作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標(biāo)系中的正方形存在性問題變化更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：
（1）有一個(gè)角為直角的菱形；
（2）有一組鄰邊相等的矩形；
（3）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形．
依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，即可確定所求的點(diǎn)坐標(biāo)．
從未知量的角度來說，正方形可以有4個(gè)“未知量”，因其點(diǎn)坐標(biāo)滿足4個(gè)等量關(guān)系，考慮對(duì)角線性質(zhì)，互相平分（2個(gè)）垂直（1個(gè)）且相等（1個(gè)）．
比如在平面中若已知兩個(gè)定點(diǎn)，可以在平面中確定另外兩個(gè)點(diǎn)使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在某條線上確定點(diǎn)，則可能會(huì)出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個(gè)數(shù)，可能無解．
從動(dòng)點(diǎn)角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：
（1）2個(gè)定點(diǎn)+2個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；
（2）1個(gè)定點(diǎn)+2個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn);
甚至可以有：（3）4個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．
不管是哪一種類型，要明確的是一點(diǎn)，我們肯定不會(huì)列一個(gè)四元一次方程組求點(diǎn)坐標(biāo)！
常用處理方法：
思路1：從判定出發(fā)
若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等；
若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；
若已知對(duì)角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．
思路2：構(gòu)造三垂直全等
若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，必是等腰直角三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過構(gòu)造三垂直全等來求得第3個(gè)點(diǎn)，再求第4個(gè)點(diǎn)．
總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點(diǎn)的情形，若題目給了4個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則考慮從矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系．
正方形的存在性問題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主．
例：在平面直角坐標(biāo)系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．
如圖，一共6個(gè)這樣的點(diǎn)C使得以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．
至于具體求點(diǎn)坐標(biāo)，以為例，構(gòu)造△AMB≌△，即可求得坐標(biāo)．至于像、這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)，是或的中點(diǎn)，是或的中點(diǎn)．
題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路．
直擊中考
1．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．
(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，過作軸交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)，，
【分析】（1）直接將點(diǎn)的坐標(biāo)代入關(guān)系式，求出解可得關(guān)系式，再令，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）先求出直線的關(guān)系式，可表示出，分為邊和對(duì)角線時(shí)，求出坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：∵的圖象與軸交于，，
∴，
解得，
∴．
當(dāng)時(shí)，
∴；
（2）解：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)和代入，得
，
解得，
所以直線的關(guān)系式為．
當(dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
∴的長(zhǎng)度為
①當(dāng)為邊時(shí)，可知，
∴E，F(xiàn)均在x軸上，
∴M，N點(diǎn)到x軸的距離為，即．
∵為正方形，
∴，
即，
解得， ，
當(dāng)時(shí)，M點(diǎn)為A點(diǎn)，應(yīng)舍去，
∴M點(diǎn)可為；
②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，
得到，此時(shí)E點(diǎn)為的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)
且為直角等腰三角形，故的長(zhǎng)度應(yīng)該為M到x軸的距離的2倍，
得到
解得，，，
同理時(shí)應(yīng)舍去，
故M點(diǎn)可為，，
故綜上M點(diǎn)坐標(biāo)可為，，．
【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，正方形的判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式等．注意：分情況討論，不能丟解．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與直線交于、兩點(diǎn)，，，其中點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)解析式；
(2)點(diǎn)是拋物線第三象限上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，以為邊作正方形，當(dāng)頂點(diǎn)或恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）將解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求解未知系數(shù)即可；
（2）設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)或恰好落在拋物線對(duì)稱軸上的條件，建立含未知坐標(biāo)的方程組，求解方程組即可．
【詳解】（1）解：點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，
可設(shè)拋物線的解析式為，
拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得：，
二次函數(shù)的解析式為：
故答案為：；
（2）解：如下圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)Q作軸，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作 軸交于點(diǎn)K，
，，，，，
，且 ，
，
，，
， ，
，
，
即，
，
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
（1）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸 上，
，即，
在上，
，解得： 或（舍去），
故點(diǎn)為
（2）當(dāng)點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，即，
在上，
，即，
，
解得： 或（舍去），
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為： 或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)與全等三角形、正方形的綜合，關(guān)鍵要先設(shè)出拋物線上點(diǎn) 的坐標(biāo)，根據(jù)所設(shè)未知坐標(biāo)表示出其它點(diǎn)坐標(biāo)和線段，構(gòu)建方程組，求出未知坐標(biāo)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法和思想．
3．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，交直線于點(diǎn)D．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；
(3)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；
(4)如圖2，作交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)H在射線上，且，過的中點(diǎn)K作軸，交拋物線于點(diǎn)I，連接，以為邊作出如圖所示正方形，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，，，1．
(4)G(-4 +，0)．
【分析】（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求解即可；
（2）如圖，連接，令，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)確定OC、OB的長(zhǎng)，然后再根據(jù)求解即可；
（3）如圖，作軸，交直線于點(diǎn)F，可得，即，進(jìn)一步說明當(dāng)最大時(shí)，最大．設(shè)，則，根據(jù)線段的核查運(yùn)算求得PF的最大值；設(shè)點(diǎn)，若是直角三角形，則點(diǎn)Q不能與點(diǎn)P、A重合，
∴，再分、、三種情況解答即可．
(4)作GL//y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于點(diǎn)W，則△GLC≌CRH，△ITM≌△HWI.根據(jù)?GLC≌?CRH可表示出H點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示出點(diǎn)K坐標(biāo)，進(jìn)而表示出I坐標(biāo)，根據(jù)MT= IW，構(gòu)建方程求得n的值．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴解得
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：如圖，連接，令，
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）解：如圖1所示，作軸，交直線于點(diǎn)F，
則．
∴．
∵是定值，
∴當(dāng)最大時(shí)，最大．
設(shè)，
∵，
∴．
設(shè)，則．
∴．
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)．
設(shè)點(diǎn)，若是直角三角形，則點(diǎn)Q不能與點(diǎn)P、A重合，
∴，下面分三類情況討論：
若，如圖2所示，
過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若，如圖3所示，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若，如圖4所示，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
綜上所述，當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，，，1．
（4）如圖，作GL//y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于點(diǎn)W，則△GLC≌?CRH，△ITM≌△HWI.
RH = OG= -n，
CR= GL= OC= 3，
MT= IW，
G(n，0)，H(3，3+ n)，

+n+3+3)
∵TM=IM
∴ (n+3)2+ 2(n+3)- 12= 0，
∴n1 = -4+ ，
n2 =-4- (舍去)
∴G(-4 +， 0)．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何圖形的綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及分類討論思想，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)以及分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．
4．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為直線，與x軸的另一交點(diǎn)為C．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)M在直線上，且在第四象限，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N．
①若點(diǎn)N在線段上，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②以為對(duì)角線作正方形（點(diǎn)P在右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；
（2）①先求出直線的表達(dá)式為，然后設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．可得．可得到，．再由，即可求解；②連接與交與點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為
根據(jù)正方形的性質(zhì)可得E的坐標(biāo)為，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)．再由點(diǎn)P在拋物線上，即可求解．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
．
又拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
解得∶
拋物線的表達(dá)式為．
（2）解∶①設(shè)直線的表達(dá)式為．
點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為，，
∴， 解得∶ ，
直線的表達(dá)式為．
根據(jù)題意得∶點(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，
．
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
軸，
．
∴
．
，
解，得．
點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②連接與交與點(diǎn)E．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為
四邊形是正方形，
，，．
∵M(jìn)N⊥x軸，
軸．
E的坐標(biāo)為．
．
．
∴P的坐標(biāo)．
點(diǎn)P在拋物線上，
．
解，得，．
點(diǎn)P在第四象限，
舍去．
即．
點(diǎn)M坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2020·遼寧錦州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖，直線與拋物線交于A,D兩點(diǎn)，與直線于點(diǎn)E．若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，交直線于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)H．

①當(dāng)點(diǎn)F在直線上方的拋物線上，且時(shí)，求m的值；
②在平面內(nèi)是否在點(diǎn)P，使四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1） ；（2）①或 ； ②存在；或
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法列出方程組即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）利用，用m和拋物線及一次函數(shù)的解析式表示出FG的長(zhǎng)度，解出m即可求出答案；
（3）先根據(jù)直線AD與直線BC相交于點(diǎn)E求出E點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意當(dāng)四邊形EFHP是正方形，利用正方形四個(gè)角都是直角且四條邊都相等求出F點(diǎn)的坐標(biāo)及EF的長(zhǎng)度，再根據(jù)坐標(biāo)求解即可．
【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，
，解得，
拋物線的表達(dá)式為．
（2）①方法1：
如圖1，過點(diǎn)O作于點(diǎn)R，過點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，
設(shè)直線與y軸交點(diǎn)為N．
，直線軸，
，，
，
由一次函數(shù)可以求出點(diǎn)N坐標(biāo)為，
在中，，，
，
，
．
，，
，
．
，MH平行于y軸，
，
，
，
，
，
解得，．
聯(lián)立拋物線和一次函數(shù)，得：，
解得，，
則可知此時(shí)求出的點(diǎn)F都在直線AD上方的拋物線上，
的值為或．
方法2：
如圖1，過點(diǎn)O作于點(diǎn)R，過點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，設(shè)直線與y軸交點(diǎn)為N．
則，，
，直線軸，
，，
，
，，
，
，
，，
，
由題意可得，軸，則，
，
，
，
，
解得，
聯(lián)立拋物線和一次函數(shù)，得：，
解得，，
則可知此時(shí)求出的點(diǎn)F都在直線AD上方的拋物線上，
的值為或．
②存在．點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
（寫對(duì)一個(gè)得2分）
如圖2，
B（4，0），C（0，4），
直線BC的解析式為：，
聯(lián)立直線AD與直線BC的方程得：，
解得，
E（1，3）．
若四邊形EFHP是正方形，
則，
，解得，
，，
，
，
．
，
同理可得：，
，
．
點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、正方形等綜合知識(shí)點(diǎn)，難度較大，本題第（2）問中的第1小問通過面積比列出FG關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵，第2小問通過正方形的性質(zhì)進(jìn)行討論即可解題，對(duì)于二次函數(shù)的綜合題型要學(xué)會(huì)結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法解題．
6．（2020秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)用配方法求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；
②連接，以為邊作正方形，是否存在點(diǎn)使點(diǎn)恰好落在對(duì)稱軸上？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①或；②或
【分析】（1）利用一次函數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式即可；
（2）把拋物線的表達(dá)式配方成頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）①設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，由點(diǎn)是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上任意一點(diǎn)，得到，由，得到關(guān)于t的方程，求出符合要求的t，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②由拋物線可知，對(duì)稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)N，作與過點(diǎn)E平行于x軸的直線相交于點(diǎn)M，證明，得到，即可得到，求出符合要求的t，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
把A，代入中，
得，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為；
（2）∵
∴ 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
（3）解：①設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
∵點(diǎn)是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上任意一點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
解得，或（不合題意，舍去）或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
②存在，由拋物線可知，對(duì)稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)N，作與過點(diǎn)E平行于x軸的直線相交于點(diǎn)M，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得（不合題意，舍去）或或（不合題意，舍去）或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)與幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法、配方法拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，數(shù)形結(jié)合并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)是
(1)求直線及拋物線的解析式；
(2)C為拋物線上的一點(diǎn)，的面積為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)P在拋物線上，Q在直線上，M在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以A，P，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)直線的解析式為，拋物線的解析式是
(2)，
(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）討論C在直線上方時(shí)，作軸交于D ，，求出t的值，C在直線下方時(shí)，作軸交于D ，，求出t的值，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）分是正方形的邊和是正方形的對(duì)角線兩種情況分析，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】（1）∵直線與拋物線交于點(diǎn)
∴，，
∴，
∴直線的解析式為，拋物線的解析式是；
（2）聯(lián)立方程組，
解得或，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
當(dāng)C在直線上方時(shí)，作軸交于D， 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴或，
∴，
當(dāng)C在直線下方時(shí)，作軸交于D ，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，
∴，；
（3）如圖，當(dāng)是正方形的邊時(shí)，
∵
∴直線的解析式為
∴
∴M點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱
∴
∵在拋物線上，
∴當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)M點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，；
如圖，當(dāng)是正方形的對(duì)角線時(shí)，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-1
∴
∴
∵
∴
綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形和正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵
8．如圖，拋物線與x軸交于，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E，P為拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)M為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且M在x軸上方，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，M，N，使得以A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)，，對(duì)稱軸為，在根據(jù)A、D關(guān)于直線對(duì)稱，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接，得出當(dāng)A、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，根據(jù)，得出，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)，分三種情況：當(dāng)AM為正方形的對(duì)角線時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，．分別求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
將代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，則，
解得或，
∴，
令，則，
∴，
∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接，
∵A、D關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，
∴，
當(dāng)A、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：存在點(diǎn)P，M，N，使得以A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，理由如下：
設(shè)，
當(dāng)AM為正方形的對(duì)角線時(shí)，如圖2，，過M點(diǎn)作交于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
∵M(jìn)點(diǎn)在x軸上方，
∴，
∴M（2，3）；
當(dāng)時(shí)，，如圖3，過A點(diǎn)作軸，過M點(diǎn)作交于點(diǎn)H，
同理可證，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
∴或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，，如圖4，
過點(diǎn)M作軸交對(duì)稱軸于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)S，
同理可得，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
∴；
綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)______，______；
(2)若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，那么在拋物線上且位于x軸上方是否存在點(diǎn)M，使四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）將點(diǎn)，代入即可求解；
（2）設(shè)，，，過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)Q作交于G，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，證明，由是正方形的對(duì)角線可得①，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)M點(diǎn)在第一象限時(shí)，，，則②，①②可得，由求出；當(dāng)M點(diǎn)在第二象限時(shí)，，，則③，由①③可得，可得．
【詳解】（1）將點(diǎn)，代入，
∴，
∴，
∴，
故答案為：，；
（2）存在點(diǎn)M，使四邊形為正方形，理由如下：
∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，，，
過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)Q作交于G，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，
∵四邊形為正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是正方形的對(duì)角線，
∴，①，
當(dāng)M點(diǎn)在第一象限時(shí)，如圖2，
∴，，，，
∴②，
由①②可得，
解得，
∴；
當(dāng)M點(diǎn)在第二象限時(shí)，如圖3，
∴，，，，
∴③，
由①③可得，
解得，
∴；
綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·湖南·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接BC，點(diǎn)D是線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交x軸于點(diǎn)E，連接AD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，連接GB，點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)M作軸，與拋物線交于點(diǎn)N，P為x軸上一點(diǎn)，連接PM，PN，將△PMN沿著MN翻折，得△QMN，若四邊形MPNQ恰好為正方形，求m的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)①或；②或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，繼而可得，根據(jù)，可得，分別表示出，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
（3）①過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)，可得，根據(jù)題意設(shè)，由列出方程，解方程即可求解；
②過點(diǎn)M作軸，與拋物線交于點(diǎn)N，P為x軸上一點(diǎn)，連接PM，PN，將△PMN沿著MN翻折，得△QMN，若四邊形MPNQ恰好為正方形，根據(jù)題意可得與軸的夾角的銳角為45°，則在直線或上，聯(lián)立解析式，解方程組即可求解．
（1）
解：∵拋物線經(jīng)過，，
∴設(shè)，
將代入，得，
解得
即；
（2）
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
,，
，
是等腰直角三角形，
軸，
是等腰直角三角形，
與中，
設(shè)點(diǎn)，
則，
設(shè)直線的解析式為,
則，
解得 ，
的解析式為，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得 ，
直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得，
即，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，則取得最小值，
即取得最小值時(shí)，，此時(shí)；
（3）
①如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
是拋物線的頂點(diǎn)，
則，
設(shè)，
則，
解得
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
或；
②如圖所示，
過點(diǎn)M作軸，與拋物線交于點(diǎn)N，P為x軸上一點(diǎn)，連接PM，PN，將△PMN沿著MN翻折，得△QMN，若四邊形MPNQ恰好為正方形，
則是等腰直角三角形，
與軸的夾角為45°，
，則，
在直線或上，
，
解得或，
，
解得或，
依題意，
或或或，
綜上所述，或或或，
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)最值問題，解直角三角形，求正切，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系．xOy中，直線y＝x﹣4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（﹣2，0）．
(1)求拋物線解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)F是直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B，求出四邊形FAOB面積最大值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．
(3)如圖2，在（2）問的條件下，點(diǎn)Q為平面內(nèi)y軸右側(cè)的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q及平面內(nèi)任意一點(diǎn)M使得以A，F(xiàn)，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng)t＝2時(shí)，S四邊形FAOB有最大值12，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣4）
(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)Q1（8，﹣2），Q2（6，﹣6），Q3（1，﹣1），Q4（5，﹣3）
【分析】（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；
（2）設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用鉛垂法可表達(dá)△PAB的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解；
（3）假設(shè)存在以A，F(xiàn)，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，分別以AF為邊，以AF為對(duì)角線，進(jìn)行討論即可．
【詳解】（1）解：∵直線y＝x﹣4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-4；當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
∴點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，﹣4），
∵拋物線交x軸于點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（﹣2，0）．
設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
∵拋物線交y軸于點(diǎn)B（0，﹣4），
∴﹣4＝﹣8a，
∴a，
∴拋物線解析式為：yx2﹣2x﹣8x2﹣x﹣4；
（2）解：如圖，過點(diǎn)F作FE∥y軸，交AB于點(diǎn)E，
設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，則F（t，t2﹣t﹣4），
∵直線AB的解析式為y＝x﹣4，∴E（t，t﹣4），
S△BFAOA?EF（4﹣0）×（t﹣4t2+t+4）＝﹣t2+4t，
∵S△BOAOA?OB4×4＝8，
∴S四邊形FAOB＝S△BFA+S△BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，S四邊形FAOB有最大值12，
∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣4）；
（3）解：①當(dāng)以AF為邊時(shí)，如圖，過點(diǎn)F作FS⊥x軸于點(diǎn)S，過點(diǎn)Q1作Q1T⊥x軸于點(diǎn)T，
∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣4），
∴AF2，SF＝4，AS＝4﹣2＝2，
∵四邊形AQ1M1F是正方形，
∴AQ1＝AF＝2，∠FAQ1＝90°，
∵∠SFA+∠SAF＝90°，∠SAF+∠TAQ1＝90°，
∴∠SFA＝∠TAQ1，
∵∠FSA＝∠ATQ1＝90°，
∴△FSA≌△ATQ1，
∴AT＝SF＝4，TQ1＝AS＝2，
∴OT＝OA+AT＝8，
∴Q1（8，﹣2）；
同理可得：△Q1HQ2≌△ATQ1，
∴Q1H＝AT＝4，Q2H＝TQ1＝2，
∴OK＝OT﹣KT＝8﹣2＝6，Q2K＝HT＝4+2＝6，
∴Q2（6，﹣6）；
當(dāng)四邊形AFED是正方形時(shí)，點(diǎn)D在y軸上，點(diǎn)E在y軸左邊，不合題意；
②連接AE，F(xiàn)D交于點(diǎn)Q3，連接AQ2、FQ1交于點(diǎn)Q4，此時(shí)，AF為對(duì)角線，四邊形AQ3FQ4是正方形，如圖：
∵Q4是FQ1的中點(diǎn)，Q1（8，﹣2），F(xiàn)（2，﹣4），
∵5，3，
∴Q4（5，﹣3）；
∵Q3是FD的中點(diǎn)，D（0，2），F(xiàn)（2，﹣4），
∵1，1，
∴Q3（1，﹣1）．
∴存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)Q1（8，﹣2），Q2（6，﹣6），Q3（1，﹣1），Q4（5，﹣3）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法、正方形的性質(zhì)、三角形全等、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
12．綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，過A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C，且，點(diǎn)F是直線AB下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B．
(1)求拋物線解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)F與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，的面積為______；．
(3)求四邊形FAOB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．
(4)在（3）的條件下，點(diǎn)Q為平面內(nèi)y軸右側(cè)的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q及平面內(nèi)另一點(diǎn)M，使得以A，F(xiàn)，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)有最大值12，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為
(4)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)，，，
【分析】（1）把把A(4,0)代入y=x+b，求出b值，從而求出點(diǎn)B坐標(biāo)，然后根據(jù)OA=2OC，求出點(diǎn)C坐標(biāo)（-2，0），設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4)，把B(0-4)代入，即可求解；
（2）將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)F坐標(biāo)，再求出對(duì)稱軸與直線AB的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；
（3）過點(diǎn)F作軸，交AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則，則．所以，又因?yàn)?，則，，根據(jù)二次函數(shù)最值求解即可；
（4）分兩種情況：①當(dāng)AF為正方形AFMQ的邊時(shí)，②當(dāng)AF為正方形AFMQ的對(duì)角線時(shí)，分別求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可．
(1)
解：把A(4,0)代入y=x+b，得
4+b=0，解得：b=-4，
∴y=x-4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=0-4=-4,
∴B(0,-4)，
∵A(4,0)，
∴OA=4，
∵OA=2OC，
∴OC=2，
∴C（-2，0）,
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4)，
把B(0-4)代入得：-4=a(0+2)(0-4)，
解得：a=，
∴拋物線解析式為y=(x+2)(x-4)=x2-x-4；
(2)
解：y=x2-x-4=(x-1)2-,
∵點(diǎn)F與拋物線的頂點(diǎn)重合,
∴F(1,-),
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與直線AB相交于E，如圖，
∵A（4，0），B（0，-4），
∴直線AB解析式為：y=x-4，
則當(dāng)x=1時(shí)，y=1-4=-3，
∴E（1，-3）,
∴S△ABF=|-3|×|4-0|=3，
故答案為：3；
(3)
解：如圖，過點(diǎn)F作軸，交AB于點(diǎn)E，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則，
∵直線AB的解析式為，
∴．
∴，
∵，
∴，，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值12， ．
∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為．
(4)
解：過F作FE ⊥x軸于E，
∵A(4,0)，F(xiàn)(2,-4)，
∴AE=2，EF=4，AF=2，
如圖，①當(dāng)AF為正方形AFMQ的邊時(shí)，i)有正方形AFM1Q1，
過Q1作Q1N1⊥x軸于N1，
∵∠AEF=∠AN1Q1=90°，∠FAQ1=90°，
∴∠EAF=∠AQ1N1，
∵AF=AQ1，
∴△AEF≌△Q1N1A（AAS），
∴AN1=EF=4，Q1N1=AE=2，
∴Q1（8，-2）；
ii) 有正方形AFQ2M2時(shí)，
過Q2作Q2N2⊥EF軸于N2，
同理可得△AEF≌△FN2Q2（AAS），
∴FN2=AE=2，Q2N2=EF=4，
∴Q2（6，-6）
②當(dāng)AF為正方形AFMQ的對(duì)角線時(shí)，設(shè)AF與QM相交于P，
∵A（4，0），F(xiàn)（2，-4），
∴P（3，-2）
i)有正方形AQ3FM3時(shí)，過Q3作Q3G⊥x軸于G，過M3作M3H⊥x軸于H，
易證△AHM3≌△Q3GA，
∴AH=Q3G，M3H=AG，
設(shè)Q3(4+a，b)，則M3(4+b,-a)，
∴，解得：,
∴Q3（5，-3），M3（1，-1）
ii) 有正方形AQ4FM4時(shí)，過Q4作Q4H⊥x軸于H，
則Q3與M3重合，
∴Q4（1，-1），
綜上，存在，當(dāng)以A，F(xiàn)，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)，，，．
【點(diǎn)睛】本題待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，本題屬二次函數(shù)綜合題目，綜合性強(qiáng)，屬中考試壓軸題目．
13．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交y軸于點(diǎn)D，直線AB與之相交，且是拋物線的頂點(diǎn)．
(1)b＝______，c＝______；
(2)如圖1，點(diǎn)P是第四象限拋物線上一點(diǎn)，且滿足，拋物線交x軸于點(diǎn)C，連接PC．
①求直線PB的解析式；
②求PC的長(zhǎng)；
(3)如圖2，點(diǎn)Q是拋物線第三象限上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），連接BQ，以BQ為邊作正方形BEFQ，當(dāng)頂點(diǎn)E或F恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)-1；4
(2)①y＝?x?1；②
(3)（，）或（，?3）
【分析】（1）由待定系數(shù)法可求解析式；
（2）先求出點(diǎn)D，點(diǎn)C坐標(biāo)，可求BP解析式，聯(lián)立方程組可求點(diǎn)P坐標(biāo)，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)可得FH＝QG，或BN＝GQ，即可求解．
（1）
解：∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴二次函數(shù)頂點(diǎn)式為，化為一般式為，
∴，，
故答案為：-1；4
（2）
①∵與x軸交于B，C，交y軸與點(diǎn)D，
∴當(dāng)x＝0，y＝?4，即點(diǎn)D（0，?4），
當(dāng)y＝0時(shí)，，
∴x1＝?2，x2＝4，
∴點(diǎn)C（4，0），B（-2，0）
∵點(diǎn)A（1，），點(diǎn)D（0，?4）
∴直線 AD解析式為：y＝?x?4，
∵BP∥AD，
∴設(shè)直線BP解析式為：y＝?x＋m，且過點(diǎn)B，
∴0＝?×（?2）＋m
∴m＝?1，
∴直線BP解析式為：y＝?x?1；
②聯(lián)立方程組可得： ，
解得 或，
∴點(diǎn)P(3，)，
∵C（4，0），
∴．
（3）
如圖，過點(diǎn)Q作QG⊥BC于G，過點(diǎn)F作FH⊥GQ于H，設(shè)對(duì)稱軸與BC交于N點(diǎn)，
∵四邊形BEFQ是正方形，
∴BE＝EF＝BQ＝QF，∠EBQ＝∠BQF＝90°，
∵∠BQG＋∠FQH＝90°，∠BQG＋∠QBG＝90°，
∴∠GBQ＝∠FQH，且∠FHQ＝∠BGQ＝90°，BQ＝QF，
∴△BGQ≌△QHF（AAS）
∴BG＝QH，F(xiàn)H＝QG，
設(shè)點(diǎn)Q(m，m2?m?4)，
若點(diǎn)F在對(duì)稱軸上，
∵FH＝GQ，
∴1?m＝m2+m+4，
∴（舍去），，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（，），
若點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，
同理可證：△BGQ≌△ENB，
∴BN＝GQ，
∴1?（?2）＝m2+m+4，
∴（舍去），，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（，?3），
綜上所述：點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，）或（，?3）．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
14．（2022·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)b＝______，c＝______；
(2)若點(diǎn)D為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，求出DE+FG的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，那么在拋物線上且位于x軸上方是否存在點(diǎn)M，使四邊形OMPQ為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)﹣2，3
(2)GF+DE有最大值，D
(3)存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）將點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，即可求解；
（2）延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)K，延長(zhǎng)GF交ED于點(diǎn)H，設(shè)D（t，t2-2t-3），則E（t，-t-3），則DE=-t2+t， GF＝GH﹣FH＝t﹣（﹣t2+t）＝t2+t，則GF+DE＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時(shí)，GF+DE有最大值，此時(shí)D（，）；
（3）設(shè)P（1，p），Q（x，y），M（m，m2-2m-3），過點(diǎn)P作GH∥x軸，過點(diǎn)Q作QG⊥GH交于G，過點(diǎn)M作MH⊥GH交于點(diǎn)H，證明△GPQ≌△HMP（AAS），由OP是正方形的對(duì)角線，可得p=y+m2-2m-3①，分兩種情況討論：當(dāng)M點(diǎn)在第一象限時(shí)，GQ=p-y，PH=m-1，則p-y=m-1②，由①②可得m-1=m2-2m-3，求出M（，）；當(dāng)M點(diǎn)在第一象限時(shí)，GQ=p-y，PH=1-m，則p-y=1-m③，由①③可得1-m=m2-2m-3，可得M（，）
(1)
解：將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
故答案為：﹣2，3；
(2)
解：延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)K，延長(zhǎng)GF交ED于點(diǎn)H，如圖1
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
設(shè)D（t，t2﹣2t﹣3），則E（t，t﹣3），
∴DE＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠FEH＝∠EFH＝∠GFC＝∠GCF＝45°，
∵FH⊥ED，
∴FH＝EH＝DE＝（﹣t2+3t），
∴GF＝GH﹣FH＝t﹣（﹣t2+3t）＝t2-t，
∴GF+DE＝﹣t2+3t+t2-t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
當(dāng)t＝時(shí)，GF+DE有最大值，
此時(shí)D（，）；
(3)
解：存在點(diǎn)M，使四邊形OMPQ為正方形，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
設(shè)P（1，p），Q（x，y），M（m，m2﹣2m﹣3），
過點(diǎn)P作GHx軸，過點(diǎn)Q作QG⊥GH交于G，過點(diǎn)M作MH⊥GH交于點(diǎn)H，
∵四邊形OMPQ為正方形，
∴∠QPM＝90°，
∴∠GPQ+∠HPM＝90°，
∵∠GPQ+∠GQP＝90°，
∴∠HPM＝∠GQP，
∵QP＝PM，
∴△GPQ≌△HMP（AAS），
∴GP＝HM，GQ＝PH，
∵OP是正方形的對(duì)角線，
∴1＝m+x，p＝y(tǒng)+m2﹣2m﹣3①，
當(dāng)M點(diǎn)在第一象限時(shí)，如圖2，
∴GP＝1﹣x，HM＝p﹣（m2﹣2m﹣3），GQ＝p﹣y，PH＝m﹣1，
∴p﹣y＝m﹣1②，
由①②可得m﹣1＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝，
∴M（，）；
當(dāng)M點(diǎn)在第一象限時(shí)，如圖3，
∴GP＝x﹣1，HM＝p﹣（m2﹣2m﹣3），GQ＝p﹣y，PH＝1﹣m，
∴p﹣y＝1﹣m③，
由①③可得1﹣m＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝，
∴M（，）；
綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（，）．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)求△BCD的面積；
(3)點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，I，N為頂點(diǎn)作正方形，是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)I恰好落在對(duì)稱軸上？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，）
(2)6
(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）
【分析】（1）由拋物線 經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)可得，求出的值，進(jìn)而可得拋物線解析式，將解析式化成頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)為H，設(shè)直線BC的解析式為，待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y＝，令，則可得H（3，），則，根據(jù)計(jì)算求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，），由題意知分兩種情況求解：一、如圖①②，作軸，交對(duì)稱軸于，作于，，則，，，證明△GAM≌△HMI，則AG＝MH，即，求解x的值，進(jìn)而可求M點(diǎn)的坐標(biāo)；二、如圖③④，同理可證△MAP≌△MIQ，則MP＝MQ，即，求解x的值，進(jìn)而可求M點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵拋物線 經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)
∴
解得：
∴拋物線的解析式是
∵
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，）．
（2）解：如圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)為H，
設(shè)直線BC的解析式為
將B（5，0），C（0，）代入得
解得
∴直線BC的解析式為y＝
令，則
∴H（3，）
∴
∴．
（3）解：存在．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，）
由題意知分兩種情況求解：一、如圖①②
作軸，交對(duì)稱軸于，作于
∵
∴
∵，
∴△GAM≌△HMI
∴AG＝MH，即 解得x＝
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（，）；
二、如圖③④
同理可證△MAP≌△MIQ
∴MP＝MQ，即
解得x＝
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（，）；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)與面積綜合，二次函數(shù)與特殊四邊形綜合，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
16．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，于點(diǎn)，軸于點(diǎn)．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求長(zhǎng)．
②如圖2，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖3，在（2）②的條件下，直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過作軸，交直線于點(diǎn).是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或或
【分析】（1）由直線y=-x+3與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，取得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+2x+c取得a、c的值，即可求出拋物線的解析式；
（2）①求出點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，即可DE的長(zhǎng)；②設(shè)，得，連接，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，得四邊形是平行四邊形，求出，，列方程求解即可；
（3）分MH⊥MK和MH⊥HK兩種情況分類討論，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】（1）對(duì)于，
令，則，
∴，
令，則，
∴，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）①∵，
∴頂點(diǎn)，
把代入得，
∴點(diǎn)，
∴；
②設(shè)，
∵軸交于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵軸
∴FG//OB
∴
∴
∴，
∵，
∴，
連接，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍），
∴；
（3）令，則，
解得或，
∴，
設(shè)的解析式為，將、代入，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴，
聯(lián)立，
解得，
∴，
∵以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，
①如圖2，圖3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴或，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴的中點(diǎn)為，則的中點(diǎn)也為，
∴；
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴的中點(diǎn)為，則的中點(diǎn)也為，
∴，
此時(shí)與軸重合，
∴不符合題意；
②如圖4，圖5，當(dāng)時(shí)，此時(shí)軸，
∴或，
當(dāng) 時(shí)，，
∴；
當(dāng)時(shí)，，
∴；
綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或或 .
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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