既有構(gòu)造相等角的，也有在這個(gè)問(wèn)題上再進(jìn)行加工的，比如，在坐標(biāo)系中構(gòu)造已知角的半角或二倍角，角可以單獨(dú)出現(xiàn)，也可以存在于某個(gè)幾何圖形中，因此，構(gòu)造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：
思路1：構(gòu)造半角三角函數(shù)．
構(gòu)造二倍角三角函數(shù)：
思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．
直擊中考
1．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為，同時(shí)拋物線(xiàn)還經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）拋物線(xiàn)的解析式為_(kāi)____________；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)H，連接，將拋物線(xiàn)向下平移n個(gè)單位，當(dāng)平分時(shí)，則n的值為_(kāi)____________．
2．（2022·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y=?x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)D為直線(xiàn)AC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，
①連接BC、CD，設(shè)直線(xiàn)BD交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，求的最大值；
②過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接CD，是否存在點(diǎn)D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．（2022·湖北黃石·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸分別交于A(yíng)，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)．
(1)直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為A______，B______，C______；
(2)連接，，，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)連接，，是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)校考期末）已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)拋物線(xiàn)的解析式為_(kāi)__________，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________．
(2)如圖1，是否存在點(diǎn)P，使四邊形的面積為9？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Р的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)如圖2，連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(4)如圖3，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，，連接PE，若，請(qǐng)求出點(diǎn)Р的坐標(biāo)．
5．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，拋物線(xiàn)與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
(1)當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出：點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____；
(2)在（1）的條件下，P是x軸下方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離；
(3)當(dāng)時(shí)，若的外心在x軸上，求代數(shù)式的值．
6．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線(xiàn) 交 軸于 ， 兩點(diǎn)，交 軸于點(diǎn) ．直線(xiàn) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，．
(1)求拋物線(xiàn)的解析式；
(2)過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn)交直線(xiàn) 于點(diǎn) ．
①當(dāng) 時(shí)，過(guò)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn) （不與點(diǎn) ， 重合），作直線(xiàn) 的平行線(xiàn)交直線(xiàn) 于點(diǎn) ，若以點(diǎn) ，，， 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn) 的橫坐標(biāo)；
②連接 ，當(dāng)直線(xiàn) 與直線(xiàn) 的夾角等于 的倍時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) 的坐標(biāo)．
7．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)珠海市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)連接，，求的最大值；
(3)連接，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的表達(dá)式．
8．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)校考期末）如圖，拋物線(xiàn)（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC＝3．
(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；
(2)如圖1，連接BC，點(diǎn)D是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，連接OD，CD，OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)＝1：3時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣），在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
9．（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接．直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)為線(xiàn)段上的一點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的一點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)與線(xiàn)段交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）．當(dāng)且時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
10．（2020·湖南張家界·中考真題）如圖，拋物線(xiàn)交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與直線(xiàn)相交于點(diǎn)P，連接，判定的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M，使與直線(xiàn)的夾角等于的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．（遼寧錦州中考）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)D在直線(xiàn)BC下方的二次函數(shù)圖象上.
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，連接DC,DB,設(shè)△BCD的面積為S,求S的最大值；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)D，使得△CDM中的某個(gè)角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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