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
設，，則，
，
，
，
，，
當時，的最大值為，此時點的坐標為，；
（3）解：將拋物線向左平移3個單位長度得到拋物線，
即，
新拋物線的對稱軸為直線，
設，，
當時，，
，又；
①當、為對角線時，、的中點重合，
，
解得：，
，
；
②當、為對角線時，、的中點重合，
，
解得：，
，
；
③當、為對角線時，、的中點重合，
，
解得：，
，
；
綜上所述，點的坐標為或或．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點坐標的特征，平行四邊形的性質(zhì)及應用等知識，解題的關鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關點的坐標及相關線段的長度．
17．（2022·內(nèi)蒙古包頭·包頭市第二十九中學?？既＃┤鐖D，把兩個全等的RtAOB和RtCOD分別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB，OD在x軸上，已知點A(2，4)，拋物線經(jīng)過O，A，C三點．
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；
(2)點G為OC上方的拋物線上一動點，求點G到直線OC的最大距離和此時點G的坐標；
(3)點P為線段OC上一個動點（不與O，C 重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，是否存在點P，使線段AM與BP相等？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)G點到直線OC的最大距離為，此時G（2，4）；
(3)
【分析】（1）根據(jù)Rt△AOB≌Rt△OCD，可得出C（4，2），再運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）如圖1，連接GO，GC，過G點作x軸的垂線交OC于點K，GH⊥OC于點H．設G點的橫坐標為m（0＜m＜4），則．運用待定系數(shù)法求出直線OC的解析式,得出GK，進而得出S△GOC=-（m-2）2+6，運用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案；（3）如圖所示，過點M作MR⊥AB于點R，過點P作PT⊥AB于點T，先證明Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），得出AR=BT，設點M的橫坐標為t（0＜t＜4），則，進而建立方程求解即可．
（1）
∵A（2，4），
∴OB=2，AB=4，
∵Rt△AOB≌Rt△OCD，
∴OD=AB=4，CD=OB=2，
∴C（4，2），
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O，A，C三點，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為
（2）
如圖1，連接GO，GC，過G點作x軸的垂線交OC于點K，GH⊥OC于點H．
令G點的橫坐標為m（0＜m＜4），則．
設直線OC的解析式為y=kx，把C（4，2），代入得：4k=2，
解得：k=，
∴直線OC的解析式為y=x，
∴
∴，
∴
∴當m=2時，S△GOC的值最大為6，此時GH的值為最大，
∵
∴
∴
∴G點到直線OC的最大距離為，此時G（2，4）；
（3）
存在．如圖所示，過點M作MR⊥AB于點R，過點P作PT⊥AB于點T，設MP交x軸于點N,
∴∠ARM=∠MRT=∠PTR=∠BTP=90°，
∴MR∥PT，
由題意：MN∥AB，
∴四邊形MPTR是矩形，
∴MR=PT，
∵AM=BP，
∴Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），
∴AR=BT，
設點M的橫坐標為t（0＜t＜4），則
由（2）知：直線OC的解析式為，則P（t，t），
當時，解得：（舍）
當時，無實數(shù)解，
當，此時
．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，綜合運用以上知識是解題的關鍵．
18．（2022·遼寧鞍山·模擬預測）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸分則點A和點，與y軸交于點C，對稱軸為直線，且，P為拋物線上一動點．
(1)直接寫出拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接AC，當點P在直線AC上方時，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時P點的坐標；
(3)設M為拋物線對稱軸上一動點，當P，M運動時，在坐標軸上是否存在點N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點P及其對應點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，P點的坐標為
(3)存在，，；，；，
【分析】（1）根據(jù)已知條件，列出方程組求出a，b，c的值即可；
（2）方法一：設，四邊形PABC的面積，用m表示出S，并求出S的最大值與此時P點的坐標；
方法二：易知，，故直線AC的方程為，設，表示出PQ，并用x表示出△APC的面積，再表示出S，并求出S的最大值與此時P點的坐標；
（3）根據(jù)題目要求，分類討論當當N在y軸上時；當N在x軸負半軸上時，設，用t表示出點P的坐標，解出t，寫出點P及其對應點N的坐標．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∵，對稱軸為直線，，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為：．
（2）解：方法一：連接OP，
設，易知，，
∵，，
∴四邊形PABC的面積，
∴
又∵，
∴
∴當時，，
∴此時P點的坐標為；
方法二：易知，，故直線AC的方程為
設，
∵過點P作PQ⊥x軸，交AC于點Q，
∴，
∵點P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四邊形PABC面積，
∴當時，S有最大值，
∴此時P點的坐標為．
（3）存在點N．
①當N在y軸上時，
∵四邊形PMCN為矩形，
此時，，；
②當N在x軸負半軸上時，如圖所示，四邊形PMCN為矩形，過M作y軸的垂線，垂足為D，過P作x軸的垂線，垂足為E，設，則，
∴，
∵四邊形PMCN為矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵點M在對稱軸上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P點的坐標為，
∵P點在拋物線上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③當N在x軸正半軸上時，如圖所示，四邊形PMCN為矩形，過M作y軸的垂線，垂足為D，過P作x軸的垂線，垂足為E，設，則，
∴，
∵四邊形PMCN為矩形時，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵點M在對稱軸上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P點的坐標為，
∵P點在拋物線上，
∴
解得（舍），，
∴，，
綜上：，；，；，
【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、二次函數(shù)綜合問題，矩形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵．
19．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）綜合與探究
已知：如圖，二次函數(shù)的圖象的頂點為，與x軸交于B，A兩點，與y軸交于點，點E為拋物線對稱軸上的一個動點．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)當?shù)闹荛L最小時，點E的坐標為____________；
(3)當點E在x軸上方且時，試判斷與的位置關系，并說明理由；
(4)若點N是y軸上的一點，坐標平面內(nèi)是否存在P，使以D、B、N、P為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由見解析
(4)存在，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求得點A、B坐標，根據(jù)點A、B對稱性，連接BC與拋物線的對稱軸交于點E，此時△ACE的周長最小，求得BC的解析式即可求解；
（3）過點C作CH⊥DE于H，設對稱軸于x軸交于F，利用tan∠BAE= tan∠BDE= tan∠HEC證得∠BDE=∠HEC即可判斷BD∥CE；
（4）設點N（0，n），分BD為矩形的邊和BD為矩形的對角線兩種情況，利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求解點N、P坐標即可．
(1)
解：設二次函數(shù)的解析式為，
將點C（0，3）代入，得3=a+4，則a=-1，
∴二次函數(shù)的解析式為即；
(2)
解：令y=0，由得：x1=-3，x2=1，
∴A（1，0），B（-3，0），
∵點A、B關于對稱軸x=-1對稱，
∴連接BC與拋物線的對稱軸交于點E，此時△ACE的周長最小，
設直線BC的解析式為y=kx+t，
將B（-3，0）、C（0，3）代入，
得，
∴，
∴直線BC的解析式為y=x+3，
當x=-1時，y=2，
∴當?shù)闹荛L最小時，點E的坐標為（-1，2），
故答案為：（-1，2）；
(3)
解：CE∥BD，理由為：
過點C作CH⊥DE于H，設對稱軸于x軸交于F，
則CH=1，BF=2，AF=2，DF=4，HF=3，
在Rt△DFB中，tan∠BDE=，
在Rt△AFE中，tan∠BAE=，
∵，
∴，
則EF=1，即HE=2，
在Rt△CHE中，tan∠HEC= ，
∴∠BDE=∠HEC，
∴BD∥CE；
(4)
解：存在，理由為：
設點N（0，n），P（x，y），則BD2=（-3+1）2+42=20，BN2=（-3）2+n2=9+n2，DN2=（-1）2+（4-n）2=n2-8n+17，
若BD為矩形的邊時，
當∠BDN=90°時，由DN2+ BD2= BN2得n2-8n+17+20= 9+n2，
解得：n= ，
∴N（0，），
∵矩形的對角線互相平分，
∴由-1+x=-3+0，4+y=0+得：
x=-2，y=，
∴P（-2，）；
當∠DBN=90°時，由BN2+ BD2= DN2得9+n2+20= n2-8n+17，
解得：n= ，
由-3+x=-1+0，0+y=4+（）得：x=2，y= ，
∴P（2，）；
若BD為矩形的對角線時，則∠BND=90°，
由BN2+ DN2= BD2得：9+n2+ n2-8n+17=20，
解得：n=1或n=3，
當n=1時，N（0，1），由0+x=-3+（-1），1+y=0+4，得x=-4，y=3，
∴P（-4，3）；
當n=3時，N（0，3），由0+x=-3+（-1），3+y=0+4，得x=-4，y=1，
∴P（-4，1），
綜上，滿足條件的點P坐標為．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、最短路徑問題、平行線的判定、銳角三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、坐標與圖形、解一元一次（二次）方程，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．
20．（2022·廣西河池·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于A，B兩點，經(jīng)過A，B兩點的拋物線與x軸的正半軸相交于點．
(1)求點B的坐標和拋物線的解析式；
(2)若P為線段AB上一點，，求AP的長；
(3)在（2）的條件下，設M是y軸上一點，試問：拋物線上是否存在點N，使得以A，P，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)點B的坐標為(0，3)；
(2)
(3)存在，(，3)、 (，)或（－4，－5）
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解．
（2）求出，利用三角形相似的判定及性質(zhì)即可求解．
（3）分兩種情況：①當為平行四邊形的邊時，點的橫坐標可以為，求出點的坐標即可求解；②當為平行四邊形的對角線時，點的橫坐標為-4，求出點的坐標即可求解．
(1)
解：令，則，
∴點B的坐標為(0，3)，
拋物線經(jīng)過點B (0，3)，C (1，0)，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為：．
(2)
令，則，
解得：，
∴點A的坐標為(，0)，
∴OA=3，OB=3，OC=1，
，
∵，且，
∴△PAO△CAB，
∴，即，
∴．
(3)
點，代入得，
，解得，
直線的解析式為：，
設點，
，
，
解得或（舍去），
，
可能為平行四邊形的邊或?qū)蔷€，
則分兩種情況討論，如圖所示，
①當為平行四邊形的邊時，即和，
點，點，
點和點的橫坐標之差為2，
點的橫坐標為或-2，
將2和-2分別代入，
即和，
解得和，
點的坐標為，點的坐標為，
②當為平行四邊形的對角線時，即，
點和的橫坐標之差為1，
點和點的橫坐標為1，
點的橫坐標為，
將-4代入，即，
解得，
點的坐標為，
綜上所述，滿足條件的的坐標為或或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法、相似三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題的關鍵是學會運用分類討論思想思考問題．

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