中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)重難點(diǎn)突破講練專題32 軸對稱綜合與折疊問題（2份，原卷版+解析版）

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一、單選題
1．（2022·山東濱州·一模）如圖，在Rt△ABC中，，，，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，從而求出．
【詳解】解：在Rt△ABC中，
AB==5，
由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得＝AC=3，=CB＝4，
∴＝AB-=2，
∵==2，
∴．
故答案為：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·浙江寧波·一模）如圖，圓O與的邊相切，切點(diǎn)為．將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在圓O上，邊交線段于點(diǎn)．若，半徑長為2，則的長度為（ ）．
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△為等邊三角形，進(jìn)而可求出，再利用=15°，可證明△BCO是等腰三角形．
【詳解】解：如圖，連接
由題意得∶ ，
∴△為等邊三角形，
∴=60°，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴∠ABO=90°．
∴=90°，
∴=30°，
∵=15°，
∴∠A=15°
∴∠AOB=90°-∠A=75°，
∴=75°，
∴BC=BO=2．
故選∶B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓中切線的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圓與切線的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．（2022·廣東汕尾·九年級期中）如圖，將線段繞一個點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，則這個點(diǎn)是（ ）
A．點(diǎn)B．點(diǎn)C．點(diǎn)D．點(diǎn)
【答案】A
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心到對應(yīng)點(diǎn)的距離相等作圖可以得解．
【詳解】如圖，連接、，分別作、的垂直平分線，發(fā)現(xiàn)相交于點(diǎn)，因此點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心.
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及作法是解題關(guān)鍵．
4．（2022·天津·九年級期中）如圖，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的長是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得
【詳解】∵繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，其旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)C，旋轉(zhuǎn)角度是
∴,
∴是等腰直角三角形
∴
故選項(xiàng)是B．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出三角形是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵
5．（2022·山東·臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，，．將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，并且點(diǎn)恰好落到線段上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過作⊥AO于C點(diǎn)，先通過解解直角三角形求出OA，再證△是等邊三角形，再在Rt△中通過解解直角三角形求出、AC，則問題得解．
【詳解】過作⊥AO于C點(diǎn)，如圖，
∵B(0,3)，
∴OB=3，
∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠BAO=60°，
∴在Rt△AOB中，AO=BO×tan∠B=3×tan30°=，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，
∴△是等邊三角形，
∴，
∴在Rt△中，，，
∴，
∵在第二次象限，
∴的坐標(biāo)為：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，主要考查了解直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，等邊邊長為，和的角平分線相交于點(diǎn)O，將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則DE=（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】過O點(diǎn)作OH⊥BC于H，OB1與BC交于點(diǎn)M，過M作MF⊥BO于F，求出BO=4，證明△BOM和△DMB1均為等腰三角形，求出BM和MD的值，進(jìn)而求出DC的長，最后證明△DEC為30°、60°、90°直角三角形，利用DE=CD即可求解．
【詳解】解：過O點(diǎn)作OH⊥BC于H，OB1與BC交于點(diǎn)M，過M作MF⊥BO于F，如下圖所示：
∵△ABC為等邊三角形，且OB、OC分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠1=∠ABC=30°，∠3=∠ACB=30°，
∴△OBC為等腰三角形，由“三線合一”可知：
BH=CH=BC=，
∴BO=BH=4，
∵繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠2=30°=∠1，
∴△OBM為等腰三角形，由“三線合一”可知：
BF=BO=2，
∴MO=BM=BF=，
∴MB1=OB1-OM=OB-OM=，
又由旋轉(zhuǎn)可知∠B=∠B1=30°，且對頂角∠BMO=∠DMB1=120°，
∴∠MDB1=180°-∠B1-∠DMB1=180°-30°-120°=30°，
∴△MB1D為等腰三角形，
∴MD=MB1=，
∴CD=BC-MD-BM=，
∵對頂角∠EDC=∠MDB1=30°，且∠ACB=60°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，
∴△CDE為30°、60°、90°直角三角形，
∴DE=CD=，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及判定等，熟練掌握特殊三角形的性質(zhì)及判定是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2022·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，點(diǎn)P是AC邊上的一個動點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接CQ．則在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，線段CQ的最小值為（ ）
A．4B．5C．10D．5
【答案】D
【分析】將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，再設(shè)線段的中點(diǎn)為M，并連接CM．根據(jù)線段BP的旋轉(zhuǎn)方式確定點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動，再根據(jù)垂線段最短確定當(dāng)Q與點(diǎn)M重合時，CQ取得最小值為CM．根據(jù)∠C=90°，∠A=30°，AB=20求出BC的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出和的長度，根據(jù)線段的和差關(guān)系確定點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，進(jìn)而確定CM是的中位線，再根據(jù)三角形中位線定理即可求出CM的長度．
【詳解】解：如下圖所示，將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，再設(shè)線段的中點(diǎn)為M，并連接CM．
∵點(diǎn)P是AC邊上的一個動點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，
∴點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動．
∴當(dāng)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時，線段CQ取得最小值為CM．
∵∠C=90°，∠A=30°，AB=20，
∴BC=10．
∵Rt△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，
∴=BC=10，．
∴．
∴．
∴點(diǎn)C是線段中點(diǎn)．
∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，
∴CM是的中位線．
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形30°所對的直角邊是斜邊的一半，垂線段最短，三角形中位線定理，綜合應(yīng)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
8．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長為4，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，P是上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)Q，連接，則的最大值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】A
【分析】連接CP，AQ，以A為圓心，以AQ為半徑畫圓，延長BA交于E．根據(jù)正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，全等三角形的判定定理和性質(zhì)求出AQ的長度，根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時，BQ取得最大值，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系計算即可．
【詳解】解：如下圖所示，連接CP，AQ，以A為圓心，以AQ為半徑畫圓，延長BA交于E．
∵正方形ABCD的邊長為4，的半徑為2，
∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，CP=2．
∵點(diǎn)P繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q，
∴∠QDP=90°，QD=PD．
∴∠ADC=∠QDP．
∴∠ADC-∠QDC=∠QDP-∠QDC，即∠ADQ=∠CDP．
∴．
∴AQ=CP=2．
∴AE=AQ=2．
∵P是上任意一點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q在上移動．
∴．
∴當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時，BQ取得最大值為BE．
∴BE=AE+AB=6．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，線段的和差關(guān)系，綜合應(yīng)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
9．（2022·福建省廈門集美中學(xué)九年級期中）如圖，在正方形ABCD中，，E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且，將點(diǎn)E繞著點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G，連接DG，則DG的長的最小值為（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，設(shè)，只要證得，利用全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得到，在中，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
，
當(dāng)時，有最小值為，
∴的最小值為，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，D為內(nèi)一點(diǎn)，分別連接PA、PB、PC，當(dāng)時，，則BC的值為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】將△BPA順時針旋轉(zhuǎn)60°，到△BMN處，得到△BPM，△ABN是等邊三角形，證明C、P、M、N四點(diǎn)共線，且∠CAN=90°，設(shè)BC=x，則AB=BN=2x，AC=，利用勾股定理計算即可．
【詳解】將△BPA順時針旋轉(zhuǎn)60°，到△BMN處，則△BPM，△ABN是等邊三角形，
∠BPM=∠BMP=60°，∠BAN=60°，PM=PB，BA=BN，PA=MN，
∵∠CPB=∠BPA=∠APC=∠BMN=120°，
∴∠BMP+∠BMN=180°，∠BPC+∠BPM =180°，
∴C、P、M、N四點(diǎn)共線，
∴CP+PM+MN=CP+PB+PA=，
∵∠BAC=30°，∠BAN=60°，
∴∠CAN=90°，
設(shè)BC=x，則AB=BN=2x，AC=，
∴，
解得x=，x= - ，舍去，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2021·新疆·烏魯木齊市第132中學(xué)二模）如圖，等邊△ABC的邊長為6，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2，線段CD繞D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接DE交AC于點(diǎn)F，連接AE，下列結(jié)論：①四邊形ADCE面積為9；②△ADE外接圓的半徑為；③AF∶FC=2∶7；其中正確的是( )
A．①②③B．①③C．①②D．②③
【答案】A
【分析】如圖1，在BC上取一點(diǎn)M，使得BM=2，連接DM，分別過D、A作，垂足為H、M，由△ABC的邊長為6的等邊三角形，得，，進(jìn)而證明△BDM的邊長為2的等邊三角形，△CDE的邊長為的等邊三角形，再證明，得到，于是有S四邊形ADCE=S梯形ABCE-，由，，得△ADE外接圓的半徑為，證明，判斷③正確，從而得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖1，在BC上取一點(diǎn)M，使得BM=2，連接DM，分別過D、A作，垂足為H、M，
△ABC的邊長為6的等邊三角形，
，，
BD=2，BM=2，
△BDM的邊長為2的等邊三角形， ，
，，
，，，，，
，
，
線段CD繞D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，
△CDE的邊長為的等邊三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
S四邊形ADCE=S梯形ABCE-
，
因此①正確；
，，
△ADE外接圓的直徑為，
△ADE外接圓的半徑為，
因此②正確；
，，
，
即，
，
，
，
AF∶FC=2∶7，
因此③正確；
故應(yīng)選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定、全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定、圖形的旋轉(zhuǎn)以及圓等知識，構(gòu)造輔助線證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
12．（2022·福建省大田縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級期中）如圖，在中，，點(diǎn)，在線段上，且，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，．給出以下結(jié)論：
①；
②；
③；
④．
其中正確的是___________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
【答案】①③④
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可以及即可判斷①；②中的兩個三角形只有一條邊和一個角相等，不能判定全等；根據(jù)全等的性質(zhì)以及勾股定理即可判斷③；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷④．
【詳解】解：∵為直角三角形，，
∵，
∵線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到線段，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故①正確；
在和中，只有，，兩個條件不能判定全等，故②不正確；
∵，
∴
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故③正確；
∵為直角三角形，，
∴，即，
整理得：，
∵，
∴，
故④正確；
故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．
13．（2022·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校一模）如圖，將矩形紙片繞頂點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，取、的中點(diǎn)M、N，連接．若，．則線段長度的最大值為___________．
【答案】
【分析】由三角形中位線定理可求的長，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)H，連接，，，
∵， ，
∴，
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，
∴，
∵將矩形紙片繞頂點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，
∴，，
∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴當(dāng)點(diǎn)H在上時，有最大值，最大值，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·廣西·欽州市第四中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，長方形中，，，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個動點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)45°到的位置，連接和，則的最小值為_____．
【答案】
【分析】如詳解圖，將線段繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于J．首先證明，推出點(diǎn)G的在射線上運(yùn)動，推出當(dāng)時，的值最?。?br>【詳解】解：如圖：
將線段繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于J．
∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)G的在射線上運(yùn)動，
∴當(dāng)時，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
15．（2022·江蘇·南京鐘英中學(xué)九年級階段練習(xí)）是邊長為5的等邊三角形，是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是___________．
【答案】##
【分析】先證明，如圖，設(shè)交于點(diǎn)T．證明，推出點(diǎn)F在的外接圓上運(yùn)動，當(dāng)最小時，的值最小，此時，求出可得結(jié)論．
【詳解】解：∵都是等邊三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
如圖，設(shè)交于點(diǎn)T．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)F在的外接圓上運(yùn)動，當(dāng)最小時，的值最小，此時，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題
16．（2022·北京大興·九年級期中）在正方形ABCD中，，點(diǎn)E在邊AB上，且，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段DF，連接
(1)如圖1，若點(diǎn)F恰好落在邊BC的延長線上，判斷的形狀，并說明理由；
(2)若點(diǎn)F落在直線BC上，請直接寫出的面積.
【答案】(1)是等腰直角三角形，理由見解析
(2)或
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，由“HL”可證，可得，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）是等腰直角三角形，理由如下：
在正方形ABCD中，，
落在邊BC的延長線上，
將點(diǎn)E繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，
，
在和中，
，
，
，
，
，即
是等腰直角三角形；
（2），，，
，
當(dāng)點(diǎn)F落在線段BC上時，如圖2，
，，
，
，
的面積；
當(dāng)點(diǎn)F恰好落在邊BC的延長線上時，如圖1，
的面積，
綜上所述，的面積為或
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
17．（2021·新疆·烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級期中）在△ABC 與△EDC 中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)，連接 AE，BD
(1)如圖 1
①若 BC=3DC，直接寫出線段 BD 與線段 AE 的數(shù)量關(guān)系；
②求直線 BD 與直線 AE 所夾銳角的度數(shù)；
(2)如圖 2，BC=AC=3，當(dāng)四邊形 ADCE 是平行四邊形時，直接寫出線段 DE 的長
【答案】(1)①BD=3AE，②直線BD與AE所夾銳角為60°
(2)
【分析】（1）①通過△ABC∽△EDC證明△AEC∽△BDC即可，②延長AE與BD交于點(diǎn)F，通過（1）中的相似即可得出結(jié)果．
（2）連接AD，AE，通過（1）中的相似可以證明四邊形ADCE為菱形，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：①BD=3AE
∵在△ABC和△EDC中

∴△ABC∽△EDC
∴∠DCE=∠BCA，
∴∠DCE-∠BCE=∠ACB-∠BCE
∠BCD=∠ACE.
在△AEC和△BDC中

∴△AEC∽△BDC

∴BD=3AE
②夾角為60°
如圖，延長AE與BD交于點(diǎn)F
∵∠ACB=60°
∴∠CBA+∠CAB=120°
由（1）中△AEC∽△BDC
可得∠EAC=∠DBC
∴∠DBC+∠CBA+∠BAE=120°
∴在△AFB中∠AFB=60°
∴直線BD與AE所夾銳角為60°
（2）
解：如圖，連接AD，AE，∵∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ABC是等邊三角形
由（1）可得△ABC∽△EDC
∴△DEC為等邊三角形，
∴DC=EC
∵四邊形ADCE是平行四邊形
∴平行四邊形ADCE是菱形
∵AC為菱形ADCE對角線
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及三角形相似的證明，菱形的證明，能夠熟練證明相似是解題關(guān)鍵．
18．（2022·廣東·豐順縣大同中學(xué)九年級階段練習(xí)）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 后得到矩形（如圖1），連接，此時他測得 ，．
(1)在圖1中，請你判斷直線和是否垂直？并證明你的結(jié)論；
(2)小紅同學(xué)用剪刀將與剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將 繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得，交于點(diǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；
(3)若將沿方向平移得到（如圖3），與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)時，求平移的距離是多少．
【答案】(1)垂直，理由見解析
(2)或
(3)平移的距離是
【分析】（1）有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到矩形，得，，推出，，進(jìn)而可得的大小
（2）分兩種情形討論①當(dāng)，時，②當(dāng)時，時，均可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論
（3）求平移的距離是的長度．在矩形中，，只要求出的長度就行．用得出對應(yīng)線段成比例，即可得到的大?。?br>【詳解】（1）垂直．下面證明：
延長交于點(diǎn)．
由題意得．
．
，
．
．
．
（2）當(dāng)時，，
則，即；
當(dāng)時，，
∴
∴，即；
∴的度數(shù)為或
（3）由題意知四邊形為矩形．
設(shè)，則．
在 中，
，．
，．
．
在中，，
．
，
，
，
解得
即平移的距離是 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用運(yùn)用．在利用相似三角形的性質(zhì)時注意使用相等線段的代換以及注意分類思想的運(yùn)用．
19．（2022·山西呂梁·九年級期中）如圖，在邊長為6的正方形中，是上一動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，．
(1)若，則的長為________．
(2)求證：．
(3)求的度數(shù)，及的最小值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)，的最小值為．
【分析】（1）過作于點(diǎn)，根據(jù)是的中點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理及中位線定理可知，，再由勾股定理即可求出的長；
（2）連接，證出，進(jìn)而易求證；
（3）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，求出，再根據(jù)垂線段最短找到的最小值為的長，進(jìn)而求出的長即可．
【詳解】（1）解：過作于點(diǎn)，則，如下圖：
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴由中位線定理可知：，，
∴在中，，
∴；
（2）證明：連接，∵，是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：
由（2）知，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在上運(yùn)動，
∴當(dāng)時，的最小值為的長，
∵，，
∴，
∴，的最小值為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線．
20．（2022·河北·邢臺三中九年級期中）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，連接，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
(1)______，______，的最小值是______；
(2)當(dāng)時，求的長；
(3)連接，若的面積為，求的值．
【答案】(1)；；
(2)或
(3)或
【分析】（1）解直角三角形即可得出的長，根據(jù)可得的長，當(dāng)時，的長最小，即的長最小，求解即可；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時；②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時；分求解即可；
（3）分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，證明，根據(jù)三角形面積得出，然后分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時；②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時；解直角三角形即可．
【詳解】（1）解：在中，，，
，
，
，
，
由旋轉(zhuǎn)得，，
由垂線段最短知，當(dāng)時，的長最小，即的長最小，如圖1，
此時是等腰直角三角形．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
，
故答案為：；；；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時，如圖2，
由旋轉(zhuǎn)得，，，
，
，
，
，
；
②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時，如圖3，
，，
，
，
，
綜上可知，的長為或；
（3）分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，
則，，
，，
．
，
，
，．
的面積為25，
，
又，
，
分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時，如圖4．
，
；
②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時，如圖5，
，
，
綜上可知，的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，讀懂題意運(yùn)用分類討論的思想解題是關(guān)鍵．
21．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬云崗中學(xué)九年級期中）在正方形中，是邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)不與、重合，點(diǎn)在射線上，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．
(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，依題意補(bǔ)全圖；
(2)在圖的條件下，延長，交于點(diǎn)，求證：．
(3)在圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，連接，若點(diǎn)，，恰好在同一條直線時，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形，即可得出結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由可證，可得，，由平角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理可得，即可得出結(jié)論；
（3）連接，如圖2，只要證明，，即可解決問題．
【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖1：
（2）如圖，延長，交于點(diǎn)，
四邊形是正方形，
，，
將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）．
證明：連接，如圖，
線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
四邊形是正方形，
，，
．
，
，，
在中，，
，
在中，，
又，，
．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
22．（2022·吉林白城·九年級期中）[操作]如圖1．是等腰直角三角形，，D是其內(nèi)部的一點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)（順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，作直線交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)；
(3)[探究]如圖2，連接圖1中的，分別取的中點(diǎn)M、N、P，作．若，則的周長為
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)．
【分析】[操作]（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證，然后由證即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形的外角性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；
（3）[探究]由全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形中位線定理得，，則，然后證，則是等腰直角三角形，即可解決問題．
【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：如圖1，設(shè)與交于點(diǎn)H，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可知，，
∴，
∵M(jìn)、N、P分別是的中點(diǎn)，
∴是△ABE的中位線，是的中位線，
∴，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的周長，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
23．（2022·福建·廈門市第五中學(xué)九年級期中）在中，，，把繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)A與D對應(yīng)）．
(1)如圖，若點(diǎn)E落在邊上，連接，求的長；
(2)如圖，若旋轉(zhuǎn)角度為，連接．求的長；
(3)如圖，若旋轉(zhuǎn)角度為，連接，，垂足為F．求證：C，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上．
【答案】(1)
(2)；
(3)證明見解析．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，在直角三角形中，由勾股定理可求得的長度，再利用 進(jìn)而求得答案；
（2）延長交于點(diǎn)F ，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，又旋轉(zhuǎn)角，可證明 是等邊三角形，則有，進(jìn)而可證明，所以，再根據(jù)等腰三角形三線合一，可求出的長，同理在中，可求出，則即可解之；
（3）根據(jù)題意可得，在等腰三角形中，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理可求得 再根據(jù),確定四點(diǎn)共圓，再利用圓周角定理得出最后計算等于，則得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，
在中，，，
由勾股定理可得：
，
；
（2）解：如圖所示：延長交于點(diǎn)F ，
旋轉(zhuǎn)角度為，
，
又由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，
是等邊三角形，
，
在和中，
，
，
，
平分，
又是等邊三角形，
，
由勾股定理得：
，
在中，
，
又，
，
由勾股定理可得：
，
；
（3）證明：依題意可得：，

，
，
，
，
又，
四點(diǎn)共圓，
（同弧所對的圓周角相等），
，
C，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的綜合，圓周角定理，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，屬于中考常考題型．
24．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學(xué)九年級期中）如圖，在中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，以為腰在右側(cè)作等腰，且，過點(diǎn)作，且，連接，，．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在邊上時，直接寫出線段與的關(guān)系為 ；
(2)將圖①中的等腰繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接，，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
(3)若，，當(dāng)、、三點(diǎn)在一條直線上時，請直接寫出的長．
【答案】(1)且
(2)成立，理由見解析
(3)
【分析】（1）先說明點(diǎn)在線段上，然后從位置和數(shù)量上說明線段與的關(guān)系即可；
（2）先說明，然后證明，則可判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；
（3）先證明四邊形是平行四邊形，可得，從而說明都是直角三角形，然后利用勾股定理即可求得線段的長．
【詳解】（1）解：∵在等腰，且，
∴，，
∵，，
∴，
∵在中，，，
∴，即，
∴，
∴點(diǎn)在上，
∴，即．
故答案為：且．
（2）成立，理由如下：
延長交于，交于，
∵，，
∴，
又∵，
∴
∴，即，
∵，是等腰三角形且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴（1）中的結(jié)論仍然成立．
（3）如圖所示，
∵，，且、、三點(diǎn)在一條直線上，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
由（2）可知：且，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在，，
∵是等腰三角形且，
∴．
∴的長為．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些定理和性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
25．（2022·山東省濟(jì)南匯才學(xué)校九年級階段練習(xí)）在△ABC中，，，點(diǎn)P在平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合，連接，將線段繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
(1)如圖①，當(dāng)，的值是 ，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是 ．
(2)如圖②，當(dāng)時，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由．
(3)當(dāng)時，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，請直接寫出當(dāng)C，P，D在同一直線上時，求的值．
【答案】(1)1，
(2)，，理由見解析
(3)或
【分析】（1）證明，得到，即可得解；利用全等，對應(yīng)角相等，以及對頂角相等，得到，即可得解；
（2）根據(jù)題意：，是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明，利用相似的性質(zhì)即可得解；
（3）分點(diǎn)在線段上，和P在線段上兩種情況分類討論即可；
【詳解】（1）解：如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)
∵，
∴是等邊三角形，
由題意可知，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴ (SAS)
∴
∵
∴在和中，有
∴，直線與直線相交所成較小角的度數(shù)是；
（2）；直線與直線相交所成較小角的度數(shù)為，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
∵，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴ ，

∴，即，
，
∴ ，
設(shè)交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)，
∵在和中，，，
∴；
（3） 值為或 ，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)在線段上，延長交的延長線于點(diǎn)，
∵分別是的中點(diǎn)，即是的中位線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴ ，
當(dāng)點(diǎn)P在線段上時，同法可證：，
設(shè)，則， ，
∴ ，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．
26．（2021·新疆·烏魯木齊市第五十四中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，中，，，線段繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)（），得到線段，作的角平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．
(1)當(dāng)時，根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；
(2)當(dāng)時，求的度數(shù)；
(3)當(dāng)時，用等式表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)答案見詳解；
(2)；
(3)．
【分析】（1）按照題目要求補(bǔ)全圖形即可；
（2）先求出，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可；
（3）根據(jù)已知條件先證明，再證明，得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可確定，之間的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】（1）解：如圖1所示：
（2）解：如圖1，，
，
平分，
，
，，
，
，
；
（3）解：．
證明：如圖2，連接，
，
，
，
，
，
，
平分，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)判定兩個三角形相似是解此題的關(guān)鍵．