【問題描述】
在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)，使得由該點(diǎn)及其他點(diǎn)構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問題”．
【基本定理】
判定1：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形；
判定2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形是相似三角形；
判定3：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐標(biāo)系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，解決問題．
【題型分析】
通常相似的兩三角形有一個(gè)是已知的，而另一三角形中有1或2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即可分為“單動(dòng)點(diǎn)”類、“雙動(dòng)點(diǎn)”兩類問題．
【思路總結(jié)】
根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會(huì)用的，這里也一樣不怎么用，對(duì)比判定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！
所以，要證相似的兩個(gè)三角形必然有相等角，關(guān)鍵點(diǎn)也是先找到一組相等角．
然后再找：
思路1：兩相等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；
思路2：還存在另一組角相等．
事實(shí)上，坐標(biāo)系中在已知點(diǎn)的情況下，線段長(zhǎng)度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？
搞定這兩個(gè)問題就可以了．
直擊中考
1．如圖，設(shè)拋物線與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)記為點(diǎn)．且．
(1)求的值和拋物線的解析式；
(2)已知過點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)．若點(diǎn)在軸上，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，的外接圓半徑等于 ．（直接寫答案）
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）由點(diǎn)、，對(duì)稱軸為直線，先求得點(diǎn)，然后用待定系數(shù)法即可得到拋物線解析式
（2）與相似分兩種情況討論即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)
（3）在（2）的條件下，分兩種情況討論可求得的外接圓半徑
【詳解】（1）拋物線與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，對(duì)稱軸為直線，
，
解得：，
∴，
將點(diǎn)、分別代入拋物線得：
，
解得：
拋物線的解析式為
（2）聯(lián)立直線與二次函數(shù)解析式得：
解得：，
，，，
與相似分為以下兩種情況：
①當(dāng)時(shí)得：
，
②當(dāng)時(shí)得：
綜上所述：或．
（3）當(dāng)點(diǎn)時(shí)
線段的垂直平分線為
線段的垂直平分線為
聯(lián)立方程組：
解得圓心坐標(biāo)為
外接圓半徑為
同理：當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為
線段的垂直平分線為
線段的垂直平分線為
聯(lián)立方程組：
解得圓心坐標(biāo)為，
外接圓半徑為
綜上所述：外接圓半徑為或．
【點(diǎn)睛】本題是相似三角形問題(二次函數(shù)綜合)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象、相似三角形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)；熟練掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法是解決問題的關(guān)鍵
2．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(-1，0)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)過點(diǎn)C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由見解析；
(3)存在點(diǎn)M，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，-12）或
【分析】（1）由拋物線的對(duì)稱軸可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由此設(shè)出交點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出拋物線的解析式；
（2）由題意可知，點(diǎn)A，C，B，P四點(diǎn)共圓，畫出圖形，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由拋物線的對(duì)稱性可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得出AD，DE，AE的長(zhǎng)，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出EF和FM的比例，由此可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入拋物線的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）存在，P（0，-1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴點(diǎn)A，C，B，P四點(diǎn)共圓，
如圖所示，
∵點(diǎn)A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由拋物線的對(duì)稱性得：E（2，3），
∵A（-1，0），
∴，
∴，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵點(diǎn)M在直線l下方的拋物線上，
設(shè)，則t＞2或t＜0，
∵M(jìn)F⊥l，
∴點(diǎn)F（t，3），
∴，，
∵以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似，
∴或，
∴或，
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，-12）或，
綜上所述，存在點(diǎn)M，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，-12）或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圓內(nèi)四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論思想等，第（2）問得出四點(diǎn)共固是解題關(guān)鍵；第（3）問得出△ADE是直角三角形并得出AD∶AE的值是解題關(guān)鍵．
3．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，點(diǎn)C(0，﹣3)，直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)E．拋物線的對(duì)稱軸交AE于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖①，點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上的點(diǎn)，連接PA，PC，△BAF的面積記為S1，△PAC的面積記為S2，當(dāng)S2＝S1時(shí)．求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
(3)如圖②，連接CD，點(diǎn)Q為平面內(nèi)直線AE下方的點(diǎn)，以點(diǎn)Q，A，E為頂點(diǎn)的三角形與△CDF相似時(shí)（AE與CD不是對(duì)應(yīng)邊），請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3
(2)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或
(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）先分別求出直線AE、AC的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)B（1，2），D（1，0），F(xiàn)（1，﹣2），過點(diǎn)P作x軸垂線交AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則M（m，m﹣3），由面積關(guān)系求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）分類討論①當(dāng)△CDF∽△QAE時(shí)， ；②當(dāng)△CDF∽△AQE時(shí)，；③當(dāng)△CDF∽△EQA時(shí)， ；④當(dāng)△CDF∽△QEA時(shí)， ．分別求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（1）
解：將A（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）
將A（3，0）代入y＝﹣x+b中，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴B（1，2），D（1，0），F(xiàn)（1，﹣2），
過點(diǎn)P作x軸垂線交AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，
設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則M（m，m﹣3），
∴PM＝﹣m2+3m，
∴S2＝×OA×PM＝m2+m，
S1＝×BF×AD＝4，
∵S2＝S1，
∴m2+m＝，
解得m＝或m＝，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或；
（3）
∵C（0，﹣3），D（1，0），F(xiàn)（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
設(shè)Q（x，y），
①當(dāng)△CDF∽△QAE時(shí)，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（﹣7，5）；
②當(dāng)△CDF∽△AQE時(shí)，，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍）或，
∴Q（﹣12，5）；
③當(dāng)△CDF∽△EQA時(shí)， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣10）；
④當(dāng)△CDF∽△QEA時(shí)， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣5）；
綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．
【點(diǎn)睛】本題主要是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)．
(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求CP+PQ+QB的最小值；
(3)過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)CPM和QBN相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)
(2)6
(3)(，)或(，)或(，)
【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）將C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，連接BC'交拋物線的對(duì)稱軸l于Q，可知四邊形CC'QP是平行四邊形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共線，故此時(shí)CP+PQ+BQ最小，最小值為BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值為6；
（3）由在y＝﹣x2+3x+4得拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝，設(shè)Q（，t），則Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①當(dāng)＝時(shí)，＝，可解得Q（，）或（，）；②當(dāng)＝時(shí)，＝，得Q（，）．
（1）
解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．
（2）
將C（0，4）向下平移至，使，連接交拋物線的對(duì)稱軸l于Q，如圖所示：
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵B，Q，共線，
∴此時(shí)CP+PQ+BQ最小，最小值為的值，
∵C（0，4），，
∴，
∵B（4，0），
∴＝＝5，
∴，
∴CP+PQ+BQ最小值為6．
（3）
如圖：
由y＝﹣x2+3x+4得，拋物線對(duì)稱軸為直線，
設(shè)Q（，t），則P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①當(dāng)＝時(shí)，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②當(dāng)＝時(shí)，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
綜上所述，Q的坐標(biāo)是(，)或(，)或(，)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，線段和的最小值，相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
5．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線：與x軸交于點(diǎn)A，（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，則能否是等邊三角形？請(qǐng)說明理由；
(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線與線段交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)H，若以P，M，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)不能，理由過程見詳解
(3)(1,4)或者()
【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸即可求出b，再根據(jù)拋物線過B點(diǎn)即可求出C，則問題得解；
（2）假設(shè)△POD是等邊三角形，過P點(diǎn)作PN⊥OD于N點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證P點(diǎn)是否在拋物線上即可求證；
（3）先根據(jù)PH⊥BO，求得∠MHB=90°，根據(jù)（2）中的結(jié)果求得OC=4，根據(jù)B點(diǎn)(2,0)，可得OB=2，則有tan∠CBO=2，分類討論：第一種情況：△BMH∽△CMP，即可得，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐標(biāo)則可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)；第二種情況：△BMH∽△PMC，過P點(diǎn)作PG⊥y軸于點(diǎn)G，先證明∠GCP=∠OBC，即有tan∠GCP=2，即有2GC=GP，設(shè)GP=a，則GC=，即可得PH=OG=+4，則有P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,+4)，代入到拋物線即可求出a值，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)可求．
【詳解】（1）∵的對(duì)稱軸為，
∴，即b=2，
∵過B點(diǎn)(2,0)，
∴，
∴結(jié)合b=2可得c=4，
即拋物線解析式為：；
（2）△POD不可能是等邊三角形，
理由如下：
假設(shè)△POD是等邊三角形，過P點(diǎn)作PN⊥OD于N點(diǎn)，如圖，
∵當(dāng)x=0時(shí)，，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)，
∴OC=4，
∵D點(diǎn)是OC的中點(diǎn)，
∴DO=2，
∵在等邊△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO=DO=1，
∵在等邊△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(,1)，
經(jīng)驗(yàn)證P點(diǎn)不在拋物線上，
故假設(shè)不成立，
即△POD不可能是等邊三角形；
（3）∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根據(jù)（2）中的結(jié)果可知C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)，
即OC=4，
∵B點(diǎn)(2,0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分類討論
第一種情況：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴，
∴即P點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐標(biāo)，也為4，
當(dāng)y=4時(shí)，，
解得：x=1或者0，
∵P點(diǎn)在第一象限，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，
第二種情況：△BMH∽△PMC，
過P點(diǎn)作PG⊥y軸于點(diǎn)G，如圖，
∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
設(shè)GP=a，
∴GC=，
∴GO=+OC=+4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四邊形PGOH是矩形，
∴PH=OG=+4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,+4)，
∴，
解得：a=或者0，
∵P點(diǎn)在第一象限，
∴a=，
∴，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為()；
∵△BMH與△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，當(dāng)∠CPM為直角時(shí)，若∠PCM=∠BMH，則可證△PCM是等腰直角三角形，
通過相似可知△BMH也是等腰直角三角形，這與tan∠CBO=2相矛盾，故不存在當(dāng)∠CPM為直角時(shí)，∠PCM=∠BMH相等的情況；
同理不存在當(dāng)∠PCM為直角時(shí)，∠CPM=∠BMH相等的情況，
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,4)或者()．
【點(diǎn)睛】本題考查了求解拋物線解析式、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、等邊三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），即可得到關(guān)于a、b的方程，從而可以求得a、b的值，然后即可寫出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后再根據(jù)是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分類討論，列出方程，即可求解．
【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），
∴
解得
∴此拋物線的解析式為：
（2）當(dāng)時(shí)，，所以，OB=OC=3，
∴是等腰直角三角形，
以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，
∴是等腰直角三角形，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，
設(shè)BC的解析式為，將B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，，故BC的解析式為，
把代入得，，則E點(diǎn)坐標(biāo)為，
如圖，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，，解得，，（舍去），把代入得，，則P點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，則P點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），則P點(diǎn)坐標(biāo)為；
綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法和設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程．
7．（2023秋·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的正、負(fù)半軸分別交于點(diǎn)B、A，與y軸交于點(diǎn)C，已知，，．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸分別與x軸、交于點(diǎn)E、F，求的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)，如果點(diǎn)P在該拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)和相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)
【答案】(1)
(2)
(3)P的坐標(biāo)為：或．
【分析】（1）先利用拋物線的解析式求解C的坐標(biāo)，再求解B的坐標(biāo)，A的坐標(biāo)，設(shè)設(shè)拋物線為，把代入即可；
（2）先求解拋物線的對(duì)稱軸為直線，再求解直線為，可得F的坐標(biāo)，從而可得答案；
（3）如圖，過作于，證明，可得，而，可得，則，當(dāng)和相似時(shí)，顯然與對(duì)稱軸沒有交點(diǎn)，不在的下方，只能在的上方，且與是對(duì)應(yīng)角，再分兩種情況分別求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線，
當(dāng)，則，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
設(shè)拋物線為，把代入得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為：．
（2）∵，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∵，，
設(shè)直線為，
∴，解得：，
∴直線為，
當(dāng)時(shí)，，即，
∴．
（3）如圖，過作于，
∵，，，
∴，，，，
∴，則，
∴，而，
∴，
而，
∴，
∴，
當(dāng)和相似時(shí)，顯然與對(duì)稱軸沒有交點(diǎn)，
∴不在的下方，只能在的上方，且與是對(duì)應(yīng)角，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)，
∴，
∴，解得：，
∴．
綜上：P的坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，求解一次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的證明與是對(duì)應(yīng)角是解（3）的關(guān)鍵．
8．如圖，直線分別交軸、軸于、兩點(diǎn)，繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)．
(1)填空：， 、 ， 、 ， ；
(2)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
(3)為拋物線的頂點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
【分析】（1）直線中，，則；，則，解得A|、B坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，即；
（2）把，，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線即可解得；
（3）過點(diǎn)作軸垂足為點(diǎn)，求出，分情況討論，①當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出，②當(dāng)時(shí)，，則，求出點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）直線中，
，則；，則；
，；
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，即；
，，；
（2）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
；
又拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，
，解得；
；
（3）過點(diǎn)作軸垂足為點(diǎn)；
由（2）得
，
，；
，
；
，
；
①當(dāng)時(shí)，，
則，
過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)；
，
設(shè)，則
在中，．
，
，（不合題意，舍去）
又，
；
②當(dāng)時(shí)，，則，
；
，
（不合題意，舍去）
綜上所述，存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，求拋物線解析式，三角形相似， 解決本題的關(guān)鍵時(shí)熟練掌握二次函數(shù)得圖像和性質(zhì)，一元二次方程的知識(shí)．
9．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線過、、三點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，求四邊形的面積；
(3)在軸上方軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，使以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在點(diǎn)，使與相似
【分析】（1）由題意知，為等腰直角三角形，則，由此可得、、的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）由，可得，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由于點(diǎn)位于拋物線的圖象上，將點(diǎn)代入拋物線的解析式中，即可確定點(diǎn)的坐標(biāo)；易知的長(zhǎng)，可分別求出和的面積，它們的面積之和即為四邊形的面積；
（3）根據(jù)、、的坐標(biāo)，可求出、的長(zhǎng)，由于，若以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么它們的對(duì)應(yīng)直角邊對(duì)應(yīng)成比例，可設(shè)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后表示出、的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)①，②，兩種情況下所得不同的比例線段，求出不同的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：，，
為等腰直角三角形，
點(diǎn)，
點(diǎn)，點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為，
，
，
拋物線的解析式為．
（2）解：，
，
，
；
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則為等腰直角三角形；
令，則，
；
點(diǎn)在拋物線上，
，解得，（不合題意，舍去），
；
四邊形的面積．
（3）解：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)．
，
，
軸于點(diǎn)，
，
在中，，
，
在中，，
，
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，
點(diǎn)在軸上方軸左側(cè)，
；
①當(dāng)時(shí)，有，
，，即，
解得（舍去），（舍去）；
②當(dāng)時(shí)，有，
即，
解得（舍去），；
綜上可知，存在點(diǎn)，使與相似．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義、相似三角形的判定和性質(zhì)，注意（3）小問中，要根據(jù)相似三角形不同對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)來分類討論，以免漏解．
10．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)．
(1)寫出點(diǎn)的坐標(biāo) ；
(2)將直線沿軸向上平移，分別交軸于點(diǎn)、交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線與該動(dòng)直線的一個(gè)公共點(diǎn)，試求當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)已知點(diǎn)是二次函數(shù)圖象在軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若的外接圓直徑為，試問：以、、為頂點(diǎn)的三角形與能否相似？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)相似，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）由拋物線解析式求出對(duì)稱軸，再代入即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，由題意可設(shè)直線的解析式為，要是的面積最大，只需直線與拋物線相切，由此可求出的值，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)作軸，如圖2，由題意可設(shè)直線的解析式為，從而可得，，，由的外接圓直徑為可得，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后分兩種情況討論：①，②，用含的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式，求出，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：拋物線的對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：；
（2）解：如圖1，
設(shè)直線的解析式為，
聯(lián)立，
消去并整理得，
，
當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，
，
解得，
此時(shí)直線的解析式為，
令，可得，
的面積最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：過點(diǎn)作軸，如圖2．
設(shè)直線的解析式為，
則有，，
從而可得，，．
的外接圓直徑為，
，
．
，
，
．
，
，
．
①若，則有．
，
，，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)在拋物線上，
，
解得：（舍去），，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②若，則有．
，
，，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)在拋物線上，
，
解得：（舍去），，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了拋物線的對(duì)稱軸，拋物線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，解一元二次方程，運(yùn)用分類討論和構(gòu)造型相似是解題的關(guān)鍵．
11．已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，（在的左側(cè)），與軸交于，若，且．
(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)，過作軸于，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在符合條件的點(diǎn)，且坐標(biāo)為：，，，，
【分析】（1）根據(jù)，可得，將，的坐標(biāo)代入拋物線解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定拋物線的解析式．
（2）根據(jù)小得到的拋物線的解析式，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分點(diǎn)在軸上方和在軸下方兩種情況，根據(jù)相似三角形和軸點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)，的坐標(biāo)，可知進(jìn)而由相似三角形可得或者，可設(shè)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)根據(jù)拋物線的解析式表示出它的縱坐標(biāo)，然后表示出，的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵且
∴
∴將代入拋物線及解析式中，
∴可得： ，解得；
∴
故答案為：．
（2）如圖：
解：∵，
∴
∴
∴
∵函數(shù)解析式為：
∴
∵
∴
∴
∵
∴
當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)
∵
∴
∴=
∴=
∴
∵
∴
當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)
∵
∴點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
故答案為：或者．
（3）解：∵
∴
∵
若以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似
∴或者
∴或者
設(shè)則
如圖：
∵當(dāng)時(shí)
∴
若
∴
解得
若
∴
解得
∵且
∴上述四個(gè)結(jié)果都不符合題意
如圖：
∵當(dāng)時(shí)，
∴
若
∴
解得(舍去)
若
∴
解得(舍去)(舍去)
∴，
如圖
∵當(dāng)時(shí)，
∴
若
∴
解得（舍去），
若
∴
解得：(舍去)，
故）或者
綜上所述符合，存在符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)），，
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，要注意的是第二和第三小問需要分類討論，一定要考慮全面，以免漏解．
12．如圖，已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過，，，兩點(diǎn)，且、是方程兩根，拋物線頂點(diǎn)為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在點(diǎn)，的坐標(biāo)是，，，
【分析】（1）通過解方程求出的值，就可以求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（2）①當(dāng)為邊時(shí)，根據(jù)E在上，能求出D的橫坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出D的坐標(biāo)即可；②為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，求出D和C重合，進(jìn)一步求出E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)，根據(jù)勾股定理的逆定理求出直角三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出比例式，代入求出即可．
【詳解】（1）、是方程的兩根，
解得原方程的兩根分別是：，，
，，
設(shè)拋物線的解析式為，，則，
解得：，
拋物線的解析式是．
（2），
對(duì)稱軸為：，
①當(dāng)為邊時(shí)，
以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
，，
在對(duì)稱軸上，
的橫坐標(biāo)是1或，
的坐標(biāo)是或，此時(shí)的坐標(biāo)是；
②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，則和互相平分，有在對(duì)稱軸上，且線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，
由對(duì)稱性知，符號(hào)條件的點(diǎn)只有一個(gè)，即是頂點(diǎn)，此時(shí)，
綜合上述，符合條件的點(diǎn)共由兩個(gè)，分別是或．
（3）假設(shè)存在，設(shè)，
，，
，，，
，
是直角三角形，，，
以、、為頂點(diǎn)的三角形和相似，
又，
，或，
，
解得：或或或，
存在點(diǎn)，的坐標(biāo)是，，，，，．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的綜合，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．注意：不要漏解，分類討論思想的巧妙運(yùn)用．
13．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為，直線交拋物線于點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式并寫出點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)和相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式，然后把點(diǎn)代入二次函數(shù)的解析式，就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，如圖，根據(jù)勾股定理可求出，易求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得到長(zhǎng)，然后分兩種情況（①若，②若）討論，只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出，從而得到，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【詳解】（1）由題可得：
，
解得：，
二次函數(shù)的解析式為．
點(diǎn)在拋物線上，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，
點(diǎn)，點(diǎn)，
，，，
，
．
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
．
令得，
解得：，，
點(diǎn)為，
．
①若，
則，
，
解得：，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②若，
則，
，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及分類討論是解決第（2）小題的關(guān)鍵．
14．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交點(diǎn)
(1)求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若是線段的中點(diǎn)，連接，猜想線段與線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式是，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是
(2)，理由見解析
(3)坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與相似，P點(diǎn)坐標(biāo)為，，．
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式是：，把C的坐標(biāo)代入求出即可；
（2）分別求得、、的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊的中線即可求解；
（3）①當(dāng)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入求出即可．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式是：，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
答：拋物線的解析式是，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．
（2）解：線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系是．
證明：∵頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，
∴，，，
∴，
∴為直角三角形，，
∵為的中點(diǎn)，
∴；
（3）解：坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，．
∵為直角三角形，，
若點(diǎn)P在x軸上，
當(dāng)，即點(diǎn)P在原點(diǎn)時(shí)，
∵，
∴，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)，，，
即，
解得，此時(shí)P；
若P點(diǎn)在y軸上，
當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)在原點(diǎn)滿足條件，
當(dāng)時(shí)，，，
即，解得，
則，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為，
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；熟練運(yùn)用相似三角形的知識(shí)求線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；理解勾股定理的逆定理以及直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．
15．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、在軸上，點(diǎn)、在 軸上，，，，直線與經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線交于、兩點(diǎn)，與其對(duì)稱軸交于．點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)．
(1)求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式；
(2)是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為，或，
【分析】（1）由條件可以求出點(diǎn)B、E、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）易知是等腰，若以P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么也必須是等腰；由于，因此本題分兩種情況：①為斜邊，M為直角頂點(diǎn)；②為斜邊，Q為直角頂點(diǎn)；首先求出直線的解析式，進(jìn)而可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線的解析式表示出P、Q的縱坐標(biāo)，即可得到的長(zhǎng)；在①中，的長(zhǎng)為M、P橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值的2倍；在②中，的長(zhǎng)正好等于M、P橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，由此可求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；
【詳解】（1），，，
，，，，
設(shè)函數(shù)解析式為，
，解得，
經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式為：
（2）設(shè)直線的解析式為
，；
∴
解得
所以直線；
聯(lián)立，
解得，
∴，，，；
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則；
；
由條件容易求得，，
若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，則為等腰直角三角形；
①以為直角頂點(diǎn)，為斜邊；，
即：，
解得，（不合題意舍去）
，；
②以為直角頂點(diǎn)，為斜邊；，
即：，
解得，（不合題意舍去）
，
故存在符合條件的點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．
16．（2022秋·湖南郴州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右邊），交軸于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E．
(1)求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求線段的最大值；
(3)如圖2，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)最大值為
(3)存在，或
【分析】（1）令，得到，即可求解；
（2）設(shè)，則，先求出直線的解析式為，可得，可得到用m表示的長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的的性質(zhì)，即可求解；
（3）根據(jù)題意可得，從而得到當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，與為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．然后分兩種情況討論，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)
∴．
解得：，
∴，；
（2）解：設(shè)，則，
∵拋物線與軸相交于點(diǎn)，
∴．
設(shè)直線解析式為，
∵直線經(jīng)過點(diǎn)，，
∴，解得 ．
∴直線的解析式為，
∴，
又∵，
∴；
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值；
（3）解：存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，理由如下：
設(shè)，
由（2）得：，
如圖，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)G，則，
由（1）可得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，與為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，，
即，
解得：或（舍去），
∴；
②當(dāng)時(shí)，，即
解得：或（舍去）
∴．
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．

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