一、解答題
1．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在，坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程組求出b，c的值即可；
（2）分三種情形：B是直角頂點(diǎn)，C是直角頂點(diǎn)，P是直角頂點(diǎn)，分別求解即可．
【詳解】（1）∵拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，
∴，解得
∴拋物線的解析式為．
（2）∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
如圖，連接．
∵，
∴，∴，
∴當(dāng)時(shí)，，可得．
當(dāng)時(shí)，同理可得．
當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，，．
∵，
∴，
解得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
綜上可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．
2．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
(1)求此二次函數(shù)解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)動(dòng)點(diǎn)P在二次函數(shù)圖象上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)P作垂直x軸于點(diǎn)H，連接，是否存在點(diǎn)P使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，．
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式，即可；
（2）過(guò)點(diǎn)P作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，可得，可得到關(guān)于x的方程，即可求解．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，
∴二次函數(shù)解析式為：，
令，則，
∴．
（2）解：存在，
如圖，過(guò)點(diǎn)P作于，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
∴，即，
解得：，
∵位于第一象限，則舍去，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，掌握“利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式”是解本題的關(guān)鍵．
3．如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
(1)求出點(diǎn)A點(diǎn)、點(diǎn)D的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
(2)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，，；
(2)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，得到關(guān)于b，c的方程組，解方程組，即可得到拋物線的解析式，令，得到，解方程即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，把拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出，設(shè)的中點(diǎn)為E，則，設(shè)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
∴
解得，
∴，
令，，
∴，
∴，
∵D是拋物線的頂點(diǎn)，，
∴，
（2）存在，理由如下：
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
設(shè)的中點(diǎn)為E，則，設(shè)，
∵是以為斜邊的直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴或，
∴使是以為斜邊的直角三角形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何綜合題，用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、拋物線的頂點(diǎn)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
4．已知，如圖，拋物線經(jīng)過(guò)直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，，此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，作軸交拋物線于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值；
(3)在軸上是否存在點(diǎn)使為直角三角形？若存在，確定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)， 再利用待定系數(shù)法求出平拋物線的解析式；
（2）根據(jù)題意列出的關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式得出得到線段的最大值；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分兩種情況討論，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，，
∴，，
∵拋物線經(jīng)過(guò)直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，，
∴根據(jù)題意可得方程：
∴，
∴二次函數(shù)的解析式為：．
（2）解：∵點(diǎn)經(jīng)過(guò)拋物線
∴設(shè)點(diǎn)，
∵是線段上的動(dòng)點(diǎn)，
∴，
∴
∴的最大值為．
（3）解：①當(dāng)時(shí)，如圖所示
∵時(shí)，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
②當(dāng)時(shí)，則，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：
∵，
∴，
綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為：或
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，熟記數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式是解題的關(guān)鍵．
5．拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)用關(guān)于的代數(shù)式表示線段，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，
①求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接，在y軸上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)①；②存在點(diǎn)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，則，， 進(jìn)而推出，由此求解即可；
（3）①先由，得到， 進(jìn)而證明，得到，則，證明是等腰直角三角，得到，再由，推出，由，求出，則；②設(shè)，則，，，然后分別討論、、為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：把、代入得
∴，即，
∴
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：令得，
∴
設(shè)直線BC的解析式為，
∴
∴，
∴直線BC的解析式為：
∵P的橫坐標(biāo)為t，軸，
∴，，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值2，此時(shí)；
（3）解：①∵、，
∴，
∵，
∴，
∵軸
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴；
②設(shè)，則，，，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，
解得：（舍去）或，
∴；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∴
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)
解得：（舍去）
綜上所述，存在點(diǎn)或使得為直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
6．已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P在直線下方的拋物線上，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂線交于點(diǎn)，垂線，求證；當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值；
(3)在(2)的條件下，在上是否存在點(diǎn)，使是直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析；，的最大值為
(3)或或或
【分析】（1）將、、代入即可求解析式；
（2）由，可得 ，，則求的最大值即可；
（3），點(diǎn)在上，則,,，勾股定理求得，分三種情況討論，勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)、、代入，
得，
解得，
；
（2）如圖，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
；
（3）， 點(diǎn)在上，則,
∵,，
∴,，
當(dāng)為斜邊時(shí)，，
解得：或，
或；
當(dāng)為斜邊時(shí)，，
解得：；
，
當(dāng)為斜邊時(shí)， ，
解得：；
，
綜上所述：是直角三角形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造平行線將的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸相交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在上點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或或或
【分析】（1）把，代入，再建立方程組求解即可；
（2）設(shè)點(diǎn)，由勾股定理得：；，，再分三種情況討論即可．
【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：；
（2）對(duì)于，令，則，即點(diǎn)，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
設(shè)點(diǎn)，
由勾股定理得：；，，
當(dāng)是斜邊時(shí)，則，
解得：，
∴，
當(dāng)是斜邊時(shí)，則，
解得：；
∴，
如圖，當(dāng)是斜邊時(shí)，
則，
整理得：，
解得：；
∴，，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)與直角三角形，熟練的利用勾股定理建立方程是解本題的關(guān)鍵．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰直角三角形，，拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為，，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)E是直角斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，：或或
【分析】（1）首先依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；
（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可求得直線的解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，然后列出關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，最后利用配方法求得的最大值即可；
（3）分兩種情況討論：若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵A，C的坐標(biāo)分別為，，
∴．
∵為等腰直角三角形，，
∴，
∴．
將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入，得
，解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，
，
∴當(dāng)時(shí)，線段取得最大值9，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形．
如圖，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)．
①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由（2）可知，則有，解得，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由（2）可知，則有，
解得：（舍去），
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)有：或或，使得是以為直角邊的直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，列出的長(zhǎng)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)已知拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，右側(cè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P為線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【分析】（1）把代入，可求得拋物線的解析式，聯(lián)立得方程，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)Q．求得、都是等腰直角三角形，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵A點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
代入，得．
∴．
∴拋物線的解析式為．
∵A，B都是拋物線與直線的交點(diǎn)，
令，解得或4．
把代入并解得，．
∴；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)Q．
∵，，
∴，．
∴是等腰直角三角形，
∴．
由題意得，，
∴．
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
令，
解得，．
∴，
∴AC=4，
∴，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，連接、．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)求b、c的值．
(2)在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？
(3)在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng)t=2時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為4
(3)存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為E，利用表示出四邊形的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；
（3）畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過(guò)M作y軸的垂線，與交于F，證明，得到，，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出t值，即可算出M的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
則 ，
解得：；
（2）由（1）得：拋物線表達(dá)式為，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可知：，
過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為H，如圖，
∴，即，
又，
∴
，
∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，
，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為4；
（3）存在．假設(shè)點(diǎn)M是線段上方的拋物線上的點(diǎn)，
如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過(guò)M作y軸的垂線，與交于F，連接，．
∵是等腰直角三角形，，，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴，
解得： 或（舍），
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．
11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)，此拋物線對(duì)稱軸為
(1)求拋物線的解析式；
(2)將拋物線向下平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在內(nèi)（不包括的邊界），求t的取值范圍；
(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線上，能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸公式得到①，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式得到②，聯(lián)立①②，解方程組即可確定拋物線解析式；
（2）先求直線的解析式，再求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出上與頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出平移的范圍；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)P在x軸上方時(shí)；②當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)；過(guò)點(diǎn)P作于G，軸于H，根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)得出，設(shè)點(diǎn)，則可以用m表示，求出m即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵拋物線 的對(duì)稱軸為直線，
∴①，
∵點(diǎn)在拋物線的函數(shù)圖象上，
∴②，
聯(lián)立①②解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)直線的解析式為，代入可得：
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴若將拋物線向下平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得的拋物線的頂點(diǎn)落在內(nèi)部（包含邊界），則；
（3）解：令直線為直線l，
如圖3-1所示，當(dāng)P在x軸上方時(shí)，
過(guò)點(diǎn)P作于G，軸于H，
∵為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
在與中，
，
∴
∴，
設(shè)點(diǎn)，則，，
∴，
解得：或，
∴或；
②當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，如圖3-2所示：過(guò)點(diǎn)P作于G，軸于H，
同理可證
∴，
設(shè)點(diǎn)，則，，
∴，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
∴或；
綜上所述，能成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題；此題通過(guò)作兩條互相垂直的輔助線，把等腰直角三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問(wèn)題，繼而轉(zhuǎn)化為線段相等的問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵．
12．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，并與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接、，判斷是什么特殊三角形，并說(shuō)明理由；
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使為以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，理由見(jiàn)解析
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或
【分析】（1）由題意可設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為，然后將點(diǎn)代入求解即可；
（2）先求出直線的解析式，然后聯(lián)立直線的解析式和拋物線的解析式得出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用勾股定理證明即可；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴可設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為，
將點(diǎn)代入頂點(diǎn)式得，
解得，
∴；
（2）是直角三角形，理由如下：
∵直線過(guò)點(diǎn)，
∴設(shè)直線的解析式為，
∵點(diǎn)是對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，
∴，
把點(diǎn)代入，并解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，并解得，，
∴，
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．
①當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)，
∴，，，
若為斜邊，則有，
解得，
∴，
若為斜邊，則有，
解得，
∴；
②當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)，
∴，，，
若為斜邊，則有，
解得，
∴，
若為斜邊，則有，
解得（與點(diǎn)重合舍去），
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能夠利用勾股定理證明直角三角形是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線交于點(diǎn)，試探究為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；
(3)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，，
(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式列方程即可得到結(jié)論；
（2）如圖所示：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，列方程即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理列方程求得，（不合題意，舍去），②當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理列方程求得：，，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1），
令，得：，解得：，，
令得，，
∴，，．
（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)，，直線為，
由題可得，，
則，解得，（舍去），
因此當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．
（3）當(dāng)時(shí)，有，
即
解得：，（舍去），∴有；
當(dāng)時(shí)，有，
即
解得：，，∴有，；
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，待定系數(shù)法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，方程思想和分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．
14．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)求的面積；
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；
(2)15
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由的面積，即可求解；
（3）①當(dāng)為直角時(shí)，證明為等腰直角三角形，即可求解；②當(dāng)為直角時(shí)，同理可得，為等腰直角三角形，即可求解；③當(dāng)為直角時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，即可求解．
【詳解】（1）由題意得：，解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
設(shè)直線的表達(dá)式為：，
則，解得：，
故直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，
則，
則的面積；
（3）存在，理由：
如上圖，由點(diǎn)、的坐標(biāo)知，，則，
①當(dāng)為直角時(shí)，
，則為等腰直角三角形，
則，
則，即點(diǎn)；
②當(dāng)為直角時(shí)，
同理可得，為等腰直角三角形，
則，
即點(diǎn)；
③當(dāng)為直角時(shí)，
則點(diǎn)與點(diǎn)重合，
即點(diǎn)；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
15．拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，連接．點(diǎn)是線段下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于，交軸于，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)用關(guān)于的代數(shù)式表示線段，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，
①求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)或．
【分析】（1）將點(diǎn)和代入解析式，列方程組求解即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）求出點(diǎn)C坐標(biāo)，從而求出直線解析式，用t表示點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到關(guān)于t的函數(shù)，求出最值即可得到答案；
（3）①根據(jù)題意用t表示點(diǎn)H的坐標(biāo)根據(jù)面積列方程求解即可得到答案；
②設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，分，兩類討論根據(jù)勾股定理逆定理即可得到答案．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)和代入解析式得，
，解得：，
∴該拋物線的解析式為：；
（2）解：由題意可得P點(diǎn)坐標(biāo)為：，
由（1）得，C點(diǎn)坐標(biāo)為：，
設(shè)的解析式為：，將B、C坐標(biāo)代入可得，
，解得，
∴，
∵軸，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的值最大，
，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：；
（3）①解：由題意可得，如圖，
∵，軸，
∴點(diǎn)C、H縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)N、H、P的橫坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為：，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：，
∵，
∴，
即：，
解得：，（不符合題意舍去）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
②解：I：當(dāng)時(shí)，如圖所示，
∵，
∴點(diǎn)Q、P的縱坐標(biāo)相同，
∴此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為：，
即，；
II：當(dāng)時(shí)，如圖所示，
設(shè)，
根據(jù)勾股定理可得：，
解得： ，
∴，
綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)圍成直角三角形問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用性質(zhì)列式求解．
16．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
(1)拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)__________（用含m的代數(shù)式表示），A，B的坐標(biāo)分別是A（__________），B（__________）；
(2)求的面積（用含m的代數(shù)式表示）；
(3)是否存在使為直角三角形的拋物線？若存在，直接寫(xiě)出拋物線的表達(dá)式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，、
(2)
(3)或
【分析】（1）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；拋物線的解析式中， 令，可求得、的坐標(biāo) ．
（2）易求得點(diǎn)坐標(biāo)， 即可得到的長(zhǎng)，以為底，為高，即可求出的面積；
（3） 首先根據(jù)、、的坐標(biāo)，求出、、的值， 由于中，、、都有可能是直角頂點(diǎn)， 所以要分三種情況討論：①，②，③，在上述三種不同的直角三角形中， 利用勾股定理可求得的值，進(jìn)而可確定拋物線的解析式 ．
【詳解】（1）解：，
拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
，
；
解得，，
、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、．
（2）當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
；
（3）存在使為直角三角形的拋物線；
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則為直角三角形，，，
．
；
在中，，
在中，；
如果是直角三角形，且，
那么，
即，
解得，
，
．
存在拋物線使得是直角三角形；
②如果是直角三角形，且，
那么，
即，
解得，
，
；
存在拋物線，使得是直角三角形；
③如果是直角三角形，且，
那么，
即，整理得，此方程無(wú)解；
以為直角的直角三角形不存在；
綜上所述， 存在拋物線和，使得是直角三角形 ．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法、勾股定理、直角三角形的判定等知識(shí)；需要注意的是（3）題中，由于直角三角形的直角頂點(diǎn)不確定，一定要分類討論，以免漏解．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)如圖①連接，為等腰直角三角形，，求的最小值；
(3)如圖②，連接，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）將點(diǎn)代入，即可求出函數(shù)的解析式；
（2）連接，過(guò)點(diǎn)做于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上方時(shí)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交上方拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，此時(shí)，連接，求出，即可求；當(dāng)點(diǎn)在線段下方時(shí)，以為寫(xiě)斜邊在上方作等腰直角三角形，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交下方拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，可得軸，軸，則，即可求．
【詳解】（1）令，則，
解得：或，
∴，，
∵在拋物線上，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
（2）∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
連接，過(guò)點(diǎn)做于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)作，
∵，，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，
∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，的值最小，
∵，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為的長(zhǎng)，，即的最小值為的長(zhǎng)，
∵，，
∴，
∴的最小值為；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上方時(shí)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交上方拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，此時(shí)，連接，
∴，
∵，
∴，
∴
當(dāng)點(diǎn)在線段下方時(shí)，以為寫(xiě)斜邊在上方作等腰直角三角形，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交下方拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，
∵，，
∴，
∵，，
∴軸，
同理可得軸，
∴，
∴
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答，構(gòu)造輔助圓的方法是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．
(1)求的值；
(2)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）將代入即可；
（2）由題意可得B的坐標(biāo)是，設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法求得，由題意表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)是，點(diǎn)E的坐標(biāo)是，進(jìn)而得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，進(jìn)行討論即可．
【詳解】（1）∵拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)是
∴
∴
（2）如圖
∵當(dāng)時(shí)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是
設(shè)直線的解析式為
∵過(guò)點(diǎn)，
∴
∴
∴直線的解析式為
∵當(dāng)時(shí)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是
∵當(dāng)時(shí)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是
∴；
（3）①當(dāng)時(shí)，直線交軸于，如圖，
∵，，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴為等腰直角三角形，即：，
∴，
設(shè)直線解析式為，代入，，得：
，解得：，
∴直線解析式為，
聯(lián)立：，解得：或，
∵
∴；
②當(dāng)時(shí)，直線交軸于，如圖，
同理可得為等腰直角三角形，即：，
∴，
設(shè)直線解析式為，代入，，得：
，解得：，
∴直線解析式為，
聯(lián)立：，解得：或，
∵
∴；
③當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在上方，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且，
過(guò)點(diǎn)作軸，，如圖，
∵，，軸，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
，，
∵，
∴，即：，
亦即：，
∴，
解得：，（經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解），
則： ，
∴
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，等腰三角形的直角三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，討論直角的位置，利用相似三角形的性質(zhì)列比例式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)請(qǐng)?jiān)谳S上找一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)存在，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或
【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為，展開(kāi)得到，然后求出的值即可得到拋物線的解析式；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)為，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，如圖1，則，利用兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷此時(shí)的值最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，然后求出直線的解析式即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)作的垂線交拋物線于另一點(diǎn)，如圖2，先用待定系數(shù)法求出直線的解析式，利用兩直線垂直一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出的值得到直線的解析式，再解方程組得此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交拋物線于另一點(diǎn)，利用同樣的方法可求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，
即，
，
解得，
拋物線解析式為：；
（2）解：，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，如圖1，則，
，
，此時(shí)的值最小，
而的值不變，
此時(shí)的周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線的解析式為，將，代入解析式得：
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：存在，
過(guò)點(diǎn)作的垂線交拋物線于另一點(diǎn)，如圖2，
拋物線與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得，
，
解得，
直線的解析式為，
，
設(shè)直線解析式為：，
把代入得：，
直線解析式為，
解方程組，
解得或，
則此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；
過(guò)點(diǎn)作的垂線交拋物線于另一點(diǎn)，
則直線的解析式可設(shè)為，
把代入得，解得，
直線的解析式為：，
解方程組，
解得或，
則此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解兩直線垂直時(shí)一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)解方程組求兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．
20．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C，P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，線段于點(diǎn)D，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)或 或-2或
【分析】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可解決問(wèn)題．
（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于H點(diǎn)，設(shè)，可得，根據(jù)，推出，列出方程求出t的值，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，分情況畫(huà)圖討論當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入函數(shù)解析式
可得
解得
∴拋物線的解析式
（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于H點(diǎn)
∴
∴
∵
∴
∴
∴
設(shè)
∴
當(dāng)?shù)?br>∴
∵，
∴
在中
∵
∴
在中
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（3）點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)
第一種情況：當(dāng)時(shí)，
如圖，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線于點(diǎn)G
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
設(shè)
∴
整理得，或，
解得，或
∵m在對(duì)稱軸的左側(cè)
∴
∴M的橫坐標(biāo)為-2或
點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)
第二種情況：當(dāng)時(shí)，
如圖，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線于點(diǎn)G，作對(duì)稱軸于點(diǎn)H
同理，
∴，
設(shè)
∴
整理得，或
解得或
∵m在對(duì)稱軸的左側(cè)
∴
∴M的橫坐標(biāo)為或
綜上所所述：M的橫坐標(biāo)為或或-2或
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查的是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解相關(guān)性質(zhì)定理，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．

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