例1．（2023春?興化市月考）如圖，已知⊙O的半徑為1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)．
（1）如圖①，若OP＝2，過點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PE、PF，切點(diǎn)分別為E、F，連接EF．則∠EPO＝ 30 °，EF＝ ．
（2）若點(diǎn)M、N是⊙O上兩點(diǎn)，且存在∠MPN＝90°，則規(guī)定點(diǎn)P為⊙O的“直角點(diǎn)”．
①如圖②，已知平面內(nèi)有一點(diǎn)D，OD，試說明點(diǎn)D是⊙O的“直角點(diǎn)”．
②如圖③，直線yx﹣2分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，若線段AB上所有點(diǎn)都是半徑為r的圓的“直角點(diǎn)”，求r的最小值與該圓心的坐標(biāo)．
【分析】（1）由切線的性質(zhì)得出∠PEO＝90°，由勾股定理求出OE，證明△PEF為等邊三角形，得出EF＝PE；
（2）①過點(diǎn)D作⊙O的兩條切線DE，DF，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，證出∠FDE＝90°，則可得出結(jié)論；
②證出AB是圓的直徑，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∵PE為⊙O的切線，
∴PE⊥EO，
∴∠PEO＝90°，
∵OE＝1，OP＝2，
∴OEOP，PE，
∴∠EPO＝30°，
∵PE和PF為⊙O的兩條切線，
∴PE＝PF，∠EPO＝∠FPO，
∴∠EPF＝2∠EPO＝60°，
∴△PEF為等邊三角形，
∴EF＝PE．
故答案為：30，；
（2）①過點(diǎn)D作⊙O的兩條切線DE，DF，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，
在Rt△DEO中，OD，OE＝1，
∴∠EDO＝45°，
同理可得∠FDO＝45°，
∴∠FDE＝90°，
∴點(diǎn)D是⊙O的“直角點(diǎn)”；
②由①可知“直角點(diǎn)”在以O(shè)為圓心r為半徑的圓上及圓內(nèi)的所有點(diǎn)．
∵線段AB上的所有點(diǎn)都是圓的“直角點(diǎn)”，
∴AB是在該圓及圓的內(nèi)部，
又∵半徑最小，
∴AB是圓及圓的內(nèi)部最長線段，
∴AB是圓的直徑，
∵直線yx﹣2分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，
∴x＝0時(shí)，y＝﹣2，y＝0時(shí)，x＝3，
∴OB＝2，OA＝3，
由勾股定理得AB，
∴最小半徑為，
∴圓心為AB的中點(diǎn)，其點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣1）．
【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，主要考查了與圓有關(guān)的概念、新定義圓的“直角點(diǎn)”，直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圖形與點(diǎn)的坐標(biāo)等知識，熟練掌握新定義直角點(diǎn)及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例2．（2022秋?姜堰區(qū)期中）如圖1，在平面內(nèi)，過⊙T外一點(diǎn)P畫它的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若∠MPN≥90°，則稱點(diǎn)P為⊙T的“限角點(diǎn)”．
（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)⊙O半徑為1時(shí)，在①P1（1，0），②，③P3（﹣1，﹣1），④P4（2，﹣1）中，⊙O的“限角點(diǎn)”是 ②③ ；（填寫序號）
（2）如圖2，⊙A的半徑為，圓心為（0，2），直線l：yx+b交坐標(biāo)軸于點(diǎn)B、C，若直線l上有且只有一個(gè)⊙A的“限角點(diǎn)”，求b的值．
（3）如圖3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），⊙D的半徑為，圓心D從原點(diǎn)O出發(fā)，以個(gè)單位/s的速度沿直線l：y＝x向上運(yùn)動，若△EFG三邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”，請直接寫出運(yùn)動的時(shí)間t（s）的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)定義可知當(dāng)P為圓O的“限角點(diǎn)”時(shí)，1＜OP，再由兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行判斷即可；
（2）由題意可知，當(dāng)P為圓A的“限角點(diǎn)”時(shí)，AP≤2，設(shè)直線l上有且只有一個(gè)⊙O的“限角點(diǎn)”P（m，m+b），當(dāng)PA＝2，此時(shí)AP⊥BC，利用tan∠OCB，先求出CP，再求AC，最后根據(jù)|b﹣2|，求出b的值即可；
（3）由題意可知移動后D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t），設(shè)△EFG邊上的點(diǎn)P是圓D的“限角點(diǎn)”，則PD≤2，在圓D移動的過程中，DF＝2時(shí)，△EFG邊上開始出現(xiàn)⊙D的“限角點(diǎn)”，當(dāng)圓D移動到E點(diǎn)在圓上時(shí)，△EFG邊上最后一個(gè)⊙D的“限角點(diǎn)”消失，當(dāng)圓D再次移動到點(diǎn)E在圓上時(shí)，DF，△EFG三邊上又開始要出現(xiàn)⊙D的“限角點(diǎn)”；求出直線y＝x與直線EG的交點(diǎn)設(shè)為H（，），當(dāng)DH＝2時(shí)，△EFG邊上存在最后一個(gè)⊙D的“限角點(diǎn)”．
【解答】解：（1）∵⊙O半徑為1，
∴當(dāng)P為圓O的“限角點(diǎn)”時(shí)，1＜OP，
∵OP1＝1，OP2，OP3，OP4，
∴⊙O的“限角點(diǎn)”是 P2，P3，
故答案為：②③；
（2）∵⊙A的半徑為，
∴當(dāng)P為圓A的“限角點(diǎn)”時(shí)，AP≤2，
設(shè)直線l上有且只有一個(gè)⊙O的“限角點(diǎn)”P（m，m+b），
∴PA＝2，此時(shí)AP⊥BC，
令x＝0，則y＝b，
∴C（0，b），
令y＝0，則xb，
∴B（b，0），
∴tan∠OCB，
∴CP，
∴AC，
∴|b﹣2|，
∴b或b；
（3）∵圓心D從原點(diǎn)O出發(fā)，以個(gè)單位/s的速度沿直線l移動，
∴圓沿x軸正方向移動t個(gè)單位，沿y軸正方向移動t個(gè)單位，
∴移動后D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t），
設(shè)△EFG邊上的點(diǎn)P是圓D的“限角點(diǎn)”，
則PD≤2，
在圓D移動的過程中，當(dāng)DF＝2時(shí)，（t﹣1）2+（t﹣2）2＝4，
解得t或t，
當(dāng)t時(shí)，△EFG邊上開始出現(xiàn)⊙D的“限角點(diǎn)”，
當(dāng)圓D移動到E點(diǎn)在圓上時(shí)，DE，（t﹣2）2+（t﹣3）2＝2，
解得t或t，
∴t時(shí)，△EFG邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”，
當(dāng)圓D再次移動到點(diǎn)F在圓上時(shí)，DF，（t﹣2）2+（t﹣1）2＝2，
解得t或t，
當(dāng)t時(shí)，△EFG三邊上開始又要出現(xiàn)⊙D的“限角點(diǎn)”；
設(shè)直線EG的解析式為y＝kx+b，直線y＝x與直線EG的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)H，
∴，
解得，
解得y＝﹣x+5，
聯(lián)立方程組，
解得，
∴H（，），
當(dāng)DH＝2時(shí)，2（t）2＝4，
解得t或t，
∴當(dāng)t，△EFG邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”，
∴t時(shí)，△EFG邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”；
綜上所述：t或t時(shí)，△EFG邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，理解定義，找到圓心與“限角點(diǎn)”的距離的取值范圍，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023?海淀區(qū)校級開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P和圖形M，若圖形M上存在點(diǎn)Q，使得直線PQ經(jīng)過第四象限，則稱點(diǎn)P是圖形M的“四象點(diǎn)”．
已知點(diǎn)A（﹣2，4），B（2，1）．
（1）在點(diǎn)P1（﹣4，﹣2），P2（﹣1，﹣2），P3（1，﹣2）中， P2，P3 是線段AB的四象點(diǎn)；
（2）已知點(diǎn)C（t，0），D（t+4，0），若等邊△CDE（C，D，E順時(shí)針排列）上的點(diǎn)均不是線段AB的四象點(diǎn)，求t的取值范圍；
（3）已知以T（，0）為圓心且半徑為2的⊙T，若線段AB上的點(diǎn)P是⊙T的四象點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍．
【分析】（1）利用“四象點(diǎn)”的定義逐一判斷即可；
（2）依題意畫出圖形，當(dāng)直線BO經(jīng)過等邊三角形的頂點(diǎn)E時(shí)，等邊△CDE（C，D，E順時(shí)針排列）上的點(diǎn)恰好均不是線段AB的四象點(diǎn)，求得直線BO的解析式，令y＝﹣2，解關(guān)于x的方程求得此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，依據(jù)題意結(jié)合圖形即可求得結(jié)論；
（3）利用分類討論的方法分兩種情形解答：①設(shè)⊙T交x軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A，C作y軸的平行線，依據(jù)題意結(jié)合圖形解答即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)B作出⊙T的切線BG，作出⊙T的平行于x軸的一條切線FH，交線段AB于點(diǎn)F，依據(jù)題意結(jié)合圖形解答即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)P1（﹣4，﹣2）與點(diǎn)B（2，1）在直線yx上，
又直線yx經(jīng)過原點(diǎn)，不經(jīng)過第四象限，
∴點(diǎn)P1（﹣4，﹣2）不是線段AB的四象點(diǎn)；
∵點(diǎn)P2（﹣1，﹣2），B（2，1）在直線y＝x﹣1上，而直線y＝x﹣1經(jīng)過第四象限，
∴P2（﹣1，﹣2）是線段AB的四象點(diǎn)；
∵P3（1，﹣2）在第四象限，與線段AB上的任意一點(diǎn)連接所得直線都經(jīng)過第四象限，
∴P3（1，﹣2）是線段AB的四象點(diǎn)．
∴P2（﹣1，﹣2），P3（1，﹣2）是線段AB的四象點(diǎn)．
故答案為：P2，P3；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖，
∵C（t，0），D（t+4，0），
∴CD＝4，
∵△CDE是等邊三角形，
∴EC＝ED＝CD＝4．
∵EF⊥x軸，
∴CF＝FD＝2，
∴EF．
設(shè)直線BO的解析式為y＝kx，
∴2k＝1，
∴k．
∴直線BO的解析式為yx．
當(dāng)直線BO經(jīng)過等邊三角形的頂點(diǎn)E時(shí)，等邊△CDE（C，D，E順時(shí)針排列）上的點(diǎn)恰好均不是線段AB的四象點(diǎn)，
令y＝﹣2，則x＝﹣2，
∴x＝﹣4，
∴點(diǎn)E（﹣4，﹣2），
∴C（﹣42，0）．
∴等邊△CDE（C，D，E順時(shí)針排列）上的點(diǎn)均不是線段AB的四象點(diǎn)，t的取值范圍為t≤﹣42；
（3）①設(shè)⊙T交x軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A，C作y軸的平行線，分別交x軸于點(diǎn)D，C，過點(diǎn)C直線與AB交于點(diǎn)E，如圖，
∵T（，0）為圓心且半徑為2，
∴C（，0），D（﹣2，0）．
由圖形可以看出當(dāng)點(diǎn)P在線段AE上（不含點(diǎn)E）時(shí)，點(diǎn)P是⊙T的四象點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍為：﹣2≤＜xP；
②點(diǎn)B作出⊙T的切線BG，由圖形可知，直線BG經(jīng)過第四象限，
作出⊙T的平行于x軸的一條切線FH，切點(diǎn)為H，交線段AB于點(diǎn)F，
連接TH，則TH＝2，TH垂直于x軸，
設(shè)直線AB的解析式為y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直線AB的解析式為y．
令y＝2，則2．
∴x．
∴F（，2）．
由圖形可以看出當(dāng)點(diǎn)P在線段FB上（不含點(diǎn)F）時(shí)，點(diǎn)P是⊙T的四象點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍為：xP≤2．
綜上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍為：﹣2≤＜xP或xP≤2．
【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，等邊三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，本題是新定義型題目，理解新定義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
1．（2022秋?泗陽縣期末）概念生成：定義：我們把經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)并與其對邊所在直線相切的圓叫做三角形的“切接圓”，如圖1，△ABC，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，并與點(diǎn)A的對邊BC相切于點(diǎn)D，則該⊙O就叫做△ABC的切接圓．根據(jù)上述定義解決下列問題：
理解應(yīng)用
（1）已知，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10．
①如圖2，若點(diǎn)D在邊BC上，CD，以D為圓心，BD長為半徑作圓，則⊙D是△ABC的“切接圓”嗎？請說明理由．
②在圖3中，若點(diǎn)D在△ABC的邊上，以D為圓心，CD長為半徑作圓，當(dāng)⊙D是Rt△ABC的“切接圓”時(shí)，求⊙D的半徑（直接寫出答案）．
思維拓展
（2）如圖4，△ABC中，AB＝12．AC＝BC＝10，把△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)C落在y軸上，邊AB落在x軸上．試說明：以拋物線y4圖象上任意一點(diǎn)為圓心都可以作過點(diǎn)C的△ABC的“切接圓”．
【分析】（1）①過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，則△CDE∽△CBA，由此可得DE的長，根據(jù)“切接圓”的定義可得出結(jié)論；
②根據(jù)題意作出圖形，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，可證明△BDF∽△BCA，根據(jù)“切接圓”的性質(zhì)可知，DE＝DC＝r，根據(jù)比例得出方程，求解即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意作出圖形，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，可表達(dá)點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可表達(dá)CD及點(diǎn)D到x軸的距離，根據(jù)“切接圓”的定義可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：①是，理由如下：
∵BC＝10，CD，
∴BD，即圓D的半徑為，
如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，
∴∠DEC＝∠A＝90°，
∴△CDE∽△CBA，
∴CD：BC＝DE：AB，即：10＝DE：6，
∴DE，
∴BD＝DE，即圓D是△ABC的“切接圓”；
②在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝8；
當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，
∵AC⊥AB，
∴點(diǎn)A為切點(diǎn)，則r＝CD＝4；
當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，
如圖3，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，
∴∠BDF＝∠C，
∴△BDF∽△BCA，
∴BD：BC＝DF：AC，
根據(jù)“切接圓”的性質(zhì)可設(shè)，DF＝DC＝r，
∴BD＝10﹣r，
∴（10﹣r）：10＝r：8，
解得r；
∴圓D的半徑為；
綜上，圓D的半徑為或4；
（2）證明：根據(jù)題意作出圖形，如圖4所示，
∵AC＝BC＝10，AB＝12，∠AOB＝90°，
∴AO＝OB＝6，
∴OC＝8，即C（0，8）；
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，
∴D（m，m2+4），
∴CD2＝m2+（m2+4﹣8）2＝（m2+4）2，即CDm2+4，
過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴DEm2+4，
∴CD＝DE，
根據(jù)“切接圓”的定義可知，以拋物線y4圖象上任意一點(diǎn)為圓心都可以作過點(diǎn)C的△ABC的“切接圓”．
【點(diǎn)評】本題是在圓背景下的新定義問題，主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，切線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式等相關(guān)知識，理解“切接圓”的定義是解題關(guān)鍵．
2．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD，其中A（1，0）、B（4，0）、C（4，2）、D（1，2），定義如下：若點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P'在矩形ABCD的邊上，則稱點(diǎn)P為矩形ABCD關(guān)于直線l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，
（1）已知點(diǎn)P1（﹣1，2）、點(diǎn)P2（﹣2，1）、點(diǎn)P3（﹣4，1），點(diǎn)P2（﹣3，﹣1）中是矩形ABCD關(guān)于y軸的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是 P1，P3 ；
（2）⊙O的圓心O（，1）半徑為，若⊙O上至少存在一個(gè)點(diǎn)是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求t的取值范圍；
（3）⊙O的圓心O（m，1）（m＜0）半徑為r，若存在t值使⊙O上恰好存在四個(gè)點(diǎn)是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，寫出r的取值范圍，并寫出當(dāng)r取最小值時(shí)t的取值范圍（用含m的式子表示）．
【分析】（1）分別求出所給的點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再結(jié)合矩形進(jìn)行判斷即可；
（2）當(dāng)圓上的點(diǎn)（﹣5，1）關(guān)于直線x＝t的對稱點(diǎn)（2t+5，1）在AD上時(shí)，t＝﹣2，當(dāng)圓上的點(diǎn)（﹣2，1）關(guān)于直線x＝t的對稱點(diǎn)（2t+2，1）在BC上時(shí)，t＝1，則﹣2≤t≤1時(shí)，⊙O上至少存在一個(gè)點(diǎn)是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
（3）當(dāng)圓O關(guān)于直線x＝t的對稱圓O'與BC相切，同時(shí)圓O'經(jīng)過A、D兩點(diǎn)時(shí)，此時(shí)不存在4個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)圓心O'在AD邊上時(shí)，O'（1，1），此時(shí)tm，圓O'與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)圓心O'（2，1），此時(shí)tm+1，圓O'與矩形有三個(gè)交點(diǎn)，則mtm+1時(shí)，存在t值使⊙O上恰好存在四個(gè)點(diǎn)是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；當(dāng)圓心O'（3，1），此時(shí)tm，圓O'與矩形有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)圓心O'（4，1），此時(shí)tm+2，圓O'與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)，則mtm+2時(shí)，存在t值使⊙O上恰好存在四個(gè)點(diǎn)是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．
【解答】解：（1）點(diǎn)P1（﹣1，2）、點(diǎn)P2（﹣2，1）、點(diǎn)P3（﹣4，1），點(diǎn)P2（﹣3，﹣1）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)（1，2）、（2，1）、（4，1），（3，﹣1），
∴P1（﹣1，2）的對稱點(diǎn)與D點(diǎn)重合，P3（﹣4，1）的對稱點(diǎn)在BC邊上，
∴關(guān)聯(lián)點(diǎn)是P1，P3，
故答案為：P1，P3；
（2）當(dāng)圓上的點(diǎn)（﹣5，1）關(guān)于直線x＝t的對稱點(diǎn)（2t+5，1）在AD上時(shí)，
∴2t+5＝1，解得t＝﹣2，
當(dāng)圓上的點(diǎn)（﹣2，1）關(guān)于直線x＝t的對稱點(diǎn)（2t+2，1）在BC上時(shí)，
∴2t+2＝4，解得t＝1，
∴﹣2≤t≤1時(shí)，⊙O上至少存在一個(gè)點(diǎn)是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
（3）∵AD＝2，
∴r最小值為1，
∴r≥1，
當(dāng)圓O關(guān)于直線x＝t的對稱圓O'與BC相切，同時(shí)圓O'經(jīng)過A、D兩點(diǎn)時(shí)，
過點(diǎn)O'作MN⊥AD，交于M，交BC于點(diǎn)N，連接O'D，
在Rt△MDO'中，MO'＝3﹣r，DO'＝r，DM＝1，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得r，
∴r≥1且r，
當(dāng)r＝1時(shí)，當(dāng)圓心O'在AD邊上時(shí)，O'（1，1），此時(shí)tm，圓O'與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)圓心O'（2，1），此時(shí)tm+1，圓O'與矩形有三個(gè)交點(diǎn)，
∴mtm+1時(shí)，存在t值使⊙O上恰好存在四個(gè)點(diǎn)是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
當(dāng)圓心O'（3，1），此時(shí)tm，圓O'與矩形有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)圓心O'（4，1），此時(shí)tm+2，圓O'與矩形有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴mtm+2時(shí)，存在t值使⊙O上恰好存在四個(gè)點(diǎn)是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
綜上所述：mtm+1或mtm+2時(shí)，存在t值使⊙O上恰好存在四個(gè)點(diǎn)是矩形ABCD關(guān)于直線x＝t的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握圓與直線的位置關(guān)系，弄清定義，將所求問題轉(zhuǎn)化為已知圓關(guān)于直線x＝t對稱的圓與矩形的交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋?西城區(qū)期末）給定圖形W和點(diǎn)P，Q，若圖形W上存在兩個(gè)不重合的點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)與點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于圖形W雙對合．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．
（1）在點(diǎn)D（﹣4，0），E（2，2），F(xiàn)（6，0）中，與點(diǎn)O關(guān)于線段AB雙對合的點(diǎn)是 D，F(xiàn) ；
（2）點(diǎn)K是x軸上一動點(diǎn)，⊙K的直徑為1，
①若點(diǎn)A與點(diǎn)T（0，t）關(guān)于⊙K雙對合，求t的取值范圍；
②當(dāng)點(diǎn)K運(yùn)動時(shí)，若△ABC上存在一點(diǎn)與⊙K上任意一點(diǎn)關(guān)于⊙K雙對合，直接寫出點(diǎn)K的橫坐標(biāo)k的取值范圍．
【分析】（1）分別求出A、B點(diǎn)關(guān)于D點(diǎn)、E點(diǎn)、F點(diǎn)的對稱點(diǎn)，在求出A點(diǎn)、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)的對稱點(diǎn)，存在重合點(diǎn)的即為所求；
（2）①設(shè)K（k，0），分別求出A點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)對稱點(diǎn)G為（2k+1，2），T點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)對稱點(diǎn)H為（2k，﹣t），由題意可知點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)K的對稱點(diǎn)在以G點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，點(diǎn)T關(guān)于點(diǎn)K的對稱點(diǎn)在以H為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)圓G與圓H有交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)T（0，t）關(guān)于⊙K雙對合再由GH，可得2，求出t的值即可；
②分別求出A點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)的對稱點(diǎn)F（2k+1，2），B點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)的對稱點(diǎn)E（2k﹣5，2），C點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)的對稱點(diǎn)G（2k+1，﹣4），△ABC上的點(diǎn)的對稱點(diǎn)在△EGF邊上任意一點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓構(gòu)成的區(qū)域，當(dāng)此區(qū)域與圓K有公共交點(diǎn)時(shí)，△ABC上存在一點(diǎn)與⊙K上任意一點(diǎn)關(guān)于⊙K雙對合，畫出圖形，分別求解即可．
【解答】解：（1）當(dāng)A點(diǎn)是D點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)為（2，﹣4）；當(dāng)B點(diǎn)是D點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)為（14，﹣4）；
當(dāng)A點(diǎn)是E點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)為（﹣4，﹣6）；當(dāng)B點(diǎn)是E點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)為（8，﹣6）；
當(dāng)A點(diǎn)是F點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)為（﹣8，﹣4）；當(dāng)B點(diǎn)是F點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)為（4，﹣4）；
當(dāng)A點(diǎn)是O點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)為（﹣2，﹣4）；當(dāng)B點(diǎn)是O點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)為（10，﹣4）；
∴D、F與點(diǎn)O關(guān)于線段AB雙對合，
故答案為：D、F；
（2）①設(shè)K（k，0），
∵A（﹣1，﹣2），T（0，t），
∴A點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)對稱點(diǎn)G為（2k+1，2），T點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)對稱點(diǎn)H為（2k，﹣t），
∵點(diǎn)A與點(diǎn)T（0，t）關(guān)于⊙K雙對合，
∴A點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)K的對稱點(diǎn)在以G為圓心，
∵⊙K的直徑為1，
∴點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)K的對稱點(diǎn)在以G點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，點(diǎn)T關(guān)于點(diǎn)K的對稱點(diǎn)在以H為圓心，1為半徑的圓上，如圖所示，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)T（0，t）關(guān)于⊙K雙對合，
∴當(dāng)圓G與圓H有交點(diǎn)，
∵GH，
∴2，
解得t；
②∵A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4），K（k，0），
∴A點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)的對稱點(diǎn)F（2k+1，2），B點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)的對稱點(diǎn)E（2k﹣5，2），C點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)的對稱點(diǎn)G（2k+1，﹣4），
∴△ABC上任意一點(diǎn)關(guān)于K點(diǎn)對稱點(diǎn)在陰影區(qū)域，
∵△ABC上存在一點(diǎn)與⊙K上任意一點(diǎn)關(guān)于⊙K雙對合，
∴陰影區(qū)域與圓K有公共交點(diǎn)，
∵陰影部分是由△EGF邊上任意一點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓構(gòu)成的區(qū)域，
如圖1時(shí)，k﹣（2k+1）1，解得k；
如圖2時(shí)，2k+1﹣k1，解得k；
∴k時(shí)，△ABC上存在一點(diǎn)與⊙K上任意一點(diǎn)關(guān)于⊙K雙對合；
過點(diǎn)K作KN⊥EG交于N，直線EG交x軸于點(diǎn)M，
設(shè)直線EG的解析式為y＝k'x+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2k﹣3，
∴M（2k﹣3，0），
∵直線y＝﹣x與y＝﹣x+2k﹣3平行，
∴∠KMN＝45°，
∴KMKN，
如圖3時(shí)，k﹣（2k﹣3），解得k＝3，
如圖4時(shí)，2k﹣3﹣k，解得k＝3，
∴k時(shí)，△ABC上存在一點(diǎn)與⊙K上任意一點(diǎn)關(guān)于⊙K雙對合；
綜上所述：k或k時(shí)，△ABC上存在一點(diǎn)與⊙K上任意一點(diǎn)關(guān)于⊙K雙對合．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，弄懂定義，根據(jù)定義能去確定對稱點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合兩圓的位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．
4．（2022秋?豐臺區(qū)期末）對于平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：如果點(diǎn)P繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P'，點(diǎn)P'落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點(diǎn)P是圖形M關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”．
（1）已知點(diǎn)A（1，1），B（3，1），C（3，2）．
①在點(diǎn)P1（﹣1，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，點(diǎn) P2，P3 是線段AB關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；
②如果點(diǎn)D（m，2）是△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，求m的取值范圍；
（2）⊙E的圓心坐標(biāo)為（1，n），半徑為1，如果直線y＝﹣x+2n上存在⊙E關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，直接寫出n的取值范圍．
【分析】（1）①分別求出個(gè)點(diǎn)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)在線段AB上的即為所求；
②由三角形全等可知D'（2，m），當(dāng)D'在AC上時(shí)，m，當(dāng)D'在AB上時(shí)，m＝1，則1≤m時(shí)，點(diǎn)D（m，2）是△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；
（2）圓E上的點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點(diǎn)在以E'（﹣n，1），半徑為1的圓上，由直線y＝﹣x+2n上存在⊙E關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，可知當(dāng)圓E'與直線y＝﹣x+2n有交點(diǎn)，過E'作E'G垂直直線y＝﹣x+2n交于點(diǎn)G，由E'G≤1，可知E'R，求出R（2n﹣1，1），則E'R＝|2n﹣1+n|，解得n．
【解答】解：（1）①∵A（1，1），B（3，1），
∴AB∥x軸，
∵OP1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到點(diǎn)（0，1），
∴P1不是線段AB關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；
∵OP2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到點(diǎn)（1，1），
∴P2是線段AB關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；
∵OP3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到點(diǎn)（2，1），
∴P3是線段AB關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；
∴P2，P3是線段AB關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；
故答案為：P2，P3；
②過點(diǎn)D作DP⊥x軸交于點(diǎn)P，過點(diǎn)D'作D'Q⊥x軸交于點(diǎn)Q，
∵∠DOD'＝90°，
∴∠DOP+∠D'OQ＝90°，
∵∠DOP+∠DOP＝90°，
∴∠D'OQ＝∠DOP，
∵DO＝D'O，
∴△DOP≌△OD'P（AAS），
∴DP＝OQ，OP＝D'Q，
∵D（m，2），
∴OQ＝DP＝2，D'Q＝OP＝|m|，
∵△ABC在第一象限，
∴D'（2，﹣m），
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx，
當(dāng)D'在AC上時(shí)，m，
當(dāng)D'在AB上時(shí)，m＝﹣1，
∴m≤﹣1時(shí)，點(diǎn)D（m，2）是△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；
（2）∵E（1，n）在直線x＝1上，圓E的半徑為1，
將圓E繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圓E'，
∴圓E關(guān)于原點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”在圓E'的內(nèi)部及其邊界上，
∴E'（﹣n，1），
∴E'在直線y＝1上，
∵直線y＝﹣x+2n上存在⊙E關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，
∴當(dāng)圓E'與直線y＝﹣x+2n有交點(diǎn)，
過E'作E'G垂直直線y＝﹣x+2n交于點(diǎn)G，
∵y＝﹣x+2n與直線y＝﹣x平行，
∴∠GE'R＝45°，
∵E'G≤1，
∴E'R，
令y＝﹣x+2n＝1，解得x＝2n﹣1，
∴R（2n﹣1，1），
∴E'R＝|2n﹣1+n|，
解得n，
∴n時(shí)，直線y＝﹣x+2n上存在⊙E關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，弄清定義，熟練掌握切線的性質(zhì)，勾股定理，能夠確定⊙E關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”的軌跡是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋?石景山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離若有最大值，將這個(gè)最大值記為d．對于點(diǎn)P和圖形W給出如下定義：點(diǎn)Q是圖形W上任意一點(diǎn)，若P，Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，且最小值恰好為d，則稱點(diǎn)P為圖形W的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
（1）如圖1，圖形W是矩形AOBC，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），則d＝ 5 ．在點(diǎn)P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是 P2，P4 ；
（2）如圖2，圖形W是中心在原點(diǎn)的正方形DEFG，其中D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）．若直線y＝x+b上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為正方形DEFG的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求b的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)M（1，0），．圖形W是以T（t，0）為圓心，1為半徑的⊙T，若線段MN上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為⊙T的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)所給的定義，對每一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行判斷即可；
（2）由題意可得d＝DF＝2，過O點(diǎn)作OM垂直直線y＝x+b，交于點(diǎn)M，當(dāng)ME＝2時(shí)，ON＝6，則﹣6≤b≤6時(shí)，直線y＝x+b上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為正方形DEFG的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
（3）由題意可得d＝2，當(dāng)T點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，過點(diǎn)T作TL⊥MN交于點(diǎn)L，交圓于點(diǎn)K，當(dāng)KL＝2時(shí)，TM＝2，此時(shí)T（1﹣2，0）；當(dāng)TM＝3時(shí)，T（﹣2，0），則1﹣2t≤﹣2時(shí)，線段MN上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為⊙T的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；當(dāng)T點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí)，當(dāng)TM＝3時(shí)，此時(shí)T（4，0），當(dāng)NT＝3時(shí)，3，解得t或t（舍），則t≤4時(shí)，線段MN上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為⊙T的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
【解答】解：（1）∵四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），
∴OC＝5，
∴d＝5，
∵P1（﹣1，0），
∴P1O＝1，
∴P1不是矩形AOBC的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
∵P2（2，8），
∴P2到AC的距離為5，
∴P2是矩形AOBC的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
∵P3（3，1），
∴P3到OB的距離為1，
∴P3不是矩形AOBC的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
∵，
∴P4O＝5，
∴P4是矩形AOBC的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
故答案為：P2，P4；
（2）∵D（1，1），四邊形DEFG是正方形，
∴d＝DF＝2，
過O點(diǎn)作OM垂直直線y＝x+b，交于點(diǎn)M，
當(dāng)ME＝2時(shí)，OM＝3，
∵∠MNO＝45°，
∴ON＝6，
∴﹣6≤b≤6時(shí)，直線y＝x+b上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為正方形DEFG的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
（3）∵⊙T是T（t，0）為圓心，1為半徑的圓，
∴d＝2，
當(dāng)T點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，過點(diǎn)T作TL⊥MN交于點(diǎn)L，交圓于點(diǎn)K，
當(dāng)KL＝2時(shí)，TL＝3，
∵M(jìn)（1，0），，
∴ON，OM＝1，
∴tan∠OMN，
∴∠OMN＝60°，
∴TM2，
此時(shí)T（1﹣2，0），
當(dāng)TM＝3時(shí)，OT＝2，
∴T（﹣2，0），
∴1﹣2t≤﹣2時(shí)，線段MN上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為⊙T的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
當(dāng)T點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí)，當(dāng)TM＝3時(shí)，此時(shí)T（4，0），
當(dāng)NT＝3時(shí)，3，解得t或t（舍），
∴t≤4時(shí)，線段MN上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為⊙T的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
∴1﹣2t≤﹣2或t≤4時(shí)，線段MN上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為⊙T的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，弄清定義，能夠根據(jù)定義，結(jié)合矩形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，屬性結(jié)合解題是關(guān)鍵．
6．（2022秋?東城區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過⊙T外一點(diǎn)P引它的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若60°＜∠MPN＜180°，則稱P為⊙T的環(huán)繞點(diǎn)．
（1）當(dāng)⊙O半徑為1時(shí)，
①在P1（，），P2（2，0），P3（2，1）中，⊙O的環(huán)繞點(diǎn)是 P1 ；
②直線y＝3x+b與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，若線段AB上存在⊙O的環(huán)繞點(diǎn)，求b的取值范圍；
（2）⊙T的半徑為2，圓心為（0，t），以（﹣m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，若在圖形H上存在⊙T的環(huán)繞點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）①如圖，PM，PN是⊙T的兩條切線，M，N為切點(diǎn)，連接TM，TN，當(dāng)∠MPN＝60°時(shí)，可證TP＝2TM、以T為圓心，TP為半徑作⊙T．首先說明當(dāng)60°≤∠MPN＜180°時(shí)，⊙T的環(huán)繞點(diǎn)在圖中的圓環(huán)內(nèi)部（包括大圓上的點(diǎn)不包括小圓上的點(diǎn)），利用這個(gè)結(jié)論解決問題．
②如圖2中，設(shè)小圓交y軸的正半軸于F，求出兩種特殊位置的b的值，結(jié)合圖形根據(jù)對稱性解決問題．
（2）如圖3中，不妨設(shè)E（﹣m，m）（m＞0），則點(diǎn)E直線yx上，以E（﹣m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的⊙E與x軸相切，作⊙E的切線ON，
觀察圖象可知：以E（﹣m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，圖形H即為∠MON的內(nèi)部，包括射線OM，ON上，利用（1）中結(jié)論，畫出圓環(huán)，當(dāng)圓環(huán)與∠MON的內(nèi)部有交點(diǎn)時(shí)，滿足條件，求出兩種特殊位置的t的值可解決問題．
【解答】解：（1）①如圖，PM，PN是⊙T的兩條切線，M，N為切點(diǎn)，連接TM，TN，
當(dāng)∠MPN＝60°時(shí)，
∵PT平分∠MPN，
∴∠TPN＝∠MPT＝30°，
∵TM⊥PM，TN⊥PN，
∴∠TNP＝∠PMT＝90°，
∴TP＝2TM＝2，
以T為圓心，TP為半徑作⊙T．
觀察圖象可知：當(dāng)60°＜∠MPN＜180°時(shí)，⊙T的環(huán)繞點(diǎn)在圖中的圓環(huán)內(nèi)部（包括大圓上的點(diǎn)不包括小圓上的點(diǎn)），
故答案為：P1；
②如圖中，設(shè)小圓交y軸的正半軸于F，
當(dāng)直線y＝3x+b經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，b＝1，
當(dāng)直線y＝3x+b與大圓相切于K（在第二象限）時(shí)，連接OK，
由題意B（0，b），A（，0），
所以O(shè)B＝b，OA，ABb，
∵OK＝2，AB×OKOA×OB，
∴b＝2，
觀察圖象可知，當(dāng)1＜b＜2時(shí)，線段AB上存在⊙的環(huán)繞點(diǎn)，
根據(jù)對稱懷可知：當(dāng)﹣2b＜﹣1時(shí)，線段AB上存在⊙的環(huán)繞點(diǎn)，
綜上所述，滿足條件的b的值為1＜b＜2或﹣2b＜﹣1；
（2）如圖中，不妨設(shè)E（﹣m，m）（m＞0），則點(diǎn)E直線yx上，
∵m＞0，
∴點(diǎn)E在射線OE上運(yùn)動，作EM⊥x軸；
∵E（﹣m，m）（m＞0），
∴OM＝m，EMm，
以E（﹣m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的⊙E與x軸相切，作⊙E的切線ON，
觀察圖象可知：以E（﹣m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，圖形H即為∠MON的內(nèi)部，包括射線OM，ON上，
當(dāng)⊙T的圓心在y軸的正半軸上時(shí)，假設(shè)以T為圓心，4為半徑的圓與射線ON相切于D，連接TD，
∵tan∠EOM，
∴∠EOM＝30°，
∵OM，ON是⊙E的切線，
∴∠EON＝∠EOM＝30°．
∴∠TOD＝30°，
∴OT＝2DT＝8，
∴T（0，8），
當(dāng)⊙T的圓心在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，且經(jīng)過點(diǎn)O（0.0）時(shí)，T（0，﹣4），
觀察圖象可知，當(dāng)﹣4＜t＜8時(shí)，在圖象上存在⊙T的環(huán)繞點(diǎn)．
【點(diǎn)評】本題屬于圓的綜合題，考查了切線長定理，直線與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用轉(zhuǎn)化思想，學(xué)會用特殊位置考慮問題．
7．（2022秋?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P和線段AB，若線段PA或PB的垂直平分線與線段AB有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為線段AB的融合點(diǎn)．
（1）已知A（3，0），B（5，0），
①在點(diǎn)P1（6，0），P2（1，﹣2），P3（3，2）中，線段AB的融合點(diǎn)是 P1，P3 ；
②若直線y＝t上存在線段AB的融合點(diǎn)，求t的取值范圍；
（2）已知⊙O的半徑為4，A（a，0），B（a+1，0），直線l過點(diǎn)T（0，﹣1），記線段AB關(guān)于l的對稱線段為A'B'．若對于實(shí)數(shù)a，存在直線l，使得⊙O上有A'B'的融合點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）①分別求出P1A的線段垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為（，0），直線P2B的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為（，0），直線P3B的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為（3，0），再根據(jù)定義判斷即可；
②線段AB的融合點(diǎn)在以A、B為圓心，AB為半徑的圓及內(nèi)部，當(dāng)y＝t與圓有交點(diǎn)時(shí)，直線y＝t上存在線段AB的融合點(diǎn)；
（2）由（1）可知，A'B'的融合點(diǎn)在以A'、B'為圓心，A'B'為圓心的圓及內(nèi)部，圓O與圓A'、圓B'的公共區(qū)域?yàn)橐設(shè)為圓心2為半徑，以O(shè)為圓心6為半徑的圓環(huán)及內(nèi)部區(qū)域滿足題意，當(dāng)a＞0時(shí)，a的最大值為，最小值為11，當(dāng)a＜0時(shí)，a的最大值為，最小值為11，由此可求a的取值范圍為1≤a或1≤a．
【解答】解：（1）①∵P1（6，0），A（3，0），
∴P1A的線段垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為（，0），
∴P1是線段AB的融合點(diǎn)；
∵P2（1，﹣2），B（5，0），
設(shè)直線P2B的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為（a，0），
∴（a﹣1）2+4＝（5﹣a）2，
解得a，
∴直線P2B的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為（，0），
∴P2不是線段AB的融合點(diǎn)；
∵P3（3，2），B（5，0），
設(shè)直線P3B的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為（b，0），
∴（b﹣3）2+4＝（5﹣b）2，
解得b＝3，
∴直線P3B的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為（3，0），
∴P3是線段AB的融合點(diǎn)；
故答案為：P1，P3；
②線段AB的融合點(diǎn)在以A、B為圓心，AB為半徑的圓及內(nèi)部，
∵A（3，0），B（5，0），
∴AB＝2，
當(dāng)y＝t與圓相切時(shí)，t＝2或t＝﹣2，
∴﹣2≤t≤2時(shí)，直線y＝t上存在線段AB的融合點(diǎn)；
（2）由（1）可知，A'B'的融合點(diǎn)在以A'、B'為圓心，A'B'為圓心的圓及內(nèi)部，
∵A（a，0），B（a+1，0），
∴AB＝A'B'＝1，
∵⊙O上有A'B'的融合點(diǎn)，
∴圓O與圓A'、B'有交點(diǎn)，
∴圓O與圓A'、圓B'的公共區(qū)域?yàn)橐設(shè)為圓心2為半徑，以O(shè)為圓心6為半徑的圓環(huán)及內(nèi)部區(qū)域，
當(dāng)a＞0時(shí)，a的最大值為，最小值為11，
∴1≤a；
當(dāng)a＜0時(shí)，a的最大值為，最小值為11，
∴1≤a；
綜上所述：a的取值范圍為1≤a或1≤a．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，弄清定義，根據(jù)題意能夠確定線段的融合點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋?北京期末）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)M，N和圖形W，給出如下定義：若圖形W上存在一點(diǎn)P，使得∠PMN＝90°，且MP＝MN，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)N關(guān)于圖形W的一個(gè)“旋垂點(diǎn)”．
（1）已知點(diǎn)A（0，4），B（4，4），
①在點(diǎn)M1（﹣2，2），M2（0，2），M3（2，2）中，是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的“旋垂點(diǎn)”的是 M1，M3 ；
②若點(diǎn)M（m，n）是點(diǎn)O關(guān)于線段AB的“旋垂點(diǎn)”，求m的取值范圍；
（2）直線y＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，⊙T的半徑為，圓心為T（t，0）．若在⊙T上存在點(diǎn)P，線段CD上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于⊙T的一個(gè)“旋垂點(diǎn)”，且PQ，直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)“旋垂點(diǎn)”的定義判斷即可；
②當(dāng)∠AM1O＝90°，AM1＝M1O時(shí)，m＝﹣2，當(dāng)∠BM2O＝90°，BM2＝M2O時(shí)，m＝4，即可求出m的取值范圍；
（2）由題可知，Q點(diǎn)在以T為圓心半徑為2或4的圓上，當(dāng)D點(diǎn)與Q點(diǎn)重合時(shí)，TD＝4，t＝﹣2；當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，OT＝2，t＝﹣2，則﹣2t≤﹣2；當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，OT＝6，t＝6；當(dāng)TQ⊥CD時(shí)，TQ＝2，t＝2﹣2，則2﹣2t≤6．
【解答】解：（1）①∵A（0，4），
∴OA＝4，
設(shè)點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的“旋垂點(diǎn)”是M，
∴AM＝OM＝2，
∵M(jìn)1（﹣2，2），M2（0，2），M3（2，2），
∴AM1＝OM1＝2，AM2＝OM1＝2，AM3＝OM1＝2，
∴M1，M3是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的“旋垂點(diǎn)”，
故答案為：M1，M3；
②∵點(diǎn)A（0，4），B（4，4），
∴AB∥x軸，
當(dāng)∠AM1O＝90°，AM1＝M1O時(shí)，m＝﹣2，
當(dāng)P點(diǎn)從A到B移動時(shí)，﹣2≤m≤0；
當(dāng)∠BM2O＝90°，BM2＝M2O時(shí)，m＝4，
當(dāng)P點(diǎn)從A到B移動時(shí)，2≤m≤4；
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4時(shí)，點(diǎn)M（m，n）是點(diǎn)O關(guān)于線段AB的“旋垂點(diǎn)”；
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，
∴D（0，2），
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2，
∴C（2，0），
∵PQ，∠PQN＝90°，PQ＝QN，
∴PN＝2，
∵圓T的半徑是，
∴TQ＝2或TQ＝4，
∴Q點(diǎn)在以T為圓心半徑為2或4的圓上，
當(dāng)D點(diǎn)與Q點(diǎn)重合時(shí)，TD＝4，
∴TO＝2，
∴t＝﹣2；
當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，OT＝2，
∴t＝﹣2，
∴﹣2t≤﹣2；
當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，OT＝6，
∴t＝6；
當(dāng)TQ⊥CD時(shí)，TQ＝2，
∴OT＝22，
∴t＝2﹣2；
∴2﹣2t≤6；
∴t的取值范圍為：﹣2t≤﹣2或2﹣2t≤6．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的垂徑定理，弄清定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋?朝陽區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的⊙W上，有弦MN，取MN的中點(diǎn)P，將點(diǎn)P繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q，稱點(diǎn)Q為弦MN的“中點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)”．設(shè)⊙W是以W（﹣3，0）為圓心，半徑為2的圓．
（1）已知弦MN長度為2，點(diǎn)Q為弦MN的“中點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)”．
①如圖1：當(dāng)MN∥x軸時(shí)，在圖1中畫出點(diǎn)Q，并且直接寫出線段OQ的長度；
②當(dāng)MN在圓上運(yùn)動時(shí)，直接寫出線段WQ的取值范圍．
（2）已知點(diǎn)M（﹣5，0），點(diǎn)N為⊙W上的一動點(diǎn)，設(shè)直線y＝x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，若線段AB上存在弦MN的“中點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)”點(diǎn)Q，求出b的取值范圍．
【分析】（1）①連接WP，由垂徑定理可得WP⊥MN，再由勾股定理求出OP的長即可求OQ；
②根據(jù)題意可得Q點(diǎn)在以E（0，3）為圓心，為半徑的圓上，再求WQ的取值范圍即可；
（2）由題意可得Q點(diǎn)在以G（0，4）為圓心，1為半徑的圓上，再由線段AB上存在弦MN的“中點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)”點(diǎn)Q，可知直線y＝x+b與圓G相切或相交，再由（4﹣b）2＝2，求出b＝4或b＝4，即可求出b的取值范圍．
【解答】解：（1）①連接WP，
∵P是弦MN的中點(diǎn)，
∴WP⊥MN，
∵M(jìn)N＝2，WN＝2，
∴PW，
∵M(jìn)N∥x軸，W（﹣3，0），
∴OP＝2，
∵OP＝OQ，
∴OQ＝2；
②∵NM⊥WP，WP，
∴P點(diǎn)在以W為圓心，為半徑的圓上，
∵OP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OQ，
∴Q點(diǎn)在以E（0，3）為圓心，為半徑的圓上，
∴WE＝3，
∴3WQ≤3；
（2）∵P是MN的中點(diǎn)，
∴PW⊥MN，
∵M(jìn)N＝2，
∴MP＝1，
∵M(jìn)（﹣5，0），W（﹣3，0），
∴MW＝2，
∵∠MPW＝90°，
∴P點(diǎn)在以MW為圓心的圓上，
∵OP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OQ，
∴Q點(diǎn)在以G（0，4）為圓心，1為半徑的圓上，
∵線段AB上存在弦MN的“中點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)”點(diǎn)Q，
∴直線y＝x+b與圓G相切或相交，
∴（4﹣b）2＝2，
解得b＝4或b＝4，
∴3≤b≤4時(shí)，線段AB上存在弦MN的“中點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)”點(diǎn)Q．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，能夠確定Q點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋?昌平區(qū)期末）已知：對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙O，⊙O的半徑為4，交x軸于點(diǎn)A，B，對于點(diǎn)P給出如下定義：過點(diǎn)C的直線與⊙O交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)P叫做關(guān)于MN的“折弦點(diǎn)”．
（1）若C（﹣2，0）．
①點(diǎn)P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是關(guān)于MN的“折弦點(diǎn)”的是 P1，P2 ；
②若直線y＝kx（k≠0）．上只存在一個(gè)關(guān)于MN的“折弦點(diǎn)”，求k的值；
（2）點(diǎn)C在線段AB上，直線y＝x+b上存在關(guān)于MN的“折弦點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍．
【分析】（1）①連接OP，根據(jù)垂徑定理可知∠CPO＝90°，則可得P點(diǎn)在以（﹣1，0）為圓心，1為半徑的圓上，再結(jié)合所給的點(diǎn)進(jìn)行判斷即可；
②由①可知，P點(diǎn)在以（﹣1，0）為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心D（﹣1，0），由題意可知直線y＝kx（k≠0）與圓D相切，過點(diǎn)D作DF垂直直線y＝kx交于點(diǎn)F，先證明△EGO∽△EFD，得到，求出k；
（2）由（1）可知，P點(diǎn)在以O(shè)C為直徑的圓上，由題意可得直線y＝x+b與圓D相交或相切，過D點(diǎn)作DF垂直直線y＝x+b交于點(diǎn)F，當(dāng)C點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，b有最大值，此時(shí)D（﹣2，0），由勾股定理可得（﹣2+b）2＝8，求出解得b＝22或b＝22（舍）；當(dāng)C點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，b有最小值，此時(shí)D（2，0），由勾股定理可得（﹣b﹣2）2＝8，解得b＝22（舍）或b＝﹣22；即可求得﹣22≤b≤22時(shí)，直線y＝x+b上存在關(guān)于MN的“折弦點(diǎn)”．
【解答】解：（1）①連接OP，
∵P點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，
∴OP⊥MN，
∴∠CPO＝90°，
∴P點(diǎn)在以CO為直徑的圓上，
∵C（﹣2，0），
∴P點(diǎn)在以（﹣1，0）為圓心，1為半徑的圓上，
∵點(diǎn)P1（0，0），P2（﹣1，1）在該圓上，
∴點(diǎn)P1（0，0），P2（﹣1，1）是關(guān)于MN的“折弦點(diǎn)”，
故答案為：P1，P2；
②由①可知，P點(diǎn)在以（﹣1，0）為圓心，1為半徑的圓上，
設(shè)圓心D（﹣1，0），
∵直線y＝kx（k≠0）上只存在一個(gè)關(guān)于MN的“折弦點(diǎn)”，
∴直線y＝kx（k≠0）與圓D相切，
過點(diǎn)D作DF垂直直線y＝kx交于點(diǎn)F，
∵直線y＝kx與x軸交于點(diǎn)E（，0），與y軸交于點(diǎn)G（0，），
∴DE＝﹣1，OF，OG，
∵∠DFE＝∠EOG＝90°，
∴△EGO∽△EFD，
∴，
∴，
解得k；
（2）由（1）可知，P點(diǎn)在以O(shè)C為直徑的圓上，
∵直線y＝x+b上存在關(guān)于MN的“折弦點(diǎn)”，
∴直線y＝x+b與圓D相交或相切，
過D點(diǎn)作DF垂直直線y＝x+b交于點(diǎn)F，
∵直線y＝x+b與x軸交于點(diǎn)（﹣b，0），與y軸交于點(diǎn)（0，b），
當(dāng)C點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，b有最大值，此時(shí)D（﹣2，0），
∴（﹣2+b）2＝8，
解得b＝22或b＝22（舍）；
當(dāng)C點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，b有最小值，此時(shí)D（2，0），
∴（﹣b﹣2）2＝8，
解得b＝22（舍）或b＝﹣22；
∴﹣22≤b≤22時(shí)，直線y＝x+b上存在關(guān)于MN的“折弦點(diǎn)”．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，直線與圓相切的性質(zhì)，弄清定義，確定點(diǎn)P的軌跡是解題的關(guān)鍵．
11．（2022春?海淀區(qū)校級月考）△ABC中，D、E分別是△ABC兩邊AB、AC的中點(diǎn)，若經(jīng)過D、E的⊙M與△ABC有n個(gè)公共點(diǎn)（相切算一個(gè)公共點(diǎn)），則稱⊙M為△ABC關(guān)于D、E的“中n點(diǎn)圓”．例如，圖1中的圓是△ABC關(guān)于D、E的“中4點(diǎn)圓”．
（1）①如圖1，則△ABC的“中n點(diǎn)圓”中n可以取的值為 2或3或4或5或6 （寫所有可能的值）；
②在所給圖1中畫出一個(gè)“中3點(diǎn)圓”；
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（a，6），點(diǎn)B（0，0），C（4，0），⊙M為△ABC的“中n點(diǎn)圓”．
①當(dāng)a＝0，n＝4時(shí)，求圓心M縱坐標(biāo)的取值范圍．
②若n＝3時(shí)，圓心M總在△ABC外，直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)“中n點(diǎn)圓”的定義即可得出答案；
②根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）①設(shè)M（1，y），求出以下五種特殊情況對應(yīng)的y值：⊙M經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，⊙M與AB相切于點(diǎn)D時(shí)，⊙M與AC相切時(shí)，當(dāng)⊙M經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，當(dāng)⊙M經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，即可得出答案；
②根據(jù)⊙M為△ABC的“中3點(diǎn)圓”，且點(diǎn)M在△ABC的外部，即可得出答案．
【解答】解：（1）①經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的圓與△ABC的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為2或3或4或5或6，
故答案為：2或3或4或5或6；
②如圖1（a），圓經(jīng)過A、D、E三點(diǎn)，圖1（b），經(jīng)過D、E的圓與BC相切，
均是△ABC關(guān)于D、E的“中3點(diǎn)圓”；
（2）①當(dāng)a＝0，n＝4時(shí)，A（0，6），點(diǎn)B（0，0），C（4，0），⊙M為△ABC的“中4點(diǎn)圓”．
設(shè)M（1，y），
如圖2（a），⊙M經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，D（0，3），E（2，3），
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴圓心M在AE上，即M（1，），
如圖2（b），⊙M與AB相切于點(diǎn)D時(shí)，M（1，3），
∴3＜y；
如圖2（c），⊙M與AC相切時(shí)，過點(diǎn)M作MF⊥DE于F，連接EM，
則∠MEF+∠AED＝90°，∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠MEF＝∠EAD，
∴tan∠MEF＝tan∠EAD，
∴，即，
∴MF，
∴y＜3；
當(dāng)⊙M經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖2（d），
則M是OE的中點(diǎn)，
∴M（1，），
當(dāng)⊙M經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，如圖2（e），
由勾股定理得：ME2＝EF2+MF2，MC2＝MG2+CG2，
∵M(jìn)E＝MC，
∴EF2+MF2＝MG2+CG2，
∵EF＝1，MF＝3﹣y，MG＝﹣y，CG＝3，
∴12+（3﹣y）2＝（﹣y）2+32，
解得：y，
∴y；
綜上所述，圓心M縱坐標(biāo)y的取值范圍為3＜y或y＜3或y．
②當(dāng)n＝3時(shí)，⊙M為△ABC的“中3點(diǎn)圓”，
∵D（a，3），E（，3），
∴M（a+1，y），
∵且圓心M總在△ABC外，
∴當(dāng)⊙M經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，△ADE是鈍角三角形，且∠ADE＞90°或∠AED＞90°，
∴a＜0或a＞4．
【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，新定義“中n點(diǎn)圓”，要求學(xué)生理解并運(yùn)用新定義解決問題．
12．（2022?鹽城一模）對于平面內(nèi)的兩點(diǎn)K、L，作出如下定義：若點(diǎn)Q是點(diǎn)L繞點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)A（4，0），在點(diǎn)Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是 Q2，Q4 ．
（2）已知點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)C在直線y＝2x+b上，若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
（3）點(diǎn)D是x軸上的動點(diǎn)，D（t，0），E（t﹣3，0），點(diǎn)F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個(gè)動點(diǎn)，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）如圖中，滿足條件的點(diǎn)在半圓上（不包括點(diǎn)A以及y軸上的點(diǎn)），點(diǎn)Q2，Q4滿足條件．
（2）如圖中，以O(shè)為圓心，3為半徑作半圓，交y軸于P（0，3），P′（0，﹣3）當(dāng)直線y＝2x+b與半圓有交點(diǎn)（不包括P，B）時(shí)，滿足條件．
（3）根據(jù)題意，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在半圓E上，設(shè)點(diǎn)P在半圓S上，點(diǎn)Q在半圓T上（將半圓D繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過的區(qū)域?yàn)閳D3（1）中陰影部分，求出圖3（2），圖3（3）中，t的值，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖，∵A（4，0），Q1（0，4），
∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，
∴點(diǎn)Q1不是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；
∵Q2（2，），作Q2F⊥x軸于點(diǎn)F，
∴OQ24＝OA，
∵tan∠Q2OF，
∴∠Q2OF＝60°，
∴點(diǎn)Q2是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；
∵Q3（﹣2，），作Q3G⊥x軸于點(diǎn)G，
則tan∠Q3OG，
∴∠Q3OG＝60°，
∴OQ34＝OA，
∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，
∴Q3不是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；
∵Q4（，﹣2），作Q4H⊥x軸于點(diǎn)H，
則tan∠Q4OH1，
∴∠Q4OH＝45°，
∵OQ44＝OA，
∴Q4是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；
綜上所述，在點(diǎn)Q1，Q2，Q3，Q4中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是Q2，Q4，
故答案為：Q2，Q4．
（2）在y軸上取點(diǎn)P（0，5），當(dāng)直線y＝2x+b經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，可得b＝5，
當(dāng)直線y＝2x+b經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，則2×5+b＝0，
解得：b＝﹣10，
∴當(dāng)﹣10＜b＜5時(shí)，OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角時(shí)，點(diǎn)C一定可以落在某條直線y＝2x+b上，
過點(diǎn)O作OG⊥直線y＝2x+b，垂足G在第四象限時(shí)，如圖，
則OT＝﹣b，OSb，
∴STb，
當(dāng)OG＝5時(shí)，b取得最小值，
∵5×（b）＝﹣b×（b），
∴b＝﹣5，
∴﹣5b＜5．
（3）根據(jù)題意，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在半圓E上，設(shè)點(diǎn)P在半圓S上，點(diǎn)Q在半圓T上（將半圓D繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過的區(qū)域?yàn)閳D3（1）中陰影部分，
如圖3（2）中，陰影部分與直線y＝2x+6相切于點(diǎn)G，tan∠EMG＝2，SG＝3，過點(diǎn)G作GI⊥x軸于點(diǎn)I，過點(diǎn)S作SJ⊥GI于點(diǎn)J，
∴∠SGJ＝∠EMG，
∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，
∴GJ，SJ，
∴GI＝GJ+JI＝3，
∴MIGI，
∴OE＝IE+MI﹣OM，即xE＝t﹣3，
解得t，
如圖3（3）中，陰影部分與HK相切于點(diǎn)G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，則MH＝3，EM＝3，
∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣3，
解得t＝﹣3，
觀察圖象可知，﹣3t＜3．
【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會尋找特殊點(diǎn)，特殊位置解決問題，屬于壓軸題．
13．（2022秋?鹽都區(qū)期中）【了解概念】
我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段MQ、QN組成折線段MQN．若點(diǎn)P在折線段MQN上，MP＝PQ+QN，則稱點(diǎn)P是折線段MQN的中點(diǎn)．
【理解應(yīng)用】
（1）如圖2，⊙O的半徑為2，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)B是折線段POA的中點(diǎn)．若∠APO＝30°，則PB＝ 3 ；
【定理證明】
（2）阿基米德折弦定理：如圖3，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線段ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，從M向BC作垂線，垂足為D，求證：D是折弦ABC的中點(diǎn)；
【變式探究】
（3）如圖4，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．
【靈活應(yīng)用】
（4）如圖5，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A為⊙O上一定點(diǎn)，點(diǎn)D為⊙O上一動點(diǎn)，且滿足∠DAB＝45°，若AB＝8，BC＝10，則AD＝ 7或 ．
【分析】（1）根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出PO＝4，再由所給的定義求出PB的長即可；
（2）在BC上截取CG＝AB，連接MC、MG、MB、MA，可證明△MAB≌△MCG（SAS），得到MB＝MG，再由垂徑定理得到BD＝DG，則有AB+BD＝CG+DG＝CD，即可證明D是折弦ABC的中點(diǎn)；
（3）仿照（2）的方法，在BD上截取BG＝AB，連接MC、MA、MB、MG，證明△MAB≌△MGB（SAS），可得到AB+CD＝BG+DG＝BD；
（4）分兩種情況討論：當(dāng)D點(diǎn)在上時(shí)，過D點(diǎn)作DG⊥AB交于點(diǎn)G，由BG+AC＝AG，求出AG（6+8）＝7，再由勾股定理求出AD＝7；當(dāng)D點(diǎn)在上時(shí)，如圖6，∠BAD＝45°，過點(diǎn)D作DH⊥AB交于G點(diǎn)，求出AG（8﹣6）＝1，再由勾股定理求出AD．
【解答】（1）解：∵PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，
∴PA⊥AO，
∴∠PAO＝90°，
∵∠APO＝30°，AO＝2，
∴PO＝4，
∴PO+AO＝6，
∵B是折線段POA的中點(diǎn)，
∴PB＝3，
故答案為：3；
（2）證明：在BC上截取CG＝AB，連接MC、MG、MB、MA，
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴MA＝MC，
∵∠A＝∠C，
∴△MAB≌△MCG（SAS），
∴MB＝MG，
∵M(jìn)D⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG＝CD，
∴D是折弦ABC的中點(diǎn)；
（3）解：BD＝AB+CD，理由如下：
在BD上截取BG＝AB，連接MC、MA、MB、MG，
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴AM＝CM，
∵∠ABM＝∠MBG，
∴△MAB≌△MGB（SAS），
∴MA＝MG，
∴MC＝MG，
∵DM⊥BC，
∴CD＝DG，
∴AB+CD＝BG+DG＝BD；
（4）解：∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝8，BC＝10，
∴AC＝6，
當(dāng)D點(diǎn)在上時(shí)，如圖5，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAB＝∠DAC＝45°，
過D點(diǎn)作DG⊥AB交于點(diǎn)G，
∴BG+AC＝AG，
∴AG（6+8）＝7，
∴AD＝7；
當(dāng)D點(diǎn)在上時(shí)，則D為的中點(diǎn)，如圖6，∠BAD＝45°，
過點(diǎn)D作DH⊥AB交于G點(diǎn)，
∵AG+AC＝BG，
∴AH（8﹣6）＝1，
∴AD；
綜上所述：AD的長為7或，
故答案為：7或．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，垂徑定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，理解阿基米德折弦定理是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋?慈溪市期中）如圖1，C，D是半圓ACB上的兩點(diǎn)，若直徑AB上存在一點(diǎn)P，滿足∠APC＝∠BPD，則稱∠CPD是的“幸運(yùn)角”．
（1）如圖2，AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB，D是BC上一點(diǎn)，連結(jié)ED交AB于點(diǎn)P，連結(jié)CP，∠CPD是的“幸運(yùn)角”嗎？請說明理由；
（2）設(shè)的度數(shù)為n，請用含n的式子表示的“幸運(yùn)角”度數(shù)；
（3）在（1）的條件下，直徑AB＝10，的“幸運(yùn)角”為90°．
①如圖3，連結(jié)CD，求弦CD的長；
②當(dāng)時(shí)，求CE的長．
【分析】（1）利用“幸運(yùn)角”的定義，說明∠CPA＝∠DPB即可；
（2）利用圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半解答即可得出結(jié)論；
（3）①連接OC，OD，利用“幸運(yùn)角”的定義和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；
②利用“幸運(yùn)角”的定義和等腰直角三角形的性質(zhì)，設(shè)PC＝PE＝x，利用勾股定理列出方程，解方程求得x值，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）∠CPD是的“幸運(yùn)角”，理由：
∵AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB為EC的垂直平分線，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“幸運(yùn)角”；
（2）∵的度數(shù)為n，
∴∠CED，
∵CE⊥AB，
∴∠APE＝90°﹣∠CED＝90°．
∴∠BPD＝∠APE＝90°，
∴∠APC＝∠BPD＝90°．
∴的“幸運(yùn)角”度數(shù)＝∠CPD＝180°﹣∠APC﹣∠BPD＝n．
∴的“幸運(yùn)角”度數(shù)為n；
（3）①連接OC，OD，如圖，
∵的“幸運(yùn)角”為90°，
∴∠APC＝∠BPD45°．
∴∠APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直徑AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CDOC＝5；
②∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE為等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
設(shè)PC＝PE＝x，則PD＝DE﹣PE＝7x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CEPC＝6或8．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，本題是新定義型題目，理解并熟練運(yùn)用新定義解答是解題的關(guān)鍵．
15．（2022秋?西城區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（a，b），N．對于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)P'，點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”．
（1）如圖1，若點(diǎn)M在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)N（1，1），①點(diǎn)P（﹣2，0）的“對應(yīng)點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為 （2，0） ；②若點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為（﹣1，3），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （﹣1，﹣3） ；
（2）如圖2，已知⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)N（0，2），若P（m，0）（m＞1）為⊙O外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ．①當(dāng)點(diǎn)M（a，b）在第一象限時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含a，b，m的式子表示）；②當(dāng)點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動時(shí)，直接寫出PQ長的最大值與最小值的積為 4m2﹣16m+8 .（用含m的式子表示）
【分析】（1）①根據(jù)定義直接運(yùn)算即可；
②先求出Q點(diǎn)關(guān)于N（1，1）的對稱點(diǎn)為P'（3，﹣1），將P'繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P，過P'作P'F⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，可證明△POE≌△OP'F（AAS），再由全等的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）①過點(diǎn)M作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P'作P'E⊥EF交于點(diǎn)E，由（1）可得△MPF≌△P'ME（AAS），根據(jù)三角形全等的性質(zhì)求出P'（a+b，b+m﹣a），再由對稱性求出Q（﹣a﹣b，4﹣b﹣m+a）；
②P點(diǎn)繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)G，則G（0，m），由①可求出GP'，則P'在以G為圓心，為半徑的圓上，設(shè)G點(diǎn)關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)為H，則H（0，4﹣m），求得QH，則Q點(diǎn)在以H為圓心為半徑的圓上，再根據(jù)兩個(gè)相交圓的性質(zhì)，分別求出PQ的最大值為PH，PQ的最小值為PH，最后求出乘積即可．
【解答】解：（1）①∵P（﹣2，0），
∴P點(diǎn)繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P'（0，﹣2），
∵點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為Q，
∴Q（2，0）；
故答案為：（2，0）；
②∵Q的坐標(biāo)為（﹣1，3），
∴Q點(diǎn)關(guān)于N（1，1）的對稱點(diǎn)為P'（3，﹣1），
將P'繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P，
過P'作P'F⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵∠P'OP＝90°，
∴∠POE+∠FOP'＝90°，
∵∠EPO+∠EOP＝90°，
∴∠FOP'＝∠EPO，
∵OP＝OP'，
∴△POE≌△OP'F（AAS），
∴EO＝P'F＝1，PE＝OF＝3，
∴P（﹣1．﹣3），
故答案為：（﹣1，﹣3）；
（2）①過點(diǎn)M作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P'作P'E⊥EF交于點(diǎn)E，
由（1）可得△MPF≌△P'ME（AAS），
∴MF＝EP'，F(xiàn)P＝ME，
∵M(jìn)（a，b），P（m，0），
∴EF＝b+m﹣a，EP'＝b，
∴P'（a+b，b+m﹣a），
∵點(diǎn)N（0，2），
∴Q（﹣a﹣b，4﹣b﹣m+a）；
②P點(diǎn)繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)G，
∴G（0，m），
∵P'（a+b，b+m﹣a），
∴GP'，
∵M(jìn)（a，b）在圓O上，
∴a2+b2＝1，
∴GP'，
∴P'在以G為圓心，為半徑的圓上，
設(shè)G點(diǎn)關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)為H，則H（0，4﹣m），
∴QH，
∴Q點(diǎn)在以H為圓心為半徑的圓上，
∴PQ的最大值為PH，PQ的最小值為PH，
∴PQ長的最大值與最小值的積為（PH）（PH）＝2m2﹣8m+14，
故答案為：2m2﹣8m+14．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，兩個(gè)相交圓的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弄清定義，并能夠判斷出P'、Q點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．
16．（2022?長沙縣校級三模）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“優(yōu)美三角形”．例如：如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似，那么稱△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”．
（1）如圖2，在△ABC中，BCAB，求證：△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”；
（2）如圖3，已知△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，點(diǎn)D是△ABC邊BC的中點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)A．
①求證：直線CA與⊙O相切；
②若⊙O的直徑為2，求線段AB的長；
（3）已知三角形ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面積．
【分析】（1）利用兩邊成比例，夾角相等證明△ABD∽△CBA即可求解；
（2）①連接OA，證明∠CAD+∠OAD＝90°，可得OA⊥AC，再由OA是⊙O的半徑，即可證明直線AC與⊙O相切；
②由△CAD∽△CBA，求出AC＝4，再由，設(shè)ADx，則AB＝2x，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出x的值，即可求AB＝4；
（3）過點(diǎn)A作AE⊥BC交于E點(diǎn)，分兩種情況討論：①若△BAD∽△BCA，可求AB＝2，在Rt△ABE中，AEAB，則S△ABCAE?BC＝2；②若△CAD∽△CBA，可求AC＝2，在Rt△ABE中，設(shè)AE＝x，則BEx，CE＝4x，在Rt△AEC中，利用勾股定理可求x±1，再求S△ABC?AE?BC＝2±2．
【解答】（1）證明：∵AD是中線，
∴BDBCAB，
∴，
∴△ABD∽△CBA，
∴△ABC是關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”；
（2）①證明：連接OA，
∵△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，
∴△CAD∽△CBA，
∴∠CAD＝∠CBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠CBA，
∴∠CAD＝∠OAB，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠CAD+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AC，
∵OA是⊙O的半徑，
∴直線AC與⊙O相切；
②解：∵△CAD∽△CBA，
∴AC2＝CD?BC，
∴AC＝4，
∵，
設(shè)ADx，則AB＝2x，
在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，即4x2+2x2＝24，
∴x＝2，
∴AB＝4；
（3）解：過點(diǎn)A作AE⊥BC交于E點(diǎn)，
①若△BAD∽△BCA，
∴AB2＝BD?BC，
∴AB＝2，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴AEAB，
∴S△ABCAE?BC＝2；
②若△CAD∽△CBA，
∴AC2＝CD?BC，
∴AC＝2，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
設(shè)AE＝x，則BEx，
∴CE＝4x，
在Rt△AEC中，AC2＝AE2+CE2，
∴x2+（4x）2＝8，
解得x±1，
∴S△ABC?AE?BC＝2±2；
綜上所述：△ABC的面積為2或2±2．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握圓的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，圓與切線的性質(zhì)，勾股定理，弄清定義是解題的關(guān)鍵．
17．（2022秋?海淀區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙O的半徑為2，對于點(diǎn)P，直線l和⊙O，給出如下定義：
若點(diǎn)P關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)在⊙O上或⊙O的內(nèi)部，則稱點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)．
（1）已知直線l為x＝3，
①在點(diǎn)P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）中，是⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)有 P1、P3 ；
②若點(diǎn)P為x軸上的動點(diǎn)，且點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值為 8 ．
（2）已知直線l的解析式為y＝kx+2（k≠0），
①當(dāng)k＝﹣1時(shí)，若點(diǎn)P為直線x上的動點(diǎn)，且點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t的取值范圍是 2t≤2 ；
②點(diǎn)B（2，2），C（，1），若線段BC的任意一點(diǎn)都為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，則k的取值范圍是 ﹣4﹣2k ．
【分析】（1）①運(yùn)用新定義：點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，即可推斷出答案；
②先求得⊙O與x軸離直線x＝3較遠(yuǎn)的交點(diǎn)P′（﹣2，0），根據(jù)定義可得x＝8；
（2）①當(dāng)k＝﹣1時(shí)，直線l的解析式為y＝﹣x+2，可得出直線x上的點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)一定在直線y上，設(shè)P（，t），則t﹣（）x，故點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P′（2﹣t，），由當(dāng)OP′＝2時(shí)，可得（2﹣t）2+（）2＝4，即可得出答案；
②分別求出k的最大值和最小值即可．
【解答】解：（1）①如圖1，點(diǎn)P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）關(guān)于直線x＝3的對稱點(diǎn)分別為P′1（2，0），P′2（2，1），P′3（1，1），
∵OP′1＝2，OP′22，OP′3，
∴點(diǎn)P′1在⊙O上，點(diǎn)P′2在⊙O外部，點(diǎn)P′3在⊙O內(nèi)部，
∴點(diǎn)P1、P3是⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，
故答案為：P1、P3；
②如圖2，點(diǎn)P′（﹣2，0），點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)P′關(guān)于直線x＝3對稱時(shí)，
∴3，
解得：x＝8，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值為8，
故答案為：8．
（2）①當(dāng)k＝﹣1時(shí)，直線l的解析式為y＝﹣x+2，
∵點(diǎn)P為直線x上的動點(diǎn)，當(dāng)x時(shí)，y2，
∴直線x直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
過點(diǎn)（，）作直線y，
則直線y＝﹣x+2平分直線x與直線y的夾角，即直線x上的點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)一定在直線y上，
∴設(shè)P（，t），點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P′（x，），
則t﹣（）x，
解得：x＝2﹣t，
∴點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P′（2﹣t，），
∵點(diǎn)P為⊙O關(guān)于l的反射點(diǎn)，
∴OP′≤2，
當(dāng)OP′＝2時(shí)，（2﹣t）2+（）2＝4，
解得：t＝2±，
∴2t≤2，
故答案為：2t≤2；
②∵C（，1），
∴OC2，
∴點(diǎn)C在⊙O上，
把C（，1）代入y＝kx+2，得k+2＝1，
解得：k，此時(shí)k取得最大值，
如圖4，∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝kx+2對稱，
∴直線y＝kx+2是線段BB′的垂直平分線，
設(shè)B′（m，n），M（0，2），
則B′M＝BM＝2，OB′＝2，
∴m2+（n﹣2）2＝22，m2+n2＝22，
∴n＝1，
∴m2+1＝4，
解得：m（舍去）或m，
∴B′（，1）與B（2，2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
把（，）代入y＝kx+2，得k+2，
解得：k＝﹣2，此時(shí)k取得最小值，
∴k的取值范圍是﹣2k，
故答案為：﹣2k．
【點(diǎn)評】本題是圓與一次函數(shù)綜合題、考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識、反射點(diǎn)的定義、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題．
18．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為正方形ABCD邊上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間
的距離有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．
已知點(diǎn)E（3，0）．
①直接寫出d（點(diǎn)E）的值；
②過點(diǎn)E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點(diǎn)F，當(dāng)d（線段EF）取最小值時(shí)，求k的取值范圍；
③設(shè)T是直線y＝﹣x+3上的一點(diǎn)，以T為圓心，長為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T），直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)x的取值范圍．
【分析】①由定義可知d（點(diǎn)E）＝BE＝4；
②由題意可知d（線段EF）的最小值＝d（點(diǎn)E）＝4，當(dāng)d（點(diǎn)F）＝4時(shí)，F(xiàn)（0，3）或（0，﹣3），分別求出相應(yīng)的k的值，則可求﹣1≤k≤1；
③由②可知，d（點(diǎn)E）＝d（點(diǎn)F）＝4，D點(diǎn)T在第二象限或第四象限，設(shè)T（x，﹣x+3），當(dāng)T點(diǎn)在第二象限時(shí)，TC時(shí)，x＝2；當(dāng)T點(diǎn)在第四象限時(shí)，TB時(shí)，x＝1；即可求x＞1或x＜2時(shí)滿足題意．
【解答】解：①∵E（3，0），B（﹣1，0），
∴d（點(diǎn)E）＝BE＝4；
②∵d（線段EF）取最小值，
∴d（線段EF）的最小值＝d（點(diǎn)E）＝4，
∴d（點(diǎn)F）≤4，
當(dāng)d（點(diǎn)F）＝4時(shí)，F(xiàn)（0，3）或（0，﹣3），
當(dāng)F（0，3）時(shí)，k＝﹣1，
當(dāng)F（0，﹣3）時(shí)，k＝1，
∴﹣1≤k≤1；
③由②可知，d（點(diǎn)E）＝d（點(diǎn)F）＝4，
∴D點(diǎn)T在第二象限或第四象限，
設(shè)T（x，﹣x+3），
當(dāng)T點(diǎn)在第二象限時(shí)，TC時(shí)，x2+（﹣x+3+1）2，
解得x＝2或x＝2（舍）；
當(dāng)T點(diǎn)在第四象限時(shí)，TB時(shí)，（x+1）2+（﹣x+3）2，
解得x＝1或x＝1（舍）；
∵d（⊙T），
∴x＞1或x＜2．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，弄清定義，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．

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